高考理科数学第7章第2讲

1、第七章第 2 讲a 级基础达标 1(2016 年泰安模拟 )不等式组y x2，yx1，y0所表示的平面区域的面积为() a1 b12c13d14【答案】 d【解析】 作出不等式组对应的区域为bcd，由题意知xb 1，xc 2.由y x2，y x1，得 yd12，所以 sbcd12 (xcxb)1214. (第 1 题图 )(第 2 题图 ) 2(2015 年天津 )设变量x， y 满足约束条件x20，x2y0，x2y80，则目标函数z3x y 的最大值为 () a7 b8 c9 d14 【答案】 c【解析】 由 x，y 的约束条件画出可行域(如图 )，其中 a(2,3)，当直线 3xyz0 经

2、过点 a(2,3)时， z 取最大值9，故选 c3(2017 年长春质量监测)若 x，y 满足约束条件y x1，yx1，y0，则 3x5y 的取值范围是() a5,3b3,5c3,3d3,5【答案】 d【解析】 作出如图所示的可行域及l0： 3x5y0，平行移动l0到 l1过点a(0,1)时， 3x 5y 有最大值5，平行移动l0至 l2过点 b(1,0)时，3x5y 有最小值 3，故选d(第 3 题图 )(第 4 题图 ) 4设动点p(x，y)在区域 ：x 0，y x，x y4上，过点p 任作直线l，设直线l 与区域 的公共部分为线段ab，则以 ab 为直径的圆的面积的最大值为() ab2c

3、3d4【答案】 d【解析】 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以 ab 为直径的圆的面积最大值为s 4224.5若函数 y2x图象上存在点 (x，y)满足约束条件xy3 0，x2y30，xm，则实数 m 的最大值为() a12b1 c32d2 【答案】 b【解析】 在同一直角坐标系中作出函数y2x的图象及xy30，x2y30所表示的平面区域，如图阴影部分所示由图可知，当m1 时，函数y 2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故m 的最大值为1. 6(2017 年兰州诊断 )已知不等式组xy1，xy 1，y0所表示的平面区域为d，若直线ykx 3 与平面区域d 有

4、公共点，则k 的取值范围为 () a3,3b，1313，c(， 3 3， )d13，13【答案】 c【解析】 依据线性约束条件作出可行域如图阴影部分所示，注意到y kx3 过定点 (0，3)斜率的两个端点值为3,3.两斜率之间存在斜率不存在的情况，k 的取值范围为 (， 3 3， )，故选 c7(2017 年绵阳诊断 )若 a 为不等式组x0，y0，yx 2表示的平面区域，则当a 从 2 连续变化到 1 时，动直线x ya 扫过 a 中的那部分区域的面积为_【答案】74【解析】 平面区域a 如图所示，所求面积为s122 212222221474. 8制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而

5、且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、 乙两个项目， 根据预测， 甲、 乙项目可能的最大盈利率分别为100%和 50%，可能的最大亏损率分别为30%和 10%.若投资人计划投资金额不超过10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8 万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【解析】 设投资人分别用x 万元， y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知xy10，0.3x0.1y1.8，x0，y0，目标函数 zx0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分 (含边界 )即为可行域将 zx0.5y 变形为y 2x 2z，这是斜率为2 随 z 变化的一组平行线，当直

6、线y 2x2z经过可行域内的点m 时， 直线 y 2x2z在 y 轴上的截距2z 最大， z 也最大这里 m 点是直线x y10 和 0.3x0.1y1.8 的交点解方程组x y10，0.3x0.1y1.8，得 x4， y6，此时 z40.567(万元 )所以当 x4，y6 时， z取得最大值所以投资人用4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8 万元的前提下，使可能的盈利最大b 级能力提升 9已知变量x，y 满足约束条件x2y1，xy1，y10，若 z x2y 的最大值与最小值分别为a，b，且关于x 的方程 x2kx10 在区间 (b，a)内有两个不同实数解，则实数k

7、 的取值范围是() a(6， 2) b(3,2) c103， 2d 103， 3【答案】 c【解析】 作出可行域，如图所示，则目标函数z x2y 在点 (1,0)处取得最大值 1，在点 (1,1)处取得最小值3， a1，b 3，从而可知方程x2kx 10 在区间(3,1)内有两个不同实数解令 f(x)x2kx1，则f 3 0，f 1 0，3k20? 103k0，可行域如图中阴影部分所示y1x1min0 13a 113a114. a1. 13某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100 个，生产一个卫兵需 5 分钟，生产一个骑兵需7 分钟，生产一个伞兵需4 分钟，已知总生产时间不

8、超过10小时 若生产一个卫兵可获利润5 元，生产一个骑兵可获利润6 元，生产一个伞兵可获利润3 元(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解析】 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100 xy，所以利润 w5x6y3(100 xy)2x 3y300. (2)约束条件为5x7y4 100 x y 600，100 xy0，x0，y0，x，y n.整理得x3y200，xy100，x0，y0，x，y n.目标函数为w 2x3y300. 作出可行域，如图所示初始直线 l0：2x 3y0，平移初始直线经过点a 时，

9、w 有最大值由x3y200，xy100，得x50，y50.最优解为 a(50,50)，所以 wmax 550 元所以每天生产卫兵50 个，骑兵 50 个，伞兵0 个时利润最大，最大利润为550 元14变量 x，y 满足x 4y30，3x5y25 0，x 1.(1)设 zyx，求 z 的最小值；(2)设 zx2y2，求 z 的取值范围；(3)设 zx2y26x4y13，求 z 的取值范围【解析】 由约束条件x 4y30，3x5y25 0，x1，作出 (x，y)的可行域如图阴影部分所示由x1，3x5y250，解得 a 1，225. 由x1，x4y30，解得 c(1,1)由x4y30，3x 5y250，解得 b(5,2)(1) zyxy 0 x 0， z 的值即是可行域中的点与原点o 连线的斜率观察图形可知zminkob25. (2)zx2y2的几何意义是可行域上的点到原点o 的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin|oc