北京市海淀区2018届高三第一学期期末理科数学试题(含答案)

1、1 海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2018.1 第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）复数12iia.2ib.2ic.2id. 2i（2）在极坐标系中ox，方程2sin表示的圆为（3）执行如图所示的程序框图，输出的k值为a.4 b.5 c.6 d.7 （4）设m是不为零的实数，则“0m”是“方程221xymm表示的曲线为双曲线”的a.充分不必要条件 b.必要不充分条件c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件（5）已知直线0 xym与圆22:1o xy相交于,a b两点，且aob

2、为正三角形，则实数m的值为a.32b.62c.32或32d.62或62（6）从编号分别为 1,2,3,4,5，6 的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为a.15b.25c.35d.452 （7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：三棱锥的体积为16三棱锥的四个面全是直角三角形三棱锥的四个面的面积最大的是32所有正确的说法是a. b. c. d. （8）已知点f为抛物线2:2(0)c ypx p的焦点，点k为点f关于原点的对称点，点m在抛物线c上，则下列说法错误的是a.使得mfk为等腰三角形的点m有且仅有 4 个b.使得mfk为直角三角形的点m有且仅有

3、4 个c. 使得4mkf的点m有且仅有 4 个d. 使得6mkf的点m有且仅有 4 个第二部分（非选择题共 110分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）点(2,0)到双曲线2214xy的渐近线的距离是 . （10）已知公差为1 的等差数列na中，1a ，2a ，4a 成等比数列，则na的前100 项和为 . 3 （11）设抛物线2:4c yx 的顶点为o，经过抛物线c的焦点且垂直于x轴的直线和抛物线c交于,a b两点，则oaob . （12） 已知 (51)nx的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1 ，则n . （13） 已知正方体1111abcd

4、abc d 的棱长为4 2， 点m是棱bc的中点，点p在底面abcd内，点q在线段11ac 上，若1pm，则pq长度的最小值为 . （14）对任意实数k，定义集合20( , )20,0kxydx yxyx yrkxy. 若集合kd 表示的平面区域是一个三角形，则实数k的取值范围是；当0k时， 若对任意的 ( , )kx yd ， 有(3 ) 1y ax恒成立，且存在 ( , )kx yd ，使得xya成立，则实数a的取值范围为 . 三、解答题共6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题 13 分）4 如图，在abc中，点d在ac边上，且3,7,36adb

5、c abadbc. （）求dc的值；（）求tanabc的值. （16） （本小题 13 分）据中国日报网报道： 2017年 11 月 13 日，top500发布的最新一期全球超级计算机 500 强榜单显示， 中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一 “神威太湖之光” 完全使用了国产品牌处理器。 为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12 次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是 mips ）测 试1 测 试2测 试3测 试4测 试5测 试6测 试7测 试8测 试9测 试10测 试11测 试12品 牌a 3 6 9 10 4 1 12 17 4 6 6

6、 14 品 牌b 2 8 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21 （）从品牌 a 的 12 次测试中，随机抽取一次，求测试结果小于7 的概率；（）从 12 次测试中，随机抽取三次，记x为品牌 a的测试结果大于品牌b的测试结果的次数，求x的分布列和数学期望e（x） ；（）经过了解， 前 6 次测试是打开含有文字和表格的文件，后 6 次测试是打开含有文字和图片的文件 . 请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价. （17） （本小题 14 分）如题 1，梯形abcd中，/ /,1,2,adbc cdbc bccdade为ad中点 .5 将abe沿b

7、e翻折到1abe的位置，如图 2. （）求证：平面1ade平面bcde；（）求直线1ab 与平面1acd 所成角的正弦值；（）设,m n分别为1ae 和bc的中点，试比较三棱锥1macd 和三棱锥1na cd（图中未画出）的体积大小，并说明理由. （18） （本小题 13 分）已知椭圆22:29c xy，点(2,0)p（）求椭圆c的短轴长和离心率；（）过(1,0)的直线l与椭圆c相交于两点,m n，设mn的中点为t，判断tp与tm的大小，并证明你的结论. （19） （本小题 14 分）已知函数2( )222xf xeaxx. 6 （）求曲线( )yf x在点处的切线方程；（）当0a时，求证：函

8、数( )f x有且仅有一个零点；（）当0a时，写出函数( )f x的零点的个数 . （只需写出结论）（20） （本小题 13 分）无穷数列na满足：1a 为正整数，且对任意正整数n，1na为前n项1a ，2a ，na 中等于na 的项的个数 . （）若12a，请写出数列na的前 7 项；（）求证：对于任意正整数m，必存在*kn，使得kam ；（）求证 : “11a”是“存在*mn，当nm时，恒有2nana 成立”的充要条件。7 海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案2018.1数学（理科）阅卷须知 : 1. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数. 2. 其它正确解法可以参照评

9、分标准按相应步骤给分. 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分.题号1 2 3 4 5 6 7 8 选项a d b a d c d c 二、填空题 : 本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分.( 有两空的小题第一空3 分 ) （9）255（10） 5050 （11）2 （12）6 （13）33（14）(1,1)1 2, 5三、解答题 : 本大题共6 小题，共80 分. 15.（本小题13 分）解： （）如图所示，366dbcadbc，.1 分故dbcc，dbdc.2 分设dcx，则dbx，3dax. 在adb 中，由余弦定理2222cosabdadbda dbadb.3

10、 分即22217(3 )2 372xxx xx，.4 分解得1x，即1dc. .5 分（）方法一.在adb 中，由adab，得60abdadb，故362abcabddbc.6 分在abc中，由正弦定理sinsinacababcacb.7分8 即471sin2abc，故2sin7abc，.9分由(,)2abc，得3cos7abc，.11分22tan333abc13 分方法二 . 在adb 中，由余弦定理2227 191cos227 12 7abbdadabdab bd.7 分由(0,)abd，故3 3sin2 7abd.9 分故tan3 3abd.11 分故33 3tantan263tantan

11、()36331tantan13 363abdabcabdabd 13分16. （本小题13 分）（）从品牌a 的 12 次测试中，测试结果打开速度小于7 的文件有：测试 1、2、5、6、9、 10、11，共 7 次设该测试结果打开速度小于7 为事件 a ，因此7()12p a.3分（） 12 次测试中，品牌a的测试结果大于品牌b的测试结果的次数有：测试 1、3、4、5、7、8，共 6 次随机变量x所有可能的取值为：0，1，2，3 30663121(0)11c cp xc21663129(1)22c cp xc12663129(2)22c cp xc9 03663121(3)11c cp xc.

12、7分随机变量x的分布列为x0 1 2 3 p111922922111.8分19913()0123112222112e x.10分（）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分. 给出明确结论，1 分；结合已有数据，能够运用以下8个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2 分. 13 分. 标准 1: 会用前 6 次测试品牌a、 品牌 b的测试结果的平均值与后6次测试品牌a、品牌 b的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文

13、字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）标准 2: 会用前 6 次测试品牌a、品牌 b的测试结果的方差与后6 次测试品牌a、品牌 b的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）标准 3：会用品牌a前 6 次测试结果的平均值、后6 次测试结果的平均值与品牌b前 6 次测试结果的平均值、后 6 次测试结果的平均值进行阐述（品牌 a前 6 次测试结果的平均值大于品牌b前 6 次测试结果的平均值，

14、品牌 a后 6 次测试结果的平均值小于品牌b后 6次测试结果的平均值，品牌a打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌b，品牌 a打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌b）标准 4：会用品牌a前 6 次测试结果的方差、后6 次测试结果的方差与品牌b前 6次测试结果的方差、后 6 次测试结果的方差进行阐述（品牌 a前 6 次测试结果的方差大于品牌 b前 6 次测试结果的方差， 品牌 a后 6 次测试结果的方差小于品牌b后 6 次测试结果的方差，品牌 a打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌b，品牌 a打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌b）标准 5：会用品牌a这 12 次测试结果的平均值与

15、品牌b这 12 次测试结果的平均值进行阐述（品牌a这 12 次测试结果的平均值小于品牌b这 12 次测试结果的平均值，品牌a打开文件的平均速度快于b）10 标准 6：会用品牌a这 12 次测试结果的方差与品牌b这 12 次测试结果的方差进行阐述（品牌 a这 12 次测试结果的方差小于品牌b这 12 次测试结果的方差，品牌 a打开文件速度的波动小于b）标准 7： 会用前 6 次测试中， 品牌 a测试结果大于 （小于）品牌 b测试结果的次数、后 6 次测试中， 品牌 a测试结果大于 （小于） 品牌 b测试结果的次数进行阐述（前6 次测试结果中，品牌 a小于品牌b的有 2 次， 占 1/3. 后 6

16、次测试中， 品牌 a小于品牌b的有 4 次，占 2/3. 故品牌 a打开含有文字和表格的文件的速度慢于b，品牌 a打开含有文字和图片的文件的速度快于b）标准 8：会用这12 次测试中，品牌a测试结果大于（小于）品牌b测试结果的次数进行阐述（这12 次测试结果中，品牌a小于品牌 b的有 6 次，占 1/2. 故品牌 a和品牌 b打开文件的速度相当）参考数据期望前 6 次后 6 次12 次品牌 a 5.50 9.83 7.67 品牌 b 4.33 11.83 8.08 品牌 a 与品牌 b 4.92 10.83 方差前 6 次后 6 次12 次品牌 a 12.30 27.37 23.15 品牌 b

17、 5.07 31.77 32.08 品牌 a 与品牌 b 8.27 27.97 17. （本小题14 分）（）证明：因为1bea e，bede，1a edeei，1a e，de平面1ade.1分所以be平面1a de.2分因为be平面bcde，所以平面1ade平面bcde.3分11 （）解：在平面1ade内作efed，由be平面1ade，建系如图 . .4分则113(0,)22a，(1,0,0)b，(1,1,0)c，(0,1,0)d，(0,0,0)e. 113(1,)22a buuu r113(0,)22a duuu r，(1,0,0)dcuuu r， .7分设平面1acd的法向量为( , ,

18、 )nx y zr，则100n adn dcr uuu rr uuu r，即130220yzx，令1z得，3y，所以(0,3,1)nr是平面1acd的一个方向量. .9分11136cos,42 2| |ab na b nabnuuu r ruuu r ruuu rr.10分所以1ab 与平面1acd 所成角的正弦值为64. .11分（）解：三棱锥1macd和三棱锥1nacd的体积相等 .12分理由如 : 方法一：由13(0,)44m，1(1,0)2n，知13(1,)44mnuuu r，则0mnnuuu rr因为mn平面1acd，所以/mn平面1acd. .13分故点m、n到平面1acd的距离相

19、等，有三棱锥1macd和1nacd同底等高，所以体积相等 . .14分方法二：如图，取de中点p，连接mp，np，mn. 因为在1a de中，m，p分别是1ae，de的中点，所以1/ /mpad因为在正方形bcde中，n，p分别是bc，de的中点，所以/ /npcd因为mpnpp，mp，np平面mnp，1ad，cd平面1acdbceda1zxymn12 所以平面mnp / /平面1acd因为mn平面mnp，所以/ /mn平面1acd.13分故点m、n到平面1acd的距离相等， 有三棱锥1macd和1nacd同底等高，所以体积相等 . .14分bceda1mnpbceda1mnq法二法三方法三：

20、如图，取1ad中点q，连接mn，mq，cq. 因为在1a de中，m，q分别是1ae，1a d的中点， 所以/mqed且12mqed因为在正方形bcde中，n是bc的中点，所以/nced且12nced所以/mqnc且mqnc，故四边形mncq是平行四边形，故/mncq因为cq平面1acd，mn平面1acd，所以/mn平面1acd. .13分故点m、n到平面1acd的距离相等， 有三棱锥1macd和1nacd同底等高，所以体积相等 . .14分18. （本小题13 分）解： （） c ：221992xy，故29a，292b，292c，有3a，322bc. .3分13 椭圆 c 的短轴长为23 2

21、b，离心率为22cea. .5分（）结论是：|tptm. .6分设直线 l ：1xmy，11(,)m x y，22(,)n xy22291xyxmy，整理得：22(2)280mymy.8分222(2)32(2)36640mmm故12222myym，12282y ym.10分pmpnuuu r uuu r1212(2)(2)xxy y.11分1212(1)(1)mymyy y21212(1)()1my ym yy22282(1)()122mmmmm22562mm0 .12分故90mpn，即点p在以 mn 为直径的圆内，故|tptm.13分19. （本小题14 分）（ ）因为函数2( )222xf

22、 xaxxe所以( )222xfxaxe.2分故(0)0f，(0)0f .4分曲线( )yf x在0 x处的切线方程为0y.5分14 （ ）当0a时，令( )( )222xg xfxaxe，则( )220 xg xae.6分故( )g x是 r 上的增函数 . .7分由(0)0g，故当0 x时，( )0g x，当0 x时，( )0g x. 即当0 x时，( )0fx，当0 x时，( )0fx. 故( )f x在(,0)单调递减，在(0,)单调递增 . .9分函数( )f x的最小值为(0)f .10分由(0)0f，故( )fx有且仅有一个零点. .12分（）当1a时，( )f x有一个零点；当0a且1a时，( )fx有两个零点 . .14分20. （本小题13 分）解： （） 2，1，1，2，2，3，1 .3分（）假设存在正整数m，使得对任意的*kn，kam. 由题意，1,2,3,.,kam考虑数列na的前21m项：1a，2a，3a，21ma其中至少有1m项的取值相同，不妨设121miiiaaa此时有：111miamm，矛盾 . 故对于任意的正整数m，必存在*kn，使得kam. . 8分（）充分性：当11a时，数列na为1，1，2，1，3，1，4，1，1k，1，k，特别地，21kak，21ka故对任意的*nn（1）若n为偶数，则21nnaa（2）若n为奇数，则23122