北京市海淀区2018届高三第一学期期末文科数学试题(含答案)

1、海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科） 2018.1 第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知i是虚数单位，若()1+i aii，则实数a的值为a.1b.0c.1d. 2（2）已知,a br，若ab，则a. 2ab b. 2abb c. 1122abd.33ab（3）执行如图所示的程序框图，输出的k值为a.4 b.5 c.6 d.7 （4）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5 各同学在一次数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5 分，共 8 道题） ：已知两组数据的平均数相等，则,

2、 x y的值分别为a.0, 0b.0,5c.5,0d.5,5（5）已知直线0 xym与圆22:1o xy相交于,a b两点，且aob为正三角形，则实数m的值为a.32b.62c.32或32d.62或62（6）设，则“1a”是“直线10axy与直线+10 x ay平行”的a.充分不必要条件 b.必要不充分条件c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件 , （7）在abc中，=1,abacd是ac的中点，则bd cd的取值范围是a. 3 1(,)4 4b. 1(,)4c. 3(,)4d. 1 3(,)4 4（8） 已知正方体的1111abcdabc d 棱长为 2， 点,m n分别是棱11,bc

3、c d的中点，点p在平面1111abc d 内，点q在线段1an 上，若5pm，则pq长度的最小值为a.21b.2c.3 515d.3 55第二部分（非选择题共 110分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（ 9） 已 知 双 曲 线221axy的 一条 渐 近 线 方 程 为yx， 则 实 数k的 值为 . （ 10 ） 若 变 量,x y满 足 约 束 条 件010220yxyxy， 则zxy的 最 大 值是 . （11）abc中，1,7,ab且abc的面积为32，则c .（12）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中最大的值是 . （13）函数2 ,0(

4、)(2),0 xxf xxxx的最大值为；若函数( )f x的图像与直线(1)yk x有且只有一个公共点，则实数k的取值范围是 . （14）某次高三英语听力考试中有5 道选择题， 每题 1 分，每道题在三个选项中只有一个是正确的 . 下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5 道题的得分：1 2 3 4 5 得分甲c c a b b 4 乙c c b b c 3 丙b c c b b 2 则甲同学答错的题目的题号是，其正确的选项是 . 三、解答题共6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题 13 分）已知等差数列na的前n项和ns ，且2375,as

5、a . （）数列na的通项公式；（）若2nanb，求数列+nnab前n项和. （16） （本小题 13 分）已知函数( )cos2tan()4f xxx. （）求函数( )f x的定义域；（）求函数( )f x的值域 . （17） （本小题 14 分）据中国日报网报道： 2017年 11 月 13 日，top500发布的最新一期全球超级计算机 500 强榜单显示， 中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一 “神威太湖之光” 完全使用了国产品牌处理器。 为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12 次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是 mips ）测

6、 试1 测 试2测 试3测 试4测 试5测 试6测 试7测 试8测 试9测 试10测 试11测 试12品 牌a 3 6 9 10 4 1 12 17 4 6 6 14 品 牌b 2 8 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21 设,iia b 分别表示第次测试中品牌a 和品牌b 的测试结果，记iiixab(1, 2,12)i（）求数据12312,xxxx的众数；（）从满足4ix的测试中随机抽取两次， 求品牌 a的测试结果恰好有一次大于品牌 b的测试结果的概率；（）经过了解， 前 6 次测试是打开含有文字和表格的文件，后 6 次测试是打开含有文字和图片的文件 . 请你依据表中数据，运用所学

7、的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价. （18） （本小题 13 分）如图，三棱柱111abcabc 侧面11abb a底面abc，,acab12,acabaa0160aab，,e f分别为棱11,a b bc的中点 . （）求证：acae；（）求三棱柱111abcabc 的体积；（）在直线1aa 上是否存在一点p，使得/ /cp平面aef？若存在，求出ap的长；若不存在，说明理由. （19） （本小题 14 分）已知椭圆22:+13xycmm，直线:20lxy与椭圆c相交于两点,p q，与x轴交于点b，点,p q与点b不重合. （）求椭圆c的离心率；（）当2opqs时，求

8、椭圆c的方程；（）过原点o作直线l的垂线，垂足为n. 若pnbq，求的值. （20） （本小题 13 分）已知函数2( )(1)xf xxeax . （）求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程；（）求证：“=0a”是“函数( )yfx有且只有一个零点”的充分必要条件 . 海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学（文科）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分. 题号1 2 3 4 5 6 7 8 选项a d b b d c a c 二、填空题 :本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分 .(有两空的小题第一空3 分) 9.110.211.2或2 312.321

9、3.10,)14.5 a 三、解答题 : 本大题共6 小题，共80 分.15（本题共13 分）解： （）设等差数列na的首项为1a，公差为ddadada6335111，解得31a，2d-3 分由dnaan)(11，则12nan-5 分因此，通项公式为12nan. （）由（）可知：12nan，则122nnb422121121nnnnbb)(-7 分因为3128b，-8 分所以nb是首项为8，公比为4q的等比数列 .-9分记nnba的前n项和为nt，则)()()(nnnbababat2211)()(nnbbbaaa2121-10分qqbaannn11211)()(-12 分314822)(nnn-

10、13 分16（本题共13 分）解： （）24kx，zk-2 分解得：43kx，zk-3 分所以，函数的定义域为zkkxx,|43-4 分（）)tan(cos)(42xxxfxxxxtantan)sin(cos1122-6 分xxxxxxxxsincoscossin)sin)(cossin(cos-8 分2)sin(cosxx12xxcossin12xsin-9 分因为3,4xkkz，所以32,2xkkz，所以sin 21x，-11 分所以，函数( )f x的值域为,(02.-13 分17.（本题共 13 分）解： （）1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12x1 2 4 6 2 4

11、 4 2 1 6 4 7 所以ix等于 1 有 2 次，ix=2有 3 次，ix=4 有 4 次，ix=6 有 2 次，ix=7 有 1 次，则数据12312,.xxxx的众数为4-5 分（）设事件d=“品牌a的测试结果恰有一次大于品牌b的测试结果”. 满足4ix的测试共有4 次，其中品牌a的测试结果大于品牌b的测试结果有2 次即测试 3 和测试 7，不妨用m，n 表示 .品牌a的测试结果小于品牌b的测试结果有2 次即测试 6 和测试 11，不妨用p，q 表示 .从中随机抽取两次，共有mn,mp,mq,np,nq,pq 六种情况，其中事件d 发生，指的是mp,mq,np,nq 四种情况 . 故

12、42()63p d. -10 分（） 本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分. 给出明确结论，1 分，结合已有数据，能够运用以下两个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由， 2 分. 标准 1: 分别比较两种不同测试的结果，根据数据进行阐述标准 2：会用测试结果的平均数进行阐述-13 分可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：结论一 ： ，品牌b处理器对含有文字与表格的文件的打开速度快一些，品牌a处理器对含有文字与图片的文件的打开速度快一些。理由如下 ：从前 6 次测试 （打开含有文字与表格的文件）来看，对于含有文字与表格的相同文件，品

13、牌a的测试有两次打开速度比品牌b快(数值小），品牌b有四次比品牌a快，从后 6 次测试 （打开含有文字与图片的文件）来看， 对于含有文字与图片的相同文件，品牌a有四次打开速度比品牌b快（数值小）. 结论二 ：从测试结果看，这两种国产品牌处理器的文件的打开速度结论：品牌a打开文件速度快一些理由如下 ：品牌a处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为9212，品牌b处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为9712，所以品牌a打开文件速度快一些.（且品牌a方差较小）其他答案情况，比照以上情况酌情给分. 18.（本题共 14 分）（）证明：三棱柱111cbaabc中，侧面11aabb底面abc，abac

14、，又 因 为 侧 面11abb a i底 面ababc，ac底 面abc，所以ac平面11aabb，-3 分又因为ae平面11aabb，所以aeac；-4 分（）解：连接1ab,因为三棱柱111cbaabc中，所以abba11. 因为12abaa，所以1112a baa.又因为06011baa，且3ae. 所以11baa是边长为2 的正三角形 .因为e是棱11ba的中点，所以11baae，又因为acae，acca/11，所以11caae. 因为11111acabai，1111,baca底面111cba，所以ae底面111cba.-6 分所以三棱柱111cbaabc的体积为11111111122

15、32 322a b cvsaea bacae；8 分（）在直线1aa上存在点p，使得/cp平面aef.-9 分证明如下：连接be并延长，与1aa的延长线相交，设交点为p.连接cp. 因为11/ /bbaa，所以11apeb be，故1111eaapepebbbeb-10 分由于e为棱11ab的中点，所以11eaeb，故有peeb-11 分又f为棱bc的中点，故ef为bcp的中位线，所以/ /efcp.-12 分又ef平面aef，cp平面aef，所以/ /cp平面aef. -13 分故在直线1aa上存在点p，使得/cp平面aef. 此时112apbb，124apaa. -14 分19.（本题共

16、14 分）解： （）ma32，mb2，mc22，-2分32222ace，故36e.-4分（）设11,yxp，22,yxq023322yxmyx，得到03122mxx12-4，依题意，由2( 12)44(12 3 )0m得1m. 且有121231234xxmx x，-6分2121|2 912361pqkxxmm，-7分原点到直线l的距离2d-8分所以11|612222opqspqdm-9分解得73m1，故椭圆方程为223177xy.-10分（）直线l的垂线为:onyx，-11分由20yxxy解得交点) 1 , 1(n，-12分因为pnbq，又123xx所以bqpn=122212221xxxx，故

17、的值为 1.-14分20.（本题共 13 分）解： （）依题意，2,xfxxeax xr-1分所以切线的斜率00kf又因为01f，-2分所以切线方程为.-3分（ ）先证不必要性. 当0a时，1xfxxe，令0fx，解得1x.-4分此时，fx有且只有一个零点，故“fx有且只有一个零点则0a”不成立 . -5分再证充分性 . 方法一：当0a时，2xfxx ea. 令0fx，解得120,ln2xxa.-6分（i）当ln20a，即12a时，10 xfxx e，所以fx在r上单调增 . 又2010,220ffe，所以fx有且只有一个零点.-7分（ii）当ln20a，即102a时，fx，fx随x的变化情况

18、如下: x,ln2aln2aln2,0a0 0,fx0 0 fx极大值极小值-8分当0 x时，1 e0 xx，20ax，所以0fx-9分又222e4e20fa所以fx有且只有一个零点.-10分（说明：如果学生直接写出x时0fx，要扣 1 分）（iii）当ln20a，即12a时，fx，fx随x的变化情况如下: x,00 0,ln2aln2aln2,afx0 0 fx极大值极小值-11分因为010f，所以(,ln(2 )xa时，0fx-12分令01xa，则01x. 下面证明当1x时，2exx. 设2( )(1)exxg xx，则(2)( )exxxgx. 当(1,2)x时，( )0,( )g xg x在1,2（）上单调递增；当(2,+)x时，( )0,( )gxg x在2,（）上单调递减所以当=2x时，( )g x取得极大值24(2)1eg.所以当1x时，(