实对称矩阵的标准形学习教案

1、会计学1实对称实对称(duchn)矩阵的标准形矩阵的标准形第一页，共48页。第1页/共47页第二页，共48页。12nxxx 证：设证：设 是是A的任意一个特征值，则有非零向量的任意一个特征值，则有非零向量0 满足满足0.A 第2页/共47页第三页，共48页。,AAAA 其中其中 为为 的共轭复数，的共轭复数，iixx又由又由A实对称实对称(duchn)，有，有AA 12,nxxx 令令第3页/共47页第四页，共48页。0 ()A ()A 0() ()A 0() ()A ()A 0() 0 第4页/共47页第五页，共48页。12120nnx xx xx x 由于是非零复向量，必有由于是非零复向量

2、，必有 故故 00. 0.R 第5页/共47页第六页，共48页。 设设A是实对称矩阵，在是实对称矩阵，在 n 维欧氏空间维欧氏空间 上上nR( ),nAR 定义一个线性变换如下：定义一个线性变换如下： ( ), () , 则对任意有则对任意有 ,nR 或或()().AA 第6页/共47页第七页，共48页。1210001, .,0001n 1212(,.,)(,.,)nnA 证：取证：取 的一组标准正交基，的一组标准正交基，nR则在基则在基 下的矩阵为下的矩阵为A，即，即 12,.,n 第7页/共47页第八页，共48页。1 122.nnyyy 1 122.nnxxx 12(,.,),nX 12(

3、,.,) ,nY 任取任取1122,nnnxyxyRxy即即第8页/共47页第九页，共48页。于是于是(ysh)1212( )(,.,)(,.,),nnXAX 1212()(,.,)(,.,),nnYAY 又又 是标准正交基，是标准正交基，12,.,n ( ),()AX Y ()X A Y X AY ()XAY , ( ) 第9页/共47页第十页，共48页。1 1、定义、定义(dngy)(dngy) ( ), () ,V 则称为则称为对称变换（对称变换（symmetric transformation） 设为欧氏空间设为欧氏空间V中的线性变换，如果满足中的线性变换，如果满足 2 2、基本、基本

4、(jbn)(jbn)性质性质第10页/共47页第十一页，共48页。（1）n维欧氏空间维欧氏空间(kngjin)V的对称变换与的对称变换与n级实对称矩阵在级实对称矩阵在标准正交基下是相互标准正交基下是相互(xingh)确定的：确定的： 1 1） 实对称矩阵实对称矩阵(j zhn)(j zhn)可确定一个对称变换可确定一个对称变换 正交基正交基11(,.)(,.)nnA 证：设证：设,n nARAA 12,.,n 为为V的的一组标准一组标准定义定义V的线性变换：的线性变换： 则即为则即为V的对称变换的对称变换 第11页/共47页第十二页，共48页。2 2） 对称变换在标准对称变换在标准(biozh

5、n)(biozhn)正交基下的矩阵是实对称矩阵正交基下的矩阵是实对称矩阵()n nijAaR 12,n 为为V的一组标准正交基，的一组标准正交基，证：设证：设 为为n维欧氏空间维欧氏空间V上的对称变换，上的对称变换， 为为在这组基下的矩阵，即在这组基下的矩阵，即 1212(,)(,)nnA 或或1122()iiininaaa n,1,2,k,n1kkki a第12页/共47页第十三页，共48页。于是于是 1(),nijkikjka 1(,)nkikjka (,)jijja jia 1, (),nijikjkka 1(,)nkjikka (,)ijiia ija 第13页/共47页第十四页，共4

6、8页。,1,2,ijjii jn即即所以所以(suy)A(suy)A为对称矩阵为对称矩阵由是对称变换，有由是对称变换，有 (), ()ijij 第14页/共47页第十五页，共48页。（2）（引理）（引理3）对称）对称(duchn)变换的不变子空间的正交补也是变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间它的不变子空间(kngjin)对对 ,W ,W 任取任取即即 ( ),W ( ).W 证：设证：设 是对称变换，是对称变换，W为为 的不变子空间的不变子空间 (),W 由由W是是 子空间，有子空间，有 ( ), ()0 因此因此故故 也为的不变子空间也为的不变子空间W 第15页/共47页第十六页，共

7、48页。1 1、（引理、（引理4 4）实对称矩阵）实对称矩阵(j zhn)(j zhn)属于不同特征值的特征向属于不同特征值的特征向量量 分别是属于分别是属于 的特征向量的特征向量 , , 则则 ( ),A 是正交的是正交的 基下的矩阵基下的矩阵(j zhn)，证：设实对称矩阵证：设实对称矩阵A为为 上对称变换的在标准正交上对称变换的在标准正交nR , 是是A的两个不同特征值的两个不同特征值 ，(),A 第16页/共47页第十七页，共48页。又又, ( ,)0 即即 正交正交, (,)( ,), 有有( ,)( ,). 即即由由 ( ), () 第17页/共47页第十八页，共48页。对对 总有

8、正交矩阵总有正交矩阵T，使，使,n nARAA 112(,).nT ATTATdiag 、证：设证：设A为为 上对称变换在标准正交基下的矩阵上对称变换在标准正交基下的矩阵nR 由实对称矩阵由实对称矩阵(j zhn)和对称变换互相确定的关系，只需证和对称变换互相确定的关系，只需证有有n个特征向量作成的标准正交基即可个特征向量作成的标准正交基即可 第18页/共47页第十九页，共48页。n=1时，结论时，结论(jiln)是显然的是显然的 对对 的维数的维数n用归纳法用归纳法 nR有一单位特征向量有一单位特征向量 ，其相应的特征值为，其相应的特征值为 ，即，即1 1 1111(),| 1 假设假设n1

9、时结论成立，对时结论成立，对 设其上的对称变换设其上的对称变换 ,nR设子空间设子空间1(),LW 显然显然W是是 子空间，子空间， 第19页/共47页第二十页，共48页。,dim1nWWRWn ( ),( ),W 则则 也是也是 子空间，且子空间，且 W 又对又对 有有,W , ( ) ,( )W 所以是所以是 上的对称变换上的对称变换WW 由归纳假设知由归纳假设知 有有n1 个特征向量个特征向量W 23,n 构成构成 的一组标准正交基的一组标准正交基W 第20页/共47页第二十一页，共48页。从而就是从而就是 的一组标准正交基，的一组标准正交基，123,n nR又都是又都是 的特征向量的特

10、征向量nR即结论即结论(jiln)成立成立第21页/共47页第二十二页，共48页。3、实对称矩阵正交相似、实对称矩阵正交相似(xin s)实对角实对角矩阵步骤矩阵步骤设设 ,n nARAA (1) 求出求出A的所有不同的特征值：的所有不同的特征值：12,rR 其重数其重数 必满足必满足 ; 12,rn nn1riinn (2) 对每个对每个 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组 i ()0iEA X 求出它的一个基础解系：求出它的一个基础解系：12,iiin 第22页/共47页第二十三页，共48页。它是它是A的属于特征值的属于特征值 的特征子空间的特征子空间 的一组基的一组基i iV 正交基正

11、交基12,.iiin 把它们按把它们按 正交化过程化成正交化过程化成 的一组标准的一组标准SchmidtiV (3) 因为因为 互不相同，互不相同，12,.r 且且()ijVVij 所以所以nVrii 1dim 第23页/共47页第二十四页，共48页。则则T是正交矩阵是正交矩阵(j zhn)，且，且11112112,rnrrrn 将将的分量依次作的分量依次作矩阵矩阵(j zhn)T的第的第1，2，n列，列，使使 为对角形为对角形1T ATTAT 11112112,rnrrrn 就是就是V的一组的一组标准标准(biozhn)正交基正交基第24页/共47页第二十五页，共48页。例例1 1 设设 0

12、111101 111 011 110A 求一正交矩阵求一正交矩阵T使使 成对角形成对角形T AT 解：先求解：先求A的特征值的特征值11 1111|1 11111EA 2011 101010011111 第25页/共47页第二十六页，共48页。211 1101011 3(1) (3) A的特征值为的特征值为 （三重）（三重）,11 31 11(1) 1 010 11 其次求属于其次求属于 的特征向量，即求解方程组的特征向量，即求解方程组11 ()0EA X32 第26页/共47页第二十七页，共48页。111 11 1111 111111 1EA 得其基础得其基础(jch)解系解系 123(1,

13、1,0,0)(1,0,1,0)( 1,0,0,1) 111 10 00 00 00 00 00 0把它正交化，得把它正交化，得 第27页/共47页第二十八页，共48页。 11(1,1,0,0) 2122111(,)11( ,1,0)(,)22 313233121122(,)(,)1 1 1(,1)(,)(,)3 3 3 再单位再单位(dnwi)化，得化，得第28页/共47页第二十九页，共48页。111111(,0,0)|22 2221112(,0)|666 33311113(,)|12121212 这是特征值这是特征值 (三重三重)的三个单位正交特征向量，的三个单位正交特征向量，11 也即是特

14、征子空间也即是特征子空间 的一组标准正交基的一组标准正交基1V 第29页/共47页第三十页，共48页。再求属于再求属于 的特征向量，即解方程组的特征向量，即解方程组23 311 113 1131 1311113EA 30EA X 444413111 13111131111022002200202 1 0 010 1 010 0 110 0 00 第30页/共47页第三十一页，共48页。得其基础解得其基础解 4(1, 1, 1,1), 再单位化得再单位化得 4111 1( , )222 2 这样这样 构成构成 的一组标准正交基，它们的一组标准正交基，它们1234, 4R都是都是A的特征向量，正交

15、矩阵的特征向量，正交矩阵(j zhn) 第31页/共47页第三十二页，共48页。1234111122612111122612(,)211026123100212T 第32页/共47页第三十三页，共48页。使得使得(sh de) 11.13T AT 第33页/共47页第三十四页，共48页。成立的正交矩阵成立的正交矩阵(j zhn)不是唯一的不是唯一的1. 1. 对于实对称矩阵对于实对称矩阵A，使，使12(,)nT ATdiag 而且对于而且对于(duy)正交矩阵正交矩阵T, 还可进一步要求还可进一步要求1.T 第34页/共47页第三十五页，共48页。证：如果证：如果(rgu)(rgu)由上述方法

16、求得的正交矩阵由上述方法求得的正交矩阵T T12(,),1nT ATdiagT 取正交矩阵取正交矩阵( 1,1,1),Sdiag则则 是正交矩阵且是正交矩阵且1TTS 11,TT S 第35页/共47页第三十六页，共48页。同时有同时有11()()()T ATTS A TSS T AT S 12111111n 12(,)ndiag 第36页/共47页第三十七页，共48页。2. 2. 如果不计较主对角线上元素如果不计较主对角线上元素(yun s)(yun s)的排列的次序，与的排列的次序，与实对称实对称(duchn)矩阵矩阵A正交相似的对角矩阵是唯一确定的正交相似的对角矩阵是唯一确定的3. 3.

17、 因为正交相似的矩阵也是互相因为正交相似的矩阵也是互相(h xing)(h xing)合同的，所以可合同的，所以可用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：第37页/共47页第三十八页，共48页。设设 为实对称矩阵为实对称矩阵A的所有特征值的所有特征值12n(i) A为正定的为正定的0n (ii) A为半正定的为半正定的0n (iii) A为负定（半负定）的为负定（半负定）的 110(0)(iv) A为不定的为不定的10 且且 0n 第38页/共47页第三十九页，共48页。4. 实对称矩阵实对称矩阵A的正、负惯性指数的正、负惯性指数(zhsh)分别为正、负

18、特分别为正、负特特征值的个数（重根按重数计特征值的个数（重根按重数计(sh j)）n秩秩(A)是是0为为A的特征值的重数的特征值的重数(zhn sh).第39页/共47页第四十页，共48页。1、解析几何中主轴、解析几何中主轴(zhzhu)问题问题将将 上有心二次曲线或上有心二次曲线或 上有心二次曲面通过坐标上有心二次曲面通过坐标2R3R的旋转化成标准形，这个的旋转化成标准形，这个(zh ge)变换的矩阵是正交矩阵变换的矩阵是正交矩阵.2、任意任意n元实二次型的正交线性替换化标准形元实二次型的正交线性替换化标准形（1）正交线性替换正交线性替换如果线性替换如果线性替换 X=CY的矩阵的矩阵C是正交

19、矩阵，则称之为是正交矩阵，则称之为正交线性替换正交线性替换.第40页/共47页第四十一页，共48页。1211(,),nnnijijijjiijf x xxx xi j （2）任一任一n元实二次型元实二次型 都可以通过正交的线性替换都可以通过正交的线性替换 变成平方和变成平方和 XCY 其中平方项的系数其中平方项的系数 为为A的全部特征值的全部特征值12,n 2222211nnyyy 第41页/共47页第四十二页，共48页。例例2 2 在直角坐标在直角坐标(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)系下，二次曲系下，二次曲面的一般方程是面的一般方程是 222112233121323222a xa ya za xya xza yz 1232220b xb yb zd 20.X AXB Xd 则式可以则式可以(ky)写成写成 令令 111213121222323313233,aaabxAaaaBbXyzbaaa 第42页/共47页第四十三页，共48页。对中的对中的 有正交矩阵有正交矩阵C（且（且 ）3 3AAR 1C 确定确定(qudng)的坐标变换公式的坐标变换公式 111213121222311313233cccxxycccyzzccc 123(,),C ACdiag 或