二次函数知识点总结及相关典型题目201-.12.8

1、二次函数知识点总结及相关典型题目201*.12.8 二次函数知识点总结及相关典型题目201*.12.8 二次函数知识点总结及相关典型题目 一基础知识 1.定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数yax2的性质 1抛物线yax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.2函数yax2的图像与a的符号关系. 当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点. 3顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax2a0. 3.二次函数yax2bxc的图像是对称轴平行于包括重合y轴的抛物线.4.二次函数yax2bxc用配方

2、法可化成：yaxh2k的形式， 其中hb4acb22a，k4a.5.二次函数由特别到一般，可分为以下几种形式：yax2；yax2k；yaxh2； yaxh2k；yax2bxc. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下； a相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于y轴或重合的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0. 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 21公式法：yax2bxcab4acb4ac

3、b2xb22a4a，顶点是2a，4a，对称轴是直线xb2a. 2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxh2k的形式，得到顶点为 (h,k)，对称轴是直线xh. 3运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂 直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.9.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用 1a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样. 2b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线 xb2a，故：b0时，对称轴为y轴；b a 0即a、b同号时，对称轴在y轴左侧； ba0即a、b异号时，对称轴在

4、y轴右侧.3c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置. 当x0时，yc，抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点0，c：c0，抛物线经过原点;c0,与y轴交于正半轴；c0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则ba0.10.几种特别的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yax2x0y轴0,0yax2kx0y轴(0,k)yaxh2当a0时xh(h,0)yaxh2k开口向上xh(h,k)yax2bxc当a0时开口向下xbb4acb22a(2a，4a)11a,b,c,b2-4ac,a+b+c,a-b+c等符号确实定 12

5、二次函数值恒正或恒负的条件： 恒正的条件：a0且0；恒负的条件：a0且0。 13抛物线的平移规律：在顶点式的基础上-“左加右减，上加下减。 在一般式的基础上- 14两抛物线关于坐标轴对称的条件： 抛物线yaxh2k关于x轴对称的解析式： 抛物线yaxh2k关于x轴对称的解析式： 15.用待定系数法求二次函数的解析式 1一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.2顶点式：yaxh2k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 3交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2. 16二次函数的最值问题 (1)公式法:y=ax2+bx+c中

6、,当a>0时,x=_,y最小=_;当a0,当x=_,y最小=_;假设a17.直线与抛物线的交点 1y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c). 2与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah2bhc).3抛物线与x轴的交点 二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点状况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点0抛物线与x轴相交； 有一个交点顶点在x轴上0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离.4平行于x轴的直线与抛物线的交点 同3一样可能有0个交点、1个交点

7、、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相 等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根. 5一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像g的交点， 由方程组ykxnyax2bxc的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与g有 两个交点;方程组只有一组解时l与g只有一个交点；方程组无解时l与g没有交点. 6抛物线与x轴两交点之间的距离：假设抛物线yax2bxc与x轴两交点为 ax1，0，bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bxc0的两个根，故 xbc1x2a,x1x2a2abx1x2x1x22x1x224xb4cb24ac1x2aaaa 二典型题目一、选择题

8、1抛物线y=x2+2x-3与x轴的交点的个数有() a.0个b.1个c.2个d.3个2二次函数y=(x-1)2+2的最小值是() a.-2b.2c.-1d.1 3用配方法将二次函数y=3x2-4x-2写成形如y=a(x+m)2+n的形式,则m,n的值分别是() a.m=23,n=103b.m=-23,n=-103c.m=2,n=6d.m=2,n=-2 4关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根,则抛物线y=x2-x-n的顶点在()a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限 5抛物线y12(x2)21可由抛物线y12x2而得到。a先向左平移2个单位，再向下平移1个单位； b先向左平移

9、2个单位，再向上平移1个单位；c先向右平移2个单位，再向下平移1个单位；d先向右平移2个单位，再向上平移1个单位。 6已知二次函数y=ax2 +bx+c(a0)的图象如右上图所示，给出以下结论：a+b+cy3b.y2>y1>y3c.y3>y1>y22d.y3>y2>y112由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:“已知二次函数y=x+bx+c的图象过点(1,0)求证:这个二次函数的图象关于直线x=2对称.依据现有信息,题中的二次函数图象不具有的性质是() a.过点(3,0)b.顶点为(2,-2) c.在x轴上截得的线段长是2d.与y轴的交点是(0,3)1

10、3如图函数y=ax2-bx+c的图象过点(-1,0),则 abcbccaab的值是() a.-3b.3c.-1d.1 14已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下面结论: (1)a+b+c0;(3)abc>0;(4)b=2a.其中正确的结论有() a.4个b.3个c.2个d.1个 15二次函数y=ax2bxc的图象在x轴的上方的条件是 aa0，b24ac0ba0，b24ac0ca0，b24ac0da0，b24ac016如图，如果函数y=kxb的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2bx1的大致图象是 17已知抛物线y=ax2bxc，如图所示，则x的方程ax2bxc3=0的

11、根的状况是 a有两个不相等的正实根b有两个异号实数根c有两个相等实数根d没有实数根 18以下四个函数：y=x1；y= 3x；y=x2；y=2x1x2其中图象是中心对称图形，且对称中心是原点的共有 a1个b2个c3个d4个 19已知函数y=ax2 bxc的图象如图所示，关于系数a、b、c有以下不等式：a0；b 0；c0；2ab0；abc0其中正确个数为a1个b2个c3个d4个 20已知二次函数y=ax2 bxc的图象如图所示，那么以下判断正确的是多项选择 aabc0bb2 4ac0c2ab0d4a2bc0 21如图，二次函数y=x2 4x3的图象交x轴于a、b两点，交y轴于点c，则abc的面积为

12、 a6b4c3d1 22函数y=ax2与y=axaa0在同一直角坐标系中的图象大致是 23一台机器原价为60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y与x之间的函数表达式为 ay=601x2by=601x cy=60x2 dy=601x224抛物线y=x2axb向左平移2个单位再向上平移3个单位得到抛物线y=x22x1，则 aa=2，b=2ba=6，b=6ca=8，b=14da=8，b=18二、填空题 1抛物线y=3(x+4)(x-2)与x轴的两交点坐标为_,与y轴的交点坐标为_.2已知抛物线y=x2m1x 14的顶点的横坐标是2，则m的值是 3二次函数y=x22x3的最小

13、值是 4抛物线y=x22axa2的顶点在直线x=2上，则a的值是 5二次函数y=x2 6x5，当x时，y0，且y随x的增大而减小。6已知二次函数y=x2 abxa的图象如图所示，那么化简 a22abb2ab的 结果是 7假设一抛物线y=ax2与四条直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则a的取值范围是 8把抛物线y=2x24x5向左又向上分别移动4个单位，再绕顶点旋转180°，则所得新的图象的表达式是 9请你写出函数y=3x12 与y=x21具有的一个共同性质10抛物线y=x22m1x2m与x轴的两个交点坐标分别为ax1，0，bx2，0，且 x1x=1，2则m的值为

14、 11抛物线与直线在同一直角坐标系中，如图所示点p1x1，y1，p2x2，y2均在抛物线上，点p3x3，y3在直线上，其中2x1x2，x32，则y1、y2、y3的大小关系为 12如图，已知一次函数y=2x3的图象与x轴交于a点，则y轴交于c点，二次函数y=x2bxc的图象过点c，且与一次函数在第二象限交于另一点b假设ac：cb=1：2，那么这个抛物线的顶点坐标是三、解答题 1已知抛物线y=x2a2x12的顶点在x=3上，求a的值及顶点的坐标 2已知二次函数y=x2x6 1求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标；2画出函数图象； 3观察图象，指出方程x2x6=0的解及使不等式x2x60成立的

15、x的取值范围；4求二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形面积 3如图所示，一单杠高22m，两立柱之间的距离为16m，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状 1一身高07m的小孩站在离立柱04m处，其头部刚好碰到绳子，求绳子最低点到地面的距离； 2为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为04m的木板，除掉系木板用去的绳子后，两边的绳子长正好各为2m，木板与地面平行，求这时木板到地面的距离供选用数据：3.36=18，3.6419，4.3621 4已知抛物线y=x22mxm2的顶点在坐标轴上，直线y=3xb经过抛物线的顶点，求直线与两条坐标轴围成的面积5已知二次函数y=2

16、x2-mx-m2. (1)求证:关于任意实数m,该二次函数图象与x轴总有公共点; (2)假设该二次函数图象与x轴有两个公共点a、b,且a点坐标为(1,0),求b点坐标. 6如图1是泰州某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是1m,拱桥的跨度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯.假设把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中.(如图2) (1)求抛物线的解析式; (2)求两盏景观灯之间的水平距离. 7如图,直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于a、b两点,将aob绕点o顺时针转90°得到a1ob1. (1)在图中画

17、出a1ob1; (2)求经过a、a1、b1三点的抛物线的解析式. 8已知抛物线l：y=ax+bx+c其中a、b、c都不等于0它的顶点p的坐标是-b/2a，4ac-b/4a，与y轴的交点是m0、c。我们称以m为顶点，对称轴是y轴且过点p的抛物线为抛物线l的伴随抛物线，直线pm为l的伴随直线。 1请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：伴随抛物线的解析式：。伴随直线的解析式：。 2假设一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3。则这条抛物线的解析式是： 3求抛物线l：y=ax2+bx+c其中a、b、c都不为0的伴随抛物线和伴随直线的解析式。4利用

18、3的结论直接写出y=-x2+4x+2的伴随抛物线和伴随直线。86 9.如图直线y=x3与x轴、y轴分别交于b、c两点，抛物线y=x2 bxc经过点b和点c，点a是抛物线4与x轴的另一个交点；c1求此抛物线的解析式；2p2假设点p在直线bc上，且s1pac=2spab，求p点的坐标. ab-10-5d5-2 -4-6 -8 10.已知直线y2xb(b0)与x轴交于点a，与y轴交于点b；一抛物线的解析式为 yx2 (b10)xc. 假设该抛物线过点b，且它的顶点p在直线y2xb上，试确定这条抛物线的解析式；过点b作直线bcab交x轴于点c，假设抛物线的对称轴恰好过c点，试确定直线y2xb的解析式.

19、 11二次函数yax2bxca0的图像如图所示 1试判断a、b、c及b24ac的范围2假设|oa|ob|，试证：acb101012已知二次函数yax2bxc的图象经过点a2，0且与直线y34x3相交于b、c两点，点b在x轴上，点c在y轴上；1求二次函数的解析式；2如果px，y是线段bc上的动点，o为坐标原点，试求poa的面积spoa与x之间的函数关系式，并求自变量取 值范围；3是否存在这样的点p，使po=ao？假设存在，求出p点的坐标，假设不存在，请说明理由； 扩大阅读：二次函数知识点总结及相关典型题目201*.12.9 二次函数知识点总结及相关典型题目 一基础知识 1.定义：一般地，如果ya

20、x2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数yax2的性质 1抛物线yax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.2函数yax2的图像与a的符号关系. 当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点. 3顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax2a0. 3.二次函数yax2bxc的图像是对称轴平行于包括重合y轴的抛物线.4.二次函数yax2bxc用配方法可化成：yaxh2k的形式， 其中hb4acb22a，k4a.5.二次函数由特别到一般，可分为以下几种形式：yax2；yax2k；yaxh2； yaxh2k；yax2bxc.

21、 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下； a相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于y轴或重合的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0. 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 21公式法：yax2bxcab4acb4acb2xb22a4a，顶点是2a，4a，对称轴是直线xb2a. 2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxh2k的形式，得到顶点为 (h,k)，对称轴是直线xh. 3运

22、用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂 直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.9.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用 1a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样. 2b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线 xb2a，故：b0时，对称轴为y轴；ba0即a、b同号时，对称轴在y轴左侧； ba0即a、b异号时，对称轴在y轴右侧.3c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置. 当x0时，yc，抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点0，c：c0，抛物线经过原点;c0,与y轴交于正半轴；c0

23、,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则ba0.10.几种特别的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yax2x0y轴0,0yax2kx0y轴(0,k)yaxh2当a0时xh(h,0)yaxh2k开口向上xh(h,k)yax2bxc当a0时开口向下xbb4acb22a(2a，4a)11a,b,c,b2-4ac,a+b+c,a-b+c等符号确实定 12二次函数值恒正或恒负的条件： 恒正的条件：a0且0；恒负的条件：a0且0。 13抛物线的平移规律：在顶点式的基础上-“左加右减，上加下减。 在一般式的基础上- 14两抛物线关于坐标

24、轴对称的条件： 抛物线yaxh2k关于x轴对称的解析式： 抛物线yaxh2k关于x轴对称的解析式： 15.用待定系数法求二次函数的解析式 1一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.2顶点式：yaxh2k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 3交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2. 16二次函数的最值问题 (1)公式法:y=ax2+bx+c中,当a>0时,x=_,y最小=_;当a0,当x=_,y最小=_;假设a17.直线与抛物线的交点 1y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c). 2与y轴平行的直线xh与抛物

25、线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah2bhc).3抛物线与x轴的交点 二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点状况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点0抛物线与x轴相交； 有一个交点顶点在x轴上0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离.4平行于x轴的直线与抛物线的交点 同3一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相 等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根. 5一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像g的交点， 由方程组ykxnyax2bxc的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与g有 两个交点;方程组只有一组解时l与g只有一个交点；方程组无解时l与g没有交点.6抛物线与 x轴两交点之间的距离：假设抛物线yax2bxc与x轴两交点为 ax1，0，bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bxc0的两个根，故 xbc1x2a,x1x2a2abx1x2x1x22x1x224xb4