2020年山西省中考数学试卷及答案解析

1、第1页（共 28页）2020 年山西省中考数学试卷一、选择题 （本大题共10 个小题，每小题3分，共 30 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1 （ 3 分）计算（ 6）（ -13）的结果是（）a 18b2c18d 22 （3 分）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）abcd3 （ 3 分）下列运算正确的是（）a3a+2a5a2b 8a24a2ac （ 2a2）3 8a6d4a3?3a212a64 （ 3 分）下列几何体都是由4 个大小

2、相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（）abcd5 （ 3分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明泰第2页（共 28页）勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（）a图形的平移b图形的旋转c图形的轴对称d图形的相似6 （ 3 分）不等式组 2? -60，4 -?-1的解集是（）ax5b3x5cx5dx 57 （3 分）已知点a（x1，y1） ，b（x2，y2） ，c（x3，y3）都在反比例函数y=?（k0）的图象上，且x1x20 x3，则 y1，y2，y3的大小关系是（）ay2y

3、1y3by3y2y1cy1y2y3dy3y1y28 （ 3 分）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花图 中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图 是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到acbd12cm，c，d 两点之间的距离为4cm，圆心角为60，则图中摆盘的面积是（）a80 cm2b40 cm2c24 cm2d2 cm29 （ 3 分）竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式 h 5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度某人将一个小球从距地面1.5m 的高处以20m/s 的速度竖

4、直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）a23.5mb22.5mc21.5md20.5m10 （3 分）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（）第3页（共 28页）a13b14c16d18二、填空题（本大题共5 个小题，每小题3 分，共 15 分）11 （3 分）计算：（ 3 + 2）2- 24 =12 （3 分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1 个图案有 4 个三角形， 第 2 个图案有7 个三角形， 第 3 个图案有10 个三角形按此规律摆下去，第

5、n 个图案有个三角形（用含n 的代数式表示） 13 （3 分）某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了6 次预选赛，其中甲， 乙两名运动员较为突出，他们在 6 次预选赛中的成绩（单位： 秒）如下表所示：甲12.012.012.211.812.111.9乙12.312.111.812.011.712.1由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是14 （3 分）如图是一张长12cm，宽 10cm 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒则剪去的正方形的

6、边长为cm15 （3 分）如图，在rtabc 中， acb90， ac3，bc4，cdab，垂足为d，e 为 bc 的中点， ae 与 cd 交于点 f，则 df 的长为第4页（共 28页）三、解答题（本大题共8 个小题，共75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16 （10 分） （1）计算：（ 4）2（ -12）3（ 4+1） （2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务?2-9?2+6?+9-2?+12?+6=(?+3)(?-3)(?+3)2-2?+12(?+3)? 第一步=?-3?+3-2?+12(?+3)? 第二步=2(?-3)2(?+3)-2?+12(?

7、+3)? 第三步=2?-6-(2?+1)2(?+3)? 第四步=2?-6-2?+12(?+3)? 第五步= -52?+6? 第六步任务一：填空： 以上化简步骤中，第步是进行分式的通分，通分的依据是或填为：； 第步开始出现错误，这一步错误的原因是；任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议17 （6 分）2020 年 5 月份，省城太原开展了“活力太原?乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600 元立减 128 元（每次只能使用一张） 某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价

8、的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568 元求该电饭煲的进价第5页（共 28页）18 （7 分）如图，四边形oabc 是平行四边形，以点o 为圆心， oc 为半径的 o 与 ab 相切于点 b，与 ao 相交于点 d，ao 的延长线交 o 于点 e，连接 eb 交 oc 于点 f求c 和 e 的度数19 （9 分） 2020 年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，5g 基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等 2020 新基建中高端人才市场就业吸引力报告重点刻画了“新基建”中五大细分领域（ 5g 基

9、站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会如图是其中的一个统计图请根据图中信息，解答下列问题：（1）填空：图中2020 年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是亿元；（2）甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分别选择了“5g 基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向请简要说明他们选择就业方向的第6页（共 28页）理由各是什么；（3） 小勇对“新基建” 很感兴趣， 他收集到了五大细分领域的图标，依次制成编号为w，g，d，r， x 的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回

10、），再从中随机抽取一张请用列表或画状图的方法 求 抽 到的 两 张卡 片 恰好 是 编 号为w（ 5g 基站 建 设 ）和r（ 人 工 智能 ） 的 概率20 （8 分）阅读与思考如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务年月日星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图 所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线ab，现根据木板的情况，要过ab 上的一点 c，作出 ab的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？办法一：如图 ，可利用一把有刻度的直尺在ab 上量出 cd30cm，然后分别以d，c为圆心，以50cm 与 40cm

11、为半径画圆弧，两弧相交于点e，作直线ce，则 dce 必为90办法二：如图 ，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出m， n 两点，然后把木棒斜放在木板上，使点m 与点 c 重合，用铅笔在木板上将点n 对应的位置标记为点q，保持点 n 不动，将木棒绕点n 旋转，使点m 落在 ab 上，在木板上将点m 对应的位置标记为点r然后将 rq 延长，在延长线上截取线段qsmn，得到点s，作直线sc，第7页（共 28页）则 rcs90我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？任务：（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是；（2）根据“办法二”的操作过程，

12、证明rcs90；（3） 尺规作图：请在图 的木板上，过点c 作出 ab 的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法） ； 说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）21 （10 分）图 是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过图 是两圆弧翼展开时的截面图，扇形abc 和 def 是闸机的“圆弧翼” ，两圆弧翼成轴对称，bc 和 ef 均垂直于地面，扇形的圆心角abc def 28，半径baed60cm，点 a 与点 d 在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm（1）求闸机通道的宽度，即bc 与

13、 ef 之间的距离（参考数据：sin28 0.47，cos280.88，tan28 0.53） ；（2） 经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180 人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3 分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数22 （12 分）综合与实践问题情境：如图 ，点 e 为正方形abcd 内一点， aeb90，将 rtabe 绕点 b 按顺时针方向旋转 90，得到 cbe （点 a 的对应点为点c） 延长 ae 交 ce于点 f，连接 de 第8页（共 28页）猜想证明：（1）试判断四边形befe 的形状，并说明理由；（2）

14、如图 ，若 da de，请猜想线段cf 与 fe的数量关系并加以证明；解决问题：（3）如图 ，若 ab15，cf3，请直接写出de 的长23 （13 分）综合与探究如图，抛物线y=14x2x3 与 x 轴交于 a，b 两点（点 a 在点 b 的左侧），与 y 轴交于点c直线 l 与抛物线交于a，d 两点，与y 轴交于点e，点 d 的坐标为（ 4， 3） （1）请直接写出a， b 两点的坐标及直线l 的函数表达式；（2）若点 p 是抛物线上的点，点p 的横坐标为m（m0） ，过点 p 作 pmx 轴，垂足为 mpm 与直线 l 交于点 n，当点 n 是线段 pm 的三等分点时，求点p 的坐标；（

15、3）若点 q 是 y 轴上的点，且adq45，求点q 的坐标第9页（共 28页）参考答案与试题解析一、选择题 （本大题共10 个小题，每小题3分，共 30 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1 （ 3 分）计算（ 6）（ -13）的结果是（）a 18b2c18d 2【解答】 解： （ 6）（ -13）（ 6）（ 3） 18故选： c2 （3 分）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（）abcd【解答】 解： a、不是轴对称图形；b、不是轴对

16、称图形；c、不是轴对称图形；d、是轴对称图形故选： d3 （ 3 分）下列运算正确的是（）a3a+2a5a2b 8a24a2ac （ 2a2）3 8a6d4a3?3a212a6【解答】 解： a、 3a+2a 5a，故此选项错误；b、 8a2 4a 2a，故此选项错误；c、 （ 2a2）3 8a6，正确；d、4a3?3a212a5，故此选项错误；第10页（共 28页）故选： c4 （ 3 分）下列几何体都是由4 个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（）abcd【解答】 解：a主视图的底层是两个小正方形，上层右边是一个小正方形；左视图底层是两个小正方形，上层左边是一个小正

17、方形，故本选项不合题意；b主视图和左视图均为底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项符合题意；c 主视图底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形；左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意；d 主视图底层是三个小正方形，上层右边是一个小正方形；左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意；故选： b5 （ 3分）泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（）a图形的平移b图形的旋转c图形的轴对称d图形的相似【解答】 解：泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的

18、影长，标杆的高度，金字塔的影长，推第11页（共 28页）算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的图形的相似，故选： d6 （ 3 分）不等式组 2? -60，4 -?-1的解集是（）ax5b3x5cx5dx 5【解答】 解： 2?-60，4 - ?- 1解不等式2x60，得： x3，解不等式4x 1，得： x5，则不等式组的解集为x5故选： a7 （3 分）已知点a（x1，y1） ，b（x2，y2） ，c（x3，y3）都在反比例函数y=?（k0）的图象上，且x1x20 x3，则 y1，y2，y3的大小关系是（）ay2y1y3by3y2y1cy1y2y3dy3y1y2【解答】 解：反比例函

19、数y=?（k0）的图象分布在第二、四象限，在每一象限y 随 x 的增大而增大，而 x1x20 x3，y30y1y2即 y2y1y3故选： a8 （ 3 分）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花图 中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图 是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到acbd12cm，c，d 两点之间的距离为4cm，圆心角为60，则图中摆盘的面积是（）a80 cm2b40 cm2c24 cm2d2 cm2【解答】 解：如图，连接cd第12页（共 28页）ocod， o 60， cod 是等边三角形，ocodcd4cm，s阴s扇形oabs扇形ocd=60?162360

20、-60?42360=40 （cm2） ，故选： b9 （ 3 分）竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式 h 5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度某人将一个小球从距地面1.5m 的高处以20m/s 的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）a23.5mb22.5mc21.5md20.5m【解答】 解：由题意可得，h 5t2+20t+1.5 5（t2）2+21.5，故当 t2 时， h 取得最大值，此时h21.5，故选： c10 （3 分）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再

21、顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（）a13b14c16d18【解答】 解：由图形知阴影部分的面积是大矩形面积的14，飞镖落在阴影区域的概率是14，故选： b二、填空题（本大题共5 个小题，每小题3 分，共 15 分）第13页（共 28页）11 （3 分）计算：（ 3 + 2）2- 24 =5【解答】 解：原式 3+2 6 + 22 65故答案为512 （3 分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1 个图案有 4 个三角形， 第 2 个图案有7 个三角形， 第 3 个图案有10 个三角形按此规律摆下去，第

22、n 个图案有（3n+1）个三角形（用含n 的代数式表示） 【解答】 解：第 1 个图案有4 个三角形，即4 31+1第 2 个图案有7 个三角形，即732+1第 3 个图案有10 个三角形，即103 3+1按此规律摆下去，第 n 个图案有（ 3n+1）个三角形故答案为：（3n+1） 13 （3 分）某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了6 次预选赛，其中甲， 乙两名运动员较为突出，他们在 6 次预选赛中的成绩（单位： 秒）如下表所示：甲12.012.012.211.812.111.9乙12.312.111.812.011.712.1由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校

23、决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是甲【解答】 解：甲的平均成绩为：16（ 12.0+12.0+12.2+11.8+12.1+11.9 ） 12 秒，乙的平均成绩为：16（12.3+12.1+11.8+12.0+11.7+12.1 ） 12 秒；分别计算甲、乙两人的百米赛跑成绩的方差为：s甲2=16（12.212）2+（11.812）2+（ 12.112）2+（11.912）2=160，s乙2=16（12.312）2+2（12.112）2+（11.812）2+（11.712）2=125，第14页（共 28页）160125，甲运动员的成绩更为稳定；故答案为：甲14 （3 分）如

24、图是一张长12cm，宽 10cm 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒则剪去的正方形的边长为2cm【解答】 解：设底面长为acm，宽为 bcm，正方形的边长为xcm，根据题意得：2(?+ ?)= 12?+ 2?= 10? = 24，解得 a102x，b6x，代入 ab 24 中，得：（102x） （6x） 24，整理得： x211x+180，解得 x2 或 x9（舍去），答；剪去的正方形的边长为2cm故答案为： 215 （3 分）如图，在rtabc 中， acb90， ac3，bc4，cdab，垂足为d，e 为 b

25、c 的中点， ae 与 cd 交于点 f，则 df 的长为5485【解答】 解：如图，过点f 作 fh ac 于 h第15页（共 28页）在 rtabc 中， acb90， ac3，bc4，ab= ?2+ ?2= 42+ 32= 5，cdab，sabc=12?ac?bc=12?ab?cd，cd=125，ad= ?2- ?2=32-(125)2=95，fh ec，?=?，ec eb2，?=23，设 fh 2k，ah3k，ch33k，tanfch =?=?，2?3-3?=95125，k=917，fh=1817，ch3-2717=2417，cf= ?2+ ?2=(1817)2+ (2417)2=30

26、17，df=125-3017=5485，故答案为5485三、解答题（本大题共8 个小题，共75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16 （10 分） （1）计算：（ 4）2（ -12）3（ 4+1） （2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务?2-9?2+6?+9-2?+12?+6第16页（共 28页）=(?+3)(?-3)(?+3)2-2?+12(?+3)? 第一步=?-3?+3-2?+12(?+3)? 第二步=2(?-3)2(?+3)-2?+12(?+3)? 第三步=2?-6-(2?+1)2(?+3)? 第四步=2?-6-2?+12(?+3)? 第五步= -5

27、2?+6? 第六步任务一：填空： 以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质 或填为：分式的分子分母都乘 （或除以） 同一个不为0 的整式， 分式的值不变； 第五步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“” ，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议【解答】 解： （1） （ 4）2（ -12）3（ 4+1）16（ -18）+3 2+31；（2） 以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质或填为：分式的分子

28、分母都乘（或除以）同一个不为0 的整式，分式的值不变； 第五步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“” ，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号；任务二：?2-9?2+6?+9-2?+12?+6=(?+3)(?-3)(?+3)2-2?+12(?+3)? 第一步=?-3?+3-2?+12(?+3)? 第二步=2(?-3)2(?+3)-2?+12(?+3)? 第三步第17页（共 28页）=2?-6-(2?+1)2(?+3)? 第四步=2?-6-2?-12(?+3)? 第五步= -72?+6? 第六步；任务三：答案不唯一，如：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法

29、的运算律运算，会简化运算过程故答案为： 三；分式的基本性质； 分式的分子分母都乘（或除以） 同一个不为0 的整式，分式的值不变；五；括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号17 （6 分）2020 年 5 月份，省城太原开展了“活力太原?乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600 元立减 128 元（每次只能使用一张） 某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568 元求该电饭煲的进价【解答】解：设该电饭煲的进价为x 元，则标价为 （1+50%） x 元， 售价为 80% （1+50%）x 元，

30、根据题意，得80%（ 1+50%）x128568，解得 x580答：该电饭煲的进价为580 元18 （7 分）如图，四边形oabc 是平行四边形，以点o 为圆心， oc 为半径的 o 与 ab 相切于点 b，与 ao 相交于点 d，ao 的延长线交 o 于点 e，连接 eb 交 oc 于点 f求c 和 e 的度数【解答】 解：连接ob，如图，o 与 ab 相切于点b，第18页（共 28页）ob ab，四边形abco 为平行四边形，aboc，oabc，ob oc， boc 90，ob oc， ocb 为等腰直角三角形， c obc 45，ao bc， aob obc45， e=12aob22.5

31、19 （9 分） 2020 年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，5g 基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等 2020 新基建中高端人才市场就业吸引力报告重点刻画了“新基建”中五大细分领域（ 5g 基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会如图是其中的一个统计图第19页（共 28页）请根据图中信息，解答下列问题：（1）填空：图中2020 年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是300亿元；（2）甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分别选择了“5g 基站建设”

32、和“人工智能”作为自己的就业方向请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么；（3） 小勇对“新基建” 很感兴趣， 他收集到了五大细分领域的图标，依次制成编号为w，g，d，r， x 的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张请用列表或画状图的方法 求 抽 到的 两 张卡 片 恰好 是 编 号为w（ 5g 基站 建 设 ）和r（ 人 工 智能 ） 的 概率【解答】 解： （1）2020 年“新基建”七大领域预计投资规模按照从小到大排列为100、160、200、 300、300、500、640，图中 2020 年“新基建”

33、七大领域预计投资规模的中位数是300亿元，故答案为： 300；（2）甲更关注在线职位的增长率，在“新基建”五大细分领域中，2020 年一季度“ 5g第20页（共 28页）基站建设”在线职位与2019 年同期相比增长率最高；乙更关注预计投资规模，在“新基建”五大细分领域中，“人工智能”在2020 年预计投资规模最大；（3）列表如下：wgdrxw（g， w）（d，w）（r， w）（x，w）g（w，g）（d，g）（r， g）（x，g）d（w，d）（g，d）（r， d）（x，d）r（w，r）（g，r）（d，r）（x，r）x（w，x）（g，x）（d，x）（r，x）由表可知，共有20 种等可能结果，其中抽

34、到“w”和“ r”的结果有2 种，抽到的两张卡片恰好是编号为w（5g 基站建设）和r（人工智能）的概率220=11020 （8 分）阅读与思考如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务年月日星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图 所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线ab，现根据木板的情况，要过ab 上的一点 c，作出 ab的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？办法一：如图 ，可利用一把有刻度的直尺在ab 上量出 cd30cm，然后分别以d，c为圆心，以50cm 与 40cm 为半径画圆弧，两弧相交于点e，作直线c

35、e，则 dce 必为90办法二：如图 ，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出m， n 两点，然后把木第21页（共 28页）棒斜放在木板上，使点m 与点 c 重合，用铅笔在木板上将点n 对应的位置标记为点q，保持点 n 不动，将木棒绕点n 旋转，使点m 落在 ab 上，在木板上将点m 对应的位置标记为点r然后将 rq 延长，在延长线上截取线段qsmn，得到点s，作直线sc，则 rcs90我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？任务：（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；（2）根据“办法二”的操作过程，证明rcs90；（3

36、） 尺规作图：请在图 的木板上，过点c 作出 ab 的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法） ； 说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）【解答】 解： （1） cd30，de50，ce40，cd2+ce2302+402 502de2， dce 90，故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；故答案为：勾股定理的逆定理；（2）由作图方法可知，qpqc，qsqc， qcr qrc， qcs qsc， src+rcs+qrc+qsc180，2（ qcr+qcs） 180， qcr+qcs90，即 rcs90；（3） 如图 所示，直线pc 即为所求； 答案不唯一，到一条线段两个

37、端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上第22页（共 28页）21 （10 分）图 是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过图 是两圆弧翼展开时的截面图，扇形abc 和 def 是闸机的“圆弧翼” ，两圆弧翼成轴对称，bc 和 ef 均垂直于地面，扇形的圆心角abc def 28，半径baed60cm，点 a 与点 d 在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm（1）求闸机通道的宽度，即bc 与 ef 之间的距离（参考数据：sin28 0.47，cos280.88，tan28 0.53） ；（2） 经

38、实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180 人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3 分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数【解答】 解： （1）连接 ad，并向两方延长，分别交bc， ef 于 m，n，由点 a，d 在同一条水平线上，bc，ef 均垂直于地面可知，mnbc，mnef，所以 mn 的长度就是bc 与 ef 之间的距离，同时，由两圆弧翼成轴对称可得，amdn，在 rtabm 中， amb90， abm28， ab60cm，sinabm=?，amab?sinabm60?sin28 600.47 28.2，mnam+dn+ad2

39、am+ad 28.22+1066.4，bc 与 ef 之间的距离为66.4cm；（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x 人，根据题意得，180?-3 =1802?，解得： x30，第23页（共 28页）经检验， x30 是原方程的根，当 x30 时， 2x60，答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60 人22 （12 分）综合与实践问题情境：如图 ，点 e 为正方形abcd 内一点， aeb90，将 rtabe 绕点 b 按顺时针方向旋转 90，得到 cbe （点 a 的对应点为点c） 延长 ae 交 ce于点 f，连接 de 猜想证明：（1）试判断四边形befe 的形状，并

40、说明理由；（2）如图 ，若 da de，请猜想线段cf 与 fe的数量关系并加以证明；解决问题：（3）如图 ，若 ab15，cf3，请直接写出de 的长【解答】 解： （1）四边形befe 是正方形，理由如下：将 rt abe 绕点 b 按顺时针方向旋转90， aeb ceb90， bebe， ebe90，第24页（共 28页）又 bef90，四边形befe 是矩形，又 be be，四边形befe 是正方形；（2）cfef；理由如下：如图 ，过点 d 作 dhae 于 h，da de，dh ae，ah=12ae，dh ae， adh+dah 90，四边形abcd 是正方形，ad ab， dab 90， dah+eab90， adh eab，又 adab， ahd aeb90， adh bae（aas） ，ah be=12ae，将 rt abe 绕点 b 按顺时针方向旋转90，aece，四边形befe 是正方形，beef，ef=12ce，cf ef；（3）如图 ，过点 d 作 dhae 于 h，第25页（共 28页）四边形befe 是正方形，beefbe，abbc15，cf 3，bc2eb2+ec2