2020届兰州市高三年级一诊文科数学试卷含答案

1、-101030507000.511.52羊只数量（万只）草场植被指数2020 年兰州市高三诊断考试（文数）第 i 卷一、 选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分）1.已知集合0,1,2,3,4,5a=，*2 ,bx xn nn=，则ab =（）. 0,2,4a. 2,4b. 1,3,5c. 1,2,3,4,5d2.已知复数522izi=+-，则z =（）. 5a.5b.13c. 13d3.已知非零向量,a b，给定:pr，使得ab=，:q abab+=+，则p是q的（）.a充分不必要条件.b必要不充分条件.c充要条件.d既不充分也不必要条件4.若21tan5722sincos1

2、212tan2-=，则tan=（）.4a.3b.4c -.3d -5.已知双曲线()222210,0 xyabab-=的一条渐近线过点()2, 1-，则它的离心率是（）5.2a. 3b. 5c.2 3d6.已知集合46911,55555a=，从a中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）1.10a2.5b3.5c3.10d7.近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表1 所示，绘制相应的散点图，如图1 所示：表 1 图 1 年份1 2 3 4 5 羊只数量（万只）1.4 0.9 0.75 0.6 0.3 草地植被指数1.1 4.3 15.6 31.3 49.7 根据表 1 及图 1 得

3、到以下判断：羊只数量与草场植被指数成减函数关系；若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为1r，去掉第一年数据后得到的相关系数为2r，则12rr；可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2 万只时草场植被指数。以上判断中正确的个数是（）.0a.1b.2c.3d8.已知函数( )()2ln1fxx=+，且()0.20.2af=，()3log 4bf=，13log 3cf=，则, ,a b c的大小关系为（）.a abc.b cab.c cba.d bca9.已知圆锥的顶点为a，高和底面圆的半径相等，be是底面的一条直径，点d为底面圆周上的一点，且60oabd =，则异面直线ab与de所成角的

4、正弦值为（）3.2a2.2b3.3c1.3d10.已知函数( )()()sinsincos0fxxxx=+，若函数( )fx的图象与直线1y =在()0,上有3个不同的交点，则的范围是（）1 3.,2 4a1 5.,2 4b5 3.,4 2c5 5.,4 2d11.已知点()4, 2m -，抛物线24xy=，f为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，p为抛物线上一点， 过p做pql，点q为垂足，过p做fq的垂线1l，1l与l交于点r，则qrmr+的最小值为（）.12 5a+.25b. 17c.5d12.已知定义在r上的函数( )fx，( )fx是( )fx的导函数吗，且满足( )( )2xxfxfx

5、x e-=，( )1fe=，则( )fx的最小值为（）.ae-.b e.c1e.d1e-第 ii 卷二、 填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13.已知函数( )2 ,121,1xxfxxx=+，则23log2ff=_. 14.已知向量, a b满足2b =，向量,a b夹角为120o，且()abb+，则向量ab+=_. 15. 在abc中，, ,a b c分别为角,a b c所对的边，且2222cabab=+-，8a =，1sin23a=，则c =_. 16.大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房，蜂房的结构如图所示，开口为正六边形abcdef，侧棱aa、bb、cc、dd、

6、ee、ff相互平行且与平面abcdef垂直， 蜂房底部由三个全等的菱形构成，瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.英国数学家麦克劳林通过计算得到109 2816ob c d =.已知一个蜂房中5 3bb =，2 6ab =，tan54 44082o=，则此蜂房的表面积是_. 三、解答题17.（本小题满分12 分）在等差数列na中，18a = -，243aa=. （1）求数列na的通项公式；（2）设()()*412nnbnnna=+，nt为数列nb的前n项和，若95nt =，求n的值 . 18.

7、（本小题满分12 分）如图，在四棱锥pabcd-中，底面abcd为平行四边形， 点p在面abcd内的射影为a，1paab=，点a到平面pbc的距离为33，且直线ac与pb垂直 . （1）在棱pd上找一点e，使直线pb与平面ace平行，并说明理由；（2）在（ 1）的条件下，求三棱锥peac-的体积 . 19.（本小题满分12 分）甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践， 实现了沙退人进.2019 年， 古浪县八步沙林场“ 六老汉 ” 三代人治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“ 时代楷模 ” 称号， 在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治

8、沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值.（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0 表示该插钎处没有被风蚀）.通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图. （1）根据直方图估计“ 坡腰处一个插钎风蚀值小于30” 的概率；（2）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“ * ” ，否则不标记 .根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“ * ” 与沙丘上插钎所布设的位置有关？附：()(

9、)()()()22n adbckabcdacbd-=+，()2p kk0.050 0.010 0.001 k3.841 6.635 10.828 20.（本小题满分12 分）已知点f为椭圆()222210,0 xyabab+=的一个焦点，点a为椭圆的右顶点，点b为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点f距离的最大值为3，最小值为1. （1）求椭圆的标准方程；（2）若,m n在椭圆上但不在坐标轴上，且直线am/ /直线bn，直线an、bm的斜率分别为1k和2k，求证：2121kke=-（e为椭圆的离心率）. 21.（本小题满分12 分）已知函数( )2112 3ln22fxxaxx=-+（ar且0a）

10、. （1）当2 3a =时，求曲线( )yfx=在点( )()1,1f处的切线方程；（2）若0a，讨论函数( )fx的单调性与单调区间；（3）若( )yfx=有两个极值点12,x x，证明：( )( )129lnfxfxa+-. 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】 （本小题满分10 分）在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为212222xtyt= -=+（t为参数），以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1c的极坐标方程为2 2cos4=+，曲线2c的直角坐标方程为24yx=-. （1）若直线l与曲线1c交于,mn两点，求线段mn的长度；（2）若直线l与x轴，y轴

11、分别交于,a b两点，点p在曲线2c上，求ab ap的取值范围 . 23. 【选修 4-5：不等式选讲】 （本小题满分10 分）已知函数( )122fxxx=-+，( )22g xxxaa=+-+. （1）求不等式( )4fx的解集；（2）对1xr，2xr，使得( )( )12fxg x成立，求a的取值范围 . 2020年高三诊断考试试题答案数 学（文科）1b2 a3b4c5a6b7b8d9a10c11d12d11 【解析】根据抛物线定义pfpq=1l，为 fq 的垂直平分线rfrq=5qr + mr = frmrfm，+3=故选 d.12【解析】由xexxfxxf2）（-）（，构造函数xxf

12、xf）（）（，则xexxfxxfxf2）（-）（）（，所以可以设cexfx）（，即cxxexfcexxfxx）（）（,，又因为ef）（1得0c，所以xxexf）（，由01）（）（xexfx得1x且1x时, 0）（xf）（xf在），（1上为减函数，1x时, 0）（xf）（xf在），（1上为增函数，所以efxf11min）（）（.故答案为 d.1341461516.216216 【解析】连接dbbd、，则/dbbd，26dbbddcob为菱形，2 084454tan, 1628109dcb62232 084454tan212dboc33cb3422bccbbbcc2272)3435(62ccbbs

13、梯形22162662132276表s.17 【解析】（）设等差数列na的公差是d，由4213,8aaa得：)38(38dd解得2d，所以nan210.6 分92020.4（）设)111(2)22(4)12(4nnnnanbnn，59)111 (2ntn得到 n=9.12 分18 【解析】（）点e为pd中点时直线pb与平面ace平行 .证明：连接bd，交ac于点o,则点o为bd的中点，因为点e为pd中点，故oe为pdb的中位线，则pboe /,oe平面ace,pb平面ace,所以pb与平面ace平行 .5 分（）根据题意pbac，pa底面abcd,ac底面abcd，则有paac，ppbpa,所以

14、ac平面pab,则abac设xac，3321221311121312xxvvpbcaacbp，得1ac则12111121312121acdpeacpvv.12 分19 【解析】（）设 “ 坡腰处一个插钎风蚀值小于30” 为事件 c()0.80.160.360.6p c =+=.4 分（）完成列联表如下：标记不标记合计坡腰302050坡顶203050合计5050100根据列联表，计算得：841.3450505050)20203030(10022k所以有 95%的把握认为， 数据标记 “*”与沙丘上插钎所布设的位置有关.12 分（）椭圆的标准方程为：22143xy+=.5 分（）由可知(2,0),

15、(0,3)ab-，设 am 的斜率为k，则 bn 斜率也为k故直线 am 的方程为(2)yk x=-，直线 bn 的方程为3ykx=-由223412(2)xyyk x+=?=-?得22234(2)12xkx+-=，即2222(34)1616120kxk xk+-+-=解得2x =或2281634kxk-=+22281612()3 434kkmkk-，+，由2234123xyykx+=?=-?得2234(3)12xkx+-=，即22(34)8 30kxkx+-=解得0 x =或28 334kxk=+2228 34 33 3()3434kknkk-，+，2221222222224 33 33(43

16、)348 32(44 33)23 41233(44 33)34862(43)34kkkkkkkkkkkkkkkk-+=-+-+-+-+=-+212314kke=-=-.12 分21 【解析】()因为32a时，,2121ln32322xxxxf-）（所以，xxxf-）（3232那 么32111）（，）（ff， 所 以 曲 线）（xf在）（，（11f处 的 切 线 方 程 为 ：），（1132xy即：0132yx.4分（）因为,32322xaxxxxaxf-）（由0322axx可得 :当0412a,)3 ,0(a时,有,33,3321axax满足021xx,0,012）（）时）和（，（xfxxx即

17、）上）和（，）在（,012xxxf为减函数 ;,0,12）（）时（xfxxx即）上，）在（12xxxf为增函数 .当003）（，时，xfa恒成立 ,所以），）在（0 xf为减函数综上可知：当30a时，在）和（，（,33330aa上）（xf为减函数，在）（aa33,33上，）（xf为增函数；当3a时，在），（0上 ,）（xf为减函数 . 8分（）因为）（xfy有两个极值点,21xx、则0322xaxxxf）（有两个正根,21xx、则有，0,32,04122121axxxxa即），（30a,所以7ln121ln322221212121aaaxxxxaxxxfxf）（-）（）（）（）（若要，）（）（

18、axfxfln921即要02lnlnaaaa构造函数 :2lnlnxxxxxg）（,则xxxg1）（ln,易知），）在（30 xg上为增函数且02ln2,01121）（）（gg,所以存在00001ln021xxxgx即）（）使，（且）单调递减，（）（）时，（xgxgxx,010）（）时（xgxgxx,0)2,0单调递增 .所以）（xg在(1,2)上有最小值为）（0000000132lnln)(xxxxxxxg,又因为），（）则，（252121000 xxx,所以），（在）（21000 xxg上恒成立 ,即axfxfln921）（）（成立 .12分22.【解析】（）由条件可知直线l的普通方程为01-yx，曲线1c的直角坐标方程为02222yxyx，根据曲线1c的直角坐标方程可知1c为以)1, 1(为圆心，以2为半径的圆，圆心1c到直线l的距离22d,所以弦6222222）（）（mn； .5分（ii ）因为曲线2c的参数方程为sin2cos2yx（为参数，且，0） ，又因为)10(),01 (，