2019年上海市华东师范大学第二附属中学高三模拟数学试题(含原卷和解析版)

1、1 华二附中高三模拟数学试卷一. 填空题 . 1.若复数 z满足1zii1+2i，则 z等于 _2.计算：3381nnclimn_ 3.某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10,11,9，已知这组数据的平均数为10，方差为 2，则22xy的值为. 4.关于 x，y 的二元一次方程的增广矩阵为32111m若 dx5，则实数m_5.已知实数x、y满足不等式组22000 xyxyy，则11ywx的取值范围是 _ 6.在101()2xx展开式中，含x 的负整数指数幂的项共有_项7.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_8.

2、连续投骰子两次得到的点数分别为m，n，作向量ar（m，n） ，则ar与br（1， 1）的夹角成为直角三角形内角的概率是_9.已知集合a （x，y）| xa|+| y 1| 1 ， b （x，y）| （x 1）2+（y1）21，若 ab ?，则实数 a 的取值范围为 _10.在abc中，2,1bcac，以ab为边作等腰直角三角形abd（b为直角顶点，cd、两点在直线ab的两侧），当c 变化时，线段cd长的最大值为_11.如图， b 是 ac 的中点，2beobuuu ruuu r，p 是平行四边形bcde 内（含边界）的一点，且opxoayob xyruuu ruu u ru uu r，有以下结

3、论：当 x 0时， y2 ， 3 ；当 p 是线段 ce 的中点时，1522xy，；若 x+y 为定值 1，则在平面直角坐标系中，点p的轨迹是一条线段；2 xy 的最大值为1；其中你认为正确的所有结论的序号为_12.对任意x和0,2，恒有221(32sincos )(sincos )8xxaa，则实数a的取值范围是_. 二. 选择题13.若集合2|540 ,| 1 ax xxbx xa则“2,3a”是“ba”的( ) a. 充要条件b. 必要不充分条件c. 充分不必要条件d. 既不充分也不必要条件14.实数a，b满足a?b0 且ab，由a、b、2ab、ab按一定顺序构成的数列（）a. 可能是等

4、差数列，也可能是等比数列b. 可能是等差数列，但不可能是等比数列c. 不可能是等差数列，但可能是等比数列d. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列15.已知双曲线22221xyab（0a，0b） 的两条渐近线与抛物线22ypx（0p） 的准线分别交于a、b两点，o为坐标原点，若223ba，aob的面积为3，则p（）a. 1b. 32c. 2d. 3 16.若函数 f（x）满足： f（ | x| ） | f（ x）| ，则称 f（x）为“对等函数”，给出以下三个命题：定义域为r 的“对等函数”，其图象一定过原点；两个定义域相同的“对等函数”的乘积一定是“对等函数”；若定义域是d 的函数 yf（x

5、）是“对等函数”，则 y| yf（x） ，xd? y| y0；在上述命题中，真命题的个数是（）a. 0b. 1c. 2d. 3 3 三. 解答题17.在abcv中，角abc， ，对应的三边长分别为abc， ，若4b，8ba bcu uu r uu u r（1）求22ac的值；（2）求函数23sincoscosfbbbb的值域18.如图，三棱锥pabc 中，pc平面 abc，pcac2，abbc，d 是 pb 上一点，且cd平面 pab（1）求证： ab平面 pcb；（2）求二面角cpab 的大小的余弦值19.某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30 千米（忽略内、外环线长度差异）

6、（1）当 9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10 分钟，求内环线列车的最小平均速度；（2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为25 千米 /小时， 外环线列车平均速度为30 千米 /小时 现内、外环线共有18 列列车全部投入运行，要使内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1 分钟，向内、外环线应各投入几列列车运行？20.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，点,4p m到其准线的距离等于5（ ）求抛物线的方程；（）如图， 过抛物线的焦点的直线从左到右依次与抛物线及圆2211xy交于a、c、d、b四点，试证明ac bd为定值 . 4 （ ）过a、b分别作抛物的切线1l

7、、2l，且1l、2l交于点m，求acm与bdm面积之和的最小值21.已知数列na是以d为公差的等差数列，数列nb是以q为公比的等比数列. （1）若数列nb的前n项和为ns，且112abd，31003252010sab，求整数q的值；（2）若*,p qn，3p，2q，试问数列nb中是否存在一项kb，使得kb恰好可以表示为该数列中连续p项的和？请说明理由；（3）若1rba，2srbaa，3tba（其中tsr，且()sr是()tr的约数），求证：数列nb中每一项都是数列na中的项 . 华二附中高三模拟数学试卷一. 填空题 . 1.若复数 z满足1zii1+2i，则 z等于 _【答案】 1+i 【解析

8、】【分析】由题得 iz+i 1+2i，利用复数的乘除运算化简即可【详解】1ziiiz+i iz+i 1+2i z1+i 故答案为： 1+i5 【点睛】本题考查行列式，复数的运算，准确计算是关键，是基础题2.计算：3381nnclimn_ 【答案】148【解析】【分析】由二项式定理得323123266nn nnnnnc，再求极限即可【详解】323123266nn nnnnnc；33223333213216814864848nnnncnnnnnlimlimlimnnn故答案为：148【点睛】本题考查极限，考查二项式定理，是基础题3.某人 5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10,1

9、1,9，已知这组数据的平均数为10，方差为 2，则22xy的值为. 【答案】208【解析】【详解】解：由题意可得：x+y20， （x 10）2+（y 10）28，解得则 x2+y2208，故答案为： 2084.关于 x，y 的二元一次方程的增广矩阵为32111m若 dx5，则实数m_【答案】 -2 【解析】【分析】6 由题意， dx1232m5，即可求出m 的值【详解】由题意，dx1232m5， m-2 ，故答案为 -2【点睛】 本题考查 x，y 的二元一次方程的增广矩阵，考查学生的计算能力，比较基础5.已知实数x、y满足不等式组22000 xyxyy，则11ywx的取值范围是 _【答案】1,

10、12【解析】【分析】画出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用w 的几何意义即可得到结论【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）11ywx的几何意义为阴影部分的动点（x，y）到定点p（ 1，1）连线的斜率的取值范围由图象可知当点与ob 平行时，直线的斜率最大，当点位于a 时，直线的斜率最小，由a（1，0） ， ap 的斜率 k12又 ob 的斜率 k1 12w1则11ywx的取值范围是：112，故答案为：112，7 【点睛】 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法6.在101()2xx展开式中，含x的负整数指数幂的项共有_项【答案】 4 【解析

11、】【分析】先写出展开式的通项：10 3211012rrrrtc x由 0r10 及 532r为负整数，可求r 的值，即可求解【详解】1012xx展开式的通项为10 3211012rrrrtc x其中 r0，1，210 要使 x 的指数为负整数有r4，6，8，10 故含 x 的负整数指数幂的项共有4 项故答案为： 4 【点睛】 本题主要考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是根据通项及r 的范围确定r 的值7.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_【答案】【解析】试题分析：设圆柱的高为 2，由题意圆柱的侧面积为22=4，圆柱的体积为21

12、22，则球的表面积为 4 ，故球的半径为1；球的体积为43，这个圆柱的体积与这个球的体积之比为23423，故填考点：本题考查了球与圆柱的体积、表面积公式点评：此类问题主要考查学生的计算能力，正确利用题目条件，面积相等关系，挖掘题设中的条件，解题才能得心应手8.连续投骰子两次得到的点数分别为m，n，作向量ar（m，n） ，则ar与br（1， 1）的夹角成为直角三角形内角的概率是_【答案】712【解析】【分析】8 根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数通过列举得到即可求解【详解】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数66，m0，n0，ar（m，n）与br（

13、1， 1）不可能同向夹角 0 （ 0，2 ar?br0，mn0，即 mn当 m6 时， n 6，5，4，3， 2，1；当 m5 时， n 5，4，3，2， 1；当 m4 时， n 4，3，2，1；当 m3 时， n 3，2，1；当 m2 时， n 2，1；当 m1 时， n 1满足条件的事件数6+5+4+3+2+1 概率 p65432176612故答案为：712【点睛】 本题考查古典概型，考查向量数量积，考查分类讨论思想，准确计算是关键9.已知集合a （x，y）| xa|+| y1| 1 ，b （x，y）| （x 1）2+（y1）21 ，若 ab ?，则实数 a 的取值范围为 _【答案】 1，

14、3 【解析】【分析】先分别画出集合a（ x，y）|xa|+|y1|1， b（x，y） |（x 1）2+（y1）21 ，表示的平面图形，集合a 表示是一个正方形，集合b 表示一个圆再结合题设条件，欲使得ab?，只须 a 或 b 点在9 圆内即可，将点的坐标代入圆的方程建立不等式求解即可【详解】分别画出集合a （x，y）|xa|+|y1| 1 ，b （x，y）| （x 1）2+（y1）21 ，表示的平面图形，集合a 表示是一个正方形，集合b 表示一个圆如图所示其中 a（a+1，1） ，b（a 1，1） ，欲使得 ab?，只须 a 或 b 点在圆内即可，（ a+11）2+（11）21 或（ a11）

15、2+（11）21，解得： 1 a1 或 1a3，即 1a3故答案为： 1， 3 【点睛】 本小题主要考查二元一次不等式（组）与平面区域、集合关系中的参数取值问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题10.在abc中，2,1bcac，以ab为边作等腰直角三角形abd（b为直角顶点，cd、两点在直线ab的两侧），当c 变化时，线段cd长的最大值为_【答案】 3 【解析】试题分析： 设cba，abbda， 则在三角形bcd中， 由余弦定理可知2222 2sincda，在 三 角 形abc 中 ， 由 余 弦 定 理 可 知21cos2 2aa， 可 得

16、4261sin2 2aaa， 所 以2242261cdaaa，令22ta，则2221017(5)8cdttttt222(5) (5)859tt，当2(5)4t时1 0等号成立考点：解三角形11.如图， b 是 ac 的中点，2beobuuu ruuu r，p 是平行四边形bcde 内（含边界）的一点，且opxoayob xyruuu ruu u ru uu r，有以下结论：当 x 0时， y2 ，3 ；当 p 是线段 ce 的中点时，1522xy，；若 x+y 为定值 1，则在平面直角坐标系中，点p的轨迹是一条线段；xy 的最大值为1；其中你认为正确的所有结论的序号为_【答案】 【解析】【分析

17、】利用向量共线的充要条件判断出 错， 对；利用向量的运算法则求出opuuu r，求出 x，y 判断出 对, 利用三点共线解得对【详解】对于当opyobuuu ru uu r，据共线向量的充要条件得到p 在线段 be 上，故 1y3，故错对于当p 是线段 ce 的中点时，132opoeepobebbcuuu ruuu ru uu ruu u ruuu ruuu r11532222obobaboaobuuu ruu u ruuu ruuu ruu u r故对对于 x+y 为定值 1 时，a，b，p 三点共线，又p 是平行四边形bcde 内（含边界）的一点，故p 的轨迹是线段，故对对，opxoayo

18、bxoayobu uu ruuu ruuu ruu u ruuu r，令obofuuu ru uu r，则xoay ofopuuu ruuu ruu u r，当, ,p a f共线，则1xy，当af平移到过b 时， x y最大值为 1，故对1 1故答案为【点睛】 本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件,考查推理能力，是中档题12.对任意x和0,2，恒有221(32sincos )(sincos )8xxaa，则实数a的取值范围是_. 【答案】6a或72a【解析】【分析】利用2222 abab的形 式进行放缩 ，最终化简为1322sincosasincos或1322sincosasincos

19、，利用函数单调性，基本不等式即可求得最值【详解】先给出公式：2222 abab，证明如下，22222222222222=+20abababababababab即2222abab则原式221(32sincos )(sincos )8xxaa可变形为22211(32sincos )(sincos )(32sincos )(sincos )28xxaaxxaa即21(32sincos )(sincos )4xxaa，2132sincos(sincos )4a1322sincosa sincos或1322sincosa sincos，0,2，12sincos,1 2由得1322sincosasinco

20、s或1322sincosasinco622sincossincossincossincossincossincos当且仅当62sincos时取等号，所以1322sincossincos的最小值为6，6a132522sincossincossincossincos，显然当5122x, fxxx为减函数（由对勾函数性质可得），57121122maxx, fxf，由此可得132722sincossincos，即72a综上所述：6a或72a【点睛】本题考查函数恒成立问题，恒成立问题转化为最值问题是常规处理方式，本题解题关键在于通过对不等式的等价变形去掉x，变形为关于的恒等式进

21、行处理二. 选择题13.若集合2|540 ,| 1 ax xxbx xa则“2,3a”是“ba”的 ( ) a. 充要条件b. 必要不充分条件c. 充分不必要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】 c 【解析】【分析】化简 a，b ，根据ba，列出不等式，解得a，然后根据充要条件的定义判断即可【详解】2|540 = 1,4ax xx，| 11,1bx xaaa，q要使ba，141 1aa，解得23a剟，(2,3)aba，ba(2,3)a，所以“2,3a”是“ba”的充分不必要条件，1 3故选 c 【点睛】本题考查充要条件的判定，正确把握充要条件的判定是解题的关键，属于基础题14.实数a，b满足

22、a?b0 且ab，由a、b、2ab、ab按一定顺序构成的数列（）a. 可能是等差数列，也可能是等比数列b. 可能是等差数列，但不可能是等比数列c. 不可能是等差数列，但可能是等比数列d. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列【答案】 b 【解析】【分析】由实数a，b 满足 a?b 0 且 ab，分 a，b0 和 a，b0，两种情况分析根据等差数列的定义和等比数列的定义，讨论a、b、2ab、ab按一定顺序构成等差（比）数列时，是否有满足条件的a，b 的值，最后综合讨论结果，可得答案【详解】（1）若ab0 则有 a2ababb 若能构成等差数列，则a+b=2ab+ab，得2ab=2ab，解得 a=

23、b（舍） ，即此时无法构成等差数列若能构成等比数列，则a?b=2abab，得22abab，解得 a=b（舍） ，即此时无法构成等比数列（2）若 ba0，则有2ababab若能构成等差数列，则2ababba，得 2ab=3a-b 于是 b3a 4ab=9a2-6ab+b2得 b=9a，或 b=a（舍）当 b=9a 时这四个数为-3a，a，5a，9a，成等差数列于是 b=9a0，满足题意1 4但此时ab?b 0，a?2ab 0，不可能相等，故仍无法构成等比数列故选 b 【点睛】本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定，熟练掌握等差数列和等比数列的定义和性质是解答的关键15.已知双曲线222

24、21xyab（0a，0b） 的两条渐近线与抛物线22ypx（0p） 的准线分别交于a、b两点，o为坐标原点，若223ba，aob的面积为3，则p（）a. 1b. 32c. 2d. 3 【答案】 c 【解析】【分析】求出双曲线的渐近线，利用三角形面积建立方程即可求解【 详 解 】 由2222333bbbaaa， 即 渐 近 线 为3yx， 与 抛 物 线 的 准 线 交 于332222ppppa,b,，所以aob 的面积为133022pp, p，解得2p故选： c 【点睛】本题考查抛物线，双曲线的几何性质，属于基础题型16.若函数 f（x）满足： f（ | x| ） | f（ x）| ，则称 f

25、（x）为“对等函数” ，给出以下三个命题：定义域为r 的“对等函数” ，其图象一定过原点；两个定义域相同的“对等函数”的乘积一定是“对等函数”；若定义域是d 的函数 yf（x）是“对等函数” ，则 y| yf（ x） ，xd? y| y0；在上述命题中，真命题的个数是（）a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 【答案】 b 【解析】【分析】由对等函数的定义可判断，举反例说明错误1 5【详解】定义域为r 的“对等函数” ，可令 x0，即 f（0） | f（0）| ，解得f（0） 0，或f（0） 1，故错误；两个定义域相同的“对等函数”，设 yf（x）和 yg（x）均为“对等函数” ，可得 f（|

26、 x| ） | f（x）| ，g（| x| ） | g（x）| ，设 f（x） f（x） g（x） ，即有 f（| x| ） f（| x| ）g（| x| ） | f（x） g（x）| | f（x）| ，则乘积一定是“对等函数，故正确”；若定义域是d 的函数 yf（x）是“对等函数” ，可得 f（| x| ） | f（x）| ，可取 f（x） x| x| ， xr，可得 x0 时， f（x） 0；x0 时， f（x） 0，故错误故选： b【点睛】本题考查函数的新定义问题，理解题意是关键，是基础题三. 解答题17.在abcv中，角abc， ，对应的三边长分别为abc， ，若4b，8ba bcuu

27、 u r uuu r（1）求22ac的值；（2）求函数23sincoscosfbbbb的值域【答案】（1）32； （ 2）312，【解析】试题分析：（ 1）利用平面向量的数量积的运算，化简8ba bcuu u r uuu r，再利用余弦定理列出关系式，将化简结果及b的值代入计算即可求出22ac的值；（ 2）由基本不等式求出ac的范围，根据cos8acb，得出1cos2b， 进而利用余弦函数的性质求出角b的范围，再化简1sin 262fbb， 即可求出f b的值域试题解析：（ 1）因为8ba bcuu u r uuu r，所以cos8acb，由余弦定理得222222cos16bacacbac因为

28、4b，所以2232ac（2）因为222acac，所以16ac，所以81cos2bac，1 6因为0b，所以3xb，因为23113sincoscossin 21cos2sin 22262fbbbbbbb，由于52666b，所以1sin 2162b，所以fb的值域为312，考点：正弦定理；余弦定理18.如图，三棱锥pabc 中，pc平面 abc，pcac2，abbc，d 是 pb 上一点，且cd平面 pab（1）求证： ab平面 pcb；（2）求二面角cpab的大小的余弦值【答案】（1）详见解析； （2）33. 【解析】【分析】（ 1）由题设条件，易证得pcab，cdab，故可由线面垂直的判定定理

29、证得ab平面 pcb； （2）由图形知， 取 ap 的中点 o，连接 co、do，可证得 cod 为二面角cp ab的平面角， 在 cdo 中求 cod即可【详解】（1）证明： pc平面 abc，ab? 平面 abc，pcabcd平面 pab，ab? 平面 pab，cdab又 pccd c， ab平面 pcb（2）取 ap的中点 o，连接 co、do1 7pcac2， copa，co2，cd平面 pab，由三垂线定理的逆定理，得dopa cod 为二面角cpa b的平面角由（ 1）ab平面 pcb， abbc，又 abbc，ac2，求得 bc2pb6，cd2 3363cdsincodcocos

30、cod33【点睛】 本题考查用线面垂直的判定定理证明线面垂直，求二面角，空间角解决的关键是做角，由图形的结构及题设条件正确作出平面角，是求角的关键19.某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30 千米（忽略内、外环线长度差异）（1）当 9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10 分钟，求内环线列车的最小平均速度；（2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为25 千米 /小时， 外环线列车平均速度为30 千米 /小时 现内、外环线共有18 列列车全部投入运行，要使内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1 分钟，向内、外环线应各投入几列列车运行？【答案】（1）20 千米

31、 / 小时； （ 2）内环线投入10 列列车运行，外环线投入8列列车 . 【解析】【分析】（1） 设内环线列车的平均速度为v 千米 /小时，根据内环线乘客最长候车时间为10 分钟，可得3060109v，1 8从而可求内环线列车的最小平均速度；（2）设内环线投入x 列列车运行，则外环线投入（18x）列列车运行，分别求出内、外环线乘客最长候车时间130726025txx，230606030 1818txx，根据127260118ttxx，解不等式，即可求得结论【详解】（1）设内环线列车的平均速度为v 千米 /小时，则要使内环线乘客最长候车时间为10 分钟，可得3060109vv20 要使内环线乘客

32、最长候车时间为10 分钟，内环线列车的最小平均速度是20 千米 /小时；（2）设内环线投入x 列列车运行，则外环线投入（18x）列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为 t1，t2分钟，则130726025txx，230606030 1818txx127260118ttxx221501296011412960 xxxx150173161141818022xxn+， x10 当内环线投入10 列列车运行， 外环线投入8 列列车时， 内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1 分钟【点睛】 本题考查函数模型的构建，考查利用数学模型解决实际问题，解题的关键是正确求出乘客最长候车时间20.已知抛物线的

33、顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，点,4p m到其准线的距离等于5（ ）求抛物线的方程；（ ）如图， 过抛物线的焦点的直线从左到右依次与抛物线及圆2211xy交于a、c、d、b四点，试证明ac bd为定值 . 1 9（ ）过a、b分别作抛物的切线1l、2l，且1l、2l交于点m，求acm与bdm面积之和的最小值【答案】（ ）24xy； （）见解析；（）2. 【解析】【分析】（ ）设抛物线的方程为220 xpyp，根据已知条件得出p的值，可得出抛物线的方程；（ ） 解法一： 求出抛物线的焦点e的坐标，设直线ab的方程为1ykx， 设点11,a x y、22,b xy，将直线ab的方程与抛物线的方程

34、联立，并列出韦达定理，利用抛物线的定义并结合韦达定理证明出acbd是定值；解法二：设直线ab的方程为1ykx，设点11,a x y、22,b xy，将直线ab的方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，并利用弦长公式并结合韦达定理证明acbd是定值；（ ） 利用导数求出切线1l、2l的方程， 并将两切线方程联立得出交点m的坐标，并计算出点m到直线ab的距离d，可计算出abm和cdm的面积和， 换元211tk，利用导数法求出acm和bdm的面积和的最小值. 【详解】（ ）设抛物线方程为220 xpyp，由题意得452p，得2p，所以抛物线c的方程为24xy；（ ） 解法一：抛物线的焦点与2211x

35、y的圆心重合，即为0,1e. 设过抛物线焦点的直线方程为1ykx，设点11,a x y、22,b xy，2 0将直线ab的方程与抛物线的方程联立214ykxxy，消去y并整理得2440 xkx，21610k，由韦达定理得124xxk，124x x. 由抛物线的定义可知11aey，21bey，10 x，20 x. 222121241111616x xacbdaebey y，即acbd为定值1；解法二：设过抛物线焦点的直线方程为1ykx，设点11,a x y、22,b xy，不妨设10 x，20 x. 将直线ab的方程与抛物线的方程联立214ykxxy，消去y并整理得2440 xkx，21610k，由韦达定理得124xxk，124x x. 221111aekxkx，222211bekxkx，22221212121111111acbdkxkxkx xkxx2224 1116111kkk，即acbd为定值1；（ ）214yxq，12yx，所以切线am的方程为2111142xyxxx，即21124x xxy，同理可得，切线bm的方程为22224x xxy，2 1联立两切线方程2112222424x xxyx xxy，解得12122214xxxkx xy，即点2 ,1mk，所以点m到直