中国矿业大学 概率论与数理统计 最新PPT 第一章

1、 第一章 二、二、乘法公式乘法公式一一 、条件概率条件概率第四节第四节 条件概率条件概率三、三、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 定义定义引例引例：取一副牌，随机地取一张取一副牌，随机地取一张(1) 问抽中的是问抽中的是K的概率的概率(2) 若已知抽中的是红桃，问抽中的是若已知抽中的是红桃，问抽中的是K的概率的概率解解 (1)4()54P B 一、条件概率一、条件概率B抽中的是抽中的是K(2) A抽中的是红桃抽中的是红桃B抽中的是抽中的是K定义定义|P BA 条件概率条件概率1|13P BA 4|54P BAP B分析：分析：1|13P BA 即求即求1 5413 540P ABP

2、 AP A结论：结论：对一般古典概型问题，设对一般古典概型问题，设,sABAnnn分别表示分别表示试验试验E，事件，事件AB，事件，事件A所包含的基本事件数，则有：所包含的基本事件数，则有：|P BA 定义：定义：(严格的数学定义严格的数学定义)设设A,B为两事件，且为两事件，且0P A |P ABP BAP A称称为事件为事件A发生条件下事件发生条件下事件B发生的发生的条件概率条件概率。ABsAsnnnn0AP ABnP A 条件概率的性质条件概率的性质条件概率条件概率|P BA满足概率公理化定义中的三个条件。满足概率公理化定义中的三个条件。1.|0P BA 2.|1P SA 3. (可列可

3、加性可列可加性)设设12,BB是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件,ijB Bij 1|iiPBA则则1|iiP BA证证12|PBBA12P ABP ABP AP A 12P B AB AP A互不相容互不相容12|P BAP BA 12PBBAP A另：另：条件概率也同时满足概率的条件概率也同时满足概率的6个性质个性质例如：例如：|P AB CP A CP B CP AB C和事件和事件|1|P B CP B C逆事件逆事件 计算条件概率计算条件概率(1) 在缩减样本空间中求事件概率在缩减样本空间中求事件概率(2) 利用定义利用定义(公式公式)( 4 , 1 ) , ( 4 , 2 )

4、 , ( 4 , 3 ) ( 3 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( 3 , 4 ) ( 2 , 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 )S = ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 )(|)P BA 。例例1 盒子里有盒子里有4只产品，其中只产品，其中3只一等品，一只二等品，只一等品，一只二等品，试验试验 E：依次取两只，做无放回抽样：依次取两只，做无放回抽样.事件事件 A: 第一次取第一次取得一等品；得一等品； 事件事件 B: 第二次取得一等品，求第二次取得一等品，求解解 法一（缩减样本空间）法一（缩减样本空间）ASABS间间S，将产品编号，

5、将产品编号，1 , 2 , 3为一等品为一等品,4号为二等品号为二等品,( , )i j以表示第一次，第二次分别取到表示第一次，第二次分别取到 i号，号，j号。号。为了能具体写出为了能具体写出E的样本空的样本空由引例的结论得：由引例的结论得：62(|).93P BA 法二（公式法）法二（公式法）由条件概率的公式由条件概率的公式()(|)()P ABP BAP A()ASnP An2(|).3P BA1133C C1143C C34()ABSnP ABn1132C C1143C C24例例2 设一批产品的一、二、三等品各占设一批产品的一、二、三等品各占60%,30%,10% ,现从中任取一件，结

6、果不是三等品，求取得是一等品现从中任取一件，结果不是三等品，求取得是一等品的概率。的概率。解解 1,2,3.iAii设表示产品是第 等品， 则由已知得则由已知得123()60%,()30%,()10%P AP AP A13(|)P AA312AAA13(|)P AA133()()P A AP A133()1()P A AP A13AA131A AA13()1()P AP A0.6210.1311112(|)(|)nnnnP AAAP AAA定理定理 设设0)(AP，则有，则有()(|)()P ABP BA P A( )0P B ，则有，则有()(|)()P ABP A B P B推广推广 三维

7、三维()(|)(|)()P ABCP CAB P BA P An 维维12()nP A AA211(|)()P AA P A()0P AB 其中其中121()0nP A AA其中其中二、乘法公式二、乘法公式0)(AP证明证明 左面左面11112(|)(|)nnnnP AAAP AAAn 维维12()nP A AA211(|)()P AA P A121()0nP A AA其中其中11121(|)()nnnnP AAAP AAA1111212(|)(|)()nnnnnP AAAP AAAP AA 11112(|)(|)nnnnP AAAP AAA211(|)()P AA P A右面右面例例3. 假

8、设某学校学生四级英语考试的及格率为假设某学校学生四级英语考试的及格率为98%，其中其中70% 的学生通过六级英语考试的学生通过六级英语考试 , 试求从该校随机试求从该校随机的选出一名学生通过六级考试的概率。的选出一名学生通过六级考试的概率。解解 设设 A = “ 通过四级英语考试通过四级英语考试 ” B = “ 通过六级英语考试通过六级英语考试 ”由题意由题意, 可知可知)(AP%98)(ABP%70)(ABP)(AP)(ABP7 . 098. 0686. 0例例4. 为了防止意外, 在矿井中同时安装两种报警系统 A与B , 每种系统单独使用时, 其有效概率分别为A 为0.92 , B 为0.

9、93 , 在 A 失灵的条件下B 有效的概率为0.85, 求1) B 失灵的条件下, A 有效的概率2) 发生意外时, A 与 B 至少有一个有效的概率解: 设 A“ A 系统有效”，B“ B 系统有效” 由题意:92. 0)(AP93. 0)(BP85. 0)|(ABP)|(BAP829. 01)|(1BAP)()(1BPBAP1)()(APABP)(BP93. 01)92. 01)(85. 01 (1例例4. 为了防止意外, 在矿井中同时安装两种报警系统 A与B , 每种系统单独使用时, 其有效概率分别为A 为0.92 , B 为0.93 , 在 A 失灵的条件下B 有效的概率为0.85,

10、 求1) B 失灵的条件下, A 有效的概率2) 发生意外时, A 与 B 至少有一个有效的概率解:2)(BAP)(1BAP92. 0)(AP93. 0)(BP85. 0)|(ABP)(1BAP)()(1APABP)92. 01)(85. 01 (1988. 0例例5.设一个班中设一个班中30名学生采用抓阄的办法分一张电影名学生采用抓阄的办法分一张电影票的机率是否相等？票的机率是否相等？解解 设设iA“第第 名学生抓到电影票名学生抓到电影票”i)(1AP1/30)(2AP)(21AAP211(|)()P AAP A)(3AP123()P A A A312(|)P AA A12()P A A21

11、(|)P AA1()P A1,2,30i 2913030312(|)P AA A12812928292913030301()30P A所以抓阄决定谁去看电影是公平的。所以抓阄决定谁去看电影是公平的。例例6. 某人忘了电话号码的最后一个数字，因而随意拨某人忘了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率，若已号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率，若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解解 设设123( )()()P BP AP AP A111310101010BiA表示第表示第i次拨通所需电话；次拨通所需电话；表

12、示不超过三次而接通所需电话；表示不超过三次而接通所需电话；例例7. 一批零件共100件, 其中有10 件次品, 每次从其中任取一个零件，取后不放回。试求：1) 若依次抽取3 次, 求第3 次才抽到合格品的概率2) 如果取到一个合格品就不再取下去，求在3 次内取到合格品的概率 iA“第 次抽到合格品”i解解: 设)(321AAAP100101)|(213AAAP)|(12AAP)(1AP99998900083. 02) 设A“三次内取到合格品”321211AAAAAAA则且互不相容例例7. 一批零件共100件, 其中有10 件次品, 每次从其中任取一个零件，取后不放回。试求：1) 若依次抽取3

13、次, 求第3 次才抽到合格品的概率2) 如果取到一个合格品就不再取下去，求在3 次内取到合格品的概率 解解: )(AP)(1AP9993. 0)()()(321211AAAPAAPAP321211AAAAAAA)|()(121AAPAP)|()|()(213121AAAPAAPAP(方法二) 利用对立事件A“三次都取到次品”321AAAA 下利用条件概率求做321解解3, 2, 1”“iiAi号箱球取自设”“取得红球B即即BABABAB321且且两两互斥BABABA321,西西如图所示如图所示。 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1 , 2 , 3 , 箱内所放东箱内所放东球，求取得

14、红球的概率球，求取得红球的概率.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一1. 引例引例三、全概率公式与贝叶斯三、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式公式)()()()(321BAPBAPBAPBP1122() (|)() (|)P A P B AP A P B A 31321APAPAP1/P B A2/P B A1/3ABP1 128( )13 5515P B由于故33() (|)P A P B A15252. 事件的划分事件的划分定义定义 设设 S 是随机试验是随机试验E 的样本空间的样本空间一组事件是EBBBn,21若：若：jiBB) 1SBB Bn21)

15、212,nBBB（互斥性）（互斥性）（完备性）（完备性）则称则称是样本空间是样本空间 S 的一个的一个划分划分。S1B2B3BA4B,6,5,4,3,2, 1S2, 11B 32B6,5,43B例如例如 设试验设试验 E 为为“掷骰子观察其点数掷骰子观察其点数”。样本空间为。样本空间为其中其中，是是 S 的一个划分。的一个划分。不是不是 S 的一个划分。的一个划分。11, 2 3C ，23 4C ，35 6C ，而而3. 全概率公式全概率公式)()|()()|()(2211BPBAPBPBAPAP)()|(nnBPBAP设随机试验设随机试验 E 的样本空间的样本空间 S， A 为为 E 的任意

16、一的任意一0)(iBP且), 2 , 1(ni定理定理个事件个事件,为为 S 的一个划分的一个划分,，则有，则有12,nBBB称为称为全概率公式全概率公式。12nABABAB 证证12()nAASA BBB由已知得由已知得,ijBBij所以所以()(),ijABABij互不相容互不相容12( )()()()nP AP ABP ABP AB故故又因为又因为)()|()()|()(2211BPBAPBPBAPAP)()|(nnBPBAP()0,1,2, .iP Bin得得去构造这一组去构造这一组 Bi 往往可以简化计算往往可以简化计算.全概率公式的理论和实用意义在于全概率公式的理论和实用意义在于:

17、 在较复杂情况下计在较复杂情况下计算算P(A)不易不易, 但但 A 总是伴随着某个总是伴随着某个Bi 出现，出现， 所以适当地所以适当地例例8 假设有甲、乙两袋，甲袋中有假设有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球个白球2个红球，乙个红球，乙袋中有袋中有2个红球个红球3个白球，今从甲中任意取一只放入乙中，个白球，今从甲中任意取一只放入乙中，再从乙中任取一球，问取到白球的概率为多少？再从乙中任取一球，问取到白球的概率为多少？解解 设设 A 表示从乙中取到白球，表示从乙中取到白球， B1 表示从甲中取到白表示从甲中取到白 球，球， B2 表示从甲中取到红球表示从甲中取到红球 , B1 ，B2 为为S的一个划

18、分，的一个划分，由全概率公式得由全概率公式得1122( )(|) ()(|) ()P AP A B P BP A B P B4 33 236 56 55 3 . 01AP7 . 02AP8 . 0/1ABP1/2ABP)|()|()(2211ABPAPABPAPBP( )0.3 0.80.7 10.94P B 某厂生产的仪器每台以某厂生产的仪器每台以 0.7 的概率可以出厂，的概率可以出厂，以以 0.3 的概率需要进一步调试，的概率需要进一步调试， 经调试后以经调试后以 0.8 的概率的概率可以出厂，可以出厂， 以以 0.2 的概率为不合格品，不能出厂。的概率为不合格品，不能出厂。 求每求每台

19、仪器能出厂的概率。台仪器能出厂的概率。例例9解解设设 B “仪器能出厂仪器能出厂” A1 “仪器需要调试仪器需要调试” A2 “仪器不需要调试仪器不需要调试”引例引例从如图所示的箱子中任取一球 , 发现是红球 , 问它是取自一号箱的概率.解解 设iB = “球取自i 号箱”A= “取得红球”)|(1ABP运用全概率公式计算P(A)()(1APABP31)(iiBP)|()(11BAPBP)(kBAP4.4.贝叶斯贝叶斯BayesBayes公式公式321运用全概率运用全概率公式计算公式计算P(A)定理定理)|(ABPi)()(APABPinBBB,21,0)(AP0)(iBP),2, 1(ni设

20、随机试验设随机试验 E 的样本空间为的样本空间为S , A 为为 E 的任意的任意一个事件一个事件,为为S 的一个划分的一个划分, 且且则则niiiBPBAP1)()|()()|(iiBPBAP),2, 1(ni，称此式为，称此式为贝叶斯公式贝叶斯公式。例例10. .解解:分别表示他乘火车, 汽车, 轮船, 飞机设 A = “他来迟了”3 . 0)(1BP2 . 0)(2BP1 . 0)(3BP41)|(1BAP31)|(2BAP121)|(3BAP由题意, 则,31121某人从外地来参加会议, 他乘火车, 汽车, 轮船4 . 0, 1 . 0,2 . 0,3 . 0或飞机来的概率为如果他乘飞

21、机来41不会迟到; 而乘火车, 轮船或汽车来迟的概率为试求: 1) 他来迟的概率2)如果他来迟了，试推断他是怎样来的？ 4321BBBB4 . 0)(4BP0)|(4BAP下求)()(ABPAPi及例例10.)(AP103411) 由全概率公式41)()|(iiiBPBAP20305251311011212) 由贝叶斯公式)|(ABPi)()()|(APBPBAPii乘火车的可能性最大已知已知 “结果结果” 求求 “原因原因”全概率公式全概率公式寻找导致寻找导致 A 发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率. 贝叶斯公式贝叶斯公式是在观察到事件是在观察到事件 A 已发生的条件下，已发生的条件下

22、，注：注： 全概率公式全概率公式是在已知导致事件是在已知导致事件A 的每个原因发的每个原因发生的概率的条件下，求事件生的概率的条件下，求事件A 发生的概率。发生的概率。已知已知 “原因原因” 求求 “结果结果”贝叶斯公式贝叶斯公式例例11.设某工厂甲设某工厂甲, 乙乙, 丙丙 3 个车间生产同一种产品个车间生产同一种产品, 产量产量依次占全厂的依次占全厂的45, 35, 20,且各车间的合格品率为且各车间的合格品率为0.96, 0.98, 0.95, 现在从待出厂的产品中检查出现在从待出厂的产品中检查出1个次品个次品,问该产品是由哪个车间生产的可能性最大？问该产品是由哪个车间生产的可能性最大？

23、解解分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产，分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产， 设设 A 表示表示“任取一件产品为次品任取一件产品为次品”45. 0)(1BP35. 0)(2BP20. 0)(3BP04. 0)|(1BAP02. 0)|(2BAP05. 0)|(3BAP由题意得由题意得由由贝叶斯公式贝叶斯公式)|(ABPi)()()|(APBPBAPii3,2, 1i321BBB)(AP( )0.040.45P A 31)()|(iiiBPBAP35. 002. 020. 005. 0035. 0)|(1ABP)|(2ABP)|(3ABP45. 004. 0035. 035. 002. 00

24、35. 020. 005. 0035. 0所以该产品是甲车间生产的可能性最大。所以该产品是甲车间生产的可能性最大。用全用全概率公式概率公式求求得得0.510.20.29作业作业321页页 3, 4, 5例例12. 在电报系统中，不断发出在电报系统中，不断发出“0”和和“1” ，发，发“0”和和“1”的概率为的概率为0.6和和0.4，发，发“0”分别以分别以0.7, 0.1和和 0.2接受为接受为“0”“1”和模糊信息和模糊信息“X ”，发，发“1”分别以分别以 0.85, 0.05和和 0.1接收接收“1”,“0”和模糊信息和模糊信息“X ”，试求：，试求：收到信息为模糊信息的概率。收到信息为

25、模糊信息的概率。收到模糊信息应该译成什么信息的最好。收到模糊信息应该译成什么信息的最好。分析分析发信息发信息 收信息收信息“0”“0” 0.7“1” 0.1“X ” 0.20.6“1”“1” 0.05“0” 0.85“X ” 0.10.40.20.60.750.16解解设设Ai 表示表示“发出的信息为发出的信息为“i” ，i=0,1Bi 表示表示“收到的信息为收到的信息为“i” ，i=0,1, X0011()(|) ()(|) ()XXXP BP BA P AP BA P A0.2 0.60.1 0.40.16000(|) ()(|)()XXXP BA P AP A BP B1(|)0.25X

26、P A B同理，所以应为，所以应为“0”信息好。信息好。 商店成箱出售玻璃杯，每箱商店成箱出售玻璃杯，每箱2020只，其中每箱含只，其中每箱含0 0，1 1，2 2只次品的概率分别为只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.10.8, 0.1, 0.1，某顾客，某顾客选中一箱，从中任选选中一箱，从中任选4 4只检查，结果无次品，便买下了只检查，结果无次品，便买下了这一箱这一箱. .否则退回，问否则退回，问 顾客买下该箱的概率；顾客买下该箱的概率； 在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率。在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率。B0 , B1 , B2 分别表示分别表示“箱中恰好有箱中恰好有0

27、0，1 1，2 2只次品只次品 由全概率公式由全概率公式: :解解例例13设设 A A 表示表示“顾客买下所察看的一箱顾客买下所察看的一箱”)(AP20(|) ()iiiP A B P B0.8 1 0.10.94420C419C0.1420C418C0.810.85 .0.94 由由BayesBayes全公式全公式: :000() (|)(|)( )P B P A BP BAP A 第一章 二、多个事件相互独立二、多个事件相互独立 一一 、两个事件相互独立、两个事件相互独立 第五节第五节事件的相互独立性事件的相互独立性三、伯努利概型三、伯努利概型 考虑：考虑： BPAPABP |P B AP

28、 B在什么条件下成立？在什么条件下成立？)(ABP可知可知)(BPB 表示表示“乙乙掷出掷出偶数点偶数点”A 表示表示“甲掷出偶数点甲掷出偶数点”引例引例 掷甲乙两枚掷甲乙两枚骰子，骰子，一一 、两个事件相互独立、两个事件相互独立 定义定义1设设A、B是两个事件，如果有如下等式成立是两个事件，如果有如下等式成立 BPAPABP则称则称事件事件A、B相互独立相互独立。)()|(BPABP定理定理 设设 A、B是两个事件是两个事件0)(AP 若若，则，则A、B 相互独立的充分必要条件相互独立的充分必要条件为为 若若A、B 相互独立相互独立, ,AB AB AB与与与都相互独立。都相互独立。)()(

29、)(BPAPABP)|(ABP证证BA, 若若 相互独立相互独立, 则有则有( )0 ,P A 又)()(APABP)()()(APBPAP)(BP)(ABP反之由乘法公式反之由乘法公式)()(BPAP)|()(ABPAP)()|(BPABP0)(AP 若若，则，则A、B 相互独立的充分必要条件相互独立的充分必要条件为为定理定理 当当( )0 , ( )0P AP B时，互不相容与相互独立时，互不相容与相互独立不能同时成立。不能同时成立。()0()( ) ( )P ABP ABP A P B证证 A、B互不相容互不相容反之反之 A、B 相互独立相互独立()( ) ( )0P ABP A P B

30、AB 则则 ，故，故A、B不可能互不相容。不可能互不相容。)()(ABPBP)()(1 BPAP)(ABBP )( BAP)()()(BPAPBP)()(BPAP其余同理可证。其余同理可证。 若若A、B 相互独立相互独立, ,AB AB AB与与与都相互立。注：区分互不相容、相互独立注：区分互不相容、相互独立例例1.1.BAC)(CP)()(BPAP4 . 05 . 04 . 05 . 0甲, 乙两人的命中率为0.5 和 0.4, 现两人独立地向目标射击一次, 解解: 设A = “甲射击一次命中目标”的概率是多少?B = “乙射击一次命中目标”C = “目标被命中”BA,则 相互独立, 且)(

31、BAP( )( )P AP BP AB( ) ( )P A P B7 . 0)|(CBP57. 07 . 04 . 0)(BCP)(CP)(BP)(CP已知目标被命中, 则它是乙命中二、二、 多个事件的相互独立性多个事件的相互独立性引例引例 在考试中，在考试中，iA表示表示“第第i个学生得个学生得100分分” i=1,2,n则则12,nA AA是相互独立的。是相互独立的。)()()(BPAPABP,三个事件对于CBA若下面四个等式同时成立若下面四个等式同时成立)()()(CPAPACP)()()()(CPBPAPABCP)()()(CPBPBCP定义定义2则称则称A, B, C相互独立相互独立

32、，如果只有前三个等式成立，则称如果只有前三个等式成立，则称A, B, C两两相互独立两两相互独立。注：事件注：事件 (n2) 相互独立相互独立事件两两相互独立事件两两相互独立推广推广 n 个事件相互独立（个事件相互独立（参考书参考书27页页）个事件是设nAAAn,21kiiiAAA,21)2(nk 定理定理nAAA,21 若若相互独立相互独立,则其中任意则其中任意 k 个事件个事件也相互独立。也相互独立。,21相互独立若nAAA 则其中任意则其中任意 k 个事件个事件的对立事件与其它的事件组成的的对立事件与其它的事件组成的 n 个事件也相个事件也相互独立。互独立。例例2.2.)(AP)(BP)

33、(CP/1 4)(ACP)(BCP)(ABCP)(ABP)()()()(CPBPAPABCP123 , 2 , 13解解: 由题意/1 2两两独立CBA,)(ABP)(BP)(AP)(BCP)(CP)(BP)(ACP)(CP)(AP/1 4故A,B,C不相互独立3, 2, 1CBA,现有四张卡片， 如图所示现从中任取一张, 设分别表示抽到写有数字的卡片, 试判定事件CBA,之间的关系/1 2/1 2/1 4/1 423423PPPP例例3 A,B,C,D连接方式如图，连接方式如图，LRACBD各继电器闭合与否是独立的，各继电器闭合与否是独立的，且闭合的概率均为且闭合的概率均为P，求，求R至至L

34、为通路的概率。为通路的概率。解解 设设A,B,C,D分别表示分别表示A,B,C,D闭合闭合1A表示表示“LR通路通路”则则1AAB CD1P AP AP BCP BDP ABCABCBDP ABDP BCDP ABCD由独立性由独立性例例4 甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设甲、乙、丙甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设甲、乙、丙的命中率分别为的命中率分别为0.4、0.5、0.7，只一人击中飞机，飞机，只一人击中飞机，飞机被击落的概率为被击落的概率为0.2；两人同时击中，飞机被击落的概率；两人同时击中，飞机被击落的概率为为0.6；三人击中飞机，飞机被击落的概率为；三人击中飞机，飞机被击落的概率为1，

35、求，求 “飞机被击落飞机被击落”的概率的概率 若飞机被击落，求它是两人同时击落的概率若飞机被击落，求它是两人同时击落的概率解解 设设A表示表示“飞机被击落飞机被击落”iB表示表示“飞机被飞机被i个人同时击中个人同时击中” i=1,2,3iB是是S的一个划分的一个划分123,CCC分别表示分别表示“甲、乙、丙命中甲、乙、丙命中”1123123123P BP C C CP C C CP C C C0.40.50.30.60.50.30.3631|iiiP AP A BP B用全概率公式用全概率公式 设设A表示表示“飞机被击落飞机被击落”iB表示表示“飞机被飞机被i个人同时击落个人同时击落” i=0

36、,1,2,30.60.50.7 0.2 0.360.6 0.41 1 0.14P A 0.4582123123123P BP C C CP C C CP C C C0.40.50.30.60.50.70.4131230.14P BP C C C0.40.50.7 用用Bayes公式公式222|P A BP BP BAP A0.60.410.540.458 若飞机被击落，求它是两人同时击落的概率若飞机被击落，求它是两人同时击落的概率P ABP A P B例例5 设设01P A， 01P B，|1P A BP A B，问问A、B是否独立？是否独立？解解|1|P A BP A BP ABP B整理得

37、整理得A，B独立独立|P A B P ABP B1P BP AP AB例例6 某仪器有某仪器有3个灯泡，烧坏第一、第二、第三个灯泡个灯泡，烧坏第一、第二、第三个灯泡的概率分别为的概率分别为0.1, 0.2, 0.3. 当当烧坏一个灯泡时，仪器发生故障的概率为烧坏一个灯泡时，仪器发生故障的概率为 0.25.烧坏二个灯泡时，仪器发生故障的概率为烧坏二个灯泡时，仪器发生故障的概率为 0.6.烧坏三个灯泡时，仪器发生故障的概率为烧坏三个灯泡时，仪器发生故障的概率为 0.9.求仪器发生故障的概率求仪器发生故障的概率.解解 设设 Ak 表示表示“恰有恰有 k 个灯泡烧坏个灯泡烧坏” ， k = 1, 2,

38、 3.B表示表示 “仪器发生故障仪器发生故障”.解解 设设 Ak 表示表示“恰有恰有 k 个灯泡烧坏个灯泡烧坏” ， k = 1, 2, 3.B表示表示 “仪器发生故障仪器发生故障”.398. 03 . 08 . 09 . 07 . 02 . 09 . 03 . 012 . 011 . 01AP092. 03 . 02 . 09 . 03 . 08 . 01 . 07 . 02 . 01 . 02AP006. 03 . 02 . 01 . 03AP2/0.6P B A1/0.25P B A3/0.9P B A 30/0.2087.kkKP BP A P B A所以所以例例7 甲乙两人乒乓球比赛

39、甲乙两人乒乓球比赛,每局甲胜的概率为每局甲胜的概率为p (p0.5),对甲而言对甲而言, 采用三局两胜制有利采用三局两胜制有利, 还是采用五局三胜制有还是采用五局三胜制有利？（各局胜负相互独立）利？（各局胜负相互独立）解解 三局两胜三局两胜所以甲最终获胜的概率为所以甲最终获胜的概率为2212(1)pppp 五局三胜五局三胜 甲获胜甲获胜: “甲甲甲甲”、 “乙甲甲乙甲甲”、 “甲乙甲甲乙甲”甲获胜：甲获胜：“甲甲甲甲甲甲”“乙甲甲甲乙甲甲甲”、“甲乙甲甲甲乙甲甲”、“甲甲乙甲甲甲乙甲”“甲乙甲乙甲甲乙甲乙甲”、“乙甲甲乙甲乙甲甲乙甲”、“乙甲乙甲甲乙甲乙甲甲”“乙乙甲甲甲乙乙甲甲甲”、“甲乙乙

40、甲甲甲乙乙甲甲”、“甲甲乙乙甲甲甲乙乙甲” 五局三胜五局三胜 所以甲最终获胜的概率为所以甲最终获胜的概率为333223(1)6(1)ppppPp比较和比较和23221(615123)pppppp223(1) (21)ppp211/ 2ppp，当当，对甲采用五局三胜制有利；，对甲采用五局三胜制有利；211/ 21/ 2ppp，当当时，时，两种赛制甲乙最终获胜的概率相同。两种赛制甲乙最终获胜的概率相同。2212(1)pppp333223(1)6(1)ppppPp注：注： 相互独立事件至少发生一次的概率计算相互独立事件至少发生一次的概率计算12( )()nP BP AAA_121()nP AAA )

41、(121nAAAP121() ()()nP A P AP A 区分事件的互斥性和独立性；区分事件的互斥性和独立性；若若事件事件 A1，A2，An 相互独立相互独立, 则则 一般根据实际背景判断事件的独立性。一般根据实际背景判断事件的独立性。例例6 6设每门炮射击一飞机的命中率为设每门炮射击一飞机的命中率为 0.6 , 现有若干现有若干门炮同时独立地对飞机进行一次射击，门炮同时独立地对飞机进行一次射击， 问需要多少门问需要多少门炮才能以炮才能以 0.99 的把握击中一飞机。的把握击中一飞机。解解 设需要设需要 n 门炮。门炮。Ak “第第 k 门炮击中飞机门炮击中飞机”., 2, 1nkB “飞

42、机被击落飞机被击落” 99. 0)()(21nAAAPBP)(1)(21nAAAPBP)(121nAAAP)()()(121nAPAPAP99. 04 . 01n01. 04 . 0n06. 504. 0lg01. 0lgn故至少需要故至少需要 6门炮才能以门炮才能以 0.99 的把握击中飞机。的把握击中飞机。 某人做一次试验获得成功的概率仅为某人做一次试验获得成功的概率仅为0.2，他，他持之以恒，不断重复试验，求他做持之以恒，不断重复试验，求他做10次试验至少成次试验至少成功一次的概率？做功一次的概率？做20次又怎样呢？次又怎样呢？ 解解：设他做：设他做k次试验至少成功一次的概率为次试验至少成功一次的概率为pk， 则则 p10 = P( A1 A2 A10 ) = 1 ( 1 0.2 )10 0.8926 = 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A10 ) Aj=第第j次试验成功次试验成功，j=1，2，例例7 7三、三、伯努利伯努利概型概型（概率论中最早研究的模型之一，也（概率论中最早研究的模型之一，也是研究最多的模型之一，在理论上一些重要的结果是研究最多的模型之一，在理论上一些重要的结果也也由它推导）由它推导）n重独立试验重独立试验在相同的条件下对试验在相同的条件下对试验E重复做重复做n次，若次，若n次试验中各次试验中各结果是相互独立