2019-2020学年江苏省南通市高考第二次调研数学模拟试卷有答案

1、. . i 4 ii 1结束n y （第 4 题）ss5 输出 s开始s1 i1 南通市高三第二次调研测试数学参考公式：柱体的体积公式vsh柱体，其中 s为柱体的底面积，h 为高一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合10123 102 ua， ， ， ， ，则uae2已知复数12i34izaz，其中i为虚数单位若12zz为纯虚数，则实数a的值为3某班 40 名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间40100，上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60 分的人数为4如图是一个算法流程图，则输出的s的值为5在长为 12 cm 的线段ab上

2、任取一点c，以线段ac，bc为邻边作矩形，则该矩形的面积大于 32 cm2的概率为6在abc中，已知1245abacb，则 bc 的长为注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 本试卷共4 页，包含填空题（共14 题） 、解答题（共6 题） ，满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。2 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5 毫米签字笔填写在答题卡上。3 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2b 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。成绩 /分频率

3、组距40 50 60 70 80 90 100 0.005 0.010 0.015 0.025 0.030 （第 3 题）. . 7在平面直角坐标系xoy 中，已知双曲线c 与双曲线2213yx有公共的渐近线，且经过点23p，则双曲线c 的焦距为8在平面直角坐标系xoy中，已知角，的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点(12 )a，( 51)b，则 tan() 的值为9设等比数列na的前n项和为ns 若396sss，成等差数列，且83a，则5a 的值为10已知 abc， ， 均为正数，且4()abcab，则 abc的最小值为11在平面直角坐标系xoy中，若动圆 c 上的点都在不等式组3330

4、330 xxyxy，表示的平面区域内，则面积最大的圆c 的标准方程为12设函数31e02( )320 xxf xxmxx，（其中e为自然对数的底数）有3 个不同的零点，则实数m的取值范围是13在平面四边形 abcd 中，已知1423abbccdda，则 ac bdu uu ruuu r的值为14已知a为常数，函数22( )1xf xaxx的最小值为23，则a的所有值为二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分14 分）在平面直角坐标系 xoy 中，设向量cossin，a，sincos，b，3122，c（1）若ab

5、c，求 sin () 的值；（2）设56， 0 ，且/abc，求的值16 （本小题满分14 分）如图，在三棱柱abc a1b1c1中，ab ac，点e，f分别在棱bb1 ，cc1上（均异于端点），且abeacf，aebb1，afcc1求证： （1）平面aef平面bb1c1c；（2）bc / 平面aefa a1b1c1b c f e （第 16 题）. . l1 l 2 abc（第 18 题）0 17 （本小题满分14 分）如图，在平面直角坐标系xoy中，b1，b2是椭圆22221(0 )yxabab的短轴端点，p是椭圆上异于点b1，b2的一动点当直线pb1的方程为3yx时，线段pb1的长为4

6、2（1）求椭圆的标准方程；（2）设点q满足：11qbpb ，22qbpb求证：pb1b2与qb1b2的面积之比为定值18 （本小题满分16 分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮（如图） ，并沿虚线l1，l2裁剪成a，b，c三个矩形（b，c全等） ，用来制成一个柱体现有两种方案：方案：以1l为母线，将a作为圆柱的侧面展开图，并从b，c中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案：以1l为侧棱，将a作为正四棱柱的侧面展开图，并从b，c中各裁剪出一个正方形（各边分别与1l或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面（1）设b，c都是正方形，且其内切圆恰为按方案制成的圆柱

7、的底面，求底面半径；（2）设1l的长为xdm ，则当x为多少时，能使按方案制成的正四棱柱的体积最大？19 （本小题满分16 分）设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且10qd，记iiicab（i1，2，3，4） （1）求证：数列123ccc，不是等差数列；（2）设11a，2q若数列123ccc，是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；（3）数列1234cccc，能否为等比数列？并说明理由（第 17 题）0 b1b2p q op x y . . 20 （本小题满分16 分）设函数()sin(0 )fxxaxa（1）若函数()yfx是 r上

8、的单调增函数，求实数a的取值范围；（2）设1()()ln1 (0)2ag xfxbxbbr，()gx是()g x 的导函数若对任意的0()0 xgx，求证：存在0 x ，使0()0gx； 若1212()() ()g xg xxx，求证：2124x xb . . 南通市高三第二次调研测试数学（附加题）21 【选做题】本题包括a、b、c、d四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤a 选修 4-1：几何证明选讲 （本小题满分10 分）如图，a，b，c是o上的 3 个不同的点，半径oa交弦bc于点d求证：22db dcodoa

9、 b 选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分10 分）1t ，2t在平面直角坐标系xoy中，已知( 00 )( 30 )( 22 )abc，设变换对应的矩阵分别为1002m，2001n，求对abc依次实施变换1t ，2t 后所得图形的面积c 选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分10 分）在极坐标系中，求以点23p，为圆心且与直线l：sin23相切的圆的极坐标方程注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共2 页，均为非选择题（第2123 题） 。本卷满分为40 分，考试时间为30 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色

10、字迹的0.5 毫米签字笔填写在答题卡上，并用2b 铅笔正确填涂考试号。3作答试题必须用书写黑色字迹的0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2b 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。a b d o c （第 21a 题）. . d 选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分10 分）已知a，b，c为正实数，且12abc，求证：122accab【必做题】第22、23 题，每小题10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分10 分）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由

11、电脑随机生成一张如图所示的33 表格，其中1 格设奖 300 元， 4 格各设奖200 元，其余4 格各设奖100 元，点击某一格即显示相应金额某人在一张表中随机不重复地点击3 格，记中奖总金额为x元（1）求概率(600 )p x；（2）求 x 的概率分布及数学期望()ex23 （本小题满分10 分）已知212012(1)nxaa xa x2121nnax，*nn 记0( 21)nnn kktka（1）求2t 的值；（2）化简nt 的表达式，并证明：对任意的*nn ，nt 都能被 42n整除（第 22 题）. . i 4 ii 1结束n y （第 4 题）ss5 输出 s开始s1 i1 南通市

12、高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分1已知集合10123 102 ua， ， ， ， ，则uae【答案】13，2已知复数12i34izaz，其中i为虚数单位若12zz为纯虚数，则实数a的值为【答案】433某班 40 名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间40100，上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60 分的人数为【答案】 30 4如图是一个算法流程图，则输出的s的值为成绩 /分频率组距40 50 60 70 80 90 100 0.005 0.010 0.015 0.025 0.030 （第 3 题）. . 【答案】 1

13、25 5在长为 12 cm 的线段ab上任取一点c，以线段ac，bc为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm2的概率为【答案】136在abc中，已知1245abacb，则 bc 的长为【答案】2627在平面直角坐标系xoy 中，已知双曲线c 与双曲线2213yx有公共的渐近线，且经过点23p，则双曲线 c 的焦距为【答案】 4 38在平面直角坐标系xoy中，已知角，的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点(12 )a，( 51)b，则 tan() 的值为【答案】979设等比数列na的前n项和为ns 若396sss，成等差数列，且83a，则5a 的值为【答案】610已知 abc， ， 均为正数

14、，且4()abcab，则 abc的最小值为【答案】 8 11在平面直角坐标系xoy中，若动圆 c 上的点都在不等式组3330330 xxyxy，表示的平面区域内，则面积最大的圆c 的标准方程为【答案】22(1)4xy12设函数31e02( )320 xxf xxmxx，（其中e为自然对数的底数）有3 个不同的零点，则实数m的取值范围是【答案】1，13在平面四边形 abcd 中，已知1423abbccdda，则 ac bdu uu ruuu r的值为【答案】 10 14已知a为常数，函数22( )1xf xaxx的最小值为23，则a的所有值为【答案】144，. . 二、解答题：本大题共6 小题，

15、共计90 分15 （本小题满分14 分）在平面直角坐标系xoy 中，设向量cossin，a，sincos，b，3122，c（1）若abc ，求 sin () 的值；（2）设56， 0 ，且/abc，求的值解： （1）因为cossin，a，sincos，b，3122，c，所以1abc，且cossinsincossin ()a b 3分因为abc ，所以22abc ，即a22a bb21，所以 12sin ()11，即1sin ()2 6 分（2）因为56，所以3122，a依题意，31sincos22，bc 8 分因为/abc，所以3311cossin02222化简得，311sincos222，所

16、以1sin32 12 分因为 0 ，所以2333所以36，即2 14 分16 （本小题满分14 分）如图，在三棱柱abc a1b1c1中，ab ac，点e，f分别在棱bb1 ，cc1上（均异于端点） ，且abeacf，aebb1，afcc1求证： （1）平面aef平面bb1c1c；（2）bc / 平面aef证明：（1）在三棱柱abc a1b1c1中，bb1 / cc1因为afcc1，所以afbb1 2 分又aebb1，aei afa，ae，af平面aef，所以bb1平面aef 5 分a a1b1c1b c f e （第 16 题）. . 又因为bb1平面bb1c1c，所以平面aef平面bb1c

17、1c 7 分（2）因为aebb1，afcc1，abeacf，ab ac，所以 rt aeb rt afc所以be cf 9 分又由（ 1）知，be cf所以四边形befc是平行四边形从而bc ef 11 分又bc平面aef，ef平面aef，所以bc / 平面aef 14 分17 （本小题满分14 分）如图，在平面直角坐标系xoy中，b1，b2是椭圆22221(0 )yxabab的短轴端点，p是椭圆上异于点b1，b2的一动点当直线pb1的方程为3yx时，线段pb1的长为4 2（1）求椭圆的标准方程；（2）设点q满足：11qbpb ，22qbpb求证：pb1b2与qb1b2的面积之比为定值解：设0

18、0p xy，11q xy，（1）在3yx中，令0 x，得3y，从而b 3 2 分由222193yxayx，得222319xxa所以20269axa 4 分因为22100032pbxyx，所以2264229aa，解得218a所以椭圆的标准方程为221189yx 6 分（2）方法一：直线pb1的斜率为1003pbykx，由11qbpb ，所以直线qb1的斜率为1003qbxky于是直线qb1的方程为：0033xyxy（第 17 题）0 b1b2p q op x y . . 同理，qb2的方程为：0033xyxy 8 分联立两直线方程，消去y，得20109yxx 10 分因为00p xy，在椭圆22

19、1189yx上，所以22001189xy，从而220092xy所以012xx 12 分所以1212012pb bqb bsxsx 14 分方法二：设直线pb1，pb2的斜率为k， k ，则直线pb1的方程为3ykx由11qbpb ，直线qb1的方程为13yxk将3ykx代入221189yx，得2221120kxkx，因为p是椭圆上异于点b1，b2的点，所以00 x，从而0 x21221kk 8 分因为00p xy，在椭圆221189yx上，所以22001189xy，从而220092xy所以2000200033912yyyk kxxx，得12kk 10 分由22qbpb，所以直线2qb 的方程为

20、23ykx联立1323yxkykx，则2621kxk，即12621kxk 12 分所以1212201212212621pb bqb bksxksxkk 14 分18 （本小题满分16 分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮（如图） ，并沿虚线l1，l2裁剪成a，b，c三个矩形（b，c全等） ，用来制成一个柱体现有两种方案：方案：以1l为母线，将a作为圆柱的侧面展开图，并从b，c中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案：以1l为侧棱，将a作为正四棱柱的侧面展开图，并从b，c中各裁剪出一个正方形（各边分别与1l或2l 垂直）作为正四棱柱的两个底面（1）设b，

21、c都是正方形，且其内切圆恰为按方案制成的圆柱的底面，求底面半径；. . l1 l 2 abc（第 18 题）0 （2）设1l的长为xdm ，则当x为多少时，能使按方案制成的正四棱柱的体积最大？解： （1）设所得圆柱的半径为r dm ，则224100rrr， 4分解得52 12 1r 6 分（2）设所得正四棱柱的底面边长为adm ，则21004xaaax，即220.xaax， 9 分方法一：所得正四棱柱的体积3202 1044002 10.xxva xxx， 11 分记函数302 104( )4002 10.xxp xxx，则( )p x 在 02 10，上单调递增，在2 10 ，上单调递减，所

22、以当2 10 x时，max( )20 10px所以当2 10 x，10a时，maxv20 10 dm3 14 分方法二：202axa，从而10a 11 分所得正四棱柱的体积2220202010va xaaa所以当10a，2 10 x时，maxv20 10 dm3 14 分答： （1）圆柱的底面半径为52 12 1dm ；（2）当x为 2 10 时，能使按方案制成的正四棱柱的体积最大 16 分【评分说明】直接“由21002xxx得，2 10 x时正四棱柱的体积最大”给2 分；方法一中的求解过程要体现( )210p xv，凡写成( )210p xv的最多得5 分，其它类似解答参照给分19 （本小题

23、满分16 分）. . 设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且10qd，记iiicab（i1，2，3，4） （1）求证：数列123ccc，不是等差数列；（2）设11a，2q若数列123ccc，是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；（3）数列1234cccc，能否为等比数列？并说明理由解： （1）假设数列123ccc，是等差数列，则2132ccc ，即2211332ababab因为12bb，3b 是等差数列，所以2132bbb 从而2132aaa 2 分又因为12aa，3a 是等比数列，所以2213aa a 所以123aaa ，这与1q矛

24、盾，从而假设不成立所以数列123ccc，不是等差数列4 分（2）因为11a，2q，所以12nna因为221 3ccc ，所以2222214bbdbd ，即223bdd ， 6 分由2220cb，得2320dd，所以1d且2d又0d，所以223bdd ，定义域为120ddddr，8 分（3）方法一：设c1，c2，c3，c4成等比数列，其公比为q1，则111111122111 1331111=2 =3 =.abca qbd c qa qbd c qa qbd c q， 10 分将 + 2得，2211111aqcq，将 + 2得，22111111a q qc qq， 12 分因为10a，1q，由得1

25、0c，11q由得1qq ，从而11ac 14 分代入得10b再代入，得0d，与0d矛盾所以c1，c2，c3，c4不成等比数列16 分方法二：假设数列1234cccc，是等比数列，则324123cccccc 10 分所以32432132cccccccc，即32432132aadaadaadaad. . 两边同时减1 得，321432213222aaaaaaaadaad 12 分因为等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q1q，所以321321213222q aaaaaaaadaad又23211210aaaaq，所以2132q aadaad ，即10qd 14 分这与1q， 且0d矛盾，所以假设不

26、成立所以数列1234cccc，不能为等比数列16 分20 （本小题满分16 分）设函数()sin(0 )fxxaxa（1）若函数()yfx是 r上的单调增函数，求实数a的取值范围；（2）设1()()ln1 (0)2ag xfxbxbbr，()gx是()g x 的导函数若对任意的0()0 xgx，求证：存在0 x ，使0()0gx； 若1212()() ()g xg xxx，求证：2124x xb 解： （1）由题意，1cos0fxax对 xr 恒成立，因为0a，所以1cosxa对 xr 恒成立，因为maxcos1x，所以11a，从而 01a 3 分（2）1sinln12g xxxbx，所以11

27、cos2bgxxx若0b，则存在02b，使11cos0222bbg，不合题意，所以0b 5 分取30ebx，则001x此时30000111sinln11ln10222bg xxxbxbe所以存在00 x，使00g x 8 分依题意，不妨设120 xx ，令21xtx，则1t由（ 1）知函数sinyxx 单调递增，所以2211sinsinxxxx 从而2121sinsinxxxx 10 分因为12g xg x，所以11122211sinln1sinln122xxbxxxbx，所以2121212111lnlnsinsin22bxxxxxxxx. . 所以212120lnlnxxbxx 12 分下面

28、证明211221lnlnxxx xxx，即证明1lnttt，只要证明1ln0ttt设1ln1th tttt，所以2102thttt在 1，恒成立所以 h t 在 1，单调递减，故10h th，从而得证所以122bx x ，即2124x xb 16 分数学（附加题）21 【选做题】本题包括a、b、c、d四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤a 选修 4-1：几何证明选讲 （本小题满分10 分）如图，a，b，c是o上的 3 个不同的点，半径oa交弦bc于点d求证：22db dcodoa 证明：延长ao 交o于点e，则 d

29、bdcdedaodoeoaod 5 分因为 oeoa ，所以22dbdcoaodoaodoaod 所以22db dcodoa 10 分b 选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分10 分）a b d c （第 21a 题）e o . . 在平面直角坐标系xoy中，已知( 00 )( 30 )( 22)abc，设变换1t ，2t 对应的矩阵分别为1002m，2001n，求对abc依次实施变换1t ，2t 后所得图形的面积解：依题意，依次实施变换1t ，2t 所对应的矩阵nm201020010202 5 分则20000200，20360200，20240224所以( 00 )( 30 )( 22 )

30、abc，分别变为点( 00 )( 60 )( 44 )abc，从而所得图形的面积为164122 10 分c 选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分10 分）在极坐标系中，求以点23p，为圆心且与直线l：sin23相切的圆的极坐标方程解：以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xoy 则点p的直角坐标为13， 2分将直线l：sin23的方程变形为：sincoscos sin233，化为普通方程得，340 xy 5 分所以13p，到直线l：340 xy的距离为：224231故所求圆的普通方程为22134xy 8 分化为极坐标方程得，4sin6 10 分d 选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分10 分）已知a，b，c为正实数，且12abc，求证：122accab证明：因为a，b，c为正实数，所以12322acabccabcab22acbcacbc. . 242acbcacbc2（当且仅当abc取“ =” ） 10 分【必做题】第22、23 题，每小题10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算