2019-2020学年广东省汕头市高考数学二模试卷(理科)(有答案)

1、. . 广东省汕头市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1已知函数y=f （log2x）的定义域为1 ，2 ，那么函数y=f （x）的定义域为（）a2 ，4 b1 ， 2 c0 ，1 d （ 0，1 2在等差数列an中，已知a4+a8=16，则该数列前11 项和 s11=（）a58 b88 c 143 d176 3若 m为实数且（ 2+mi） （m 2i ）=43i ，则 m= （）a 1 b0 c 1 d2 4 在三角形abc中， 已知 ab=5 ， ac=7 ， ad是 bc边上的中线，

2、 点 e是 ad的一个三等分点 （靠近点a） ， 则=（）a12 b6 c 24 d4 5给出下列4 个命题，其中正确的个数是（）若“命题pq 为真”，则“命题pq为真”；命题“ ? x0，x lnx 0”的否定是“? x0，xlnx 0”；“tanx 0”是“ sin2x 0”的充要条件；计算： 9192除以 100 的余数是1a1 个b2 个c 3 个d4 个6如图，该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的a=3，则输入的a，b 分别可能为（）a15、18 b14、 18 c13、18 d12、18 7一条光线从点（2， 3）射出，经y

3、 轴反射后与圆（x+3）2+（y 2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）a或b或c或d或. . 8从 1，2，3，4， 5，6，7，8，9 这 9 个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为（）a64 b56 c 53 d51 9已知正三棱锥s abc的六条棱长都为，则它的外接球的体积为（）abcd10已知函数f（x）=acos（x+）（a0， 0， 0）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，efg是边长为2 的等边三角形，则f （1）的值为（）abcd11设 an是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为x，y，z，则下列等式

4、中恒成立的是（）ax+z=2y by（yx）=z（zx）cy2=xz d y（yx）=x（zx）12已知定义在r上的函数满足条件f （x+）=f（ x） ，且函数 y=f （x）为奇函数，则下面给出的命题，错误的是（）a函数 y=f （x）是周期函数，且周期t=3 b函数 y=f （x）在 r上有可能是单调函数c函数 y=f （x）的图象关于点对称d函数 y=f （x）是 r上的偶函数二、填空题： （本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 ）13若 x，y 满足约束条件，则的最小值为14已知等比数列an ，满足 a1=1，a2016=2，函数 y=f （x）的导函数为y=f （ x） ，

5、且 f （x）=x（xa1） （xa2）（ xa2016） ，那么 f （ 0）= 15二项式（ 4x 2x）6（xr）展开式中的常数项是. . 16已知函数f （ x）= 1 的定义域是 a ， b （a， b为整数），值域是 0 ，1 ，请在后面的下划线上写出所有满足条件的整数数对（a，b）三、解答题： （本大题8 个小题，共70 分，解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤）17如图，在四边形abcd中， cb=ca= ad=1 ， = 1，sin bcd=（1）求证： ac cd ；（2）求四边形abcd 的面积；（3）求 sinb 的值18如图，已知直四棱柱abcd a1b1c1d1的

6、底面中， db=4，dab= dcb=90 ， bdc= bda=60 （1）求直线ac与平面 bb1c1c所成的角正弦值；（2）若异面直线bc1与 ac所成的角的余弦值为，求二面角ba1c1a的正切值19一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取5 件作检验，这5 件产品中优质品的件数记为n如果 n=3，再从这批产品中任取2 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；如果n=5，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为50% ，即取出的产品是优质品的概率都为，且各

7、件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；. . （2）已知每件产品检验费用为200 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 x（单位：元），求 x 的分布列20如图，曲线 由曲线 c1：和曲线 c2：组成，其中点 f1，f2为曲线 c1所在圆锥曲线的焦点，点f3，f4为曲线 c2所在圆锥曲线的焦点，（1）若 f2（2，0） ，f3（ 6，0） ，求曲线 的方程；（2）如图，作直线l 平行于曲线c2的渐近线，交曲线c1于点 a、b，求证：弦ab的中点 m必在曲线c2的另一条渐近线上；（3）对于（ 1）中的曲线，若直线l1过点 f4交曲线 c1于点 c

8、、d，求 cdf1面积的最大值21设函数f （x）=ln （x+1）+a（x2x） ，其中 ar，（）讨论函数f （x）极值点的个数，并说明理由；（）若 ? x0，f（ x）0 成立，求a 的取值范围四. 请考生在第22、23、24 题中任选一题作答如果多做， 则按所做的第一题计分，答题时请写清题号 选修 4-1 ：几何证明选讲22选修 41：几何证明选讲如图，o和o 相交于a， b两点，过 a作两圆的切线分别交两圆于c，d两点，连接db并延长交o于点 e证明：（） ac?bd=ad?ab；（） ac=ae 选修 4-4 ：坐标系与参数方程. . 23在平面直角坐标系xoy中，已知圆c1：x2

9、+y2=4，圆 c2： （x2）2+y2=4（）在以o为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆c1与圆 c2的极坐标方程及两圆交点的极坐标；（）求圆c1与圆 c2的公共弦的参数方程 选修 4-5 ：不等式选讲 24已知 a0，b0，c0，函数 f （x）=|x+a|+|xb|+c 的最小值为4（1）求 a+b+c 的值；（2）求a2+b2+c2的最小值. . 广东省汕头市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1已知函数y=f （log2x）的定义域为1 ，2 ，那么

10、函数y=f （x）的定义域为（）a2 ，4 b1 ， 2 c0 ，1 d （ 0，1 【考点】 函数的定义域及其求法【分析】 函数 y=f （ log2x）的定义域为 1 ，2 ，即 x1 ，2 ，求得 log2x 的范围即可得到函数y=f （x）的定义域【解答】 解：函数y=f （log2x）的定义域为 1 ，2 ，即 1x2，可得0log2x1，即函数 y=f （x）的定义域为 0 ，1 故选： c2在等差数列an中，已知a4+a8=16，则该数列前11 项和 s11=（）a58 b88 c 143 d176 【考点】 等差数列的性质；等差数列的前n 项和【分析】 根据等差数列的定义和性质

11、得 a1+a11=a4+a8=16，再由 s11=运算求得结果【解答】 解：在等差数列an中，已知a4+a8=16，a1+a11=a4+a8=16，s11=88，故选 b3若 m为实数且（ 2+mi） （m 2i ）=43i ，则 m= （）a 1 b0 c 1 d2 【考点】 复数代数形式的乘除运算【分析】 利用复数的运算法则、复数相等即可得出【解答】 解：（ 2+mi） （m 2i ）=43i ，4m+ （m24）i= 43i ，解得 m= 1故选： a. . 4 在三角形abc中， 已知 ab=5 ， ac=7 ， ad是 bc边上的中线， 点 e是 ad的一个三等分点 （靠近点a） ，

12、 则=（）a12 b6 c 24 d4 【考点】 平面向量数量积的运算【分析】 用表示出，再利用数量积的运算性质计算【解答】 解： ad是 bc边上的中线，点e是 ad的一个三等分点（靠近点a ） ，=， =，=（）=4故选： d5给出下列4 个命题，其中正确的个数是（）若“命题pq 为真”，则“命题pq为真”；命题“ ? x0，x lnx 0”的否定是“? x0，xlnx 0”；“tanx 0”是“ sin2x 0”的充要条件；计算： 9192除以 100 的余数是1a1 个b2 个c 3 个d4 个【考点】 命题的真假判断与应用【分析】 利用复合命题的真假判断的正误；命题的否定判断的正误；

13、充要条件判断的正误二项式定理判断的正误【解答】 解：若“命题pq 为真”，则p，q 都为真命题，所以“命题pq为真”，故正确；命题“ ? x0，x lnx 0”的否定是“? x0，xlnx 0”，满足命题的否定形式，正确；“tanx 0”可得x（k，k+） ，kz；“sin2x 0“可得2x（2k，2k+），即 x（k，k+） ，kz；所以“ tanx 0”是“ sin2x 0“的充要条件正确；由于 9192=92=c920?10092?（ 9）0+c9291?1001?（ 9）91+c9292?1000?（ 9）92，在此展开式中，除了最后一项外，其余的项都能被100 整除，故 9192除以

14、 100 的余数等价于c9292?1000?（9）92=992除以 100 的余数，而 992=（101）92=c920?1092?（ 1）0+c9291?101?（ 1）91+c9292?100?（ 9）92，故 992除以 100 的余数等价于c9291?101?（ 1）91+c9292?100?（ 9）92除以 100 的余数，而c9291?101?（ 1）91+c9292?100?（ 9）92=919=10100+81，故9192除以 100 的余数是81不正确故选： c. . 6如图，该程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的a=3

15、，则输入的a，b 分别可能为（）a15、18 b14、 18 c13、18 d12、18 【考点】 程序框图【分析】 由程序框图的输出功能，结合选项中的数据，即可得出输入前a，b 的值【解答】 解：根据题意，执行程序后输出的a=3，则执行该程序框图前，输人a、b 的最大公约数是3，分析选项中的四组数，满足条件的是选项a故选： a7一条光线从点（2， 3）射出，经y 轴反射后与圆（x+3）2+（y 2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）a或b或c或d或【考点】 圆的切线方程；直线的斜率【分析】 点 a （ 2， 3）关于 y 轴的对称点为a（ 2，3） ，可设反射光线所在直线的方程为：y

16、+3=k（x2） ，利用直线与圆相切的性质即可得出【解答】 解：点 a（ 2， 3）关于 y 轴的对称点为a（ 2， 3） ，故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x2） ，化为 kxy2k3=0反射光线与圆（x+3）2+（y2）2=1 相切，圆心（ 3，2）到直线的距离d=1，化为 24k2+50k+24=0，k=或故选： d. . 8从 1，2，3，4， 5，6，7，8，9 这 9 个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为（）a64 b56 c 53 d51 【考点】 计数原理的应用【分析】 对数真数为1 和不为 1，对数底数不为1，分别求出对

17、数值的个数【解答】 解：由于1 只能作为真数，从其余各数中任取一数为底数，对数值均为0从 1 除外的其余各数中任取两数分别作为对数的底数和真数，共能组成87=56 个对数式，log24=log39， log42=log93， log23=log49， log32=log94 重复了 4 次，要减去4共有 1+56 4=53 个故选： c9已知正三棱锥s abc的六条棱长都为，则它的外接球的体积为（）abcd【考点】 球的体积和表面积；球内接多面体【分析】 由正三棱锥sabc的所有棱长均为，所以此三棱锥一定可以放在棱长为的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外

18、接球的半径，再代入球的体积公式计算即可【解答】 解：正三棱锥sabc的所有棱长都为，此三棱锥一定可以放在正方体中，我们可以在正方体中寻找此三棱锥正方体的棱长为=，此四面体的外接球即为此正方体的外接球，外接球的直径为正方体的对角线长，外接球的半径为r= =2，球的体积为v=r3=，故选： a10已知函数f（x）=acos（x+）（a0， 0， 0）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，efg是边长为2 的等边三角形，则f （1）的值为（）. . abcd【考点】 余弦函数的奇偶性；余弦函数的图象【分析】 由 f （x）=acos（x+）为奇函数，利用奇函数的性质可得f （0）=acos=0 结合已

19、知0，可求=，再由 efg是边长为 2 的等边三角形，可得=a，结合图象可得，函数的周期t=4，根据周期公式可得，从而可得f （x） ，代入可求f （1） 【解答】 解： f （x）=acos（x+）为奇函数f （ 0）=acos=0 0=f （ x）=acos（x）=asinx efg是边长为2 的等边三角形，则=a 又函数的周期 t=2fg=4，根据周期公式可得，=f （ x）=asinx=则 f （1） =故选 d 11设 an是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为x，y，z，则下列等式中恒成立的是（）ax+z=2y by（yx）=z（zx）cy2=xz d y

20、（yx）=x（zx）【考点】 等比数列【分析】 取一个具体的等比数列验证即可【解答】 解：取等比数列1，2，4，令 n=1 得 x=1 ，y=3，z=7 代入验算，只有选项d满足故选 d 12已知定义在r上的函数满足条件f （x+）=f（x） ，且函数 y=f （x）为奇函数，则下面给出的命题，错误的是（）a函数 y=f （x）是周期函数，且周期t=3 . . b函数 y=f （x）在 r上有可能是单调函数c函数 y=f （x）的图象关于点对称d函数 y=f （x）是 r上的偶函数【考点】 函数的周期性【分析】 题目中条件：f （x+）=f （x）可得 f （x+3）=f （ x）知其周期，利

21、用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性【解答】 解：对于a： f （x+3） =f （x+）=f （x）函数f （x）是周期函数且其周期为3，a对；对于 b：由 d得：偶函数的图象关于y 轴对称， f （x）在 r上不是单调函数，b不对对于 c： y=f （x）是奇函数其图象关于原点对称，又函数f（x）的图象是由y=f （x）向左平移个单位长度得到，函数 f （x）的图象关于点（，0）对称，故c对；对于 d：由 c知，对于任意的xr，都有 f （x）=f （+x） ，用+x 换 x，可得： f （x）+f （x）=0，f （x）

22、=f （x）=f （x+）对于任意的xr都成立，令 t=+x，则 f （ t ）=f （t ） ，函数f （x）是偶函数，d对故选： b二、填空题： （本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 ）13若 x，y 满足约束条件，则的最小值为2 【考点】 简单线性规划【分析】 由约束条件作出可行域，的几何意义是（x，y）与（ 3，0）连线的斜率，数形结合得到的最小值【解答】 解：由约束条件作出可行域如图，的几何意义是（x，y）与（ 3，0）连线的斜率. . 联立，解得 b（1，1） ，联立，解得 c（ 2，2）的最小值为=2故答案为：214已知等比数列an ，满足 a1=1，a2016=2，函

23、数 y=f （x）的导函数为y=f （ x） ，且 f （x）=x（xa1） （xa2）（ xa2016） ，那么 f （ 0）= 21008【考点】 导数的运算【分析】 由题意，设g（x）=（xa1） （ xa2）（ xa2016） ，利用导数的运算，得到f （x） ，得到所求为g（0） 【解答】 解：由已知，设g（x）=（xa1） （xa2）（ xa2016） ，则 f （ x）=xg（x） ，f （x）=g（x）+xg （x） ，所以 f （ 0）=g（ 0）=（ a1） （ a2）（ a2016）=a1a2a2016，等比数列 an，满足 a1=1，a2016=2，得到 a1a2a20

24、16=（ a1a2016）1008=21008；故答案为： 2100815二项式（ 4x 2x）6（xr）展开式中的常数项是15 【考点】 二项式定理的应用【分析】 利用二项展开式的通项公式tr+1=?（ 4x）6r?（ 1）r?（ 2x）r，令 2 的指数次幂为0 即可求得答案【解答】 解：设二项式（4x2x）6（xr）展开式的通项公式为tr+1，. . 则 tr+1=?（4x）6r?（ 1）r?（2x）r=（ 1）r?212x3rx，x 不恒为 0，令 12x3rx=0 ，则 r=4 展开式中的常数项是（1）4?=15故答案为： 1516已知函数f （ x）= 1 的定义域是 a ，b （

25、a，b 为整数），值域是 0 ，1 ，请在后面的下划线上写出所有满足条件的整数数对（a，b）（ 2，0） ， （ 2，1） ， （ 2，2） ， （ 1， 2） ， （0，2）【考点】 函数的定义域及其求法【分析】 根据函数的值域先求出满足条件的条件x，结合函数的定义域进行求解即可【解答】 解：由 f （x）=1=0 得=1，得 |x|+2=4 ，即 |x|=2 ，得 x=2 或 2，由 f （x） =1=1 得=2，得 |x|+2=2 ，即 |x|=0 ，得 x=0，则定义域为可能为 2，0 ， 2，1 ， 2，2 ， 1，2 ，0 ，2 ，则满足条件的整数数对（a，b）为（ 2，0） ，

26、（ 2， 1） ， （ 2，2） ， （ 1，2） ， （0， 2） ，故答案为：（ 2，0） ， （ 2， 1） ， （ 2，2） ， （ 1，2） ， （0， 2） ，三、解答题： （本大题8 个小题，共70 分，解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤）17如图，在四边形abcd中， cb=ca= ad=1 ， = 1，sin bcd= （1）求证： ac cd ；（2）求四边形abcd 的面积；（3）求 sinb 的值. . 【考点】 平面向量数量积的运算；正弦定理；解三角形【分析】 （ 1）根据题意可分别求得ac ，cd和 ab ，利用=1，利用向量的数量积的性质求得cosdac的值，

27、进而求得 dac ，进而利用余弦定理求得dc的长求得 bc2+ac2=ab2判断 ac cd ，（2）在直角三角形中求得cosacb的值，利用同角三角函数的基本关系气的sin acb ，然后利用三角形面积公式求得三角形abc和 acd的面积，二者相加即可求得答案（3）在 acb中利用余弦定理求得ab的长，最后利用正弦定理求得sinb 的值【解答】 解： （1）cb=ca= ad=1， = 1，?=|?|?cosa=12?coscad=1 ，coscad= ，cad=由余弦定理cd2=ac2+ad22ad?accos cad=1+4 22=3cd=，ad2=ac2+cd2，acd=ac cd ，

28、（2）由（ 1）acd=，sin bcd=sin （+acb ）=cosacb=acd （ 0，） ，sin acb=sacb=11=s四边形 abcd=sabc+sacd=+（3）在 acb中，ab2=ac2+bc22ac?bccos acb=1+1 211=. . ab=，=，sinb=18如图，已知直四棱柱abcd a1b1c1d1的底面中， db=4，dab= dcb=90 ， bdc= bda=60 （1）求直线ac与平面 bb1c1c所成的角正弦值；（2）若异面直线bc1与 ac所成的角的余弦值为，求二面角ba1c1a的正切值【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角【分析

29、】（1）根据直线和平面所成角的定义先作出线面角，根据三角形的边角关系即可求直线ac与平面bb1c1c所成的角正弦值；（2）根据异面直线bc1与 ac所成的角的余弦值为，先求出直四棱柱高的值，根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，根据三角形的边角关系即可求二面角b a1c1a的正切值【解答】 解： （1） db=4 ，dab= dcb=90 ， bdc= bda=60 cd=ad=2 ，bc=ab=2，ac=2，即三角形abc是正三角形，则 ac bd ，取 bc的中点 p，则 ap bc ，ap 平面bb1c1c，则acb是直线 ac与平面 bb1c1c所成的角，则acb=60 ，则 si

30、n acb=sin60 =，. . 即直线 ac与平面 bb1c1c所成的角正弦值是；（2） a1c1ac ，直线 bc1与 a1c1所成的角即是直线bc1与 ac所成的角，连接 a1b，设 a1a=m ，则 a1b=，bc1=，a1c1=ac=2，则 cosa1c1b=，异面直线bc1与 ac所成的角的余弦值为，=，即=4，则 12+m2=16，则 m2=4，m=2 ，取 a1c1的中点 f，连接 fo ，则 fo a1c1，a1b=bc1=，bf a1c1，即bfo是二面角b a1c1 a的平面角，则 tan bfo=. . 19一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取5

31、件作检验，这5 件产品中优质品的件数记为n如果 n=3，再从这批产品中任取2 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；如果n=5，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为50% ，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为200 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 x（单位：元），求 x 的分布列【考点】 离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率

32、【分析】（1）由题意知：第一次取5 件产品中，恰好有k 件优质品的概率为p（ k）=，由此能求出这批产品通过检验的概率（2）由题意得x的可能取值为1000，1200，1400，分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列【解答】 解： （1）由题意知：第一次取5 件产品中，恰好有k 件优质品的概率为：p（k）=，k=0， 1，2，3，4，5，这批产品通过检验的概率：p=+5+（）5=（2）由题意得x的可能取值为1000，1200，1400，p（x=1000）=（）5=，p（x=1200）=，p（x=1400）=+=，x的分布列为： x 1000 1200 1400 p 20如图，曲线 由曲线 c1

33、：和曲线 c2：组成，其中点 f1，f2为曲线 c1所在圆锥曲线的焦点，点f3，f4为曲线 c2所在圆锥曲线的焦点，（1）若 f2（2，0） ，f3（ 6，0） ，求曲线 的方程；（2）如图，作直线l 平行于曲线c2的渐近线，交曲线c1于点 a、b，求证：弦ab的中点 m必在曲线c2的另一条渐近线上；. . （3）对于（ 1）中的曲线，若直线l1过点 f4交曲线 c1于点 c、d，求 cdf1面积的最大值【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）由 f2（2，0） ，f3（ 6，0） ，可得，解出即可；（2）曲线 c2的渐近线为，如图， 设点 a （x1，y1） ，b （ x2，y2）

34、，m （x0，y0） ，设直线 l ：y=，与椭圆方程联立化为2x22mx+ （m2a2）=0，利用 0，根与系数的关系、中点坐标公式，只要证明，即可（3）由（ 1）知，曲线c1：，点 f4（6， 0） 设直线l1的方程为 x=ny+6（n0） 与椭圆方程联立可得（5+4n2）y2+48ny+64=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出【解答】（1）解： f2（2，0） ，f3（ 6，0） ，解得，则曲线 的方程为和（2）证明：曲线c2的渐近线为，如图，设直线l ： y=，则，化为 2x2 2mx+ （m2a2）=0，=4m28（m2a2） 0，解得.

35、 . 又由数形结合知设点 a（x1，y1） ， b（x2，y2） ，m （x0，y0） ，则 x1+x2=m ，x1x2=，=，即点 m在直线 y=上（3）由（ 1）知，曲线c1：，点 f4（6， 0） 设直线 l1的方程为x=ny+6（n 0） ，化为（ 5+4n2） y2+48ny+64=0，=（ 48n）2464（ 5+4n2） 0，化为 n21设 c（x3，y3） ，d（x4，y4） ，|y3y4|=，=，令 t=0， n2=t2+1，=，当且仅当t=，即 n=时等号成立n=时， =21设函数f （x）=ln （x+1）+a（x2x） ，其中 ar，（）讨论函数f （x）极值点的个数，

36、并说明理由；（）若 ? x0，f（ x）0 成立，求a 的取值范围【考点】 利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题. . 【分析】（i）函数 f （x） =ln （x+1）+a（ x2 x） ，其中 ar，x（ 1，+） =令 g（x）=2ax2+axa+1对 a 与分类讨论可得： （1）当 a=0 时，此时 f （ x）0，即可得出函数的单调性与极值的情况（2）当 a 0 时， =a（ 9a 8） 当时， 0，当a时， 0，即可得出函数的单调性与极值的情况（3）当 a 0 时， 0即可得出函数的单调性与极值的情况（ii ）由（ i ）可知：（1）当 0a时，可得函数f （x）在（ 0，+）上

37、单调性，即可判断出（2）当a1 时，由 g（0）0，可得x20，函数 f （x）在（ 0，+）上单调性，即可判断出（3）当 1 a 时，由 g（0） 0，可得 x20，利用 x（ 0，x2）时函数f （ x）单调性，即可判断出；（4）当 a 0 时，设 h（x）=xln （x+1） ，x（ 0，+） ，研究其单调性，即可判断出【解答】 解： （i ）函数 f （x）=ln （x+1） +a（x2x） ，其中 a r ，x（ 1，+） =令 g（x） =2ax2+axa+1（1）当 a=0 时， g（x）=1，此时 f （ x） 0，函数 f （x）在（ 1，+）上单调递增，无极值点（2）当 a

38、 0 时， =a28a（1 a）=a（ 9a8） 当时， 0， g（x）0，f （ x）0，函数f （x）在（ 1，+）上单调递增，无极值点当 a时， 0，设方程2ax2+axa+1=0 的两个实数根分别为x1，x2，x1x2x1+x2=，由 g（ 1） 0，可得 1x1当 x（ 1，x1）时， g（x） 0，f （ x） 0，函数 f （x）单调递增；当 x（ x1，x2）时， g（x） 0，f （ x） 0，函数 f （x）单调递减；当 x（ x2，+）时， g（x） 0，f （ x） 0，函数 f （x）单调递增因此函数f（x）有两个极值点（3）当 a 0 时， 0由 g（ 1）=10，

39、可得 x1 1x2当 x（ 1，x2）时， g（x） 0，f （ x） 0，函数 f （x）单调递增；当 x（ x2，+）时， g（x） 0，f （ x） 0，函数 f （x）单调递减. . 因此函数f（x）有一个极值点综上所述：当a 0时，函数f （x）有一个极值点；当 0a时，函数f （ x）无极值点；当 a时，函数f （x）有两个极值点（ii ）由（ i ）可知：（1）当 0a时，函数f （x）在（ 0，+）上单调递增f （ 0）=0，x（ 0，+）时， f （x） 0，符合题意（2）当a1 时，由 g（0）0，可得x20，函数 f （x）在（ 0，+）上单调递增又 f （0） =0，x（ 0，+）时， f （x） 0，符合题意（3）当 1 a 时，由 g（0） 0，可得 x20，x（ 0，x2）时，函数f （x）单调递减又 f （0） =0，x（ 0，x2）时， f （x） 0，不符合题意，舍去；（4）当 a 0 时，设 h（x）=xln （x+1） ，x（ 0，+） ，h（ x）=0h（ x）在（ 0，+）上单调递增因此 x（ 0，+）时， h（x） h（0）=0，即 ln （x+1） x，可得： f （x） x+a（ x2x）=ax2+（1a） x，当 x时，ax2+（1 a）x0，此时 f （x） 0，不合题意，舍去综上所述， a 的取值范围为0 ，