2019-2020学年上海市复旦附中高一(上)期末数学试卷(有答案解析)

1、2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 4小题，共12.0分）1 .若命题甲：£ 1 = 口，命题乙：工H ,则命题甲是命题乙的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分也非必要条件2 .下列函数中既是偶函数，又在（0，+k上单调递增的是（）A. - :|7| B.梦"C. J； D."三城3 .设函数的定义域为R,有下列三个命题：若存在常数M,使得对任意eER,有北）&州,则M是函数/ 的最大值；若存在,r0 得 得，使得对任意工w R ,且汇卢向,有/< f （知,则是函数/（.r）的最

2、 大值；若存在,r0 £ R ,使得对任意 工E R ,有久知,则J'"。是函数/;）的最大值. 这些命题中，真命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 34 .已知函数了）=+.二+次，记集合4 =同/。/£/?,集合B = 了|/（.琦=0« H ,若工二B ,且都不是空集，则 切+露的取值范围是（）A. 'B.C. ID.二、填空题（本大题共 12小题，共36.0分）5 .函数gbg醇一 丁）的定义域为.6 .函数“-+ l（r W -1）的反函数为 .7 .已知仙,试用a表不'M坳12 =.8 .备函数=（<i -

3、l>-2（rl 3（a.r；j W N）为偶函数，且在lO.+x）上是减函数，则 也十,巨=9 .函数M -一上）的递增区间为 .10 .方程历佻- 5） 二 /峻（V - 2） + 2的解是.11 .已知关于x的方程+ M + *-1 = U有两个实数根，且一根大于2, 一根小于2,则实数k的取值范围为.f -T + 6 T < 212 .若函数/（-T）= < 3 + f叼应工 5 金旧A 0且力力）的值域是 乩+X）,则实数a的取值范围是13 .已知/）= 3力的反函数为/（,门，当.rw3同时，函数F（r）=f 1Q 1）+1的最 大值为M ,最小值为m,则-m =

4、.14 .对于函数1），若对于任意的a, b, m ,八。），J® , /H）为某一三角形的三边长，则 称】）为“可构造三角形函数”，已知函数f是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是.15 .若关于x的方程4工+能不-士| =切在（0.+乂）内恰有三个相异实根，则实数 m的取值范 JH围为.16.已知函数工人芦+工+及工£1£I,= 1“/一2） 小（屋E H）,若对任意的 4 ,-+加小人工> 1?，- + 1及£ J,W卅.£> -2,均有门）&皿及），则实数k的取值范围是 .三、解答题（本大题共5小题，共60.

5、0分）17 .已知函数了4 一务 + I .（1若0 = 1,解方程：/1;（2）若在I-L 1上存在零点，求实数 a的取值范围.18 .已知函数/（X）=-的图象关于原点对称，其中 a为常数.r - 1求a的值；设集合力=.工苴7/1 , E = 1|/（对+- 1） < m,若4nH/。，求实数m的取值范围.19 .近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今 的热点问题.某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售 经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器 百台），其总成本为万元），其中固定成本为12

6、万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本二固定成本一生产成本），.销售收入Q3I万元）满足。"）=心，假定该产品产22-1（ > 16）销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据以述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数u二JM的解析式（利润=销售收入一总成本）；（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？20 .若函数满足：对于其定义域 D内的任何一个自变量 g ,都有函数值/（小）E D ,则称函数 在D上封闭.（l j若下列函数的定义域为 D=.1）,试判断其中哪些在 D上封闭，并说明理由.力=一 1 ,力| = 2* 一 I .!若函数小心=士的定义域为（1,是

7、否存在实数a,使得以：门在其定义域（1.2）上封闭？若存在，求出所有 a的值，并给出证明：若不存在，请说明理由.网已知函数/（功在其定义域D上封闭，且单调递增.若 了口丘力且一起，求证：/（Aj） - -I'll.21.已知函数.r < 0（1）若口 = -1,解不等式.;；设“ > 口，皿工）=g：，）,若对任意的,W 2,函数。仆）在区间/ + 2上的最大值和最小值的差不超过1,求实数a的取值范围；（切已知函数存在反函数，其反函数记为 0 = 】，若关于x的不等式/七）£ /七 |2M在r 儿+M上恒成立，求实数 a的取值范围.答案与解析1答案：A解析：解：若

8、命题甲： 工1 = 0 ,命题乙：j - /q1=0 ,若命题甲：£ 1=。，则；r=l, 1g% 1g 一靖！ 一 二。，则命题甲：/I =。，能推出命题乙：。，成立；若命题乙：1屋山一切工0 ,则炉1 = 0,所以“产=0或包工=I ,即工=1或了 = 10 ；命题乙：1/上一（gl=（）,不能推出命题甲：t 1 = 0成立，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断.命题甲是命题乙的充分非必要条件；故选：A.根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键.2答案：D解析：解：T.函数为偶函数，当 无

9、 。时，鼻狗=L,为减函数，不满足条件.B.函数为偶函数，当HZ0时，冷为减函数，不满足条件.C.函数的定义域为 W. + x）,定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，不满足条件.D.函数为偶函数且在区间 （口.4X上为增函数，满足条件故选：D.根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可.本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合常见函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键.比 较基础.3答案：C解析：解：错.原因：M不一定是函数值，可能“二”不能取到.因为函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所有的函数值，则此函数值是函数的最大值所以对故选：C.利用函数最大值的定义是存在一个函数值大于其它所

10、有的函数值，则此函数值是函数的最大值判断 出各命题的真假.本题考查函数的最大值的定义并利用最值的定义判断命题的真假.4答案：A解析：解：设也 巾=叶=卜，/if（刃）一 0=0,即 /（01 - w = u,故 m =。；故二/+仃,（/（l）=（二 + "j + 口）= 0 ,当门=。时，成立；当“¥0时，0, 一口不是小+“上+川=I)的根，故1/一，10,解得：口(凡4;综上所述，口 £ “十小 4 ;故选：A.由刮FQ) = 0 = .r|y( /(.r) = 0可得/(0) = 0 ,从而求得m = 0 ;从而化简/(/(.r) = (ar + jm )

11、(t" + " + n.) = 0 ,从而讨论求得本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档 题5答案：解析：解：由5-t0,得工5.,函数 八- r)的定义域为(一25).故答案为：(-x.5).由对数式的真数大于 0求解x的范围得答案.本题考查函数的定义域及其求法，是基础题.6答案：解析：解：由=+ 1。'一 ),得/ 二4 一 I , J' - -(g - 1(# 2 2),x, y互换得：y = -山-1 (J)2),函数y = ,t3 + l(r C 1)的反函数为1二一五一 Ifj * 2), 故答案为

12、：y 二v J (t £ 2).由原函数求得x,把x, y互换求得原函数的反函数.本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域为原函数的值域，是基础题.7答案:t 1O 卜色12 £啊?3 + 班4«+ 2解析：解:liQnhilZ =-=：=1侬9a。弛3为，故答案为: 利用换底公式以及对数的运算性质即可求解.本题主要考查了对数的运算性质以及换底公式，是基础题.8答案：3解析：解：:哥函数/(,)=("一亿m E V),在(0- hx)上是减函数, M - 1 =】，且 rM 2m - 3 0 ,.口 = 2 , 1 < rn < 3 ,

13、又 m E N ,m = 0 , 1, 2,又，募函数/1,）为偶函数，=m 二 1 ,一仃+"？ = 3 ,故答案为：3.先利用哥函数的定义和单调性求出a的值和m的范围，再结合偶函数确定m的值，即可求出结果.本题主要考查了募函数的性质，是基础题.9答案：解析：解：函数4=lag./- 了）的定义域为LI （L +3C）,令£ =#j ,则/=,一“ =h嗨J为增函数，.£ ? 1在（0）上为减函数；在（1一 七X）为增函数，二函数y Ing虱,r）的单调递增区间为（1： +oc）,故答案为：L+X）.先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内

14、外函数的单调性，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数 y = k曙式/ - r）的单调递增区间.本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调性，其中复合函数单调 性“同增异减”是解答本题的关键，本题易忽略真数大于零.10 .答案：解析：解：】织式91-5） . log式3, -2）+2 = loga4（3J -幻：， ，俨-!j = 4 似-2）,令 3r = f,则六一 4f + 3 = II ,解得t = 1,或大=3.由式子有意义可知（1 - W 解得中 > 西，即力> %而，.=3 .n = 1 .故答案为：.T=1.利用对数运算性质解方

15、程.本题考查了对数的运算性质，换元法解题思想，属于基础题.11 .答案： '解析：解：令:=.r2 +如，+炉十上 一 4 ,由题意可 得<。，即：炉+以'+内+上一1/。，整理：/小川（。，解得：3<k<0,所以实数k的取值范围为（-3JI;故答案为：（-3J1）.设函数J（.r二产+ 由由 + 由 + # - 4 ,由题意可得< 0,解得k的取值范围.考查方程的根的分布，属于基础题.12 .答案： 解析：解：由于函数/（1）= 13餐一 且的值域是R+工）,故当了 W 2时，满足/"）=6 - .r，1 .若口>f"） =

16、3 +在它的定义域上单调递增，当上 > 2时，由 /=3 +1 咯M 1 ,，1呜W > 1, . bgrl2 > 1 ,1 < a < 2若0 <女< 1, f。 - 3 + 1力4 在它的定义域上单调递减，/（j ） 3 + 产< 3 +2 < 3 ,不满足f.r）的值域是L +x）.综上可得，故答案为：（1,司.当工 2时，检验满足f（r）当工:> 2时，分类讨论a的范围，依据函数的单调性，求得a的范围, 综合可得结论.本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于中档题.13 .答案：2 解析：解：由题意可得了（七

17、）= %了1；乃=仃），即函数/.门在R上为奇函数，当E -3, 5,令f = 丁 - I E -4,1,则/（1）=义打=i（3f -3-r）为奇函数且单调递增所以反函数/ 1（f）也是单调递增的奇函数，所以厂（了）=/If）是"=/ i（t）向上平行移动1个单位也为单调递增，对称中心1）,由互为反函数的性质可得 M + m = -3 + 5 = 2 ,故答案为：2由题意可得换元可得为奇函数在|-1,J±,所以f l什）也是奇函数，且值域为-4,4 , F 为对称中心为 8,1）的函数且值域为一1可，考查换元法求函数的定义域，及互为反函数的性质，属于中档题.14 .答案：

18、 解析：解：由题意可得 义0） +/（卜1>汽心对于&, b, cE?都恒成立,+ 由于=/工当1 = 0, /（力二1,此时，jfl）, /向, j'k）都为1,构成一个等边三角形的三边长, 满足条件.当 1 >。，八1）在R上是减函数，1 < /S） < l+t-l = f ,同理1 <（可<f, c fg父L由/+ fW >尔），可得2妾f ,解得< f2 .当f 1 V。，在R上是增函数，八 < 】，同理，< 匕）< 1 , Y /< 1 ,由f+于网M，可得出鼻1,解得1 > t学g .综上

19、可得，他£?,故实数t的取值范围是 山2,故答案为：因对任意实数a、b、c,都存在以 小）、/、/«）为三边长的三角形，则 /（）+/（加 > ）恒成 立，将内解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由/- I的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为/（幻十切的最小值与的最大值的不等式，进而求出实数k的取值范围.本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同 时考查了分类讨论的思想，属于难题.15 .答案：'：I F.1解析：解：当下.八”时，5.r

20、孑1）, 5JLI方程（;匚+ 三卜一|5;r1 = 5,XX54Q“工 + 一）一（5f ）=m ,即一了 + 一 =用； hix41 q二 m < V5 .当 0<了<亚2 时，0T -<0,5£方程4 士卜一|5,r 一=5， j':r54（4j.1 -I） + （5t ）=中,*x即 - L = m ;T9丁 + 16 ； F.当< 6时，方程 -F - = 无解；工当E = 6时，方程9下 + - = H1有且只有一个解；当6 < nt < 1。时，方程fh* + L =用在（0.1）上有两个解；当=1（）时，方程9大+ 1

21、 = m的解为1,：;41 l综上所述，实数 m的取值范围为 何.而45）,故答案为：分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得.本题考查了绝对值方程的解法与应用，同时考查了基本不等式的应用及转化思想的应用.16.答案：解析：解：对函数一r），当h & 1时，=，（3 = ； +自；当工 1时，= /HI =，/U1在j-2.+刈上的最大值 "1皿=“。工； +4.一：；对函数g"j,函数加广）若有最小值，则 仃=。，即成）=J/ JL当了 £ （-2#）U（S+xJ时，金串）=7,易知函数 皿1e = ：; 3r1 + -

22、2X又对任意的工1,电W 了卜E8遂） -2,均有上。& g的,，式g",仆 2）,即他回；十飙 J及一;,'X-J-即实数k的取值范围为1x3故答案为：（ 4可求得人味皿=切"丁1+ *,一：, q=一：，根据题意八。皿总 -2）,由此得到 +卜w，,解该不等式即可求得实数k的取值范围42本题考查不等式的恒成立问题，考查函数最值的求解，考查转化思想及计算能力，属于中档题.17.答案:解：当=1时,/（1）= 4*-2,2甘+】.对=1, /, F - 2 + 1 = 1,2 = 3或21二-】（舍）, .1.= lug3,I当JE L1时，令2 = 2则，

23、E ；闰，-L 1I二由 “二 口，得/ 一 口山 + 1=0,二 2d = = f + -.;M=2 + 在：/上单调递减，在1一 2上单调递增，当工=1时，什+ /虫” =2；当h = 2或5时，什+ /出”=，2a e ，二"三 " 彳.解析：将"=1代入7）中，然后根据工）一 1 ,求出牛的值，再解出X即可；令f = 2则由）=。可得产-2讯+ 1 =0,再根据t的范围求出a的范围.本题考查了指数方程的解法和根据函数的零点求参数的范围，考查了整体思想和转化思想，属中档 题.修了18.答案：解：函数19克T的图象关于原点对称，其中a为常数.、 £

24、1门 % j 1 I tu- 11 一 *,1一 八 一幻=优7 =r = 1。升,一£ 一 11一 11 ax1 + dir _ it- - 1.一£ 1 一（£解得看=± 1.I - UF 1 -当凡=1时，-=-7 = 1 ,与条件矛盾，舍去.X L X 1a = I ;（2”.集合方=了|一1）解不等式得J 总了 < 了. / X ,1 + 由（li知，/（上）+ 际（r - 1）=。叼-+ logjT- 1） < m ;上一1,mi） <且"岁。'解得1 << * -1;由于.八口 ，所以2717

25、 一 1 > 3 ,解得，了“ > 2 .故m的取值范围是（2+x）.解析：（1）根据f（：r）的图象关于原点对称，得 了）是奇函数，由（-力=力恒成立，解得a的 值即可.f当先解分式不等式，求得集合A;由于,所以B有解，解得集合B;再根据集合的关系求得m的取值范围即可.本题考查了奇函数的定义，分式不等式的解法，根据交集运算求参数取值范围，考查了运算求解能力，属于中档题.19 .答案：解：（1）由题意得P=12+ 3 ,224 - 12 10j j > 16则.11k5/ + 22t - 12 - IOj-,0 工 £ 16即.0.5八 + 】2一12,0 W &#

26、163; W 16212 -> 16）当工> 16时，函数力递减,即有：',当（）& J: & 16时，函数 /（：）=0.5./ + I2,r- 12 = -0.5（,jI2/ + 6O ,当不=12时，叫有最大值=60 ,综上可知，当工厂生产 12百台时，可使利润最大为 60万元.解析：本题考查函数模型在实际问题中的应用，考查函数的最值问题，属于中档题.。）先求得t（工）,再由人” = Q（）-P（r）可得所求；（2）分别求出各段的最值，注意运用一次函数和二次函数的最值求法，即可得到.20 .答案：解：（1,，在八=力一 1中，对于定义域 D内的任意一个

27、自变量 物，都有函数值上5.11-1川£。故函数八=- I在R上不封闭；在报上）=2r- I中，2-ie 10.1）,在o上封闭.LQMR） =的定义域为口.2）,对称中心为（-2.5）,当 1 10>0时，函数蛆）=M 一;在"上上为增函数,u1只需( /(2) < 2，解得0 = 2 n > - 1()当 I 1（） <0时，函数 蛆）=二二：在D上为减函数,只需I /(2)-I ,解得小E gg < - 10综上，所求a的值等于2.证明：（3） 7函数冷在其定义域D上封闭，且单调递增.小W。且/（工时）=Ai,根据单调函数性质 /（孔。e

28、。，则有唯一的丁口 £门，.用）=卬.解析：（1）根据定义域，求得函数的定义域，利用新定义，即可得到结论；（2）分类讨论，确定函数的单调性，建立不等式组，可求 a的值.（3）函数在其定义域D上封闭，且单调递增，根据单调函数性质E。，则有唯一的了口在D , 由此能证明/（H）=初.f |i-l| > o 2T.m本题以新定义函数为载体，考查新定义，考查学生的计算能力，关键是对新定义的理解，有一定的 难度.21 .答案：解：（L,当日=-1, /（*） =当工）0时，f（r = |一 1|,解得；2 ；或.隹< 7 ,所以0 W雷W ?或防云；44444当M n时，“刁=2r > ；,解得止2 -2 ,所以-2；综上所述，不等式的解为.T £ 2. - U , +oc）. 44 a>0, t E ,工 t3 + 2, /. /一H+ 仃，g（z）=/咖祐）=3/ + a）,由复合函数的单调判断原则，可知 在丁 E1二十力上单调递减，成工入皿一斌= q一虱，+为=用心+门）一 /叼?+ w 1 ,化简得，口孑会总在，£匕21上恒成立，令 m