数列极限与函数极限学习教案

1、会计学1数列极限数列极限(jxin)与函数极限与函数极限(jxin)第一页，共46页。定义定义(dngy)1设有数列设有数列 nx与常数与常数,a如果当如果当n无限增无限增大时大时,nx无限接近于无限接近于 ,a则称常数则称常数a为为数列数列 nx收收敛于敛于 ,a记为记为,nnlim xa 或或).( naxn如果一个如果一个(y )数列没有极限数列没有极限,就称该数列就称该数列(shli)是发散的是发散的.注注:记号记号)( naxn常读作常读作:当当n趋于无穷大时趋于无穷大时,nx趋于趋于. a第1页/共45页第二页，共46页。例例1其收敛其收敛(shulin)于何值于何值.若收敛若收敛

2、(shulin),下列各数列是否下列各数列是否(sh fu)收敛收敛,试指出试指出;2)1(n;1)2(n;)1)(3(1 n 1(4). nn解解(1)数列数列2n即为即为,2 , 8 , 4 , 2n易见易见, ,当当n无限增大时无限增大时, ,n2也无限增大也无限增大, ,故该故该数列是发散的数列是发散的; ;第2页/共45页第三页，共46页。(2),1,31,21, 1n解解易见易见, ,当当n无限增大时无限增大时, ,n1也无限接近也无限接近0, ,故该故该数列收敛于数列收敛于 ; ; 0解解(3)数列数列 1( 1) n 即为即为,)1( , 1, 1 , 1, 11 n易见易见,

3、 ,当当n无限增大时无限增大时, ,)1(1 n无休止地反复无休止地反复取取11 、两个数两个数, ,而不会无限接近于任何而不会无限接近于任何(rnh)一个确一个确第3页/共45页第四页，共46页。故该数列故该数列(shli)是发散的是发散的; 定的常数定的常数(chngsh),(4)数列数列 1 nn 即为即为,1,43,32,21, 0nn 易见易见, ,当当n无限增大时无限增大时, ,nn1 无限接近于无限接近于 , ,1故该数列收敛于故该数列收敛于 . . 1第4页/共45页第五页，共46页。 数数列列函数函数(hnsh)极限的引入极限的引入数列可看作自变量为正整数数列可看作自变量为正

4、整数 的函数的函数:n),(nfxn 数列数列 nx的极限为的极限为, a即即:当自变量当自变量 n取正整数取正整数且无限增大且无限增大)( n时时,对应的函数值对应的函数值)(nf无限无限接近数接近数.a若将数列极限概念中自变量若将数列极限概念中自变量n和函数和函数值值)(nf的特殊性撇开的特殊性撇开,可以可以(ky)由此引出函数极限的由此引出函数极限的一般一般(ybn)概念概念:在自变量在自变量x的某个变化过程中的某个变化过程中,如果对如果对应的函数值应的函数值)(xf无限接近于某个确定的数无限接近于某个确定的数,A则则A就称为就称为x在该变化过程中函数在该变化过程中函数)(xf的极限的极

5、限.显然显然,极限极限 是与自变量是与自变量 的变化过程密切相关的变化过程密切相关Ax第5页/共45页第六页，共46页。自变量趋向无穷大时函数自变量趋向无穷大时函数(hnsh)(hnsh)的极限的极限当当lim( )( )() 或或xf xAf xA x定义定义2 2 如果当如果当 的绝对值无限增大时，函数的绝对值无限增大时，函数x( )f xA无限接近于常数无限接近于常数 ，则称常数，则称常数 为函数为函数A( )f x时的极限，记作时的极限，记作 x如果在上述定义中，限制如果在上述定义中，限制 只取正无穷或负无穷即有只取正无穷或负无穷即有xlim( )lim( )或或xxf xAf xA第

6、6页/共45页第七页，共46页。( )f x则称常数则称常数 为函数为函数 当当 A 或或xx时的极取限时的极取限. .注意到注意到 意味着同时考虑意味着同时考虑 x 与与xx可以得到可以得到(d do)(d do)下面的定理下面的定理定理定理1 1 极限极限的充分必要条件是的充分必要条件是lim( ) xf xAlim( )lim( )xxf xf xA第7页/共45页第八页，共46页。例例2 求极限求极限 1lim 1. xx解解 因为当因为当 的绝对值无限增大时，的绝对值无限增大时，1xx无限接近于无限接近于0 0即函数即函数 无限接近于常数无限接近于常数1,1,11 x所以所以(suy

7、)(suy) 1lim 11 xx第8页/共45页第九页，共46页。例例3 讨论讨论(toln)极限极限观察函数观察函数的图形（见下图）易知的图形（见下图）易知：sin( ) yx所以极限所以极限limsin( )xx不存在不存在. .当自变量当自变量 的绝对值的绝对值 无限增大时，对应的函数值无限增大时，对应的函数值 在区间在区间-1,1-1,1上振荡，不接近任何常数上振荡，不接近任何常数yx|xlimsin( )xx第9页/共45页第十页，共46页。例例4 4 讨论讨论(toln)(toln)极限极限解解 当当 时，时， x2y 当当 时，时， x2 y 所以所以(suy) (suy) 不

8、存在不存在. .limarctanxxlimarctanxx第10页/共45页第十一页，共46页。自变量趋向有限值时函数自变量趋向有限值时函数(hnsh)的极限的极限现在研究自变量现在研究自变量x无限接近有限值无限接近有限值0 x(即即 )0 xx 时时,函数函数)(xf的变化趋势的变化趋势.定义定义(dngy)3设函数设函数)(xf在点在点0 x的某一去心领域内有的某一去心领域内有定义定义(dngy).如果当如果当)(00 xxxx 时时,函数函数)(xf无限接无限接近于常数近于常数,A则称常数则称常数A为为函数函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限.记作记作Axfxx )(lim0或或

9、).)()(0 xxAxf第11页/共45页第十二页，共46页。例例5试根据定义说明试根据定义说明(shumng)下列结论下列结论:解解;lim)1(00 xxxx ).(lim)2(0为为常常数数CCCxx (1)当自变量当自变量x趋于趋于0 x时时, ,显然显然(xinrn),函数函数xy 也趋于也趋于,0 x故故;lim00 xxxx (2)当自变量当自变量x趋于趋于0 x时时, ,函数函数Cy 始终取相始终取相同的值同的值,C故故.lim0CCxx 第12页/共45页第十三页，共46页。函数函数(hnsh)的左极限与右极限的左极限与右极限函数函数)(xf从左侧从左侧(或右侧或右侧)趋于

10、趋于当自变量当自变量x0 x时时,趋于常数趋于常数A,则称则称A为为)(xf在点在点0 x处的处的左极限左极限(或右极限或右极限(jxin),记为记为Axfxx )(lim0或或Axfxx )(lim0左极限左极限(jxin)和右极限和右极限(jxin)的示意图的示意图.注意到注意到0 xx 意味着同时考虑意味着同时考虑 0 xx与与,0 xx可以得到下面的定理可以得到下面的定理:第13页/共45页第十四页，共46页。定理定理(dngl)2极限极限Axfxx )(lim0的充分必要条件是的充分必要条件是.)(lim)(lim00Axfxfxxxx 第14页/共45页第十五页，共46页。例例 6

11、设设,0, 10,)( xxxxxf求求).(lim0 xfx解解因为因为(yn wi)(lim0 xfx )1(lim0 xx, 1 )(lim0 xfx xx 0lim. 0 即有即有)(lim0 xfx ),(lim0 xfx 所以所以)(lim0 xfx不存在不存在.第15页/共45页第十六页，共46页。内容内容(nirng)小结小结1.数列数列(shli)的极限的极限数列极限数列极限(jxin)的定义的定义2.函数的极限函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限函数的左极限与右极限函数的左极限与右极限第1

12、6页/共45页第十七页，共46页。极限极限(jxin)运算法则运算法则定理定理(dngl)设设,)(limAxf ,)(limBxg 则则(1)(2)(3);)()(limBAxgxf ;)()(limBAxgxf ,)()(limBAxgxf 其中其中. 0 B推论推论(tuln)1)(limxf如果如果存在存在, ,而而C为常数为常数, ,则则).(lim)(limxfCxCf 即即: :常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面. .推论推论2)(limxf如果如果存在存在, ,而而n是正整数是正整数, ,则则.)(lim)(limnnxfxf 第17页/共45页第十八页，

13、共46页。例例1求求).53(lim22 xxx解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx 2223 5 3 注：注：设设,)(110nnnaxaxaxf 则有则有)(lim0 xfxxnnxxnxxaxaxa 110)lim()lim(00nnnaxaxa 10100).(0 xf 第18页/共45页第十九页，共46页。例例 2求求.27592lim223 xxxx解解27592lim223 xxxx)275(lim)92(lim2323 xxxxx2373593222 .229 第19页/共45页第二十页，共46页

14、。例例 3求求.321lim221 xxxx解解分子和分母分子和分母(fnm)的极限都是零的极限都是零.1x时时, ,此此时应先约去不为零的无穷小因子时应先约去不为零的无穷小因子(ynz)1 x后再求后再求极限极限(jxin).321lim221 xxxx)1)(3()1)(1(lim1 xxxxx.2131lim1 xxx消去零因子法消去零因子法第20页/共45页第二十一页，共46页。例例 4计算计算(j sun).354lim4 xxx解解不能直接不能直接(zhji)使用商的极限运算法则使用商的极限运算法则.但可采用分母有理化但可采用分母有理化(lhu)消去分母中趋于零的因子消去分母中趋于

15、零的因子.)35)(35()35)(4(lim4 xxxxx4x时时, ,当当),05( x354lim4 xxx4)35)(4(lim4 xxxx)35(lim4 xx. 635lim4 xx第21页/共45页第二十二页，共46页。定理定理2(复合函数的极限复合函数的极限(jxin)运算法则运算法则)设函数设函数)(xgfy 是由函数是由函数)(ufy 与函数与函数)(xgu 复合而成复合而成, ,若若,)(lim00uxgxx ,)(lim0Aufuu 则则)(lim0 xgfxx)(lim0ufuu .A ,)(0uxg 且在且在 的某去心邻域内有的某去心邻域内有0 x注注:若函数若函数

16、)(uf)(xg和和满足该定理的条件满足该定理的条件,则作代换则作代换),(xgu 可把求可把求)(lim0 xgfxx化为求化为求),(lim0ufuu其中其中).(lim00 xguxx 定理定理(dngl)2表明表明:第22页/共45页第二十三页，共46页。例例 5计算计算.2sinlim0 xx解解令令,2xu 因为因为, 02, 0 xux. 0sinlim2sinlim00 uxux则函数则函数xy2sin 可视为由可视为由xuxy2,2sin 构成的复合函数构成的复合函数. .且且0u时时, 0sinu所以所以(suy)第23页/共45页第二十四页，共46页。例例 6计算计算.2

17、lim1xx 解解所以所以(suy)令令,1xu 则则, 01lim xx且且, 12lim0 uu. 12lim2lim1 uxxx第24页/共45页第二十五页，共46页。第一重要第一重要(zhngyo)(zhngyo)极限极限sinlim1xxx xsin xx1.000 0.100 0.841470 0.9983340.010 0.9999830.9999990.001 第25页/共45页第二十六页，共46页。例例 7求求.tanlim0 xxx解解. 1 xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxxxcos1limsinlim00 第26页/共45页第二十七页，共46

18、页。例例 8求求.cos1lim20 xxx 解解原式原式2202sin2limxxx 2022022sinlim2122sinlim21 xxxxxx.211212 第27页/共45页第二十八页，共46页。例例 9求求.2sin2sinlim0 xxxxx 解解xxxxx2sin2sinlim0 xxxxx2sin12sin1lim0 xxxxx22sin2122sin21lim0 .312121 第28页/共45页第二十九页，共46页。exxx 11lim利用单调有界准则可以证明这个利用单调有界准则可以证明这个(zh ge)等式等式.等式等式(dngsh)右端的右端的其值为其值为 e2.7

19、18 281 828 459 045,数数 是数学中一个重要常数是数学中一个重要常数,e基本初等函数中的指数函数基本初等函数中的指数函数xey 下表有助于读者理解下表有助于读者理解(lji)这个极限这个极限.以及自然对数以及自然对数xyln 中的底中的底 就是这个常数就是这个常数.e x12xx 112101 000 10 0000 100 0001 000 002.252.5942.7172.7181 2.71812 2.718128第29页/共45页第三十页，共46页。例例 10求求.11lim3 xxx解解311lim xxx 311lim11 xxxx311lim11lim xxxxx

20、.1ee 第30页/共45页第三十一页，共46页。例例 11求求.)1(lim10yyy 解解令令,1xy 则则0y时时, , x于是于是(ysh).)11(lim)1(lim10exyxxyy 注注: :本例的结果本例的结果(ji gu),)1(lim10eyyy 今后常作为今后常作为(zuwi)公式使用公式使用.第31页/共45页第三十二页，共46页。例例 12求求.)21(lim10 xxx 解解xxx10)21(lim 2210)21(lim xxx2210)21(lim xxx.2 e第32页/共45页第三十三页，共46页。例例13解解求求.23lim2xxxx xxxx223lim

21、 2211lim xxx222211lim xxx422211211lim xxxx.2e 第33页/共45页第三十四页，共46页。内容内容(nirng)小结小结1. 掌握极限的四则运算掌握极限的四则运算(s z yn sun)法则法则设设,)(lim,)(limBxgAxf 则则.)()(lim BAxgxf)0( B2. 会用复合会用复合(fh)函数的极限运算法求极限函数的极限运算法求极限.)(lim)(lim00Aufxgfuuxx 第34页/共45页第三十五页，共46页。其中其中(qzhng).(lim00 xguxx 3.了解极限存在了解极限存在(cnzi)准则准则,掌握两个重要掌握

22、两个重要(zhngyo)极限及其应用极限及其应用.11limexxx ; 1sinlim0 xxx第35页/共45页第三十六页，共46页。无穷小的概念无穷小的概念(ginin)定义定义(dngy)极限极限(jxin)(jxin)为零的变量称为无穷小为零的变量称为无穷小. .例如例如: :, 0sinlim0 xx时的无穷小时的无穷小. .函数函数xsin是当是当0 x, 01lim xx时的无穷小时的无穷小. .函数函数x1是当是当 x, 0)1(lim nnn时的无穷小时的无穷小. .函数函数nn)1( 是当是当 n注意注意: :(1)无穷小是变量无穷小是变量, ,不能与很小的数混淆不能与很

23、小的数混淆. .(2)零是可以作为无穷小的唯一常数零是可以作为无穷小的唯一常数. .第36页/共45页第三十七页，共46页。无穷小的运算无穷小的运算(yn sun)性质性质性质性质(xngzh)1有限有限(yuxin)个无穷小的代数和仍是无穷小个无穷小的代数和仍是无穷小.注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .例如例如, ,n1是无穷小是无穷小, ,n但但个个n1之和为之和为1, ,不是无穷小不是无穷小. .时时, , x性质性质2有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小. .例如例如 当当0 x时时, ,变量变量,1sinxxxx

24、1arctan2都是无穷小都是无穷小. .性质性质3性质性质4有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小. .常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小. .第37页/共45页第三十八页，共46页。例例 1解解所以所以(suy),求求.sinlimxxx 因为因为xxxxxxsin1limsinlim 而当而当 时时, xx1是无穷小量是无穷小量,是有界量是有界量xsin),1sin( x.0sinlim xxx第38页/共45页第三十九页，共46页。无穷大的概念无穷大的概念(ginin)定义定义(dngy)2并记作并记作 )(lim0 xfxx).)(lim( xfx

25、或或(或或 )时时,如果在如果在0 xx x函数函数)(xf的绝对值无限的绝对值无限(wxin)增大增大,)(xf为当为当0 xx 则称函数则称函数(或或 )时的时的无穷大无穷大. x当当0 xx (或或 )时为无穷大的函数时为无穷大的函数 x),(xf按按通常的意义来说通常的意义来说,极限是不存在的极限是不存在的.但为了叙述函但为了叙述函数这一形态的方便数这一形态的方便,我们也说我们也说“函数的极限是无穷函数的极限是无穷大大”,如果在定义中如果在定义中,将将“函数函数 的绝对值无限增大的绝对值无限增大”)(xf第39页/共45页第四十页，共46页。无穷大举例无穷大举例(j l)(1)当当 时

26、时,0 xx1无限增大无限增大,故故x1是当是当0 x时的无穷大时的无穷大,即即.1lim0 xx(2)当当 时时, 0 xxln取负值无限减小取负值无限减小,故故xln是当是当 0 x时的负无穷大时的负无穷大,即即.lnlim0 xx(3)当当 0 x时时,xe1取正值无限增大取正值无限增大,故故xe1当当 0 x时是正无穷大时是正无穷大,即即.lim10 xxe第40页/共45页第四十一页，共46页。无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系(gun x)无穷大与无穷小之间有着无穷大与无穷小之间有着(yu zhe)密切的关系密切的关系.例如例如(lr),当当0 x时时,函数函数x1是无穷大是无穷大,但其倒数但其倒数, x则是则是同一变化过程中的无穷小同一变化过程中的无穷小;又如又如,当当 x时时,函函数数21x是无穷小是无穷小,但其倒数但其倒数2x则是同一变化过程则是同一变化过程中的无穷大中的无穷大.一般地一般地,可以证明下列定理可以证明下列定理.定理定理2在自变量变化的同一过程中在自变量变化的同一过程中,无穷大的无穷大的倒数为无穷小倒数为无穷小;恒不为零的无穷小倒数为无穷大恒不为零的无穷小倒数为无穷大.根