数理方程与特殊函数杨春28学习教案

1、会计学1数理方程数理方程(fngchng)与特殊函数杨春与特殊函数杨春28第一页，共42页。2本次(bn c)课主要内容勒让德多项式及其应用(yngyng)(一)、勒让德多项式的母函数(hnsh)(二)、勒让德多项式的递推公式(三)、勒让德多项式正交性与展开定理(四)、勒让德多项式的应用 第1页/共41页第二页，共42页。3(一)、回顾(hug)2(1)2(1)0 xyxyn ny1、n阶勒让德方程(fngchng):n为实数或复数.本课程(kchng)只考虑实数情形。2、n阶勒让德方程的通解(1)、当n为一般实数时，通解可表达为：12yyy2410(1)(2)(1)(3)12!4!n nn

2、nnnyaxx3521(1)(2)(1)(3)(2)(4).3!5!nnnnnnyaxxx第2页/共41页第三页，共42页。4其中(qzhng)：(2) 当n是整数(zhngsh)时，方程的通解为：12()()nnyC PxC Qx220(22 )!( )( 1)2!()!(2 )!nmnmnnmnmP xxm nmnm Qn(x)称为(chn wi)第二类勒让得函数，在-1,1上无界。3、勒让德多项式的罗得利克公式 21()(1)2!nnnnndPxxndx第3页/共41页第四页，共42页。54、勒让德多项式的积分(jfn)表达式 211(1)()22 ()nnnnCPzdiz201()1

3、cos,1,1nnPxxxdx01(cos)cossincos,0nnPid(一)、勒让德多项式的母函数(hnsh)可以(ky)证明：201( , )( ),1,112nnnG x zP x zzxxzz第4页/共41页第五页，共42页。6关于勒让德多项式母函数(hnsh)等式的说明1、由拉普拉斯方程的基本解引出一个(y )复变函数在上图中,置于北极(bij)处的正点电荷在M处产生电势为：1drxyz04M21112cosdrr第5页/共41页第六页，共42页。7据此引出(yn ch)复变函数如下：其中(qzhng)：x121(,)12Gx zxzz 显然(xinrn)：G (x, z)在单位

4、园z1内解析。于是考虑其在z=0处的幂级数展开，得到：0(,)()nnnGx zCx z其中：21111()2(12)nnCCxdix第6页/共41页第七页，共42页。8C是单位园内包围(bowi)z=0的任意一条闭曲线。2、可以(ky)证明：C n( x )是n阶勒让德多项式。 证明(zhngmng)：作代换：122(12)1xzzzu则：211(1)()22 ()nnnnCCxdix21(1)2!nnnnuxdundu()nPx第7页/共41页第八页，共42页。9为勒让德多项式的母函数(hnsh)称21(,),1,112Gx zzxxzz例1、证明(zhngmng)：(1)1,( 1)(

5、1)nnnPP 证明(zhngmng)：在母函数201(),1,112nnnPx zzxxzz中取x=1时有：01(1)1nnnPzz第8页/共41页第九页，共42页。10011nnzz(1)1nP所以(suy)：取x=-1时有：01(1)1nnnPzz01(1)1nnnzz( 1)1nnP 所以(suy)：2122(2 )!(0)0,(0)( 1)!2!nnnnnPPnn 例2、证明(zhngmng)：第9页/共41页第十页，共42页。11证明(zhngmng)：在母函数中取x=0得：201(0)1nnnPzz由于(yuy)：222201(2)!(1)2(!)1nnnnnznz所以(suy)

6、2122(2 )!(0)0,(0)( 1)!2!nnnnnPPnn 第10页/共41页第十一页，共42页。12()( 1)( )nnnPxP x 例3、证明(zhngmng)：证明(zhngmng)：在母函数中用-x代x，同时用-z代z得：201(1)()12nnnnPx zxzz所以(suy)得：()( 1)( )nnnPxP x 注：对于n阶勒让得多项式Pn(x)，n为奇数时是奇函数，n为偶数时为偶函数。(二)、勒让德多项式的递推公式(重点)111,(21)( )( )(1)( )nnnnxP xnPxnPx第11页/共41页第十二页，共42页。1312,( )( )( )nnnPxxP

7、xnP x113,( )( )( )nnnnPxxPxP x三个公式(gngsh)中，n=1,2,3.先证明(zhngmng)公式1：由母函数122012()nnnxzzPx z两端(lin dun)对z求导数得：32121() 12()nnnxzxzznPx z第12页/共41页第十三页，共42页。14进一步得：122121() 1212( )nnnxzxzzxzznPx z2101()( )12( )nnnnnnxzPx zxzznPx z对上式整理(zhngl)得：11001111( )( )( )2( )( )nnnnnnnnnnnnnnnxPx zPx znPx znxPx znPx

8、 z第13页/共41页第十四页，共42页。15于是(ysh)得：1110101(21)( )( )( )( )nnnnnnnnnnnnnxP x znP x zP x znP x z1101(1)( )( )nnnnnnn P x znP x z1110( )(1)( )nnnnnnnPx znPx z11111( )(1)( )( )nnnnnnnPx znPx zP x第14页/共41页第十五页，共42页。16于是(ysh)得：所以(suy)，当n1时有：111,(21)( )( )(1)( )nnnnxP xnPxnPx公式2的证明：将母函数(hnsh)两端z求导得：32121() 12

9、()nnnxzxzznPx z01(21)( )( )nnnnxP x zxP x11111( )(1)( )( )nnnnnnnPx znPx zP x第15页/共41页第十六页，共42页。17进一步得：3221() 12( )(1)nnnz xzxzznPx z将母函数(hnsh)两端对x求导得：322112( )nnnzxzzPx z进一步得：3221() 12()( )(2)nnnz xzxzzxzPx z比较(bjio)(1)与(2)得：12,( )( )( )nnnPxxP xnP x第16页/共41页第十七页，共42页。18公式3的证明(zhngmng)：由公式1两端对x求导得：

10、11(21) ( ) (21)( )( )(1)( )(1)nnnnnP xnxP xnPxnPx又由公式(gngsh)2得：21( )( )( )(2)nnnnPxnxPxn Px将(1)-(2)得：113,( )( )( )nnnnPxxPxP x例4、证明(zhngmng)：111( )( )( )21nnnP xPxPxn第17页/共41页第十八页，共42页。19证明(zhngmng)：由递推公式2得：111( )( )( )21nnnP xPxPxn1( )( )( )(1)nnnnP xxP xPx由(1)+(2)得：113,( )( )( )nnnnPxxPxP x得：1(1)(

11、 )( )( )(2)nnnnP xPxxP x又由递推公式(gngsh)3第18页/共41页第十九页，共42页。20(三)、勒让德多项式正交性与展开(zhn ki)定理1、勒让德多项式正交性(重点(zhngdin) (1)、勒让德多项式正交性定理(dngl)： 勒让德多项式序列：01( ),( ),.( ).nP xP xP x在-1,1上正交。即：11( )( )0,0,1,2.mnPx P x dxmn m n第19页/共41页第二十页，共42页。21证明：由于Pm (x)与P n (x)分别为勒让得方程(fngchng)的解，所以有：2(1)( )(1)( )0mmdxPxm mPxd

12、x2(1)( )(1)( )0nndxPxn nPxdx进一步得：2( )(1)( )(1)( )( )0nmmndPxxPxm mPx Pxdx第20页/共41页第二十一页，共42页。22上面两个(lin )式子相减得：2( )(1)( )(1)( )( )0mnnmdPxxPxn nPx Pxdx22(1)(1)(1)(1)mnnmmnddm mn nP PPxPPxPdxdx两边(lingbin)积分得：11122111(1)(1)(1)(1)m nnmmnddmmn nPPdxPx P dxPx P dxdxdx 第21页/共41页第二十二页，共42页。23于是(ysh)得：11211

13、(1)(1)(1)mnmnnmm mn nP P dxxP PP P即得：110mnP P dx(2)、归一性定理(dngl)定理(dngl)：勒让得多项式满足：1212,(0,1,2.)21nP dxnn证明：当n= 0，1时，易证明结论成立；第22页/共41页第二十三页，共42页。24设n=m时结论成立(chngl)，下面证明：121122(1)1mPdxm由递推公式(gngsh)：111,(21)( )( )(1)( )nnnnxP xnPxnPx取n=m得：11(1)( )(21)( )( )mmmmPxmxP xmPx进一步有：21111(1)( )(21)( )( )( )( )m

14、mmmmmPxmxPx P xmPx Px第23页/共41页第二十四页，共42页。25两边(lingbin)积分得：1221( )( )( )2323mmmmmxPxPxPxmm又在递推公式(gngsh)中令n=m+1得：代入得：1121111(1)( )(21)( )( )mmmmPx dxmxPx P x dx121122(1)1mPdxm由归纳法知定理(dngl)成立。第24页/共41页第二十五页，共42页。26称 为n阶勒让得多项式的模。由于(yuy)：所以，上面(shng min)定理称为归一性定理。221n 211211,(0,1,2.)2nnPdxn2、函数(hnsh)的勒让德多

15、项式展开勒让德多项式展开定理：若( ) 1,1fxC且：f (x)在-1,1上分段连续，则：第25页/共41页第二十六页，共42页。27在-1,1上可以展开为绝对且一致收敛(shulin)的级数：0( )( )nnnf xC P x其中(qzhng)：1121( )( )2nnnCfx Px dx例6、将f (x)=|x|按勒让德多项式展开(zhn ki).解：1121( )( )2nnnCfx Px dx1121( )2nnx Px dx第26页/共41页第二十七页，共42页。28解：由于(yuy)P2n+1(x)为奇函数，所以C2n+1=0.12041( )nnxPx dx下面(xi mi

16、an)计算C2n,当n=0时：1011122Cx dx当n1时：122141( )( )2nnnCfx Px dx第27页/共41页第二十八页，共42页。29对于(duy)120( )nxPx dx21222201(1)2(2 )!nnnndxxdxndx2112222101(1)2(2 )!nnnndxdxndx212112212202212101(1)(1)2(2 )!nnnnnnnddxxxdxndxdx2112222101(1)2(2 )!nnnndxdxndx第28页/共41页第二十九页，共42页。301222222201(1)2(2 )!nnnndxndx222222201(1)2

17、(2 )!nnnnxdxndx对于(duy)222220(1)(2 , )( 1)nnkn kkxCn k x222122124(2 ,0)( 1)(2 ,1)( 1).(2 ,1)( 1)(2 ,1)( 1).nnnnnnnCnCnxCn nxCn nxx所以(suy)：222222201(1)2(2 )!nnnnxdxndx第29页/共41页第三十页，共42页。31121( 1)(2 ,1)(22)!2(2 )!nnCn nnn 12(22)!(2 )!( 1)2(2 )! (1)!(1)!nnnnnnn 12(22)!( 1)2(1)!(1)!nnnnn 所以(suy)：122(41)(

18、22)!( 1)2(1)!(1)!nnnnnCnn 第30页/共41页第三十一页，共42页。32于是(ysh)得展开式为：12211(41)(22)!( 1)( ),( 11)22(1)!(1)!nnnnnnxPxxnn例7 计算(j sun)121( )nx Px dx解：由于(yuy)20212( )( )33xPxPx第31页/共41页第三十二页，共42页。33所以(suy)：121( )nx Px dx102112( )( )( )33nPxPxPx dx2,030,0, 24,215nnn第32页/共41页第三十三页，共42页。34例8、将f (x)=x2+x3按勒让德多项式展开(z

19、hn ki).解：显然(xinrn)，展开式具有形式：2300112233( )( )( )( )xxC PxC P xC PxC Px230123315322xxxCC xCC01231322,3535CCCC所以(suy)：2301231322( )( )( )( )3535xxPxP xPxPx第33页/共41页第三十四页，共42页。35例9、求球域内的电位分布：在半径为1的球域内求调和函数u，使它在球面(qimin)上满足：(四)、勒让德多项式的应用(yngyng) 16 cos 22ru分析：根据边界条件的形式(xngsh)可以断定：u只与r,有关，即解具有轴对称性。解：定解问题为：222111sin0,(01)sin6 cos 22ruurrrrrru第34页/共41页第三十五页，共42页。36( , )( ) ( )u rR r22cotr RrRR 分离(fnl)变量令：令： 得：2222(1)0(1)d RdRrrn nRdrdr(1)n ncot(1)0(2)n n 方程(fngchng)(2)是n阶勒让得方程(fngchng)。第35页/共41页第三十六页，共42页。37令：2(1)2(1)0(3)xyxyn ny ,cosy x 由问题的物理意义，u (r，)必须(bx)在0，上有界，因此，n必须(