A1-6极限存在准则ppt课件

1、.1 1-6 1-6 极限存在准则、两个重要极限极限存在准则、两个重要极限0 极限存在准则极限存在准则0 两个重要极限两个重要极限 .2一、一、 夹逼准则夹逼准则证证,azaynn使使得得即即, 0, 0, 0:21 NN,1 ayNnn时时恒恒有有当当,max21NNN 取取恒恒有有时时当当,Nn , ayan即即,2 azNnn时时恒恒有有当当, azan上两式同时成立上两式同时成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn .3例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 221

2、11lim1limnnnnn , 1 由夹逼定理由夹逼定理. 1)12111(lim222 nnnnn.4例例. 0, 1lim aann其其中中证证明明证证21nanan1.若a1lim1,.nnn证明.5例例2：求证：求证证：证：1)2642) 12(531 nn（12642)12(531 nnnnnnnn212642)12(531 nnn21)2642)12(531 （又又而而121lim21lim nnnnnn得证。得证。12642)12(531lim nnnn.6例例3：求：求nnnnnn5432lim 解：解：545545432 nnnnnnnn55432lim nnnnnn555

3、432 nnnnnnn由夹挤定理由夹挤定理.7lim ( ), lim ( ).h xAg xA( ),( ).0,0.h xAg xA其中( )( ) ( )( ).f xg xh xg x( )().f xAAA().A .8AC(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圆圆心心角角设设单单位位圆圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 两个重要极限两个重要极限.9,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式对对于

4、于 x,20时时当当 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx.10例例.cos1lim)120 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 .11,5tanlim)20 xxx又又515coslim5sin5lim515cos5sinlim)2000 xxxxxxxxx原原式式xxxarcsinlim)303) 设设 u=arcsin

5、x x0时时u0,1/sin1limsinlim00 uuuuuu原式原式.120sinlim1xxx0sinlim1xarcxx0tanlim1xxx0arctanlim1xxx021 coslim112xxx0ln(1)lim1xxx01lim1xxex0(1)1lim1xxx.131)1ln(lim)1ln(lim/100 xxxxxx1)1ln(lim0 xxx11lim0 xexxxxx1)1 (lim0 xexx1lim)1ln(0 xxxexx)1ln()1ln(1lim)1ln(0)1(tex) 1ln(lim1lim00ttxexxx.14例:求下列极限(1) (2)(3)

6、(4)0tanlimxkxx1) 1sin(lim21xxx0sinlimxxxxxx20sincos12lim.15nnnRcossinlim2Rn例例. 已知圆内接正 n 边形面积为证明: .lim2RAnn证证: nnAlimnnnnRnAcossin22R.16例例xxfx2220)(lim 2)3(lim0 xfxx已知已知xxfx)2(lim0求求231)3 (3lim0 xfxx因为因为6)3(3lim0 xfxx所以所以即即6)(lim0tfttxxfx)2(lim031612.17x1x2x3x1 nxnx 二、单调有界准则二、单调有界准则满满足足条条件件如如果果数数列列nx

7、,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列几何解释几何解释:AM.18例1 设设a,b0 , x1=a, 求求 xn的极限的极限 (求任意正数平方根的算法）求任意正数平方根的算法）证明：证明：11()2nnnnnbbxxxbxx12211(1)(1)122()nnnxbbxxb11()2nnnbxxx两边取极限1()2bAAAAb11()2nnnbxxx.19例例2 2().nxCCCn证明:C0,数列重根式 的极限存在证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx1,xCC又,kxC假定1kkxCxC C,C ;是有界的是有界的n

8、xlim.lim.nnnnxxA存在 设1,nnxCx21,nnxCx2,ACA114114,22CCAA解得(舍去舍去)114lim.2nnCx.20例例3 设设!1! 31! 21! 111nSn2111111121131122212nnnS eSnnlim1(1) (2)3 2 12nnnn 以后我们可以证明.21exxx )11(lim其他形式：其他形式：1(1)lim(1)nnen（数列的极限）（数列的极限）10(2)lim(1)xxxe（x0的极限）的极限）( )( )1(3) lim (1)( )u xu xeu x（复合函数的极限）（复合函数的极限）)71828. 2( e重要

9、极限重要极限,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e .22即：即：xn是一单调上升数列。是一单调上升数列。(2)nnnxn)1(14 . 313 . 212 . 1111!1! 31! 2111 )111()4131()3121()211(11nn 313 nxn为单调上升且有上界数列，为单调上升且有上界数列，xn有极限有极限.limexnn (e2.718).!1! 31! 2111enyn ennn)11 (lim证明：证明：1）1111(1)nnnnxn1(1 1/ )1nnn1111nxn 1111 (1)(1)nnn1,nnxx.23exxx )11(lim

10、ennxnnnn )11(lim,)11(且且单单调调递递增增 1,xxx设 1111(1)(1)(1)xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1nnnnnnnn 而而, e 11111lim(1)lim(1)lim(1)111nnnnnnnn, e .)11(limexxx x与与n=x同时趋向同时趋向+ 由夹挤准则由夹挤准则 1(1) 1xx 11(1) xx.24,xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim用变量代换可求出用变量代换可求出exxx )11(lim.25例例

11、1 1.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例2 2.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e .26例例101lim() .1xxxx求111001(1):lim()lim1(1)xxxxxxxxx解110120lim(1)1lim(1)xxxxxex例例102lim() .2xxxx求11100(1)22:lim()lim2(1_)2xxxxxxxxx解122102112220lim (1)2lim (1)2xxxxxeeex.27limx例例. 求.)cos(sinlim11xx

12、xx解解: 原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin1.28重要极限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表达式.290sinlim1xxx0sinlim1xarcxx0tanlim1xxx0arctanlim1xxx021 coslim112xxx0ln(1)lim1xxx01lim1xxex0(1)1lim1xxx.30根据极限求参数根据极限求参数例例设lxxaxxx14lim231求求la,解0)1(lim1xx而 是常数l0) 4(lim231xaxxx即4a, 0411a144lim231xxxxx10)4)(1(lim1xxx1) 4)(1(lim21xxxx10, 4la.31