弯曲内力_武汉理工大学_材料力学

1、会计学1弯曲内力弯曲内力_武汉理工大学武汉理工大学_材料力学材料力学2第五章 弯曲内力3一、弯曲变形梁(beam)以弯曲变形为主的构件。受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。变形特点：原为直线的轴线变为曲线。5.1 平面弯曲的概念4对称轴平面弯曲：当所有外力(或者外力的合力)作用于纵向对称面内时，杆件的轴线在对称面内弯曲成一条平面曲线。 Pmq纵向对称面轴线RARB对称轴5一、构件几何形状的简化：通常取梁的轴线来代替梁。二、载荷简化计算简图：表示杆件几何特征与受力特征的力学模型。1. 集中力(N，kN)Pq lim 0 xPqx 载荷集度q：mm2. 集中力偶(Nm， kNm)3.

2、分布载荷(N/m，kN/m) 5.2 梁的计算简图6固定铰支座：2个约束可动铰支座：1个约束三、 支座简化固定端：3个约束XAYAMAFAxFAyAAAAAAFAA7四、静定梁的三种基本形式 简支梁(simple beam) 悬臂梁(cantilever beam)静定梁：仅由静力平衡条件就可确定梁的全部支反力和 内力。 外伸梁(overhanging beam)8计算方法：截面法例：求截面1-1上的内力。解：(1)确定支反力RA和RB(2)取左段梁为研究对象：:0yF01ASFFR1AFRFS:0CM0)(A1xRaxFM)(1AaxFxRMMFS5.3 弯曲内力剪力和弯矩 MFSRBmxF

3、1aABF2m11xCF1RARARB9内力的正负规定:剪力FS: 绕研究对象顺时针转为正；反之为负。或者说：左上右下的FS为正，反之相反。弯矩M：使梁下凸变形的弯矩为正；使梁上凸变形的弯矩为负。或者说：左顺右逆的M为正，反之相反。 FS()FS()FS(+)FS(+)M(+)M(+)M()M()10例5-1：求图示梁1-1、2-2截面处的内力。qlFFSy1 : 0解：1-1截面:11 : 0qlxMMCqqlab1122x1qlx2qlqlaxqFS22 Fy:0 axqMqlxMC0)(21 :022222222)(21qlxaxqMFS1M1CFS2M2C2-2截面:11另外还可以直接

4、利用外力简化法求解内力。内力与外力之间的大小关系规律：（1）横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力在轴线垂直方向投影的代数和。（2）横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧（或右侧）梁上所有外力对截面形心取矩的代数和。内力符号与外力方向之间的关系规律：（1）“左上右下”的外力引起正值剪力，反之则相反。（2）“左顺右逆”的外力偶引起正值弯矩，反之则相反。（3）所有向上的外力均引起正值弯矩，反之则相反。12AB1122FM0 =Faaaaa例5-2：如图所示简支梁，试求1-1、2-2截面上剪力和弯矩。RARB解：（1）求支反力RA 、RB1-1截面:024:00MaFaRMBA02

5、4:00MaFaRMABFRA41FRB43（2）求截面内力FRFAs411FaFaaFMaRMA4541012-2截面:FRFBs432FaaRMB432131. 内力方程：2. 剪力图和弯矩图：表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形。剪力方程：FS=FS（x）弯矩方程：M=M（x）xFS计算步骤：(1)确定支座反力；(2)分段建立剪力、弯矩方程；(3)作剪力图、弯矩图。5.4 剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图xM 14例5-3 列图示简支梁的内力方程并画内力图。解:(1)计算支反力：以整梁为研究对象lABq)( /2qlRRBA对对称称RARB(2)建立剪力、弯矩方程：xRAxqFS(x)M(x)：

6、0yF：0CMlxqxqlxFS02)(lxqllxqxqxqlxM081)2(222)(222(3)绘制剪力图、弯矩图ql /2ql /2-+ql 2/8MFS在FS=0处，M取得最大值。15解:(1)计算支反力：)( / /BA lFaRlFbR(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、CB两段考虑，以A为原点。 axlFbRxFS 0)(A axxlFbxRxM 0)(A(3)绘制剪力图、弯矩图：AC段：RAxFS(x)M(x) lxalFaFRxFS A)(CB段： lxaxllFaaxFxRxM A)(FS(x)M(x)RAxFFb /lFa /l-+Fab /l在集中力F作用点处，FS图发

7、生突变，M图出现尖角。 FSxABFalbCRBRAMx16MFS(x)M(x) lxaxllmmxRxM A)(FS(x)M(x)在集中力偶m作用点处，M图发生突变，FS图不受影响。 解：(1)计算支反力： lmRM/ :0BA(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、CB两段考虑，以A为原点。 axlmRxFS 0)(A axxlmxRxM 0)(A lmRM/ :0ABAC段： lxalmRxFS A)(CB段：RARBxlabABmCRAxRAxm(3)绘制剪力图、弯矩图：m /l+-+ma /lmb /lFSx17例5-4 求下列外伸梁的内力方程并画内力图。解：(1)计算支反力：)(45qa

8、RA)(41qaRBa2aqCBA(2)列剪力、弯矩方程：以A为原点。xRARB)(xFs)0()(xaxaq)20(41axqa)(xM)0()(212xaxaq)20()2(41axxaqa+-qa41qaFsM-221qa在集中力作用处， Fs 图发生突变， M图对应处有一尖角。 （3）画内力图：18例5-5 求下列各悬臂梁的内力方程并画内力图。从右往左取研究对象从左往右取研究对象FFS qlFSlFlqFlM2/2qlM19lMMMFsFs0总结得以下规律：（1）形状规律：抛抛斜斜平平平平零零零零斜斜平平零零）（MFqs（2）突变规律：（a）在集中力作用处，Fs图上有突变，突变值等于集

9、中力的大小，在M图的相应处有一尖角（b）在集中力偶作用处，M图上有突变，突变值等于集中力偶的大小，在Fs图的相应处无变化。（3）分段规律：203. 刚架：在工程中，常遇到由不同取向的杆件，通过 杆端相互连接而组成的框架(frame)结构。 具有刚节点的框架称为刚架(rigid frame)。2aABqC3a例5-6作图示刚架的弯矩图。解：(1) 求支座反力 3 :0qaFFCxx 492233 :0qaaaqaFMAyC 49 :0qaFFCyyAyFCyFCxF刚节点：不能相对转动，也不能相对移动。铰结点：能相对转动，不能相对移动。(2) 对各杆分段求内力注意：刚架的内力有Fs、M、FN ,

10、 这里只讲弯矩图画法。212aABqC3a49qa49qaqa3BA杆：以A为原点axxFFNx20 0)( :011axqaxxMMO20 49)( :0111axqaxFFsy20 49)( :011BC杆：以C为原点axqaxFFNy30 49)( :022axxqqaxxMMO30 2-3)( : 022222axqxqaxFFsx30 3)( :022249qaA1SF1M1x1NFOqa349qa2xqC2SF2M2NFO22BA杆：以A为原点1149)( qaxxMBC杆：以C为原点22222-3)( xqqaxxM+49qaABCFNax201ax302弯矩图画在受拉侧+qa3

11、-49qaABCFS(3) 作内力图229qaABC229qaM23例5-7 试作图示刚架的弯矩图。P1aM 图P1aP1a+ P2 lF1F2alABC1x2xBA杆：以B为原点111)( xFxMBC杆：以C为原点2212a)( xFFxMax 10lx 20解：（1）列各杆弯矩方程(外侧受拉)(外侧受拉)（2）画弯矩图24q4. 平面曲杆：轴线为平面曲线的杆件。 内力情况及绘制方法与平面刚架相同。例5-8 如图所示平面曲杆，已知F及R 。试画Fs、M 及FN 图。qmm解：建立极坐标，O为极点，OB 极轴，q表示截面mm的位置。OFRABFFsFN取研究对象，画其受力图如下图示：M符号规

12、定：使轴线曲率增加的M为正；引起拉伸变形的FN为正；将Fs对研究对象上任一点取矩，若力矩的转向为顺时针的，则剪力为正，反之均为负。25)(0 )cos1 ()cos()(qqqqFRRRFM)(0 cos)(qqq FFN)(0 sin)(sqqq FFABOM图OO+Fs图FN图2FRFF+qFFsFNMF26对dx 段进行平衡分析： 0)(d)(d)()(:0S xFxFxxqxFFSSy)(dd)(xFxxqS dxxq(x)q(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+d M(x)FS(x)M(x)dx xqxxF ddS剪力图上某点处的切线斜率等于该点处的荷载集度。5.5 荷载集度、剪力

13、和弯矩间的微分关系27FS(x)+dFS(x)FS(x)dxAM(x)+d M(x)M(x) xqxxF ddS0)(d)()(d(21)()d( : 02S xMxMxxqxMxxFMA)(d)(dxFxxMS 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。)(d)(d22xqxxM q(x)28FSF1Meq0DFEG HF2FAFEM1. 无荷载段：2. 有荷载段q： FS图水平直线或为0q 0：上升斜直线q 0：下降斜直线上凸曲线 M图斜直线或水平线下凸曲线 xqxxF ddS xFxxMS ddq(x)向上为正29q(x)向上为正3. 力F作用点处4. 力偶Me作用点处FS图突变不受

14、影响M图折点突变5. q起点及终点处不受影响相切 xFxxMS dd xqxxFddS6. 弯矩最大绝对值处：FS0或集中力作用截面处或集中力偶作用处F1Meq0DFEG HF2FAFEMFS30作图步骤1. 求支座反力，2. 分段描述：判断各段形状（水平线、斜直线、曲线）， 分段原则：集中力、集中力偶、支座、分布荷载起点及终点处3. 求每一段控制截面的FS、M值，4. 按规律连线。31例5-7 作下列各图示梁的内力图。FSxqaFBABAS 段段：0: qaqaFACCS段段aaqaqBCqa2xMqa-223qa-20qaMMAB 223 22qaaqaaqaMC A相切32例5-8 作图

15、示梁的内力图。qqa2qaABCDaaaqa/2MFSqa2/2832qaqa2/2qa2/22/qaRA 2/qaRD +qa/2-+qa/2-33解：1.求支座反力FS/kNoxM/kNmxo例5-9作图示外伸梁的Fs、M图。(取参考正向）2. 从左起，计算控制截面的 FS值,并由微分关系判断线 形，画 Fs图3. 同理画 M 图。20530602015CA DBm2m1m3E2m30kNq=10kN.mM=60kN.mFAFBkN25AFkN35BF; 0CF;kN20左左sAF;kN5左左sBFkN.30EF53045; 0CM;mkN20AM;mkN15左左DM;mkN60BM. 0

16、EM；右右kN5-sAF；右右kN30sBFm;kN45右右DM+-参考正向34例5-10 已知M图,求外载及剪力图。20kN40kN m20kN20kN2m2m2m40kN m)(d)(dxFxxMS SddFxq xxMFSABCD35例5-11 已知M图,求荷载图及剪力图。40kN20kN m20kN20kN20kN20kN1m1m1m20kN m20kN mMFSABCD)(d)(dxFxxMS xqxxF ddS36例5-12已知Fs图，求外载及M图(梁上无集中力偶)。1m1m2m231q=2kN/m+11ABCDEFS(kN)1.25)(d)(dxFxxMS xqxxF ddS5k

17、N1kN+(kNm)M371kN+3kN2kN0.5m1m1.5m2kN/mq2kN mMFS例5-13已知Fs图，求外载及M图(梁上无集中力偶)。ABCD0.25kN m)(d)(dxFxxMS xqxxF ddS5kN2kN1kN+38叠加原理：当梁上同时作用几个载荷时，梁的弯矩为每个载荷单独作用时所引起弯矩的代数和。叠加法：应用叠加原理计算梁的内力和反力的方法。 前提条件：小变形，材料服从虎克定律。步骤： 分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； 将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。5.6 用叠加法作弯矩图39例5-14 按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力F作用在梁AB的

18、中点处）。=+FABqAB=+2Fa 22qa2/2/2qaFa MqFAB2a+40例5-15 作下列图示梁的内力图。0.5F0.5F0.5F0.5FFABFS=+=+FLABF-0.5F0.5F+-0.5F-FFlllF0ABC410.5FlMFl0.5Fl0.5FlFFlll0.5F0.5F0.5FF0ABFAB=+FlABC=+0.5F+42FlFllFl对称性与反对称性的应用：FFABF+FlllABFFF/3F/32F/3F/3+F/3MFS反对称正对称反对称正对称+Fl/3Fl/3+43一、选择题1、平面弯曲变形的特征是 。（A）弯曲时横截面仍保持为平面。（B）弯曲载荷均作用在同

19、一平面内。（C）弯曲变形后的轴线是一条平面曲线。（D）弯曲变形后的轴线与载荷作用面共面。2、在下列诸因素中，梁的内力图通常与 有关。（A）横截面形状。 （B）横截面面积。（C）梁的材料。 （D）载荷作用位置。 DD 本 章 习 题443、一跨度为L的简支梁，若仅承受一个集中力F，当F在梁上任意移动时，梁内产生的最大剪力FSmax和最大弯矩Mmax分别满足 。（A） Fsmax F， Mmax FL/2 （B） Fsmax F/2，Mmax FL/4 （C） Fsmax F， Mmax FL/4 （D） Fsmax F/2，Mmax FL/2 4、一跨度为L的简支梁，若仅承受一个集中力偶M0，当

20、M0在梁上任意移动时，梁内产生的最大剪力FSmax和最大弯矩Mmax分别为 。 （A） Fsmax =0， Mmax = M0 （B） Fsmax =0， Mmax = M0 /2 （C） Fsmax = M0 /l ，Mmax = M0 （D） Fsmax = M0 /l ，Mmax = M0 /2 CC455、在下列说法中， 是正确的。（A）当悬臂梁只承受集中力时，梁内无弯矩。（B）当悬臂梁只承受集中力偶时，梁内无剪力。（C）当简支梁只承受集中力时，梁内无弯矩。（D）当简支梁只承受集中力偶时，梁内无剪力。 6、用叠加法求弯曲内力的必要条件是 。（A）线弹性材料。 （B）小变形。（C）线弹性

21、材料且小变形。（D）小变形且受弯杆件为直杆。 BC467、若梁的受力情况对称于中央截面，则中央截面上的 。（A）剪力为零，弯矩不为零。（B）剪力不为零，弯矩为零。（C）剪力和弯矩均为零。（D）剪力和弯矩均不为零。 8、若梁的受力情况对称于中央截面，则该梁的内力图的特点是 。（A）M图对称，FS图反对称。 （B）M图反对称， FS图对称。（C）M， FS图均对称。 （D）M， FS图均是反对称。 AA479、若梁的受力情况关于中央截面反对称，则中央截面上 。（A）剪力为零，弯矩不为零。（B）剪力不为零，弯矩为零。（C）剪力和弯矩均为零。 （D）剪力和弯矩均不为零。 1 0 、 若 梁 的 受 力

22、 情 况 关 于 中 央 截 面 反 对 称 ， 则 该 梁 的 内 力 图 的 特 点 是 。（A）M图反对称， FS 图对称。 （B）M图对称， FS 图反对称。（C）M， FS图均对称。 （D）M， FS图均是反对称。 BA481、二、作图题aaaFaFFFSMFFa492、qFSMaa2a2qa2qa2qa5qa2qa3qaqa2qa22qa2+503、FSMqa/2+qqa2/2qaaqa/2qa/2qa/2qaqa2/2qa2/8514、qaqqa2/2aaaqaqaFSqaqaMqa2/2qa2/2+525、2qaqaa5qa/47qa/4FS+7qa/43qa/45qa/4M5

23、qa2/4+536、作刚架弯矩图（教材P89510（d,h)6、改内力图之错。a2aaqqa2ABFsxxM+qa/4qa/43qa/47qa/4qa2/449qa2/323qa2/25qa2/447;4qaRqaRBA54第五章 弯曲内力结 束55例5-3 列图示简支梁的内力方程并画内力图。解:(1)计算支反力：以整梁为研究对象lABq)( /2qlRRBA对对称称RARB(2)建立剪力、弯矩方程：xRAxqFS(x)M(x)：0yF：0CMlxqxqlxFS02)(lxqllxqxqxqlxM081)2(222)(222(3)绘制剪力图、弯矩图ql /2ql /2-+ql 2/8MFS在FS=0处，M取得最大值。56例5-5 求下列各悬臂梁的内力方程并画内力图。从右往左取研究对象从左往右