动点轨迹求法(六部分全)

1、动点轨迹求法一 考点分析解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等二 命题趋势解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面

2、向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质解析几何试题对运算求解能力有较高的要求解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平

3、面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一三 知识网络直线的方程平面内两条位置关系两直线平行两直线重合两直线相交两直线垂直两直线斜交倾斜角与斜率倾斜角00，1800） 和斜率k=tan的变化直线方程点斜式：斜截式：两点式： 截距式：一般式：注意 （1 ）截距可 正，可负，也可为0 ；（2 ）方程各种形式的变化和适用范围.距离点点距点线距线线距两直线夹角圆的方程标准方程：（x-a）2+（y-b）2=r2一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0圆的方程空间两点间距离、中点坐标公式点和圆

4、的位置关系点在圆内点在圆上点在圆外相离直线和圆的位置关系相交相切空间直角坐标系圆和圆的位置关系相离相切相交圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系曲线与方程求曲线的方程画方程的曲线求两曲线的交点双曲线轨迹方程的求法：直接法、相关点法、定义法、几何法等抛物线椭圆定义及标准方程几何性质相交相切相离弦长范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）、短轴（虚轴）渐近线（双曲线）、准线、离心率。（通径、焦半径）四 考点对接1 直接法：用直接法求轨迹方程的步骤：（1）恰当地建立直角坐标系（如已经建立，此步可以省略）；（2）设动点P(x，y)为轨迹上任意一点；（3）用动点坐标P（x，y）表示问题中的几何关系，列出等式关系

5、；（4）化简并整理得轨迹方程。注意：如果含有参数，则必须进行讨论。2 相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称做转移法。用转移法求轨迹的大致步骤是：（1）设所求轨迹上的动点P（x，y），再设具有某种运动规律f（x，y）=0上的动点Q（X,Y）；（2）找出P、Q之间坐标的关系式，并表示为：（3）将X,Y代入f（x，y）=0，即得所求轨迹方程。3 交轨法：如果所求轨迹是由两条动曲线（包括直线）的交点所得，其一般解法是恰当地引进一个参数，写出两条动曲线的方程，消去参数，即得所求的轨迹方

6、程，所以交轨法是参数法的一种特殊情况。4 待定系数法： 若所求轨迹是指定类型的曲线, 可根据曲线名称先设出其含有待定系数(参数) 的方程, 然后由题设条件建立含参方程组, 并借助方程工具解出参数获解.这种方法可称为待定系数法.5 定义法： 如果动点轨迹满足已知曲线的定义, 则可根据题设条件和图形的特点, 恰当运用平面解析几何知识去寻求其数量关系, 再由曲线定义直接写出方程,这种方法叫做定义法.6 参数法：如果动点P( x, y) 的坐标间关系不易直接求出时, 可通过中间变量( 参数) 间接地表示出x、y, 这就是动点P的参数方程, 消去参数便可得其普通方程,这种方法可称为参数法.用参数法求轨迹

7、方程的步骤是：（1） 建立恰当的直角坐标系（若坐标系已建立，可略去次步）；（2） 设动点P（x，y）为轨迹上任一点；（3） 根据条件，找出一个与动点坐标相关联的另一个中间变量t为参数；（4） 利用有关条件确定该参数与两个动点坐标x，y之间的相依关系，从而得到轨迹的参数方程；（5） 消去参数即可得到普通方程。7 向量法： 平面向量与解析几何的交汇是近年来高考命题的热点，一方面要能够正确的分析向量表达式给出的条件，将它们转化为图形中相应的位置关系，另一方面还要善于运用向量的运算解决相关的问题。8 几何法： 动点的几何特征与平面几何的定理有着直接或间接的联系，且利用平面几何的基本知识得到包含已知量和

8、动点坐标的等式，化简后即可得所求轨迹方程，用此法的关键在于所求轨迹的几何条件与平面几何知识的紧密结合。9 差值代入法求动弦中点轨迹方程：这类问题常见的两种类型：（1） 已知斜率求平行弦中点的轨迹方程；（2） 过某定点作圆锥曲线的割线，求截得的弦中点轨迹方程；上述两种类型均与弦的中点有关，因此可采用点差法求解。五 典型例题1 直接法：例1一动点与原点的边线的斜率等于这个动点与原点的距离，求此动点轨迹方程。解析：设P（x,y），则，都可表示出来，从而据题设可求得动点的轨迹方程。解：设动点P（x,y），则，据题意可得： 两边平方化简得： （xy>o） 故所求得动点的轨迹方程为（xy>o）

9、例2 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为，动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹。解：设MN切圆C于N，则。设,则 化简得（1） 当时，方程为，表示一条直线。（2） 当时，方程化为表示一个圆。2 相关点法：例1已知A（2，0），B，点C在直线上移动，求ABC重心G的轨迹方程。分析：重心G的运动是由点C在直线上运动引起的，因而设G（x,y），再用 表示出点C的坐标，就可以建立起点G的轨迹方程。解：设G（x,y）,C G是ABC的重心，且A（2，0），B， 即 又C 在直线上 ，即 化简得 A(2,0),B,共线的条件是， 即 解方程组 得故方程中含有轨迹外的一个点，应删除

10、。从而ABC重心G的轨迹方程是例2. 如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程 解 设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在RtABP中，|AR|=|PR| 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理 在RtOAR中，|AR|2 =|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动 设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2

11、+y24x10=0,得10=0整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 3 交轨法：例1已知经过点P（4，0）的直线，经过Q（-1，2）的直线为，若，求与交点S的轨迹方程。分析：设、的斜率为、，则可由可求之。解：设动点S的坐标为（x,y），设、的斜率为、， 由有， 得： 当或时式有解。 S的轨迹方程为：例2. 已知两点P（2，2），Q（0，2），以及直线l:y=x，设长为的线段AB在l上移动，如图，求直线PQ和QB的交点M的轨迹方程（要求把结果写成普通方程）。MBQAxP·yO 解：由A、B 在y=x上，且|AB|=可设A（a,a），B（a+1,a+1）其中a为参数，当ao且a

12、1时 ,直线PA的方程为:y2=（x+2） 直线QB的方程为:y2=x 当=即a=o时，直线PA与QB平行，无交点。当ao时，由方程消去参数a并整理得 +=1，当a=1或 a=2时，点M的坐标仍满足方程。所以所求交点M的轨迹方程为=1。 4 待定系数法：例1求与双曲线有共同渐进线，且过点的双曲线的标准方程。解：双曲线方程可设为，将点的坐标代入得： 故所求双曲线的方程为例2已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上一点，若且，求双曲线的方程解：设所求抛物线的标准方程为，则或故所求方程为或5 定义法：例1设圆，过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程。 解：由条件知，OC中点记为则 故B点的轨迹方

13、程是 （去掉原点）例2. 某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？解 设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与O相内切，与A、B相外切 建立如图所示的坐标系，并设P的半径为r,则|PA|+|PO|=(1+r)+(1 5r)=2 5点P在以A、O为焦点，长轴长2 5的椭圆上，其方程为=1 同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为(x)2+y2=1 由、可解得，r=故所求圆柱的直径为 cm 6 参数法：例1A、B

14、是抛物线上的两动点，且于P，求动点P的轨迹。解：设点P的坐标（X，Y），直线OA的方程为y=kx， 显然，则直线OB的方程为 由，解得A点的坐标为 类似地可得B点的坐标为 从而知当时， 故得直线AB的直线为 即 直线OP的方程为 可知M点的坐标同时满足、 由 及 消去k使得 即，但 当时，容易验证P点的坐标仍适合上述方程。故点P的轨迹方程为（）它表示以点（2a,0）为圆心，以2a为半径的圆。例2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AOBO（如图4所示）.求AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；解：以OA的斜率k为参数由解得A（k，k2）

15、OAOB，OB：由解得B设AOB的重心G（x，y），则消去参数k得重心G的轨迹方程为7 向量法：例1. 设椭圆方程为,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A,B,O是坐标原点,点P满足,点N的坐标为.当l绕点M旋转时,求(1)动点P的轨迹方程; 解 设，代入中消得. 设则 设，则 ，消得 当不存在时，中点为（0，0），满足上述方程. 所以P点轨迹方程是.例2如图，设点A和点B是抛物线y2=4px上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB，求动点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线？解：点AB在抛物线y2=4px上，设A(,y1),B（,y2）=(,y1), =(,y2),=( ,y2y1), y1

16、0,y20MyOBAx,·+y1y2=0 ，即y1y2=16p 设M（x,y）,则=(x,y),= (x,y1y), = (x,y2y), x·+y（y2y1）=0即x·+y=0, A、B、M三点共线，即(x) (y2y1)=（x）(y1y)化简得 y2+y1= x·+y=0 x2+y24px=0（x、y不能同时为零）即为动点M的轨迹方程。因为A、B是原点以外的两点，所以x0,故点M轨迹是以（2p,o）为圆心,以2p为半径的圆（去掉原点）。8 几何法：例1 抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。解：点A、B在

17、抛物线上，设A（，B（所以kOA= kOB=,由OA垂直OB得kOA kOB = -1，得yAyB= -16p2 ,又AB方程可求得，即（yA+yB）y-4px-yAyB=0,把 yAyB= -16p2代入得AB方程（yA+yB）y-4px+16p2 =0 可得AB过定点（4p,0）而OM垂直AB，所以由圆的几法性质可知：M点的轨迹是以为圆心，半径为的圆。所以方程为，除去点（0，0）。例2已知椭圆的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足求点T的轨迹C的方程；解：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0

18、）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在QF1F2中，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是9 差值代入法求动弦中点轨迹方程：例1 经过抛物线y2=2p(x+2p)(p>0)的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于B、C两点，求线段BC的中点M轨迹方程。解：A（-2p,0）,设直线AB的方程为y=k(x+2p)(k0).与抛物线方程联立方程组可解得B点的坐标为，由于AC与AB垂直，则AC的方程为，与抛物线方程联立方程组可解得C点的坐标为，又M为BC中点，设M（x,y）,则，消去k得y2=px,即点M的轨迹是抛物线。例2 P是抛物线C：上一点，直线过点P且与抛物线C交于另

19、一点Q。若直线与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程。（图见教材P129页例2）。解：设由（1）得，过点P的切线的斜率，直线的斜率，直线的方程为（2）由得则。将上式代入（2）并整理，得PQ中点为M的轨迹方程为六 专题演练基础训练A组一 选择题：1.已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( )A.B.C.D.3 已知圆C与直线xy=0 及xy4=0都

20、相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为A. B. C. D. 4.圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）A B CD5.点P（4，2）与圆上任一点连续的中点轨迹方程是（ ）A. B.C.D.二 填空题：1.ABC中，A为动点，B、C为定点，B(,0),C(,0)，且满足条件sinCsinB=sinA,则动点A的轨迹方程为_.2.高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_.3以点（2，）为圆心且与直线相切的圆的方程是 .4已知圆C的圆心与点关于直线y

21、=x+1对称，直线3x+4y-11=05与圆C相交于两点，且，则圆C的方程为_. 过的直线l与圆C：(x-1)22+y2=4 交于A、B两点，当ACB最小时，直线的方程为 .三 解答题：1.已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，O切直线l于点A，又过B、C作O异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.2.双曲线=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1QA1P，A2QA2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程.3.已知双曲线=1(m0,n0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q.(1)求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；

22、(2)当mn时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.4.已知椭圆=1(ab0),点P为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，F1PF2的外角平分线为l，点F2关于l的对称点为Q，F2Q交l于点R.(1)当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；(2)设点R形成的曲线为C，直线l：y=k(x+a)与曲线C相交于A、B两点，当AOB的面积取得最大值时，求k的值.5 已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线 答 案一 选择题：1.解析：|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1

23、Q|=2a,动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.答案：A2.解析：设交点P(x,y）,A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)A1、P1、P共线，A2、P2、P共线，解得x0=答案：C3圆心在xy0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.【答案】B4解法1（直接法）：设圆心坐标为，则由题意知，解得，故圆的方程为。解法2（数形结合法）：由作图根据点到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在轴上，排除C。【答案】A5【解析】设圆上任一

24、点为Q（s，t），PQ的中点为A（x，y），则，解得：，代入圆方程，得（2x4）2（2y2）24，整理，得：【答案】A二 填空题：1.解析：由sinCsinB=sinA,得cb=a,应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为.答案：2.解析：设P(x,y），依题意有,化简得P点轨迹方程为4x2+4y285x+100=0.答案：4x2+4y285x+100=0 3【解析】将直线化为,圆的半径,所以圆的方程为 【答案】4答案 5答案 三 解答题：1.解：设过B、C异于l的两切线分别切O于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|

25、PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为=1(y0)2.解：设P(x0,y0）(x±a),Q(x,y).A1(a,0),A2(a,0).由条件而点P(x0,y0)在双曲线上，b2x02a2y02=a2b2.即b2(x2)a2()2=a2b2化简得Q点的轨迹方程为：a2x2b2y2=a4(x±a).3.解：(1)设P点的坐标为(x1,y1)，则Q点坐标为

26、(x1,y1),又有A1(m,0),A2(m,0),则A1P的方程为：y=A2Q的方程为：y=×得：y2=又因点P在双曲线上，故代入并整理得=1.此即为M的轨迹方程.(2)当mn时，M的轨迹方程是椭圆.()当mn时，焦点坐标为(±,0)，准线方程为x=±,离心率e=；()当mn时，焦点坐标为(0,±),准线方程为y=±,离心率e=.4.解：(1)点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，F2PR=QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因为l为F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),

27、F1(c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.又得x1=2x0c,y1=2y0.(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，x02+y02=a2.故R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y0)(2)如右图，SAOB=|OA|·|OB|·sinAOB=sinAOB当AOB=90°时，SAOB最大值为a2.此时弦心距|OC|=.在RtAOC中，AOC=45°，5解 建立坐标系如图所示，设|AB|=2a,则A(a,0）,B(a,0) 设M(x,y）是轨迹上任意一点 则由题设，得=,

28、坐标代入，得=,化简得(12)x2+(12)y2+2a(1+2)x+(12)a2=0(1)当=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴) (2)当1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0 点M的轨迹是以(，0）为圆心，为半径的圆 综合训练B组一 选择题：二 填空题：5巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 三 解答题：1 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为，动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹。2 如图，某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、

29、BP运到P处，其中AP=100m，BP=150m，APB=600，问怎能样运才能最省工？3已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为（-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线交OM于点P，求点P的方程。4如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。5已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.(1)求椭圆G的方程(2)求的面积(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.答 案一 选择题：答案： 1.C 2.D 3.D 4.A 5.A二 填空题：答案：5【

30、解析】，则所求椭圆方程为.【答案】三解答题：1解：设MN切圆C于N，则。设,则 化简得（1） 当时，方程为，表示一条直线。（2） 当时，方程化为表示一个圆。2解：半圆上的点可分为三类：一是沿AP到P较近，二是沿BP到P较近，三是沿AP或BP一样近。其中第三类的点位于前两类的分界线上，设M为分界线上的任一点，则有，即，故M在以A，B为焦点的双曲线的右支上。建立如图直角坐标系，得边界的方程为,故运土时为了省工，在双曲线弧左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处，在曲线上面的土两边都可运。3解：由中垂线知，故，即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3，0），故P点的方程为4解：设动点P

31、的坐标为（x,y）,点Q的坐标为（x1,y1）则N（ 2x-x1,2y-y1）代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2 又PQ垂直于直线x+y=2，故，即x-y+y1-x1=0 由解方程组得, 代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=05解（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c; 则 , 解得 , 所求椭圆G的方程为：. (2 )点的坐标为 （3）若，由可知点（6，0）在圆外， 若，由可知点（-6，0）在圆外； 不论K为何值圆都不能包围椭圆G.提高训练C组一 选择题：二 填空题：1已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，

32、若为的中点，则抛物线C的方程为 。2设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为 3 A的坐标是（2，0），B是圆F：（）上的动点（F为圆心），线段AB的垂直平分线交直线BF于P，则动点P的轨迹方程为 。 4设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为_.5巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 三 解答题：1设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,动点的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该

33、方程所表示曲线的形状; （2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;2已知曲线与直线交于两点和，且记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为设点是上的任一点，且点与点和点均不重合（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程； （2）若曲线与有公共点，试求的最小值3 已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（1，0）（1，0）。（1） 求椭圆C的方程；（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。 4 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（）求椭圆C的方程；（）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 5已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1（1）求椭圆的方程（2）