高三数学-二项式定理(知识点和例题)

1、名师总结优秀知识点二项式定理1 知识精讲：（1）二项式定理：nnnrrnrnnnnnnbcbacbacacba110（nn）其通项是1rtrrnrnbac（r=0,1,2,n） ，知 4 求 1，如：555156bacttnn亦可写成：1rtrnrnabac)(nnnnrrnrnrnnnnnbcbacbacacba11110（nn）特别地：nnnrnrnnnnnxcxcxcxcx101（nn）其中，rnc二项式系数。而系数是字母前的常数。例 1nnnnnncccc1321393等于（）an4b。n43c。134nd.314n解： 设nnnnnnnccccs1321393，于是：nnnnnnnc

2、cccs3333333221nnnnnnccccc故选 d 例 2 （1）求7(12 )x的展开式的第四项的系数；（2）求91()xx的展开式中3x的系数及二项式系数解： （1）7(12 )x的展开式的第四项是3333 17(2 )280tcxx，7(12 )x的展开式的第四项的系数是280（2）91()xx的展开式的通项是99 21991()( 1)rrrrrrrtc xc xx，923r，3r，3x的系数339( 1)84c，3x的二项式系数3984c（2）二项展开式系数的性质：对称性 , 在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即,22110

3、knnknnnnnnnnnncccccccc增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果名师总结优秀知识点二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n偶数：122maxnnnrntcc；如 果 二 项 式 的 幂 指 数 是 奇 数 ， 中 间 两 项 的 二 项 式 系 数 相 等 并 且 最 大 ， 即1211212121maxnnnnnnrnttccc。所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于n2即nnnnnccc210；奇数项的二项 式系数和与偶 数项的二项式 系数和相等，即131202nnnnncccc例 3已知7270127(12 )xaa

4、xa xa x，求：（1）127aaa；（2）1357aaaa；（3）017|aaa. 解： （1）当1x时，77(12 )(12)1x，展开式右边为0127aaaa0127aaaa1，当0 x时，01a，1271 12aaa，（2）令1x，0127aaaa1令1x，7012345673aaaaaaaa 得：713572()13aaaa，1357aaaa7132. （3）由展开式知：1357,a a aa均为负，0248,aa aa均为正，由（ 2）中 + 得：702462()13aaaa，70246132aaaa，017|aaa01234567aaaaaaaa702461357()()3aa

5、aaaaaa名师总结优秀知识点例 4 （1）如果在nxx421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。（2）求321xx的展开式的常数项。解： （1）展开式中前三项的系数分别为1，2n，8) 1(nn，由题意得： 22n=1+8)1(nn得n=8。设第 r+1 项为有理项，43168121rrrrxct，则 r 是 4 的倍数，所以r=0，4， 8。有理项为295412561,835,xtxtxt。【思维点拨】求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定r。（2）321xx61xx，其展开式的通项为2266111rrrrrxxct22661rrrrxc，令02

6、r26r得3r所以，常数项为204t【思维点拨】密切注意通项公式的使用。（3）二项式定理的应用：近似计算和估计、证不等式，如证明：nnnnn, 322取nn112的展开式中的四项即可。例 5、 若n为奇数，则777712211nnnnnnnccc被 9 除得的余数是（）a 0 b。2 c。7 d.8 解：777712211nnnnnnnccc11918nn=1191991111nnnnnnncc因为n为奇数，所以原式=291991111nnnnnncc所以，其余数为 9 2 = 7，选 c 例 6：当nn且n1，求证3)11(2nn名师总结优秀知识点证明 : 2111111)11 (1221ncncncncnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn12321!1! 321!2121122112112122121212!1! 31! 212112nnn.32131n从而3)11 (2nn【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定。2重点难点 : 二项式定理，和二项展开式的性质。3思维方式 :一般与特殊的转化，赋值法的应用。4特别注意 :二项式的展开式共有n+1 项，rrnrnbac是第 r+1 项。通项是1rtrrn