(浙江专版)高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和学案新人教A版必修5

1、12.3等差数列的前n项和预习课本 P4245 ,思考并完成以下问题 _(1) 数列前n项和的定义是什么？通常用什么符号表示？(2) 能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和?(3) 能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和?新知初探1.数列的前n项和对于数列an，般地称ai+a2+an为数列an的前n项和，用S表示，即S=ai+a2+an.2等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式na1+an0n n 1b=2S= nai+2d小试身手1.判断下列命题是否正确.(正确的打“V”，错误的打“x”)(1)数列的前n项和就是指从数列的第1 项ai起，一直到第

2、n项an所有项的和()an=SS1(n2)化简后关于n与an的函数式即为数列an的通项公式()在等差数列an中，当项数m为偶数 2n时，则S偶一S奇=an+1()解析：(1)正确由前n项和的定义可知正确.错误.例如数列an中，S=n2+ 2.2 2当n2时，an=SSn1=n (n 1) = 2n 1.又a1=S= 3,a1不满足an=SS 1= 2n 1,故命题错误.错误.当项数m为偶数 2n时，贝US偶一S奇=nd.答案：(1)V(2)x(3)x课前自上学习基稳才能楼高22.等差数列an中，a1= 1,d= 1,贝US等于()A.nB.n(n+ 1)3C.n(n 1)解析：选 D 因为ai

3、= 1 ,d= 1，所以Sn=n n 1n+厂x1=2n+n2-nn2+n2n n+12，故选D.3.设等差数列an的前n项和为Sn,若a1= 2，S=20，则S6等于（A.16B . 24C. 36D . 48解析：选 D 设等差数列an的公差为d,由已知得4x34a1+ d =20,1 4x3即 4x2+d= 20，解得d= 3,1 6x5S=6x尹尹x3=3+45=48.4.在等差数列an中，S4= 2，S8= 6, 则S12=解析：由等差数列的性质，S4,s S, S2Ss成等差数列,所以2(SsS4) =S+(S2Ss) , S2= 3(SS)= 12.答案：12il堂讲练设计举一能

4、通类趣等差数列的前n项和的有关计算典例已知等差数列&.(1)a1= 6,a15=3,Sn= 5，求d和n；2(2)a1= 4,Ss= 172，求as和d. a15= |+ (15 1)d=3，.d=16 2 6又Sn=na+n n 12d= 5,解得n= 15 或n= 4(舍).4解得as= 39,又as= 4+ (8 1)d= 39,d= 5.等差数列中的基本计算(1) 利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量ai,d，n，an和S，这五个量可以“知 三求二”.一般是利用公式列出基本量a和d的方程组，解出ai和d,便可解决问题.解题 时注意整体代换的思想.(2) 结

5、合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若n=p+q(m，n，p，q N)，贝Ua卄an=ap+aq，常与求和公式s=n叮an结合使用.活学活用设Sn是等差数列an的前n项和，已知a2= 3，as= 11,贝US等于()A. 13B. 35C. 49D . 63解析：选 DTan为等差数列，a+ ao=a?+aa,2典例 已知数列an的前n项和 S= 2n+n+ 2.(1)求an的通项公式；判断an是否为等差数列？解(1)TSn= 2n2+n+ 2,当n2时，2S-1= 2(n 1) + (n 1) + 22 22=2n+ 5n 1,8(2)由已知，得Se=-ai+as84 +as=172,

6、a2+a829X14已知Sn求an问题2=63.5=(2n+n+ 2) ( 2n+ 5n 1)=-4n+ 3.又ai=S= 1，不满足an= 4n+ 3,1,n=3 4, 数列an的通项公式是an=4n+ 3,n2.由(1)知，当n2时，an+1an= 4(n+ 1) + 3 ( 4n+ 3) = 4,但 a2 a = 5 1 = 6 工一 4, an不满足等差数列的定义，an不是等差数列.(1) 已知S求an,其方法是an=SS1(n2)，这里常常因为忽略条件“n2”而出错.(2) 在书写an的通项公式时，务必验证n= 1 是否满足an(n2)的情形.如果不满足，S, n = 1, 则通项公

7、式只能用an=表示.SS 1,n2活学活用4已知数列an的前n项和为S=n2 * * * * 7,则()A.an= 2n+ 1B .an= 2n+ 1C.an= 2n 1D .an= 2n 12 2解析：选 B 当n= 1 时，a1=S= 1 ；n2时，an=SnSn-1= n+ (n 1) = 2n+1，此时满足a1= 1.综上可知an= 2n+ 1.6聽型三等差数列的前n项和性质典例等差数列前n项的和为 30,前 2n项的和为 100，则它的前 3n项的和为()A. 130B . 170C. 210D . 260(2) 等差数列an共有 2n+ 1 项，所有的奇数项之和为132,所有的偶数

8、项之和为120,则n等于_ .S12n+ 2a5(3) 已知an ,bn均为等差数列，其前n项和分别为S,Tn,且记=n+3，则 6=_ .解析(1)利用等差数列的性质：S,SnSn, Sn $n 成等差数列.所以Sn+ (S3nSen) = 2(Sl2nS),即 30+ (S3n 100) = 2(100 30),解得S3n= 210.S2n+1132+ 120因为等差数列共有 2n+ 1 项，所以S奇一$偶=an+1= 2n+j，即 132 120=2n+,解得n= 10.(3)由等差数列的性质，知答案(1)C(2)10(3) I等差数列的前n项和常用的性质(1)等差数列的依次k项之和，S

9、k, SkSk,S3k Sk组成公差为k2d的等差数列.数列an是等差数列？Sn=an2+bn(a,b为常数)？数列 学 为等差数列.(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d,奇an1当项数为偶数 2n时，S偶一S奇=nd,=-;偶an+1a5b5a1+a92a1+a92X9b+ b92bi +b9X9S92X9+25T9=9+3=3.7Stn2当项数为奇数 2n 1 时，S奇一$偶=an, =.S偶n 18活学活用1.设等差数列an的前n项和为 若 S= 8,S= 20，贝Uan +ai2+ai3+ai4=()A. 18B . 17C. 16D. 15解析：选 A 设an的公

10、差为d,贝Uas+a6+a7+as=S3 S= 12, (as+a6+a7+as) S1=16d,解得d=；, an +a12+a13+a14= S+ 40d= 13.42.等差数列an的通项公式是an= 2n+1,其前n项和为Sn,则数列弓的前 10 项和为解析：因为an= 2n+ 1，所以a1= 3,所以S=n+ 2,nSn所以一是公差为 1,首项为 3 的等差数列,n10X9所以前 10 项和为 3X10+ X1= 75.答案：75等差数列的前n项和最值问题典例在等差数列an中，a1= 25,S7=S,求前n项和S的最大值.解由 S17= S，得25X17+竺竺解得d=- 2,法一公式法

11、n n-12S= 25n+X(-2)= -(n13)2+169.由二次函数性质得，当n= 13 时，S 有最大值 169.法二邻项变号法所以Sn=-3 + 2n+ 1_22=n+ 2n,d,9an= 25 2n 10,/a1= 25 0，由an+1=252nw0,101n122,又n N,.当n= 13 时，S 有最大值 169.求等差数列的前n项和S的最值的解题策略将$ =na+-2-d=n2+a1 n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决.邻项变号法：an 0, 当a10,d0 时，满足的项数n使S取最大值.an+10an 0,当a10 时，满足的项数n使S取最小值.an+

12、10活学活用已知an为等差数列，若 1,且它的前 n 项和 S 有最大值，那么当 S 取得最小正值时，n=()A. 11B . 17e. 19D . 21解析：选 e /S.有最大值，andan,又1,a110310, ae+ an0,S20a10=10(a1+a2o) = 10(ae+ an)O,So为最小正值.故选 C.1 .已知数列an的通项公式为an= 2 3n,则an的前n项和S等于()32n32nA.匚 n +B.二 n 匚222 232n32neqn+ QD2n q即 121n0,a80，则下列结论正确的是（）B .Sl503.设等差数列an的前n项和为S,若 S= 9,S= 3

13、6，贝Ua?+a*+ao等于()A. 63B . 45C. 36D. 27解析：选B / a?+a8+ao=So-S,而由等差数列的性质可知，S,3Ss, $3构成 等差数列，所以 S+ (So S) = 2(SsS3)，即a7+a8+a9=S9 S= 2S 3S3= 2x36 3x9= 45.4.已知等差数列an的前n项和为Sn,7a5+ 5ao= 0,且aoa5，则Sn取得最小值时n的值为（）A. 5B .6C. 7D .8解析：选a117B 由 7a5+ 5a9= 0,得d= 3 .又a9a5,所以d0,a10.因为函数d2dy= qx+a1 3x的图象的对称轴为1a11 17 37x=

14、匚=-+石=-7，取最接近的整数2d2366,故Sn取得最小值时n的值为 6.5.设S是等差数列an的前n项和，若a5= 9,则等于（）A. 1C. 2A. S0解析：选 C 由等差数列的性质及求和公式得,13Sl3=ai+ai32=13a70,Si5=15a1+a152=15a80可得nw7,所以Sz最大，k= 7.层级二应试能力达标1.已知等差数列 an的前n项和为 Si,S4= 40, S = 210,S4= 130,贝Un=()A. 12B. 14C. 16D. 18解析：选 B 因为SnSn4=an+Rn1+Rn2+Rn3= 80 ,Sl=&1+82+83+&4= 4

15、0,所以 4(&12.在等差数列an中，Sn是其前n项和，且S2 011=S2 014,Sk=S2 009,则正整数k为（）A. 2 014B . 2 015D . 2 017解析：选 C 因为等差数列的前n项和S是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称3.已知 S 为等差数列an的前n项和，S0,67a11= 67(a1+ 10d) = 67a1+ 670d0，即 an0. 故选A.4.已知等差数列an和bn的前n项和分别为A和 B,且B；5,的正整数n的个数是（）A. 2C. 4+an) = 120,ai+an= 30,ai+an2_=210,得n= 14.C. 2 016性及S2

16、 011=S2 014,S=S2 009, 可得2 011 + 2 0142 009 +k2 = 2解得k= 2 016.故选 C.则使得b为整数解析：选 Da1+a2n1an2bnb1+b2n12a1+a2n12b1+b2n122n12n1An-17+n+1，当n取 1,2,3,5,11时，符合条件，符合条件的n的个数是 5.5.若数列an是等差数列，首项a10,比。3a2040,则使前n项和Sn0?ai+a460?So60,又由ai0 且a203比。40,知a2030,所以公差d0，则数列的前 203 项都是负数，那么 2a203=ai+a4050,所以 *0，所以使前n项和Sn3,所以

17、2a36,所以d4,所以a4=a3+d7 所以a4的最小值为 7.答案：77. 已知等差数列an的公差d0,前n项和为 S,且a2a3= 45, S= 28.(1) 求数列an的通项公式；(2) 若bn=n+c(C为非零常数)，且数列bn也是等差数列，求C的值.n十c又a2a3= 45,公差d0,a20,得n0;当n18,n N 时，an0, an的前 17 项和最大.当nW17,n N 时,n n 132103+ + |an| =a1+a2+an=na1-2d=尹 +n.=a1+a2+ +a17一a18一a9一.一an=2(a1+a2+ +a17) (a1+a2+an)=23X172+172 2321032 门一2n+ 884.32103,*2 门 +2-n,nw17,nN,- Sn=32103*尹 一 丁n+ 884,n18,n N.2.