解析几何圆锥曲线方程

1、曲线方程1圆锥曲线(1) 椭圆的标准方程及其性质条件标准方程4+-=l(a>b>0)r bj|i+4=l(a>b>0)bj r顶点a,(8,90),至2(21，0)bi(0, -b), b2(0, b)aj(0 9a), a>2(0，a)b-b, 0), b2(b, 0)轴对称轴：x轴，y轴.长轴长|a!a2|=2a,短轴长|b1b2|=2b焦点f(c, 0), f2(c, 0)f® -c), f2(0, c)焦距|ff2l=2c(c > 0), a2-b2 + c2离心率e=-(e>l)a椭圆二+二=1的参数方程为：f =为参数)。cr t

2、ry = bsm(p(2) 双曲线的标准方程及其性质条件p=(m|mf1|-|mf2|= 2a, a> 0, 23<2|)标准方程4-4 = l(a>0, b>0) r bj再一石= l(a>0，b>0)顶点a,0),至2(3,0)aj(0,a),直2(0 , a)轴对称轴：z轴，y轴，实轴长|aa2|= 2a,虑轴长|比比|= 2b焦点f(c, 0), f2(c, 0)fi(0, -c), f2(0, c)焦距|ff2l= 2c(c > 0), c2 = a2 + b2离心率e=-(e>l) a渐近线 方程尸土钗或石卡=0)尸土諮或石卡=0)双

3、曲线罕斗=i的参数方程为：r=fsec(°为参数)。 a by = htan(p(3) .抛物线的标准方程及其性质平面内，到一个定点f和一条直线/的距离相等的点的轨迹，叫做抛物线。定点fmi做抛物线的焦点，直 线y2 =2px叫做抛物线的准线。四种标准方程的联系与区别：由于选収坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方 程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为：y2=±2px(p>°)，兀2 =±2刃仆0),其中： 参数的几何意义：焦参数。是焦点到准线的距离，所以p恒为正值；值越大，张口越大；jl2 等于焦点到抛物线顶点的距离。

4、标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变 量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为x轴吋，方程中 的一次项变量就是兀，若兀的一次项前符号为正，则开口向右，若兀的一次项前符号为负，则开口向左; 若对称轴为y轴时，方程屮的一次项变量就是y,当y的一次项前符号为正，则开口向上，若y的一次 项前符号为负，则开口向下。抛物线的简单几何性质方程设抛物线y2 = 2px(p > 0)性质隹占范围对称性顶点离心率准线通径f/ 、<2丿x>0关于兀 轴对称原点e = l22p抛物线b =2px的参数方程为：x

5、= 2pr （t为参数）。 卜=2刃（4）圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线）的统一定义与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当ovevl时，是椭圆，当e>l时，是双曲 线，当e=l时，是抛物线.2直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）（1）首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的a. 直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比（儿何法），也可以利用方程实根的个数来判断（解析法）.b. 直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离c. 直线与双曲线、抛物线

6、有口己的特殊性（2）a.求眩所在的直线方程b.根据其它条件求圆锥曲线方程（3）.已知一点a坐标，一直线与圆锥曲线交于两点p、q,且中点为a,求p、q所在的直线方程（4）.已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或者是圆锥曲线上是 否存在两点关于直线对称）3圆锥曲线在高考中的应用 曲线（轨迹）方程的求法例1、（2008 t州模拟）己知曲线厂上任意一点p到两个定点片（-厲,0）和笃（馆,0）的距离之和为4.（1）求曲线厂的方程；（2）设过（0,-2）的直线/与曲线厂交于c、d两点，且oc od = 0 （o为坐 标原点），求直线/的方程. 有关圆锥曲线的定义的问题x2

7、 v2例2、（2008上海文）设p是椭圆寻+十 t上的点若心 传是椭圆的两个焦点，则|p用+ |朋|等于（）a. 4 b 5c 8d 10例3、（2008北京理）若点p到直线x = -l的距离比它到点（2,0）的距离小1,则点p的轨迹为（）a.圆b.椭圆 c.双曲线d.抛物线例4、（2008海南、宁夏理）己知点p在抛物线/ = 4x±,那么点p到点q （2, 一1）的距离与点p到抛物 线焦点距离之和取得最小值时，点p的坐标为（）a. （-, -1） b.（丄，1） c. （1, 2） d. （1, -2）44 圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质包括椭圆的对称性、顶点坐标、离心率；双

8、曲线的对称性、顶点坐标、离心率和近近线；抛物线的对称性、顶点坐标、离心率和准线方程等内容；离心率公式一样：e=£,范围不一样，椭 a圆的离心率在（0,1）之间，双曲线的离心率在（1, +oo）之间，抛物线的离心率为1,x2 y2例5、（海南、宁夏文）双曲线一-丄=1的焦距为（）10 2a. 3>/2b.4a/2 c. 3>/3d.4巧乂 2 v2例6、（福建文、理）双曲线-2_ = i（>o,/?>o）的两个焦点为f,f,若p为其上的一点，h a bpf =2pf2,则双曲线离心率的取值范围为（）a. （1,3）b. （1,3c. （3,+oo） d. 3,+oo）例7、（辽宁文）已知双曲线9y2-m2x2=l（m>0）的一个顶点到它的一条渐近 线的距离为丄，则m =（）a. 1 b. 2c. 3d. 4 直线与圆锥曲线位置关系问题 例8、（重庆）己知以斥（一2,0）,鬥（2,0）为焦点的椭圆与直线x + v3y + 4 = 0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）（a） 32（b） 26（c） 27（d） 42例9、（浙江）如图，直线y = kx + b与椭圆丄+尸=1交于a,4'记厶aob的面积为s.（i）求在k = 0, 0<b< 1的条件下，s的最大值;（i