考研数学真题(数二)

1、20XX 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 :1 8 小题，每小题4 分，共 32 分 . 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .(1) 下列反常积分中收敛的是（）（ A）1（ B）ln x1xdxdx (C)dx (D)x dx2x2x2x ln x2 e2(2)函数 f ( x)lim(1sin t) xt在 (,) 内（）t 0x（ A）连续 （ B）有可去间断点（ C）有跳跃间断点(D) 有无穷间断点(3)设函数 f ( x)xcos 1 , x 00,0)，若 f ( x) 在 x0 处连续，则（）x(0, x

2、0（ A）1(B) 01 (C)2 (D)02(4)设函数 f ( x) 在 (,) 连续，其二阶导函数f(x) 的图形如右图所示， 则曲线 yf ( x) 的拐点个数为（）（ A）0 (B)1 (C)2 (D)3(5). 设函数 f (u ， v) 满足 f ( xy, y )x2y2 ，则fxu（A） 1,0(B)0 ，1 （C）- 1,0(D)0 ,-12222u 1v 1与f依次是（）v u 1v 1(6).设D是第一象限中曲线2 xy1,4 xy1 与直线yx, y3x 围成的平面区域，函数f ( x, y) 在 D 上连续，则f (x, y) dxdy =（）D11（ A ）2ds

3、in2f (r cos, r sin) dr （ B）2dsin 2f (r cos,r sin)dr1142sin 242sin 211（ C）3dsin2f (r cos, r sin)dr （ D）3dsin 2f (r cos,r sin) dr1142sin 242sin 21111(7)设矩阵A=12a， b=d,=1,2，则线性方程组Axb有无穷多个解的若集合 14a2d 2充分必要条件为（）（ A ） a, d(B) a, d(C) a, d(D)a, d(8) 设二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 在正交变换 xPy 下的标准形为 2 y12y22y32 , 其中 P

4、=(e1 ,e2 ,e3 ) ，若Q(e1 ,e3 ,e2 ) ，则 f (x1, x2 , x3 ) 在正交变换 xPy 下的标准形为（）(A):2y12y22y32(B)2y12y22y32(C)2y12y22y32(D)2y12y22y32二、填空题：9 14 小题 , 每小题4 分 , 共 24 分 . 请将答案写在答题纸指定位置上 .xarctant则 d2y(9)设,y3tt3dx2t1（ 10）函数 f ( x)x2 2x 在 x0处的 n 阶导数 f (n ) (0)（ 11）设函数f ( x) 连续，( x)x2xf (t) dt, 若(1)1 ，' (1)5 ，则

5、f (1)0（ 12）设函数 yy( x) 是微分方程 y''y'2 y0的解，且在 x0 处 y(x) 取值 3，则 y(x) =（ 13）若函数 zz( x, y) 由方程 ex2 y 3 zxyz 1 确定，则 dz (0,0) =（ 14）设 3 阶矩阵 A 的特征值为2，-2,1，BA2AE ，其中 E 为 3 阶单位矩阵， 则行列式 B =三、解答题：1523 小题 , 共 94分 . 请将解答写在答题纸指定位置上 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .15、（本题满分10 分）设函数 f (x)xln(1 x)bxsin x ， g(x)kx2 ，

6、若 f ( x) 与 g( x) 在 x0 是等价无穷小，求 a, b, k 的值。16、（本题满分10分）设 A 0，D 是由曲线段y Asinx(0x) 及直线y o, x所形成的平面区域，22V1 V2分别表示 D 绕 X 轴与绕 Y 轴旋转所成旋转体的体积，若V1V2 ，求 A 的值。17、（本题满分10分）已知函数f ( x, y) 满足 fxy" ( x, y )2(y1)ex ， f x' ( x,0)( x1)ex， f (0, y) y22 y ，求f ( x, y)的极值。18、（本题满分10分）计算二重积分()，其中222。x xy dxdyD(x, y

7、) xy2, yxD19、（本题满分10分）已知函数 f (x)1t 2 dtx21 tdt ，求 f ( x) 零点的个数。11x20、（本题满分11 分）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的关系的变化与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120 0C 的物体在 200C 恒温介质中冷却，30min 后该物体温度降至300C ，若要使物体的温度继续降至210C ，还需冷却多长时间？21、（本题满分11 分）已知函数fx在区间a，+上具有 2 阶导数， f a0 ， f x0 ， f ''x 0 ，设 ba ，曲线 yfx在点b, f b处的切线与x轴的交点是，证明a xb。x0 0022、（本题满分11 分）a10设矩阵 A1a1且 A3O .01a(1) 求 a 的值；(2) 若矩阵