(完整版)导数专题讲义(答案版)2016.11.23

1、1 / 242目录导数专题一、单调性问题 .2导数专题二、极值问题 .38导数专题三、最值问题 .53导数专题四、零点问题 .77导数专题五、恒成立问题和存在性问题 .119导数专题六、渐近线和间断点问题 .170导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 .189导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 .200导数专题九、公切线解决导数中零点问题 .213导数专题十、极值点偏移问题 .218导数专题十一、构造函数解决导数问题 .2262 / 242导数专题一、单调性问题【知识结构】【知识点】一、 导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性；二、 分类讨论求函数单调性：含参函数的

2、单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类 讨论，讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系三、 分类讨论的思路步骤：第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点；第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小 关系及与区间的位置关系（分类讨论）；第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定义域）；第四步、（列表）根据第五步的草图列出f X，f x随x变化的情况表，并写出函数的单调区间；第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端 点函数值比较得到函数的最值 四、 分类讨论主要讨论参数的不同

3、取值求出单调性，主要讨论点：1最高次项系数是否为 0；2导函数是否有极值点；3两根的大小关系；4.根与定义域端点讨论等。五、 求解函数单调性问题的思路：（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为f（X）0或f （x）0恒成立；（2）已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解 参变量的范围；（3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小 于零有解.六、 原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法3 / 242（1）参变分离；（2）导函数的根与区间端点直接比较；（3）导函数主要部分为一元二次时，转化为二次函数根的分布问题

4、.这里讨论的以一元二次为主。七、求解函数单调性问题方法提炼：（1）将函数f x单调增（减）转化为导函数f x 0恒成立；（2）f x g x h x，由g x 0（或g x 0）可将f x 0恒成立转化 为h x0（或h x 0）恒成立；（3）由“分离参数法 ”或“分类讨论 ”，解得参数取值范围。4 / 242【考点分类】考点一、分类讨论求解函数单调性；【例 1-1】(2015-2016 朝阳一模理 18)已知函数f(x)x al nx,a R.(i)求函数f (x)的单调区间;(n)当x 1,2时，都有f(x)0成立，求a的取值范围;(川)试问过点P(1,)可作多少条直线与曲线yf (x)相

5、切？并说明理由.【答案】(I)函数(1 )当a 0时，(2 )当a 0时，当0 xa时，当xa时，f (综上所述，当af (x)的定义域为x xf (x)0恒成立，函数f (x)f (x)在(0,f (x)0,函数f (x)为减函数;0，函数f(x)为增函数.0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,当a 0时，函数)上单调递增;f(x)的单调递减区间为(0, a)，单调递增区间为(a,+ ).(n)由(i)可知，(1 )当a 1时，即a 1时，函数f (x)在区间1,2上为增函数,所以在区间1,2(2 )当1a 2时，即2a1时，函数f(x)在1,a上为减函数，在a,2上为增函数, 所以f(x

6、)minf(a)a aln(a).依题意有f (x)minaaln(a)0,解得ae，所以2 a 1.(3 )当a 2时，即a2时，f (x)在区间1,2上为减函数，f(1)1，显然函数f(x)在区间1,2上恒大于零;上,f(x)min所以f (x)minf (2) 2+aln2.5 / 242依题意有f (x)min2+aln2 0,2 2解得a，所以a2.In 2In 246 / 242综上所述，当a 时，函数f(x)在区间1,2上恒大于零.In 2a(川)设切点为(Xo,Xoalnxo)，则切线斜率k 1Xoa切线方程为y(X)a Inx() (1)(x x0).Xo即a(ln x0X0

7、所以函数g(x)的最大值为g(1)因此当a 0时，切线的条数为0.因为切线过点P(1,3)，则3(X0aln X0)(1)(1 X0).X0令g(X) a(lnx1) 2(X 0),则g(x)a(丄a(x 1)2x(1)a 0时，在区间(0,1)上,g (x)0,g(x)单调递增;在区间(1,)上，g (X)0,g(x)单调递减,故方程g(x) 0无解，即不存在X0满足式.(2)a 0时，在区间(0,1)上，g (x)0g(x)单调递减,X1在区间(1,)上，g (X)所以函数g(x)的最小值为g(1)g(x)单调递增,1+22eae，则g(x,)a(1一a1)21 -aea0.47 / 24

8、2故g(x)在(1,)上存在唯一零点.12v ，贝V g(x2) a( 1一ea1?ea1) 212aea2a21 -aea2(1-).a8 / 2422设t 1 (t 1),u(t) d 2t，则u (t) d 2.a当t 1时，u(t) d 2 e 20恒成立.所以u(t)在(1,)单调递增，u(t) u(1) e 2 0恒成立所以g(x2) 0.故g(x)在(0,1)上存在唯一零点.因此当a 0时，过点 P(1,3)存在两条切线.(3)当a 0时，f(x) x,显然不存在过点 P(1,3)的切线.综上所述，当a 0时，过点 P(1,3)存在两条切线;当a 0时，不存在过点 P(1,3)的

9、切线.【例 1-2 (2015-2016 海淀一模理 18)已知函数f(x)(I)求函数f(x)的最小值;(n)求函数g(x)的单调区间；(川)求证：直线y x不是曲线y g(x)的切线.【答案(I)函数f(x)的定义域为(0,),1 f(x)-x1x 122xx当x变化时，f (x),f (x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,)f (x)0f(x)递减极小值递增函数f (x)在(0,1)上的极小值为f(a) In110,所以f (x)的最小值为0(n)解：函数g(x)的定义域为(0,1) U (1,),lnx -1,g(x) -1xIn x所以函数 f(x)的单调减区间为(，o)，单调

10、增区间为(o,).9 / 242由(i)得，f(x) 0,所以g(x)0In x01设切点为(xo,y)，则g(xo)1，即仝一1In xo(i)求a的值及f (x)的单调区间;【答案】(i)对f (x)求导，得f (x) (1 x)eXaex 1所以 f (1) 2e a e,解得a e.故f (x) xeXex, f (x) xeX.令 f (x) o，得 x o.当 x 变化时，f (x)与f(x)的变化情况如下表所示:X(,o)o(o,)f (X)of(x)/g(x)1lnx (x 1)丄xIn x - 1_xInxf(x)ln2x所以g(x)的单调增区间是(0,1),(1,)，无单调

11、减区间(川)证明：假设直线y x是曲线g(x)的切线又yoxo1In Xo,yoXo，则 JIn Xox.所以In xoxo1Xo1一，得g(xo) o,与g(xo) 1矛盾Xo所以假设不成立，直线y x不是曲线g(x)的切线【练 1-1】(2o15-2o16 西城一模理18)已知函数f(x)xeXaex 1，且f(1)(n)若关于x的方程f (x) kx22( k 2)存在两个不相等的正实数根X1,X2,证明:X-Ix2In4.10 / 242(n)解：方程f(x) kx22，即为(x 1)exkx22 o，设函数g(x) (x 1)exkx22.所以函数 f(x)的单调减区间为(，o)，单

12、调增区间为(o,).11 / 242求导，得g (x) xex2kx x(ex2k).由 g (x)0，解得x 0,或x In(2k).所以当x (0,)变化时，g (x)与 g(x)的变化情况如下表所示:x(0,ln(2 k)ln(2 k)(In (2 k),)g (x)0g(x)/所以函数 g(x)在(0,1 n(2 k)单调递减，在(In(2 k),)上单调递增 由 k 2，得In(2k) In 4 1.又因为 g(1) k 20，所以 g(ln(2k)0.不妨设Xix2(其中xi,x2为f(x) kx22的两个正实数根)，因为函数 g(x)在(0,ln 2k)单调递减，且 g(0)10

13、，g(1) k 20，所以0 x!1.可得x2In(2k) In 4，4所以x2| x2为In 4 1 In，e，4即 |咅X2I In.e(I)若函数f(x)的图象在(2, f(2)处的切线斜率为1，求实数a的值;(n)求函数f(x)的单调区间;f(x)在1,2上是减函数，求实数a的取值范围由已知f(2)1,解得a 3.(Il)函数f(x)的定义域为(0,).(1)当a 0时，f(x)0,f(x)的单调递增区间为(0,)；5分同理根据函数 g(x)在(In 2k,)上单调递增，且 g(I n(2k)0，【练 1-2】(2011-2012 石景山一模文18)已知函数f (x)2aIn x.2(

14、川)若函数g(x)-x【答案】(I)f (x)2x2a2x22ax【答案】函数f(x)的定义域：x (0,).12 / 242(2)当a 0时f (x)2(xa)(x-a).x当x变化时，f (x), f (x)的变化情况如下：x(0,/r)(Q,)f (x)-0+f(x)X极小值z由上表可知，函数f (x)的单调递减区间是(0,.二);单调递增区间是(、.一a,).8分222 2a(II )由g(x) x 2a Inx得g (x)22x , .9分xxx由已知函数g(x)为1,2上的单调减函数，则g (x)0在1,2上恒成立，即电x2a2x0在1,2上恒成立x即a x2x在1,2上恒成立.1

15、1 分令h(x)12x2，在1,2上h(x) x丄2xx(22x)0,x所以h(x)在1,2为减函数.h(x)minh(2)72所以a72.14 分k【练 1-3】(2015-2016 朝阳期末文 19)已知函数f(x) (2k 1)lnx 2x,k R.x(I)当k 1时，求曲线y f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(n)当k e时，试判断函数f(x)是否存在零点，并说明理由；(川)求函数f(x)的单调区间.(n)求函数f (x)的单调区间;13/2422k 1 f(x)xk22x2x2(2k 1)x k (x k)(2x 1)x22xI）当k 1时，f (x) In x12x.xf(

16、x)(x1)(2x 1)2x有f (1) In1123，即切点（1,3）,(1 1)(2 1)k f (1)122.所以曲线yf (x)在点(1,f（1）处切线方程是y 32(x 1),即y 2x 1.2x14 / 242(n)若k e,f (x)f (x)e(2e 1)1 nx2x.x(X e)(2x 1)令f (x)0,得Ne(舍),X2x1(0-)212(i，)f (x)一0+f(x)极小值/11e1则f (x)minf( )(2e 1)ln22(1 In 2)e In 2 10.22 122所以函数f(x)不存在零点.5) f(x)(xk)(22x 1).x当k 0,即k 0时，x1(

17、01-e，所以1 e k 1时，符合题意综上所述：1 e k 1【练 1-7】(2015-2016 朝阳一模文 19)已知函数f(x)ex(k R).k x(I)若k 1,求曲线y f (x)在点0, f(0)处的切线方程；(n)求函数f(x)的单调区间；(川)设k 0，若函数f (x)在区间3, 2 2上存在极值点，求k的取值范围则曲线y f (x)在点0, f (0)处切线的斜率为f (0)=3.而f(0)=1，则曲线y f (x)在点0, f (0)处切线的方程为y 3x 1(1)当k 0时，由x k,且此时、k22k k，可得.k22k k . k22k.令f (x)0,解得x-、.k

18、22k或x . k2【答案】(I)若k 1，函数f(x)的定义域为f (x)=x2 e (3 x )(1 x)2(n)函数f (x)的定义域为xf(x)=eJ2k(kk2x2)x)22k，函数f (x)为减函数;23 / 242令f (x)0,解得,k22kx、k22k，但x k,所以当、k22k x k,kx. k22k时，函数f(x)也为增函数.所以函数f(x)的单调减区间为(-,-、_k22k),Gk22k,+ ),单调增区间为(-、k22k,k),(k, .k22k).(2)当k 0时，函数f(x)的单调减区间为(-,0)，(0,+ ).当k 2时，函数f(x)的单调减区间为(-，-2

19、)，(-2，+ ).当2 k 0时，由2k k20,所以函数f(x)的单调减区间为(-,k)，( k,+ ). 即当2 k 0时，函数f(x)的单调减区间为(-,k)，( k,+ ).(3)当k2时，此时-.厂2kk.令f (x) 0，解得x - -. k22k或x . k22k，但x k，所以当x k，k x - . k22k，x , k22k时，函数f (x)为减函数；令f (x) 0,解得.k22k x、k22k，函数f (x)为增函数所以函数f(x)的单调减区间为(-,k)，(k,- . k2k)，C k22k,)， 函数f(x)的单调增区间为(-. k22k/ k22k).9分(川)

20、(1)当2 k 0时，由(n)问可知，函数f (x)在(73,2逅)上为减函数，所以不存在极值点；(2)当k2时，由(n)可知，f(x)在(k22k,. k22k)上为增函数，在Ck22k,)上为减函数.若函数f (x)在区间(、32、2)上存在极值点，则.3 k22k 2&，解得4 k3或1 k 2,所以4 k3.综上所述，当4 k 3时，函数f(x)在区间 3,22 上存在极值点.x24 / 242【练 1-8】(2015-2016 东城期末理 19)已知函数f(x)ea(x ln x).x(i)当a 1时，试求f(x)在(1,f (1)处的切线方程；25 / 242(n)当a 0

21、时，试求f(x)的单调区间；(川)若f (x)在(0,1)内有极值，试求a的取值范围.xe(x1)1丄，0,f(1) e1.x【答案】(I)当a1时，f/(x)方程为y(n)f (x)e 1.ex(x 1)x(e2xax)(x 1)a(1ex(x 1) ax(x 1)所以所以(川)若2x0时，对于f(x) 0单调增区间为f(x)在(0,1)(0,ax(x)x(1,f (x)，单调减区间为内有极值，则(exax)(x 1)f (x)在xx2xe ax0恒成立，00 x 10.(0,1).(0,1)内有解.x0 a .x设g(x)xx (0,1),ex(x 1)x所以g(x)单调递减.e,又当x所

22、以g (x)(0,1)时,g(x)0恒成立,又因为g(1)即g(x)在x0时,g(x)所以当a(0,1)上的值域为(e,),x(exax)(x 1) e时，f (x)设H(x) ex所以H(x)在 因为H (0)所以H(x)所以有：2xax，贝U H (x)exa(0,1)单调递减0,H (1) e a 0,ax在x (0,1)有唯一解0有解0 x (0,1),x(Ox)X0(x0,1)H(x)0f(x)0f(x)递减极小值递增X。.xe所以当a e时，f (x)在(0,1)内有极值且唯一 当a e时，当x (0,1)时，f(x)0恒成立,综上，a的取值范围为(e,).(x)单调递增，不成立.

23、【练 1-9】(2015-2016 大兴期末理 18)已知函数f(X)ax2 2a(a 0).26 / 24227 / 242(I)当a 1时，求函数f(x)在点(2, f(2)处的切线方程;(n)求函数f (x)的单调区间;(川)若f (x)2ln x在1,)上恒成立，求a的取值范围1【答案】(1 )当 a 1 时，f(x) x , f (x)xr35f(2) 2，f (2)-所以，函数 f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为 y -(x 2)24即：5x 4y 40(n)函数的定义域为：x|x 02a 2 ax (2 a”f (x) a22(a 0)xx0)和(0,).a 2(川)因为

24、 f(x) 2lnx 在1,)上恒成立，有 ax2 2a 2lnx 0(a 0)x在1,)上恒成立。所以，令 g(x) ax2 2a 2l nx ,x2a 22 ax 2x a 2 (x 1)ax (a 2)贝 Ug (x) a x x令 g(x)0,则 X11,X2a 2当 0 a 2 时，f(x)0 恒成立，所以,f (x)在(，0)和(0,)上单调递增当 a 2 时，令 f(x) 0,即：ax22 a 0 ,人f (x)0, x x2或 x 石；f (x)0, x x 0 或 0 x x2,所以，f (x)单调递增区间为(28 / 242若 - 1，即 a 1 时，g (x) 0 ,函数

25、 g(x)在1,)上单调递增，又 g(1) 0a所以，f(x) 2l nx 在1,)上恒成立；若 匚 1，即 a 1 时，当 x (0,1),( 匚，)时，g(x)0,g(x)单调递增；aa29 / 242当 x (1, -_ )时，g (x)0 , g(x)单调递减aa 2 所以，g(x)在1,)上的最小值为 g(-), a因为 g(1) 0,所以 g()0 不合题意aa 21,即 a 1 时，当 x (0, ),(1, a当 x (a_ ,1)时，g (x)0,g(x)单调递减,a所以，g(x)在1,)上的最小值为 g(1) 又因为 g(1) 0，所以 f(x) 2lnx 恒成立综上知，的

26、取值范围是1,).)时，g (x)0,g(x)单调递增,30 / 242考点二、已知函数单调求参数范围；【例 2-1】(2015-2016 石景山期末文 20)已知函数(i)若f (x)在x 1处取得极小值，求m的值;(n)若f (x)在区间2,为增函数，求m的取值范围；(川)在(n)的条件下 屈数h(x) f (x) g(x)有三个零点，求m的取值范围.【答案】(i)f (x) x2(m 1)x由f (x)在x 1处取得极大值，得f (1) 1 (m 1)0,所以m 0(经检验适合题意)2(n)f (x) x (m 1)x,因为f (x)在区间(2,)为增函数，所以2x (m 1)x x(x

27、 m 1)0在区间(2，)恒成立，所以x(x m 1)0恒成立，即m x 1恒成立，由于x 2,得m 1.所以m的取值范围是m 1.(川)h(x) f (x) g(x) x3x2mx1,3232故h (x) x (m 1)x m (x 1)(x m) 0,得x m或x 1当m 1时，h(x)2(x 1)0,h(x)在R上是增函数，显然不合题意当m 1时，f (x), f (x)随x的变化情况如下表x(,m)m(m,1)1(1,)h(x)+00+13f(x)3xmx2，g(x)-mx,m R.3要使f (x) g(x)有三个零点，故需13121m m6 231 / 242h(x)/极大值1312

28、1-m - m623极小值2/2即(m 1)(m 2m 2)m 1所以m的取值范围是m 13.2x【例 2-2】(2015-2016 朝阳期中文 19)已知函数f (x) aln x(a 1)x,a R.(I)若函数f(x)在区间(1,3)上单调递减，求a的取值范围；1(n)当a 1时，证明f(x)丄.2【答案】(I)函数的定义域为(0,).ax (a 1)x a (x 1)(x a)因为f (x) x (a 1).xxx又因为函数f(x)在(1,3)单调减，所以不等式(x 1)(x a) 0在(1,3)上成立.设g(x) (x 1)(x a)，则g(3)0,即9 3(a 1) a 0即可，解

29、得a 3.所以a的取值范围是3,).2x(n)当a 1时，f(x) lnx2f(x) 1 xZJ.xxx令f (x)0,得x 1或x 1(舍)当x变化时，f (x), f (x)变化情况如下表:x(0,1)1(1,)f (x)0+f(x)极小值0,解得m 1232 / 2421所以x 1时，函数f (x)的最小值为f(1).f(x)-所以2成立.33 / 242【练 2-1】(2015-2016 海淀期中文 18)已知函数f(x)lx3x2ax 13(I)若曲线y f (x)在点(0,1)处切线的斜率为(n)若函数f(x)在区间2,a上单调递增，求3，求函数f (x)的单调区间;a 的取值范围

30、【答案】(I)因为f(0)1，所以曲线y f (x)经过点(0,1),2又f (x) x 2x a,所以f(0) a 3,所以f (x) x22x 3.x(,3)3(3,1)1(1+ )f (x)00f (x)极大值极小值当x变化时，f (x),f (x)的变化情况如下表所以函数f (x)的单调递增区间为(，3),(1,+ ),(n)因为函数f (x)在区间2,a上单调递增，所以f(x)0对x 2,a成立，2只要f(x) x 2x a在2,a上的最小值大于等于 0 即可.因为函数f(x) x 2x a 0的对称轴为x1,当2 a1时，f(x)在2,a上的最小值为f(a),2解f (a)=a 3

31、a 0，得a 0或a3，所以此种情形不成立当1 a时，f(x)在2,a上的最小值为f( 1),解f( 1)12 a 0得a 1,所以a 1,单调递减区间为(3,1).综上，实数 a 的取值范围是a 1.m2【练 2-2 (2015-2016 丰台一模文 19)已知函数f(x)x2x lnx2(1)求曲线C:y f (x)在x 1处的切线I的方程；34 / 24235 / 242(2)若函数f(x)在定义域内是单调函数，求m的取值范围；(3) 当m 1时，(1 )中的直线I与曲线C:y f (x)有且只有一个公共点，求m的取值范围。【答案】( (1)由已知得，切点坐标为1,m1，f (x) mx

32、 1 -，f (1) m 2，2x所以切线方程为m 2 x y -102(2 )由已知得，函数的定义域为0,1f (x) mx 1，又因为函数在定义域中是单调函数，所以有f (x) 0恒成立或者xf (x)0恒成立11、 当f (x) 0恒成立时，即mx 10恒成立，xx 1x 1m厂恒成立，即m大于一厂的取大值xxx 1x 2令g(x)厂，x 0,，有g (x)30 xx所以g(x)在定义域中单调递减，无最大值，所以不存在m满足条件。12、 当f (x) 0恒成立时，即mx 10恒成立，xx 1x 1m恒成立，即m小于一的最小值xx由上种情况可知，g(x)单调递减，但恒有g(x) 0,因此m

33、的取值范围为,0(3)当m 1时，( (1 )中的直线I与曲线C:y f (x)有且只有一个公共点即(m 2 )xm1mx2x In x只有一个根，36 / 2422 2令h(x)mx2(1 m)x In x (1m)，x 0,，有h(x)只有一个零点2 237 / 242h (x) mx (1、1m)-(mx1)(x 1)xx1、当m 0时，h (x)11x 1h(x)在0,1单调递减，在(1,)单调递增，在xxh(1)取得最小值2,大于 0因此h(x)恒大于0，所以m 0舍去2、当m1,时，解得X11,x211,+mx0,111,丄m1 m1 m ,f (x)-0+0-f(x)减极小值增极

34、大值减易知h(1)2m 0，而当x时，h(x) 0,所以h(x)在(1),只存在一个零点。3、 当i m(0,)时，解得为1,X21,0mx(0,1)1(1,)f (x)-0+f(x)减极小值增当x 0时，h(x) 0，所以若h(x)只有一个零点，必须有h(1)0即2 m 0,m 2综上所述，m的取值范围为m 2和(1,0)【练 2-3】(2015-2016 朝阳期末理 18)已知函数f(x) ax In x,其中a R(I)若 f (x)在区间1,2上为增函数，求 a 的取值范围；(n)当a e时，(i)证明：f(x) 20;(ii)试判断方程f(x) 3是否有实数解，并说明理由.x 21【

35、答案】函数 f (x)定义域x (0,),f (x) a -x38 / 242(I)因为 f(x)在区间1,2上为增函数，所以f (x)0在 x 1,2上恒成立,39 / 242即f (x) a1x0,a1-在 x 1,2上恒成立,x则a12.n)当ae时，f(x)e x. / 、ex 1In x ,f (x)x(i)令f (x)0,得x1- e40 / 242(ii)由(i)知,ln x 3设g(x)丁2，X(0,).所以g (x)1 In x2x令 g (x)0，得 x (0,e)，所以函数g(x)在(0,e)单调递增,令 g (x)0，得 x (e,)，所以函数g(x)在(e,)单调递减

36、;所以，g (x)maxg(e)Ine 3即g(x)所以| f(x)| g(x)，即| f(x)|In x 3x 2所以，方程| f(x)|-没有实数解.x 2【练2-4】-x-x2ax 1，曲线3y f x在点0,1处的切线为I(i)若直线l的斜率为3，求函数f x的单调区间;(n)若函数f x是区间2,a上因为直线l的斜率为341 / 242令 f (x)0, 得x(0,1)，所以函数1f(x)在(0,-)单调递增.ee令 f (x)0 , 得x(!,)，所以函数1f (x)在(-，)单调递减ee所以，f (x)max胡e1 . 1 eInee2.所以f(x) 20成立.f(X)max2

37、,所以| f (X)|242 / 242所以f 0 a 3所以f x x22x 3所以f x x 3 x 1令f x 0解得x13 x21所以当x, 3和x 1,时，f x 0当x3,1时，f x 0所以f x的单调增区间为, 3和1,，单调减区间为3,1(n)要使f x在2,a上单调只需f x 0或f x 0在2,a恒成立a2a2( 1 )fx0在2,a恒成立等价于f2 0，即a0fa0a23a 0解得2a0( 2 )f x0在2,a恒成立，当2a1时，f a0，即a23a0，解得a3(舍)或a 0(舍)当a1时，f10，即1 2 a0，解得a 1综上所述2,0 U 1,43 / 242考点

38、三、已知函数不单调求参数范围;【例 3-1】已知函数f(x)13x3ax2(a21)x b(a,bR).当a 0时，若f (x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围【答案】解法一：f(x)2x2ax(a21) x(a 1) x (a 1)令f (x)0，解得为a1必a 1,&X2x(,a 1)a 1(a 1, a 1)a 1(a 1,)g(x)00f (x)00f(x)Z极大值极小值Z因为f(x)在区间(1,1)上不单调，所以f (x)区间(1,1)上存在极值点，所以1 x11，或1x21即1a 11，或1a11所以0a2或2 a 0- a ( 2,0) (0, 2).解法二：f

39、(x) x2ax (a1) x (a 1) x (a 1)因为函数f(x)在区间(1,1)不单调，所以函数f(X)在(1,1)上存在零点令f (x)0，解得为a 1, X2a 1，区间长为2,在区间(1,1)上不可能有2个零点所以f ( 1)f (1)0即：a2(a 2)(a2)0 a20 ,(a 2)(a 2)0,2 a 244 / 242又a 0,- a ( 2,0) (0, 2).【例 3-2】已知函数g x alnx x2ax a 0，若y g x在区间调，求a的取值范围【答案】术廿心)一-才- 所氐很拥躍总刃層 g 低3, 2)卜.的符仃ilffft.X即可求御 0 的取値范|乩解：

40、g* Cx) =E_2斗+=丄才十亦十心；Vg (x)在(0, 2)上不单窗匸 若设f(x)=-2x2+ax+ar则f (x)Af (0) f O =a (-8+3a) 上有正有如X0) = a0,A2) = -8+3CJ0或4 02；430-845 / 242考点四、已知函数存在单调区间求参数范围;113由g()0，即a 10，得a ，2229所以a -，49所以实数a的取值范围是(，).41解法二：f (x)2(x a)x12依题意得，在区间,2上存在子区间使不等式2x22ax 1 0成立.2又因为x 0，所以2a (2x1).x11设g(x) 2x ,所以2a小于函数g(x)在区间,2的

41、最大值x2【例 4-1】设函数f(x)In x (xa)2，aR若函数f (x)在-,2上存在单调递增区2【答案】解法一：f (x)12(x a)2x 2ax 1xx一1一 依题意，在区间?2上存在子区间使得不等式g(x) 0成立.注意到抛物线g(x)22x 2ax 1开口向上，所以只要g(2)0，或g(-2)0即可由g(2)0，即84a 10，得a 9，2x22ax 1x间，试求实数a的取值范围设g(x)2x22ax46 / 242又因为g (x)47 / 242【例 4-2】(2010-2011 朝阳二模理 18)设函数(I)若a= 0，求函数f(x)在1，e上的最小值;f(x)= 2(n

42、)若函数f(x)在2上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围；【答案】CI) f的定必戦为CQ+ F ”=祈以f)庄1”引|灵片|昭数，由就x備求出山)fri.讦上的歸小値.设aCS3 =2xz-2ain-lh如止区间壬2f X何便梅不母成冒0 rft g(|)W可，曲此枇求出矢融1的液们范I和/(J) =l+2(r-a) = 31则打上曲胆了区砒JM：竽式釘生丸+AD感立 圍咖AD.所W2iJUrY+l).盹g =丹丄.所 g小于頃轨(.1)亦区间2的駐大值一由xx2此能求出宾融2的取值范閑.h (il =2x2ax+1.由aO岳判别式公的特号分别进疔讨X由g (x)由g(x)1220解得O

43、xx所以函数g (x)在区间、21、2(,2)上递增，在区间(一，)上递减.222所以函数g(x)在x-，或x22处取得最大值.又g(2)912，g(2)3，所以2aI，所以实数a的取值范围是(9)2f (x) = ln x+ (x-a),a R.48 / 242it.求斛福能z 恂极们疼.解T Cl) f 0.x斯以f B在可上是增诸数,，kix=lH4 f (x)取得总小值f灯)=1.所以Fg上的最小值为1.辭分5)解型-:f(x) = i+2(x-l) =2j22aT+lXXC x) =2n2-2ax+l 0Vo或戢曰0叩吋.(6)9Fllg( (2) 0 BP8-4a+l 0.得 X,

44、斗山晶):0, Upi-+l0 Wo|i所Wo()威立乂因対KAO.所2a(2x+-r. 55r设g 0-解衍工迄；X-(1) = 270-解得0V；vv,护2所ywKg x)山區间(乎，2小递也 止世何(二芈上递賊.所哄南数E5)x = |,或E2处取得蛀尢tfi.52尸容 站)乳 所以加益?ajMlMI所以真数鼻的眠置相困楚(一,扌)49 / 242(ni)= -t2-jt+jhh (x)-2X2-2X+1x皿然*1 a0恒成孟ii时f(K)0,3【练 4-1】已知函数f(x)m x2x,m R函数f(x)在(2, 3增区间，求m的取值范围.【答案f(x) mx22x 11当m 0时，f

45、(x) 2x 1令f(x) 2x 10，解得x -2x(日12(厂f (x)0f(x)极小值则f (x)在(2,)上单调递增区间，满足题意此时隕瓷“ 5、沱f械Fi点:(9分)Q当a0lH .(i)当兰0,即0otr!jJc iXi迂时F (x) 0,此瞅 谪舷F (x)没仃极优亡；(ii)当A0.即衣：返前，坍知丫 当g-22 y + 2 2h (x) 0,这时卓(x) 0E分细、所儿是開畝f 5)的栏小值点*煤匕，艸口三返忖頃数fx没仃极们点;0 _2足瞬塾亡Z址朗故f IsO的极小值点(15分)上存在单调递是甫歡f 2ii o,这时r (x) o(50 / 2422当m 0时4 4m2.

46、1当0,即m 1时，f(x)0,f (x)在R上单调递减(舍)2.2当0,即m 1,且m 0时入2s 口1 Jm11 Vm 1令f(x) mx22x 1 0，解得：X1,X1mm2.2.1当m 0时，x1x2x(,xjx1(X1, X2)x2化，)f (x)00f(x)Z极大值极小值Z则f (x)在(2,)上单调递增区间，满足题意2.2.2当1 m 0时，x2x(,xjX2(X2, XjX1(X2,)f (x)00f(x)极小值Z极大值要使f (x)在(2,)上存在单调递增区间,1 Jm 13则2，即2，解得m 0451 / 2423所以m 04综上所述得：m的取值范围为:2解法二：f(x)

47、mx 2x 1f(x)在(2,)上存在单调递增区间等价于在(2,f(x) mx22x 10成立，即存在1 2x2x)存在区间使成立设h(x)1 2x2x2时，0h(x)所以，m的取值范围为:52 / 242考点五、两个函数在具有相同的单调性求参数范围；【例 5-1】(2012-2013 西城一模文 18)已知函数f(x) exax，g(x) ax In x，其中a 0(I)求f (x)的极值；(n)若存在区间M，使f (x)和g(x)在区间M上具有相同的单调性，求a的取值范(x)的定义域为R,且f (x) exa .2分当a 0时，f (x) ex，故f (x)在R上单调递增.从而f (x)没

48、有极大值，也没有极小值.当a 0时，令f (x)0，得x ln( a).f (x)和f (x)的情况如下：x(,ln( a)ln( a)(ln( a),)f (x)0f(x)/故f (x)的单调减区间为(，ln( a);单调增区间为(ln( a),).从而f(x)的极小值为f(ln( a) a aln( a)；没有极大值. .6分(n)解：g(x)的定义域为(0,)，且g (x) a - a.8分x x3当a 0时，f(x)在R上单调递增，g(x)在(0,)上单调递减，不合题意.9分4当a 0时，g (x)0,g(x)在(0,)上单调递减.当1 a 0时，ln( a) 0，此时f (x)在(l

49、n( a),)上单调递增，由于g(x)在(0,)上单调递减，不合题意. .11 分当a 1时，ln( a) 0，此时f(x)在(，ln( a)上单调递减，由于f (x)在围.【答案】(I)53 / 242(0,)上单调递减，符合题意.54 / 242【例 5-2】已知函数f(x) ax In x,g(x) eax3x,其中a R.若存在区间M,使f (x)和g(x)在区间M上具有相同的单调性，求a的取值范围.当a 0,f (x)在0,单调递减,11当a 0时，f (x)在0,-单调递减，一，单调递增,aag(x)的定义域为R，且g (x) aeax3.当a 0时，显然g (x)0，从而g(x)

50、在R上单调递增.1此时f (x)在(一，)上单调递增，符合题意.a当a 0时，g(x)在R上单调递增，f (x)在(0,)上单调递减，不合题意.13当a 0时，令g (x) 0,得X。ln().aag(x)和g (x)的情况如下表：x(,人)x(Xo,)g (x)0g(x)/当3 a 0时，冷0，此时g(x)在(x0,)上单调递增，由于f (x)在(0,)上 单调递减，不合题意.当a 3时，x00，此时g(x)在(，怡)上单调递减，由于f (x)在(0,)上单调递减，符合题意.综上，a的取值范围是(，1).13 分【答案】f (x)的定义域为0,f(x)ax 1x55 / 242综上，a的取值

51、范围是(，3)U(0,).56 / 242导数专题二、极值问题【知识结构】【知识点】-、函数的极值定义Xo附近的所有点都有f(X)f(Xo),则称f(Xo)是函数的一个极大值，记作 y极大值=f(xo)；如果对X。附近的所有点都有f(X)f(Xo),则称f (Xo)是函数的一个极小值，记作y极小值=f(Xo).极大值与极小值统称为极值，称X0为极值点.极大值与极小值统称为极值极大值点与极小值点统称为极值点.极值点出现在函数的驻点(导数为 0 的点)或不可导点处 (导函数不存在， 也可以取得极值，此时驻点不存在)。可导函数f X的极值点必定是它的驻点。但是反过来，函数的驻点却不一定是极值点，3例

52、如yX.点0,0是它的驻点，去卩不是它的极值点。极值点上f x的导数为零或不存在，且函数的单调性必然变化。极值问题主要建立在分类讨论的基础上，二、求函数的极值点和极值注意事项：1求极值或极值点，必须点明是极大还是极小。若没有另一个，要说明没有。2.要知道如何判断是否存在极值或者极值点。3如果已知极值或者极值点，求参数的时候，最后结果需要检验。4.极值点是导函数的根，如果有两个根，要在合适的时候想到伟达定理。三、求函数极值的三个基本步骤第一步、求导数f (x)；第二步、求方程f(x) 0的所有实数根；函数f(x)在点X。附近有定义，如果对- - - -157 / 242第三步、考察在每个根 X0

53、附近，从左到右，导函数f (x)的符号如何变化如果f (x)的符号由正变负，则 “心)是极大值；如果由负变正，则f(x。)是极小值如果在f (x) 0的根58 / 242x x0的左右侧，f (X)的符号不变，则 f(xo)不是极值.59 / 242【考点分类】考点一、分类讨论求函数极值(点)；【例1-1】(2015-2016 海淀一模文 19)已知函数f(x)(I)求曲线y f (x)在点(0, f (0)处的切线方程;(n)求函数f (x)的零点和极值;(川)若对任意,冷a,)，都有f(xj f (x2)零点有且只有一个，为1.【例1-2】(2010-2011 朝阳二模理 18)设函数f(

54、x)= l nx+(x-a)2,a(I)若a= 0，求函数f(x)在1,e上的最小值;-24,成立，求实数e【答案】f (x)x xe e (1 x)X 2(e )(I)设切线斜率为k， 所以k2，f(0)11，所以曲线ey f x在点(0,1)处的切线方程为y1 2x，即2x(n)令f (x)0 ,解得x 1。当x 1时，f(x)0；x 1时，f (x)0,所以函数f (x)x 2令f (x)0,即0解得x 2。当xe2时，f(x)0；当x2时,f(x) 0,所以函数f (x)在x 2处取得极小值f(2)4，无极大值。e(川)由(II)知，当x 1时，f (x)0；1时，f (x)0，且f

55、(x)在(,2)上单调递减，在(2,)上单调递增，所以f(x)在2处取得最小值f (2)A。且ef(1) 0。X1,X2a,),f(xj f(X2)f(2)f(X)max臣f(x)max所以只需f(x)max0。所以a 1。所以a的最小值为 1。R.60 / 242(n)若函数f(x)在 /上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围;(川)求函数f (X)的极值点【答案】1 M*)的定义域为+. *. .1分因为厂二右 +sm所反曲鼠l.J上是增荫数 当“I时旅*)联得最小iS/tO =1，所以/(*)在I叮上的H小值为【.3(E)解找；厂(幻吕心一“戶二;os + l-2*1-2M+ 1+.

56、.分依题畫+在区何*打上存在子区何锲碍不等式0立，.目分注扈刹抛物感&(2*2a *i开口向上T0fUR g) 0即可g由童0i EP 8 -# + 1 *0得a W由f（y） 0lWy- +1 o,4 a y,g所U oY所说賞歡a的脱值范国是f -、备） .*.8分解法二nggr） 土学Ll, .4分X席上存在子区间快不導式力-2*i，0朮立又因为工0所Ut2x(2i*+) .于分设心)小+丄所战加小于函数小)在区间寺的堆大值 又囚为亠务由中小“事0解谓八李T*61 / 242由gJ() =2 -Y需所以函在区间(徐)上递増.在区闻冷#)上遜减所以函数&卜)在x=y.或处取

57、得規大值一又皿)诗恳*)眄所以加 0怛成晝fg 0此时，曲数/“)没有极值点；. 9分2当“0时，当A CO, W0o4Bt,在(0,8)A(*)Om成立，这EMT3)#0*此时，曲数人上) 没有极值点*.10分(ii)当AAO时即找时.品知.当 _x 时,A(x) Otji时厂(*)0i当0 * J二$时上f#)A0.这吋厂0;所虬当时W葺 7是函财刃的极大值点込弓互是函规巧的扱小 值点12分煖上，当口匡湖画数畛宵扱值点；当a/2时W；7星两数皿的极大值点严/迸三是函数/(x)K极小疽 点.13分62 / 242考点二、已知函数极值(点)情况求参数范围；k x【例 2-1】(2015-201

58、6 朝阳一模文 19)已知函数f(x)-ex(k R).k x(I)若k 1,求曲线y f (x)在点0, f(0)处的切线方程；单调增区间为(-ik22k,k),(k22k).(2)当k 0时，函数f(x)的单调减区间为(-,0),(0,+ ).当k 2时，函数f(x)的单调减区间为(-，-2),(-2,+ ).当2 k 0时，由2k k20,所以函数f(x)的单调减区间为(-,k),(k,+ ). 即当2 k 0时，函数f(x)的单调减区间为(-,k),(k,+ ).(3)当k2时，此时-.k22k k.令f (x) 0，解得x八k22k或x . k22k，但x k，所以当x k,k x

59、-、.k22k,x . k22k时，函数f (x)为减函数；(n)求函数f(x)的单调区间;(川)设k0，若函数f (x)在区间3 2、2上存在极值点，求k的取值范围.【答案】(I)若k 1，函数f(x)的定义域为xx 1,f (x)=x # c 2 e (3 x )(1x)2则曲线y f (x)在点0, f (0)处切线的斜率为f (0)=3.f(0)=1，则曲线y f (x)在点0, f(0)处切线的方程为y 3x 1(n)函数x2f (x)的定义域为xx k,f (x)=e (2k kx2)(k x)2(1)0时，由x k,且此时.k22k k，可得. k22kk .k22k.(x)0,

60、解得x - k22k或x . k22k，函数f (x)为减函数;(x)0,解得,k22kk22k，但x k,所以当.k22k.k22k时，函数f(x)也为增函数.所以函数f(x)的单调减区间为(-,-卞2k), Gk22k,+ ),63 / 242令f (x)0,解得,k22k x、k22k，函数f (x)为增函数.所以函数f(x)的单调减区间为(-,k),(k,- . k22k),Gk22k,), 函数f(x)的单调增区间为(- .k22k, , k22k).9分(川)(1)当2 k 0时，由(n)问可知，函数f (x)在(J,2J2)上为减函数，所以不存在极值点；(2)当k 2时，由(n)可知，f(x)在(- ,k22