(完整版)第六章无穷级数

1、1第六章无穷级数学习目的和要求学习本章，要求读者掌握常数项级数收敛和发散的概念，级数的基本性质及收敛的必要条件，几何级数、p级数和调和级数的收敛性；正项级数收敛的判别法则及判定交错级数收敛性的莱布尼兹判别法；掌握幕级数的概念和运算，熟 悉常用函数T，- I I A的幕级数展开式，并会用间接法将一些简单函数展成幕级数，求出其收敛半径和收敛区域.第一节常数项级数1常数项级数的定义设已给数列冷丄二则式子壮十皿 j 十+应”十11或其简写 二仁叫做无穷级数,记前-r | .l- 无限增大时，若数列：具有有限的极限S.-1 I则称无穷级数收敛，其极限值S称为级数的和，并记为E w山（1十壮2十十若】，没

2、有极限，就称无穷级数发散例如：几何级数.则2当丨卜1时于-故耳Too当？二1时陌二MTC0-I：- 11- /.,无极限.从而可得如下结论：若几何级数的公式比1时，则级数收敛若1，则此级数发散2无穷级数的基本性质若级数.1-丨:，则每一项乘以一个不为零的常数I -(2)设有两个收敛级数：+ +wn+、口 = 5 十+十十r则级数(i 5)十( 士丈 5)十收敛于和一丁二(3)在级数的前面部分去掉或加上有限项，不影响级数的敛散性，但是其级数 和会发生相应变化.当J,二亠3(4)收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和S.要求读者了解上述基本性质的证明，并熟练运用上述诸性质.（5）常数项级数收

3、敛的必要条件：若级数二d、- 趋于无穷大时，B-1它的一般项U必趋近于零.因而若级数的一般项不趋于零，则级数一定发散，但反之不然，亦即如果级数 的一般项趋于零，则级数未必收敛.例如：调和级数其一般项 J - 一 但它是发散的.n（6）级数1十丄十丄十丄十称为工-I I*级数收敛3正项级数收敛的判别法（要求读者能熟练使用下列判别法）若级数的每一项均为正数（即_一）则称为正项级数，有如下收敛判别法：（1）比较判别法设有两个正项级数乞二匚:若级数H i-l土厂J：匕-,二4匕二三、丄亍也发散.2-1J-13-1比值判别法 设正项级数的后项与前项之比值的极限等于门，45:冃：是幕级数相邻两项的系数则当

4、 亡1时级数收敛，门1时级数发散，门=1时待定.4.莱布尼兹判别法若交错级数满足条件：1）丿fl . . I,则交错级数圭-厂匕收敛，且其-1和-.-T 的近似值时，误差5.绝对收敛和条件收敛若级数各项的绝对值所成的级数|收敛,则级数 收敛，并i-ll-li-1称这样的级数叫做绝对收敛级数.如果级数收敛，而它的各项取绝对值所成的级数发散，则称级数 3-13-1为条件收敛级数.第二节幕级数形为-1的级数称为幕级数，而常数叫做幕级数的系数.1.幕级数的收敛半径对幕级数，必有数R,使当广时幕级数绝对收敛，而当时，幕级数发散，数R被称为收敛半径.幕级数的收敛半径可如下求得：6若 Qp 则应=亍；(2)

5、若 p= O?WJR = 若 q +则J? -0.例求幂级数.L 1 的收敛半径.23总解因为1则收敛半径7-2.幕级数的运算设已知两幕级数:aa十1+土天，H-耳卅 十=/(X),鸟o+1开 +b去+ * - + 必】工* + * gg，其收敛区间分别为-.亠.匚；厂匚，则有如下运算法则:(1)加法运算爲斤亍(外土打)八x-0A-0n-D两个幕级数相加或相减后所得到的幕级数至少在原来两个收敛区间中较小的区 间 j- I内是收敛的，其和差依次为.(2)乘法运算7（另F）耳 h）二（CJ0十切）十0A十円切并E+ （% +昭外+盘心）”1+十（工+i-0在区间（-R,R）内成立.（3）微分运算在

6、幕级数收敛区间（-A,A）内任意一点x处，有广（町=0务小= （知尸）=乞咛心=?! + 2包忑护 +-.也就是说，幕级数在其收敛区间内可逐项微分，且收敛半径不变（4）积分运算在幕级数收敛区间（一A，A）内任意一点x处，有也就是说，幕级数在其收敛区间内可以逐项积分，且收敛半径不变第三节泰勒公式与泰勒级数1泰勒公式如果函数01口匚I 1I 内具有直到n+1阶的导数，则当 1 :.可以表示为-I“次多项式与一个余项:的和：8m了（鬲）十广0。一術）十一jo）aU.+“+翳（r 宀令帀其中 r之间的某个值.若F取0,则泰勒公式变为麦克劳林公式：/W - 7（0） +广妙 + 警 / + ”，+十 k

7、 初（。日1）2泰勒级数设函数具有各阶导数?/ ._z1-：,则称级数了偽）十广一心）+|/VoK_心）为函数的泰勒级数若的泰勒公式的余项；,.：.-无限增大时极限为零，则上述.的泰勒级数收敛于函数本身.Ifsm +J2 + 1)- _ 2_x+i(2n+1)!3.常用函数的麦克劳林展开式(0 恥1);4-9炖(税1)(枕 _ 2) -(枕- + 1)(/?3 齐)卫畑严 T 严（0 1）；11(4) ln(l + x) = -xa+工2-，_斗 一23事耳1(1亠偸尸呵护就(0 6 1),n十14类似地，有上述函数的麦克劳林级数为21+ - +(-1T少35!3 +1)14+税佃_1）（演-

8、可3 -旳十1）宀（冲卜1）,(4)血(1 + X)=JT-一一沪（亠 55用间接法将一些简单函数展成幕级数（-! ,例将数的幕级数.Y-龙一兀1解因,而用(幡-1)2T(-8 X 眄；(- X w而(D)正确，应选妙例2:二厂第其二二厂丫.I：-T.|-.- .疔乩+小(xxi) S-K*-i_iU 1BE 堂 HK-l解：(D)中级数杲一个交错级数.由己知妝收迟即勺(-1)% I 收敎Z11故得QW),(I工|=2H-1戸盍 7A2- 1(| x | 1).11可知工(-1)乜是收敛的而且是绝对收敛的。注意咲于3)沖的级数的发散，从一个反例可以看出很= n2 4十 3 般项不趋于零发散.n

9、.l 科2t.fT=z-调和级数发散， 士泌其一般项不趋于零，发散.应选卫0 1例3:=；M-i 旳(丄)0 兰 0(了)gl(C*) 例4:；書；.二和匸，了123522（& 一3）-（D） 2353解由于几何级数壬幽心当研时收敛，其和为旦1-11 Q2（fr AA flfrTi因此迟护=ZQS=iZQM_1二 mM-CZ 二二 Z 3_ _ J5故应选（Q）o注蕙:无穷级数的敛散性与M的起期值无关,而无穷级数的和的大小却是与旳的起始值密切相关的。例5:沖SJ认总+ 1 1解:另是正项级数JB-Inin+ 1111Aj _ X _ _ 刀厶+1科&4 1Z因此詁是p =-的歹

10、级数，收敛。H-lK2 1由比较判法知是收敛的&M-i料&+1例6:下列正项级数中发散的是例&r -口:13A-Iw +zajs-i（知十1丿 3 十1）19 2冲+1（64（D）另竽旳n-l 2111117解:由于. A .=JJ=7,而级数刀j是 =yn+ vi3亍3-1 j3的 p 级数?是发散时根据比较审敛法可知?（）中级数是发散的,3）由于ft是P= 2 的戸级数是收敛的而珈科根据极限形式的比较审敛法，可知（B）中级数是收敛的；由于沏而另厶收敛由比较法可知中级数是收飯的； 2+3w ,o*+i 1（D）由于limB+= km -= 1n?WQ2用十12nib2

11、B根据达朗皿尔比值法乞容收敛z 2故应选（母& 1 - 例7： J.z 1 + u輻（1）当时”Hm亠Ml般项不趋向于零级数发散。il+211当& =1时正亠=丫二一股项不趋向于零，级数发散。1+总2当心冋严严- 丄”根据莱布尼兹审敛法知，中交错 f 斥 -fi 店+1级数是收敛的从而可知中级数是条件收敛的，故应选(珮注意:在判别任意项级数土血 是否收敛、以及是绝对收鈑还是条件收 敛时，一股可遵循以下步骤.第一步，根据级数收敛必要性粗略观察是否有-若有，则得出级数发散结论，否则进行下一步。第二歩,通项加上绝对值”考察正项级数丈必 I的敛散性，若其收敛贝ft-1原级数绝对收敛；否

12、则,对于交错级数低逬行下一歩* (这里需指出在考察El% I的敛散性叭如果用的是比值审敛祛或根值审敛法，当1 町可以直接警断定原级数兀氓发散1第三歩,用菜布尼兹审敛法耒判别交错级数龙叫是否收敛円zJrt3+ 1例9:判断交错级数的敛散性，若收敛，指出是条件收敛还B-1冷是绝对收敛*Kh力+iw1Zr解由于 lim冷1二一工+ l2例&r -口:15解.交错级数暫二血皿:=11（1 +丄） lim 叭=lim 1+亠=。思 TgK-?ID5又因为叫是单调下降的氓 X （事实上考察了二 11（1+4）17_/（）=（-4），所以/何是单调下障的因此左（1严血疋 J收敘ii.i力-C-V）i

13、127ln（l + 1+p 进一歩，由于级数工 4 收敛质 曲一 =血 =1Mg121|即 工（-1严比音1绝对收錢例10：w；解:心曲|处 1|二曲星 T 他 b出因此.箒级数的收敘半径为 2o当-2 时.级数变成 yO21=yOl 是一个收敛的交鶴级数。 OW1当2 叭 级数变成兀厶二 Y 丄是调和级数发散所以幕级数的收敛区间为-2,2）例11：U比二门L 订 ：.解:作变换 2“ 3,把己知级数化为 f的帚级数乞丄飞，由于所以乞（1严疋工二科+1(& 2出(B)(2.4 (Q (2r4) Q) 2 ,町16所以关于总的需级数的收敛半径 R八当丄=-1时，级数成为另1 广x冲一总当

14、 f =时级数成为丫 亠，两者的各项取绝对值后均为乞将其与收數级数工三 9 沁的P级数）比较.由于根据极限形式的比较审敛法可知级数迟飞收敛，从而当心1 时级数为丄万收敛，级数工丄飞的收颔区间是-l,lo”2总托总由于一九即幻得到原级数乞鱼耳，的收敛区 间2.4,因此应选（禺注意为了讲清泰勒级数的收敛区间的求法.这里特意用直接方法 加以解答#作为选择题，本例可以大大筒化解题的过程考虑到选择支 都是端点分别为 2用的区间，因此只需判别在端点相应的数项级数是否 收敛即可用2 代入级数变成 2 收敛，再用兀=-2 代入，同样 也收敛于是选择例12:IH门 L 上厂|十，一：i:分 丁；土17H=|解:

15、在公式-十中将兀换成有*-Li（2楼）！0COS 2x =另(1)B -0晦4*.所沿心 S 屯 2 丽八 gg1由于穴号+）因此，可得/何=扌乞（-分（-1令 1）K 即 /() = |Z(-i)r2H-D上例14： 丨丨三三巧十；.I一.W：麦克劳林公式Ar）二士竺単兀】软心)=_1+沪1-0第六章无穷级数例13:将函数/w=展幵成江的需级数，并求收敘区间。2 十工X Z?-02 + X 2因此 J0)二士(-LM-0(-2 x 2 )1 -1182、级数士叫收敛的充分必要条件是（至墓I）3、是级数它收敛的（工 ）3522M、-乩一C jDs一23535、若正项级数二宀发散，则一定有（竺）

16、-1G对艺込加括号百所康级数的收敛性不定 5 对 lim 叭工。、选择题1、若已知级数单元测试二宀收敛，S是它的前n项部分和，则它的和是（ Q* lim = 0“sP曲暫存在嵐二叭+心4limTI叫=r 1+肚D、It 1M： /M找2A、充分条件B必要条件C、充要条件D、无关条件4、2严5；的和S=（仝）A.对丈叫加括号后所成级数收敛氐衬士比加括号后所成级皴发散晁1196若级数发散，则（）跟gB、八GC.pp7、下列级数中收敛的是（空 ）9、在下列级数中发散的是（更矍）氐- + - + 一十一+ 十24 816 32Cs 0.01 +Jo.001 +可0001 +10、在下列级数中发散的是（

17、箜）妇歸1W-1込 IW11、下列级数中，发散的集数是（竺 ）A1* 1 18、下列级数中收敛的是（鱼墨J）1234Ak-H H- b 十H 1213 14357 9=4002012、级数： 满足何条件时，该级数必收敛（空刮）C. lim註=cx13、若级数V.C. ,；1.- I,收敛，则必有下列何式成立（）-1A、另丄必发散壬”胪收敛珀N-1C、壬叭+收敛D、E-D九必收敛用1乙N14、在下面级数中，绝对收敛的级数是（空 ）s f(-ir m詁严鸟A-l呢K-l科15、在下面级数中，绝对收敛的级数是（甦J）B12-i冶X=r弘另（-D“uy - Xc-ir1- s 2（-irM_I-72d

18、-1B_i 2xJ乱-z16、幕级数工：，的收敛区间是（空 ）1-1治（一叮） 氐4）2,4）6（2,417、幕级数士g_2y的收敛区间是（匹）A. (-1,1)氐3)段1J)6 (13w3k z(-DHeHLZ氐弘发散21A、(6,2)氐(0,2G 0,2)D |p|19、幕级数的收敛区间是（凹z 冲+1A、-1,1氐(叮) 匚71)6 (-1,120、幕级数的和函数是（竺J-科！J4XB.aictan xCln(l+工)D.r21、的和函数是（厘）N-l WlAx尹 氐-1h 十 6 A. E比严 CQS? D、W A223、幕级数 ；一=，+的和函数是（二di-o 21&t(-irLM-l的收敛区间是（空J）鮎丄良丄1 + 2工1-2兀D、24、函数在x=1处展成的泰勒级数是（注）22、幕级数n的和函数是（菱）22n-0丄D、Sfrt-1 2入#】12/n2 *-耳一In占料-料刑（冲-1）&0K 1Zvn=x4收敛K-i碎故由比较判别法，:-收敛、_1一In挖