精选平面向量压轴填空题

1、1. 在 ABC 中，已知uuuruuurAB 4，AC 3， P 是边 BC 的垂直平分线上的一点，则 BCAP _【答案】解析：72BC AP ( AC AB) (AQ QP) (AC AB) AQ ( AC AB) 1 ( AB AC)722APBQC2. 已知 OA1, OB3,OA OB0 ，点 C 在AOB ，AOC30o .BCuuuruuuruuurR) ，则 m 等于OA设 OCmOAnOB( m,nn【答案】 3C ( x, y)uuuruuuruuurR) 得 解析 ：法一：建立坐标系，设则由 OCmOAnOB (m, n( x, y)m(1,0)n(0,3)xm而 AO

2、C300故 tan 300ymy3nx3nuuuruuuruuurR) 两边同乘 OA 或 OB 得法二： OC mOA nOB (m, nOC OAm3mOCm2两式相除得3OC OB3nOC 13 3nn23. 在 ABC 中，若 AB ? ACAB ? CB4 ，则边 AB 的长等于2 2解析： AB ? ACAB?CB 42(CB)8AB8AB ACABC 的重心， 点 P 是uuuruuuruuur4.已知点 G是GBC 一点， 若 APABAC, 则的取值围是 _ ( 2,1)3AGBPCP G解析：APAGGP2 AG'GP '31( ABAC)t (mGB nG

3、C) ( 其中 0t 1, mn1)3=1(AB AC)t m1( ABCB) n1 (ACBC)333=1 (1mt ) AB1 (1nt) AC ，则21 t(2,1)333335. 已知 O为ABC 所在平面一点，满足uuur 2uuur2uuur2uuur 2OABCOBCAuuur 2uuur 2，则点 O是 ABC的OCAB心垂心解析：uuur 2uuur 2uuur 2uuur 2(OAOB)(OAOB)( BCCA)( BC CA) 0OABCOBCABA 2OC0 ，可知 OCAB ，其余同理6. 设点 O 是 ABC 的外心， AB c ， AC b ， b12c21则BC

4、· AO的取值围- 1,24AOBC解析：b1 2c21c22bb200b2BCAO( ACAB)AObRcoscRcosbR bcR c1 (b 2c 2 )2R2R2b 2b (b1)2 1- 1,22447. 在 ABC 和 AEF 中， B 是 EF 的中点， AB=EF=1， BC=6 ，CA33 ，若 AB AEAC AF2 ，则 EF 与 BC 的夹角的余弦值等于2_3解析：（2007全国联赛类似38.39题）因为 ABAEACAF2，所以AB (ABBE)AC (ABBF )2AB BEACABAC BF2 。因2，即 AB21 ，为 ABACAB33331361，

5、BEBF ，所以 1BF (ACAB)12 ，即13312BFBC2 。设 EF 与 BC 的夹角为，则有 | BF | | BC | cos 2 ，即 3cos=2，所以cos 23ur urrururururur rurruruur8. 已知向量,满足| |1, | |,() () 0 .若对每一确定的, | 的最大值和最小值分别为ur, mn 的最小值是1m, n ,则对任意2CDBA解析：数形结合 .AB, AC, BC, AD,CD, BDCDBD ，点 D 在以 BC 为直径的圆上运动， m n 就是 BC ，而 ACBC, AB1 2BC1BC19题相同 .（ A, B, C 共

6、线时取等号）和29. 已知向量 a ， b ， c 满足 |a | = 1 ， | a - b | = |b | ， ( a -c) (b -c ) = 0，若对每一个确定的b，| c |的最大值和最小值分别为 m，n，则对于任意的向量b ， m + n 的最小值为 _ 32解析：本题和 8完全相同。数形结合，具体参见810.设e1 ,e2是夹角为600 的两个单位向量， 已知OMe1 ,ON e2OP xOMyON，若PMN 是以 M 为直角顶点的直角三角形，则实数 xy 取值的集合为 _1解析：画图解即可11. 如图放置的边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A, D 分别在 x 轴，

7、y 轴上正半轴上滑动，则 OB OC 的最大值为 _2yCDBOAx解析：(OA AB)(OD DC)sin 2112. 给定两个长度为1 的平面向量 OA 和 OB ，它们的夹角为1200 。如图所示， 点 C 在以 O为圆心的圆弧AB 上变动， 若 OCxOAyOB ，其中 x, yR， BC则 xy的最大值是 _2解析：OC22y 22xyOA OBx 2y 2xy( xy) 23xy1OAx( xy) 213xy13 ( xy) 22【研究】如果要得到x, y 满足的准确条件，则建系，OA(1,0), OB( 1 ,3) 则22OC (x1 y, 3 y) ， 则 满 足 ( x1 y

8、) 2( 3 y) 21xy 2xy 1 ， 且2222x1 y1 , y022【变题】给定两个长度为1 且互相垂直的平面向量OA 和 OB ，点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB 上运动，若 OCxOA yOB ，其中 x、 yR，则 (x1) 2y 2 的最大值为2解析：建系，利用坐标法是可以得到x, y 最准确的满足条件，如OA(1,0),OB(0,1)OC(x, y) ，点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB 上运动，故满足 x 2y 21( x0, y0)13. 在平行四边形ABCD 中，已知 AB2, AD1,DAB60 ，点 M 为 AB 的中点，点P 在 BC与 CD 上运动（包括端

9、点） ，则 AP ? DM 的取值围是1 ,12解析：分两种情形，结合图形分析。（1）当 P 在 BC 上时， APAB BP，则APDMABDMBPDM1BP1,1 ；同理，当P在 CD上时，111 DM1,122APDM2222uuuuruuurPMN 中， MN7，1614.在周长为 16的6，则 PMPN 的取值围是uuuuruuura2b2c2a2b236ab ，因 ab10 ，解析： PMPNab cosab322ab2故 ab(ab) 2uuuur uuur32ab7，或者用消元的方法25， PMPN2uuuuruuuraba(10a)(a5) 22525 ，当 ab5 时取等号

10、，故 PMPN32ab7 ；同时 ab610a6a8，当 a8时 ab16 ，故 ab16，uuuuruuur32ab16PMPN另法：本题可以得出P 的轨迹是椭圆，得出椭圆方程然后设P 坐标来解决uuuruuuruuuruuuruuur2y1AOB是钝角，若15.已知 |OA|4,| OB |6,OCxOAyOB , 且 x，f (t)uuuruuuruuur的最小值是6 111| OAtOB | 的最小值为 23，则 |OC |37解析： OCxOAyOB'C, A, B' 共线，用几何图形A解） f (t )uuuruuur3 根据几何意义即| OAtOB | 的最小值为

11、 223uuurCAOB为 A 到 OB的距离， 易得1200 ，要使 |OC |最小，则 OCAB' ，利用面积法可求得OBB16. 如图，在正方形ABCD 中， E 为 AB 的中点， P 为以 A 为圆心、 AB 为半径的圆弧上uuuruuuruuur1的任意一点，设向量ACDEAP ，则的最小值为2( 1 ,解析：坐标法解，AC(1,1), DE1), AP(cos,sin )uuuruuur2uuur由ACDEAP得1cos12sin2 cos2 cossin2，3sin12cossin2 sin2 cos31 sin，令2 cossin312cossinf (1 sin,

12、0, ， f ' (2 2sincos0，故 f () 最小值为)sin)22cos2(2 cossin )1最小值为1f (0)，2217.已知 P 为边长为1 的等边ABC 所在平面一点，且满足CPCB2CA ，则PA PB =_3PABCCPCB2CABP 2CA， PA PB=解析：如图( PBBA)PB2BA PB4 12cos12003PB18.已知向量M=aa =(1,2)+(3,4)R ， N= aa =(-2,2)+(4,5)R ，则M N=_ (46,62)1324'解析：425152'19. 等腰直角三角形ABC 中， A90 ，AB2， AD是B

13、C边上的高， P为 AD的中uuuuruuur1点，点 M 、N 分别为 AB 边和 AC 边上的点，且 M 、N 关于直线 AD 对称，当 PM PN2时， AM_3BMB解析： PMPN( PAAM )( PAAN )ED20. 如图在三角形 ABC中， E 为斜边 AB的中点， CD AB，AB 1,uuur uuuruuur uuur2CA则CACDCA CE 的最大值是27解析：uuur uuuruuur uuur1 CD 2 CA cos A1 CA 3 sin 2 Acos A1 sin 2 A cos4 A2CA CDCA CE2222721.已知A，B，C是平面上不共线上三点

14、，动点P满足OP1(1)OA(1)OB(12 )OC(R且0),则P 的轨迹一定通过ABC的3_ 重心解析：设重心为G，OPOG(OAOBOC)GP(CA CB)2CD3233CG ，故 C,G, P 三点共线22. 已知点 O为ABC 的外心，且AC4, AB2, 则 AO?BC6解析： AO BCAO( ACAB)4R cosCAO2R cosBAO4R22R16RR23. 设 D 是 ABC 边 BC 延长线上一点，记ADAB(1) AC ，若关于 x 的方程2sin 2x (1) sin x10在 0,2) 上恰有两解，则实数的取值围是 _4 或221解 析 ： 令 tsin x则 2

15、t 2(1)t 10在 (1,1)上恰有一解，数形结合知f ( 1)f (1)04 或2 ，或者0221又 ADAB(1) ACCDCB0所以4 或221uuuruuuruuur24. O 是锐角ABC所在平面的一定点,动点 P满足: OPOAuuurAB2ABCABSinuuuruuurAC,0, 则动点 P 的轨迹一定通过ABC的 _心心2ACSin ACB解析：设高为AD ，则 AP( ABAC )1显然成立ABACADuuuruuura,0uuuruuur3,4uuur25. 已知 O 为坐标原点， OPx, y ，OA，OB0,a ，OC，记PA、uuuruuurPB 、 PC 中的

16、最大值为M，当 a 取遍一切实数时，M的取值围是 _ 726,解析：不妨设PAPB，即 yx，此时 Mmax PA , PC , 当 a 取遍一切实数时，点A 在 x 轴上滑动，而到点C 的距离等于到x 轴距离的点的轨迹是以C 为焦点， x 轴为准线CA的抛物线，其方程为(x3) 28( y2), 它交直线y x 于点 P (726,726 ) ，显然此时PAPC ，而 A为 PAx 的垂足时 M 最小，即最小是 726法 2：对于某个固定的a, 到M的最大值显然可以趋向M最小值呢？实际上就是当P，为 ABC 外心时，此时PAPBPCM 的最小值，因为当P 不是外心时，PA , PB , PC

17、 至少有一个会变大，这样M 就变大 . 解得外心坐标为P ( a 225 , a 225) ,2a142a14要使得 PAPBPC 最小，则圆与坐标轴相切，此时a225aa7262a1426. 已知 ABC 中， I 为心， AC 2,BCuuruuuruuury 的值为3,AB 4,且AIxAByAC ，则 x_ .2 ,3解析：延长 AI 交 BC于点 I',则 3 AIAI 'AB2 BC1 AB2 AC233327. 设 G是ABC 的重心，且 ( 56 sin A)GA( 40 sin B)GB( 35 sinC)GC0 ，则角 B 的大小为 _ 60°解析

18、：由重心性质知56sin A40 sin B35sin C56a40b35c ，下面用余弦定理即可求解28. 平面两个非零向量,，满足1，且与的夹角为 1350，则的取值围是_ (0,2解析：数形结合。利用正弦定理得，1，sin 450sin(0, 3)4329. 在ABC 中， AB 1, AC2，O为ABC 外接圆的圆心，则 AO BC _2ADEO解析：BC2AO ( AC AB)2( AO AD AO AE) 2( AD2 3AE )230. ABC 接于以 O 为圆心的圆，且uuuruuuruuurrC 1353OA4OB5OC0 则uuuruuuruuurr9OA2224OA OB

19、25OC2解析： 3OA4OB5OC016OBOAOBOCrAOB90 031.在 ABC 中， AB 8， BC 7，AC=3 ，以 A 为圆心， r=2 为半径作一个圆，设PQ 为圆A的任意一条直径，记T BP ?CQ ,则 T 的最大值为 22CPABQ解析：设 BC, AQ的夹角为，注意到由余弦定理知CAB600 ，故BP?CQ(BAAP)(CAAQ)BA CA BA AQAP CAAP AQ8 3cos600AQ (BACA)48 AQBC814 cos6,22如图，在中，uuuruuuruuur1uuur uuur=_ 3ADAB，AD，则AC AD32.ABCBC3BD，则 AO

20、B、 AOC、 BOC 的面积33. 已知点 O 为 ABC 一点，且 OA 2OB3OC 0之比等于 _3:2:1法一：延长 OB,OC 至 B,C，使得 OB'2OB , OC'3OC ，则 O为AB'C' 重心，然后由面积计算；法二：建立坐标系，设A(0,0),C(c,0),B(a,b),O(x,y)，2a3c6x0b3ySAOC:S ABC1: 32b6y034.已知 A.B.C是 ABC的三个顶点，AB 2AB ACAB CBBC CA, 则 ABC 为_三角形 .直角三角形解：注意到 AB AC AB CB2CA0AB ,故 BC35.PA, PB2

21、2PA PB0 ,PCPAPB平面上的向量满足 PAPB4，且若向量1233，则 PC 的最大值为 _解析：两边平方后知PC21216PC4(4 3PB )9，即 P, A重合时 .93136. 已 知 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， O(0,0), M (1,), N (0,1), Q( 2,3), 动点 P( x, y), 满 足20 OPOM1,0OP ON1.则OP OQ 的最大值为解析：即已知0x2 y 1求 2x3y 最大值问题，线性规划问题 .0y137、在 ABC 中，已知 AB2，BC 3， ABC60， AHBC于H，M 为AHuuuuruuuruuur.的中点，若

22、 AMABBC ，则解析：1 AHABBC ，两边同数乘 BC 得3 ；两边同数乘 AB 得 86321 ,12解方程组得26338. 如图，在ABC 和AEF 中， B 是 EF 的中点， ABEF2，CA CB3 ，uuuruuuruuuruuuruuuruuur_ 1若 ABAEACAF7，则 EF 与BC 的夹角的余弦值等于3解析： 39 题类似， EF BC2 3 6，下面求EFBC( AFAE)( ACAB)( ABAEACAF )( (ABAFAEAC)7AB (ABBF )( ABBE) AC =72AB BFAB AC BFAC7 4BF CB AB AC AB= 741 E

23、FBC 2 ，解方程得 EFBC2239.如图，在ABC和AEF中，B是EF 的中点， AB=EF=1 ，CA=CB=2 ，若uuur uuuruuuruuuruuuruuurAB AEACAF2 ，则 EF 与 BC 的夹角等于；解析：解题思路：在已知等式中，将不知模长的向量作替换转化。3uuuruuuruuuruuuruuur uuuruuuruuuruuuruuurABAEACAFAB (ABBE)AC (ABBF )1uuuruuuruuuruuuruuuruuurAB BEACABAC BFuuuruuuruuuruuuruuuruuurEF与BC的夹角 EF 与BC 的夹角 BEB

24、F ，uuuruuuruuuruuur1uuuruuuruuuruuuruuur ABAEACAF( ACAB)BFACAB1uuuruuuruuuruuurBC BFACAB 2而 在 等 腰 ABC 中 ， 作 底 边 的 高 CD ， 则 在 Rt ACD中由已知边长可得11uuuruuurcos CAB2。2，设 EF 与 BC 的夹角为4 1uuuruuuruuuruuurCAB2 ，| BC | | BF | cos| AC | | AB | cos从而 cos1，又 0，。2340.如图，已知 RtBCD 的一条直角边BC 与等腰 Rt ABC 的斜边BBC重合，若AB2 ，uuuvuuuvuuuvCBD30o ， ADmABnAC ，D则 m n .-1uuuvuuuvuuuv解析： ADmABnAC 两边分别同乘AB, AC 分别得到ACAD