线性代数性质公式整理

1、线性代数第一章行列式一、相关概念a11a12···a1na21a22···a2n | 是所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1.行列式 n 阶行列式 | ············an1an2···annaa2j 2···a1j 1nj n的代数和，这里 j是 1， 2，··· n 的一个排列。当 j是偶排列时，该项的前面带1j

2、2 ···jn1 j2 ···jn正号；当 j是奇排列时，该项的前面带负号，即1 j2···jna11a12···a1na21a22···aj ···j2n| =j···j(-1)1 2na1ja2j···anj(1.1)j112···········

3、;·2nnan1an2···ann这里 表示对所有 n 阶排列求和。式(1.1)称为 n 阶行列式的完全展开式。j1 j2 ···jn2.逆序与逆序数 一个排列中， 如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用表示排列 j的逆序j12 ···jn1 j2···jn数。3.偶排列与奇排列 如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。ab | = ad -bc，4.2 阶与 3 阶行列式的展开

4、 | cda11a12a13| a21a22a23| = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 -a13 a22 a31 - a12 a21 a33 -a11 a23 a32a31a32a33a11a12···a1n5.余子式与代数余子式a 21a 22···a2n| 中划去 a 所在的第 i 行，第 j在 n 阶行列式 | ············ijan1an2·

5、;··ann列 的 元 素 ， 剩 下 的 元 素 按 原 来 的 位 置 排 法 构 成 的 一 个n-1a11···a1,j-1a1,j+1···a1n······ ······ ······| ai-1,1···ai-1,j-1ai-1,j+1···ai-1,n| ai+1

6、,1···ai+1,j-1ai+1,j+1···ai+1,n称为 aij 的余子式， 记为 Mij ；称(-1)|······ ······ ······an1···an,j-1an,j+1···ann数余子式，记为Aij ，即 A ij = (-1)i+j Mij 。A11阶的行列式i+j Mij

7、 为a ij 的代A21···An1A12A22···An2 ，6.伴随矩阵 由矩阵 A 的行列式 |A| 所有的代数余子式所构成的形如 ············A1nA2n···Ann称为 A 的伴随矩阵，记作 A?。二、行列式的性质1.经过转置行列式的值不变，即 |A T | = |A|行列式行的性质与列的性质是对等的。2.两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同(或两行成比例

8、 )，行列式的值为 0.3.某行如有公因子 k，则可把 k 提出行列式记号外。4. 如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和：a + b1a2+ b2a3+ b3a1a2a3bb2b113| c1c2c3| = | c1c2c3 | + | c1c2c3 |d 1d2d 3d1d 2d3d1d 2d35.把某行的 k 倍加到另一行，行列式的值不变：a1a2a3a1a2a3| b1b2b3| = |b 1 + ka1b2 + ka 2b 3 + ka3|c1c2c3c1c2c36.代数余子式的性质行列式 任一行元素 与 另一行元素的代数余子式乘积之和为 0三、行列式展

9、开公式n 阶行列式的值等于它的任何一行(列 )元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即| A| = ai1 Ai1+ ai2 A i2+···+ain Ain = k=1naik A ik|A| 按 i 行展开的展开式| A| = a1j A1j+ a2j A2j+···+anj Anj = k=1nakj Akj|A| 按 j 列展开的展开式四、行列式的公式1.上(下 )三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；n(n-1)2.关于副对角线 的 n 阶行列式的值 | A| = (-1)2 a1n a2,n-1··&#

10、183;an13.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果 A 和 B 分别是 m 阶和 n 阶矩阵，则A?AO| = | =A·BOB?B|OAOA| = (-1)mn|A| |B| = |B?·B?11···1x1x2···xn4.范德蒙行列式|x12x22···xn2| =1 j i n(xi -xj )··· ······xn-1xn-1n-112···xn5.抽象 n

11、 阶方阵行列式公式(矩阵 )若 A、B 都是 n 阶矩阵， A?是 A 的伴随矩阵， 若 A 可逆， i(i =1,2 ,n) 是 A 的特征值：T| =|A|；|?| =?|AB|=|A|B|；22；?|A|n-1|A? |?|；| A| =| A|A|=-1| =1 ；|A| =n；若 ?，则 |?| = |?|，且特征值相同 。| A| A|i=1i?=?|?|?=?一般情况下： |?±?| |?| ±|?|五、行列式的计算1.数字型行列式将行列式化为上下三角，再按行或列展开；化简技巧：将每列(行 )都加到同一列 (行 )，或者将每列 (行 )ki 倍都加到同一列(行

12、 )。逐行 (或逐列 )相加利用范德蒙公式或特殊的拉普拉斯展开式数学归纳法验证n=1 时命题正确；假设n=k 时命题正确；证明 n=k+1 时，命题正确。验证 n=1 和 n=2 时命题都正确， 假设 n<k 命题正确，证明 n=k，命题正确。对于 n 阶的三对角行列式，通常可用数学归纳法。2.抽象型行列式 通常与矩阵一起考，利用行列式的性质(倍加、提公因数k、拆项 )等来恒等变形；也可能利用矩阵的运算、公式、法则、特征值、相似。利用单位矩阵-?-?= ?= ? ? 恒等变形来计算 |A+B| 形式的行列式。3.行列式 |A| 是否为 0的判定若 A=1 , 2 , ·

13、3;·,n是 n 阶矩阵，那么行列式 |A|=0?矩阵 A 不可逆?秩 r(A)<n?Ax=0 有非零解?0 是矩阵 A 的特征值?A 的列 (行 )向量线性相关。否为因此，判断行列式是否为0，常用：秩；齐次方程组是否有非零解；看特征值是0；反证法；若|A|=k|A|，且 k 1 时也能得出 |A|=04.代数余子式求和按定义直接计算求和；用行列式的按行或列展开的公式。由于A ij 的值与 aij 的值没有关系，故可以构造一个新的行列式 |B| ，通过求新行列式的代数余子式间接求出原行列式的代数余子式。P205 例利用行列式任一行元素与 另一行元素的代数余子式乘积之和为0 的性

14、质根据伴随矩阵?的定义，通过求?再来求和。20第二章矩阵一、矩阵的概念及运算a11a12···a1n矩阵 m× n 个数排成如下 m 行 n 列的一个表格 a 21a22···a2n 称为是一个 m× n············a m1am2···amn矩阵，当 m=n 时，矩阵 A 称为 n 阶矩阵或 n 阶方阵。如果一个矩阵所有元素都是0，则称为零矩阵，记作 O。

15、两个矩阵 A = a ij m×n， B = b ij ，如果 m=s， n=t，则称 A 与 B 是同型矩阵s×t两个同型矩阵如果对应的元素都相等，则称矩阵A 与 B 相等，记作 A=B。矩阵 A 是一个表格，而行列式 |A| 是一个数。二、矩阵的运算1.(加法 )设 A、 B 是同型矩阵，则 A + B = a ij m×n + b ij =a ij + bij m×nm×n2.(数乘 )kA = ka ij m×n = ka ij m×n3.(乘法 )若 A 为 m× s 矩阵， B 为 s× n

16、矩阵，则 A、B 可乘，且乘积 AB 是一个 m× n 矩阵。记成C=AB = c ij m×n，其中 cij = k=1saik b kj = ai1 b1j + ai2 b 2j+···+ais b sj4.转置将矩阵 A 的行列互换得到矩阵 A 的转置矩阵 AT三、矩阵的运算规则ABC 为同型矩阵，则1.加法A+ B= B+ A；(A+ B) + C= A+ (B+ C)；A+ O= A；A+ (-A)= O2.数乘 k( mA ) = (km )A = m ( kA) ；( k + m) A = kA + mA ；k ( A + B)

17、= kA + kB ；1A= A；0A = O3.乘法ABC满足可乘条件()()()ABC = ABC； AB+ C = AB+ AC；(B + C)A = BA+ CA注意一般情况下 AB BA ?= ?不能推出 ?=?或 ?= ?= ?且 ? ?，不能推出 ?= ?a100b100a1b200对角矩阵 AB= 0a20=0b 20 = 0a2 b20 0 0 a300 b300a3 b 31a1-1a11a2对角矩阵的逆矩阵=a 2a31a 34.转置 (A + B) T = AT +BT ；(kA) T = kA T ；(AB) T = BT；(AT)T = A5.伴随矩阵 A? =|A

18、|A -1；AA? = A?A = |A|E ；? -?-?=1(|A|0) ；( ?)= (?)|A| A?=? ?(kA )?= kn-1?( ?)(?)；A ；(A?)? =|A| n-2A (n 2)6.方阵的幂 (A k )l= Akl ， Ak Al = Ak+l注意(AB) k= ( AB)( AB) ···(AB) Ak Bk(A + B) k = A2 + AB + BA + B2 A2 + 2AB + B2(A+ B)(A-B) = A2- AB+ BA-B2 A2 - B2?7.特殊方阵的幂 (求 ? )若秩 r ( A) =1，则 A 可以

19、分解为两个矩阵的乘积，有例如P218特殊的二项式展开(E + B) n|A?| = |A| n-1 ；A2 = lA ，从而 An = l n-1 A分块矩阵 BO n= BnOn OCOC特征值、特征向量、相似简单试乘后如有规律可循，再用归纳法。四、特殊矩阵设 A 是 n 阶矩阵：单位阵：主对角元素为1，其余元素为 0，记成 En或 I n数量阵：数 k 与单位矩阵 E 的积 kE 称为数量矩阵。对角阵：非对角元素都是0 的矩阵称为对角阵，记成。 = diaga 1， a2 ， ···，an ()上 (下 )三角阵：当 i > ?i < ?时，有 a

20、ij = 0的矩阵称为上 (下)三角阵。对称阵：满足AT = A，即 aij = aji 的矩阵称为对称阵反对称阵：满足AT = -A ，即 aij = -a ji ， aii = 0的对称阵称为反对称阵。正交阵： AT A = AAT = E 的矩阵称为正交阵，即 AT= A-1初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。伴随矩阵：见 (一 .1.6)A? = |A| ·A-1五、可逆矩阵1.主要定理 ：若 A 可逆则 A 的逆矩阵唯一且|A| 不为 0。行列式不为0 则矩阵可逆。2.概念 设 A 是 n 阶方阵如果存在n 阶矩阵 B 使得 AB = BA = E成立， 则称

21、A 是可逆矩阵或非奇异矩阵，B 是 A 的逆矩阵，记成A-1 = B3.可逆的充要条件存在n 阶矩阵 B 使得 AB=E |A| 0 ，或秩 r(A)=n，或 A 的列 (行 )向量线性无关齐次方程组 Ax=0 只有零解矩阵 A 的特征值不全为04.逆矩阵的运算性质 若 k 0 ，则 (kA) -1 =1A-1k若 A， B 可逆，则 (AB) -1= A-1 B-1；特别地 ( A2 )-1 =(A-1 )2若 AT可逆，则 ( AT )-1=( A-1 )T；( A-1 )-1 = A；| A-1| =1|A|注意，即使 A,B,A+B 都可逆，一般地 (A + B) -1 A-1+ B-

22、15.求逆矩阵的方法 若| |-1 =1A?A 0，则 A|A|行初等变换(E|A -1 )初等变换(A|E) 用定义求 B，使得 AB=E或 BA=E，则 A 可逆且 A-1 = B分块矩阵，设B,C 都可逆，则B O-1= B-1O； O B -1= OC-1 O CO C-1C OB-1O六、初等变换、初等矩阵1.主要结论： 用初等矩阵 P 左乘 A，所得 PA 矩阵就是矩阵A 做了一次和矩阵P 同样的行变换；若是右乘就是相应的列变换。2.初等变换 设 A 是 m ×n 矩阵， (倍乘 )用某个非零常数 k( k 0) 乘 A的某行 (列 )的每个元素， (互换 )互换 A 的

23、某两行 (列)， (倍加 )将 A 的某行 (列 )元素的 k 倍加到另一行 (列 )。称为初等变换。3.初等矩阵 由 E 经过一次初等变换所得的矩阵100倍乘初等矩阵 E2 ( k) = 0k0001010互换初等矩阵 E12 = 100001100倍加初等矩阵 E31 (k ) = 010 k014.等价矩阵 矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵B，则称 A 与 B 等价，记成 A ? B。若A ? EOr OO ，则后者称为 A 的等价标准形。 (A 的等价标准型是与 A 等价的所有矩阵中的最简矩阵。 )5.初等矩阵与初等变换的性质 初等矩阵的转置仍然是初等矩阵；初等矩阵均是可逆矩阵且其

24、逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵E-11E-1= Eij ，E-1( k) = Eij (-k )( k) = Ei ( ) ，ikijij P1 AP2 左行右列当 A 时可逆矩阵时，则A 可作一系列初等行变换成单位矩阵，即存在初等矩阵P1 ，P2 ，···， PN ，使得 PN ···P2P1A = E七、矩阵的秩1.求秩的主要方法：经过初等变换矩阵的秩不变；如果 A 可逆，则 r(AB)= r(B) ， r(BA) = r(B)2.矩阵的秩 设 A 是 m× n 矩阵，若 A 中存在 r 阶子式不等于 0，且所有 r+1

25、阶子式均为 0，则称矩阵 A 的秩为 r，记成 r(A) ，零矩阵的秩规定为 0。3.矩阵的秩的性质r(A) = r ? 矩阵 A 中非零子式的最高阶数是rr(A) < ?A 中每一个 r 阶子式全为 0r(A) r ?A 中有 r 阶子式不为 0特别地， r ( A) = 0 ? A = O ； A O ?r(A) 1若 A 是 n 阶矩阵， r(A)= n ?|A| 0 ?A 可逆( )< n ?|= 0 ?A 不可逆r AA若 A 是 m× n 矩阵，则 r(A min m, n )4.矩阵的秩的公式(A)=r(AT ) ；r( AT A) = r(A)r当 k 0

26、时， r( kA) = r(A) ；r ( A + B) r ( A) + r (B)r() min () (B)；若 A 可逆，则 r(AB)= r(B) ， r(BA) = r(B)ABrA ,r若 A 是 m× n 矩阵， B 是 n× s 矩阵， AB=O，则 r ( A) + r ( B) n分块矩阵 r ( AO()()。O) = rA+ rBB八、分块矩阵1.概念 将矩阵用若干纵线和横线分成许多小块，每一小块称为原矩阵的子矩阵(或子块 )，把子块看成原矩阵的一个元素，则原矩阵叫分块矩阵。由于不同的需要，同一个矩阵有不同的方法分块，可以行分块，以列分块等。2.分

27、块矩阵的运算对矩阵适当地分块处理(要保证相对应子块的运算能够合理进行)，就有如下运算法则：A1A2B1B2A1+ B1A2+ B2ABXYAX+ BZ AY+ BW A3A4+ B3B4 = A3 + B3A4+ B4C DZ W = CX+ DZ CY + DWA BT = ATCT C DBTDT若 B,C分别是 m 阶与 s 阶矩阵，则 BO n= BnOn ，OCOC若 B,C分别是 m 阶与 s 阶可逆矩阵， 则 B O-1B -1O，O B-1O C-1O=O-1CO= -1OCCB若 A 是 m× n 矩阵， B 是 n× S 矩阵且 AB=O，对 B 和 O

28、 矩阵按列分块有1 , 2, ···,s=A1···,0AB= A,A2, ···,As= 0,0,Ai = 0 (i= 1,2,···,s)即B的列向量是齐次方程组Ax = 0 的解。线性表出 P214第三章、向量一、 n 维向量的概念与运算所构成的一个有序数组成为n 维向量，记成1.n维向量 n个有序数组a1, a , ···,a2n(a1,a2)(a1, a2)T ，分别称为 n 维行向量或n 维列向量，数 a 称为向量的第i 个i, &#

29、183;··,an或, ···,an分量。2.零向量 所有分量都是0 的向量称为零向量，记为0T与 n 维向量 ?=(bT相等，即3.相等 n 维向量 ?= (a 1 ,a2, ···,an)1 ,b 2 , ···,bn)?= ?a= b, a=b, ···,a=bn1122n4.运算n 维向量 ?=T与?=(b1T(a 1 ,a2 , ···,an),b 2 , ···,bn)(加法 )?+

30、?= (a 1 + b1, a2 + b2 , ···,an+bn ) T?+ ?=?+ ?，()?+()?+ ?= ?+ ?= ?+ ? + ?=?+ ?，(数乘 )Tk?= ( ka 1,ka 2, ···,kan1 ·?= ?，k()()?=k?+ l?，()l? = (kl)?，k + lk?+ ? = k?+ k?(内积 )()?,? = a1b 1 + a2b2 +···+anb n = ? ?= ? ?()222?222 为向量 ?的长度。a1+ a+··

31、83;+a= ? ?，称 a + a2+···+a?,? =2n1n()()()()()?,? =?,?k?,? =k?,? =?,k?(?+?,?) =( ?,?) + ( ?,?) ， ( ?,?) 0，等号成立当且仅当?= ?。特别地，如()，则称 ?与?正交?,? = 0二、线性表出、线性相关及 m 个数 k1所构成的向量1.线性组合 m 个 n 维向量 ?,? ?,? ···,?,k 2 , ···,kmk ? + k ? +···+km?1?2?称为向量组 ?的一

32、个线性组合，数k1, k2称为组合系数。?,?,? ···,?, ···,km2.线性表出 对 n 维向量 ?和 ?，如果存在实数 k，使得?,?,?···,?1 ,k 2 , ···,ksk1? + k? +···+k?= ?2?s?则称向量 ?是向量 ?的线性组合，或者说向量?可由 ?线性表出。?,?, ···,?, ?,? ···,?设有两个 n维向量组 () ?；如果 ( )中每

33、个向量 ?都可?,?,?···,?；( ) ?,?, ···,?由( )中的向量 ?,? , ···,?线性表出，则称向量组 ( )可由向量组 ( )线性表出。? ?如果 ( ) 、( )这两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价 。等价向量组具有传逆性、对称性、反身性。向量组和它的极大线性无关组是等价向量组。向量组的任意两个极大无关组是等价向量组。等价的向量组有相同的秩，但秩相等的向量组不一定等价。，如果存在不全为零的数 k,k，使得3.线性相关、无关 对于,?, ··

34、83;,?1, ···,kn 维向量 ? ?2sk ? + k ? +···+k ? = ?1 ?2?s?则称向量组 ?线性相关，否则称它线性无关。?,?,? ···,?关于线性无关，只要 k1不全为零，必有 k1 ?+ k 2?+···+ks ? ?，或者，当,k 2 , ···,ks且仅当 k1= k2=···=k= 0 时，才有 k? + k? +···+k?= ?s1?2?s ?显然，含有：零向量，相等向量，坐标成比例的向量组都是线性相关的，而阶梯形向量组一定是线性无关的。证明 ：证明线性无关通常的思路是： 用定义法 (同乘或拆项重组 )，用秩 (秩等于向量个数则线性无关 )，齐次方程组只有零解或反证法。4.重要定理 x1x 2 n 维向量组 ?, ?, ·