(完整word版)高一数学必修四平面向量知识与题型归类

1、高一数学必修四平面向量基础知识与题型归类（1)2、向量的数乘运算:一.向量有关概念：1、向量的概念：既有大小又有方向的量，2、 零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向不确定；3、单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量；r-一urura2a的单位向量：与a同方向且长度等于 1 的向量，记作ao并且 a 4 ；a3与a共线的单位向量： 与a方向相同或相反 且长度等于 1 的向量，可表示为实数 与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下:Ha当 0 时，a的方向与a的方向相同，当 0,且a、b不同向，； 为钝角a?b v0，且a、b不反向;= AB + A

2、) = ACr ruur uur uura b CC高一数学必修四平面向量基础知识与题型归类（3)咼一数学必修四平面向量基础知识与题型归类(5、平面向量数量积的坐标运算 ：2)设两个非零向量ay1贝八、向量中一些常用的结论：(1) 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；(2)|；| |b| |a b| |a| |b|，特别地，前面等号成立的条件是；、b同向或有0；后面等号成立的条rab ra r ay2%卷2ra2X%X1,y2o y1 X1设a、b都是非零向量，a2ydr b是a与b的夹角，则cosab为X2yiy22 2 2 2xiyi：x2y2五.向量的运算律1 .交换律

3、：abba,a2.结合律:c,aa ?ba?b a? b3.分配律:a, a b a bb ?ca?c b?c。提醒：(1)同乘以一个实数， 两边同时取模， 两边同乘以一个向量， 但不能两边同除以一个向量， 即两边不能约去 个向量，切记两向量不能相除(相约)；向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边(2)向量的“乘法”不满足结合律，即a(b?c) (a?b)c。六、向量共线与垂直的条件平行向量基本定理：若a ba/b，反之，若a/b(b 0) a b(其中是唯一的实数)向量共线的坐标表示：设两个向量a x-i, y1,X2,y2则 a/by1X?0r

4、rr件是a、b反向或有0(3)在ABC中,1重心：中线的交点且重心将中线分成2： 1 两段；外心：中垂线的交点;垂心：高线的交点；内心：角平分线的交点。uiu uuu uuur r2PA PB PC 0 P为ABC的重心；uuu uuu uuu uuu uuu uuuPA PB PB PCPC PAurn2uuu2uuu2PA PB PCuuu若向量AP=uuuuuu|AB|P为ABC的垂心;P 为 ABC 的外心；UULT-4)(|AC|0),则点 P 的轨迹一定过ABC的内心;uuu三点共线：不重合的三点A B、C共线ABUUJTAC存在实数使得uuPAuuPBuuuPC且向量垂直的条件：

5、ab a b 0 x1x2y1y20.七、平面向量的基本定理ur uu:如果e和02是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量有且只有一对实数riruu2，使a1e)+2e2。其中不共线向量ur urur uue),e2叫做一组基底，记作0,仓。经典题型：、基本概念判断正误：(1)(2)(3)共线向量就是在同一条直线上的向量。若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。与已知向量共线的单位向量是唯一的。(4)a与b不共线，则a与b都不是零向量。(5)uuu uuuB、C、D 四点构成平行四边形，贝yAB CD。uuuAB(7)若Ta，则ab。T T T(8)若a b,bTTc，贝

6、U aT c。T T T TTTT TT TTLT(9)若a/b,b/c,贝Ua/c(10)若 agpbgc，则 ab；TTTTT(11)若mamb， 贝U ab。(12 )若mana， 贝Umn。T TT TT(13)若a b0，则a0或b 0(14)若|a b| |a b|，则aT T “T2T2D 四点构成平行四边形。(6)(15)(a b)uuurCD，贝 U A、B、C、a b若二、向量的运算1、uuu uuu uuiT化简：AB BC CDuuuABUULTADUULTDCuuu(ABuuuCD)umT uuu(AC BD)2、 若 O 是ABC所在平面内一点，且满足uuuOBuu

7、uruuuOC 2OA，则ABC的形状为3、 若D为ABC的边BC的中点,ABC所在平面内有一点uuu uuuP,满足PA BPuuuCPuuu0，设需|PD|的值为4、uuu若点 O 是厶 ABC 的外心，且 OAuuuOBuuur rCO 0 ,贝U ABC 的内角 C 为5、 若 M( -3 , -2 ) , N (6,-1)， 且MPIMN,则点P的坐标为3三、向量的夹角与数量积、 ABC 中,| AB | 3,T1 T2、已知a (1,),b(0,2| AC| 4,1TT ),c a2|BC|T u kb,d5， 贝U AB BCa b,c与d的夹角为一，贝U k等于4J_TT TT

8、T3、已知平面向量a,b满足(ab)g2ab)4且a 24、已知a,b是两个非零向量，且5、设非零向量a、b、c满足|a |6、已知5.4, a 与 b的夹角7、已知| a | 3，| b | 5，且a b&已知i与j为互相垂直的单位向量,围是9、如图，等边ABC中,10、如图，在矩形ABCD中,uuu uuu-AB AF2上，若，求4且，则a 与 b的夹角为，贝U a 与 a b的夹角为| b | | c |,a b c，贝U a,b2，则向量b在向量a上的正射影的数量为312，则向量a在向量b上的正射影的数量为a i 2j，b iAB 2AD=AC=4AE=4,uuu uuu寺AE

9、 BF的值.点E为BCj且a与b的夹角为锐角，则实数uuu uuurBEgCD.的取值范的中点，点F在边CD高一数学必修四平面向量基础知识与题型归类(5)五、向量的模四、向量共线与垂直1、若向量a(x,i),b(4,x)，当x=_时a与b共线且方向相同2、 已知a,b不共线，c ka b,d a b，如果c/d，那么 k=_ ,c与d的方向关系是 _ r r r r3、a (1,2),b (2, 3),若向量 c 满足于(c a/b,c (a b),则 c _IUDuuuuur4、 设PA (k,12), PB (4,5), PC (10,k)，贝U k=_时，A,B,C 共线5、 以原点 O

10、 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OABB 90，则点 B 的坐标是_6、 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B( 1,3),若点C满足OC1OA2OB,其中1,2R且121,则点C的轨迹方程是 _7、若a (12,5)，求1a的单位向量；2与a共线的单位向量；3与a垂直的单位向量。1、2、设向量a，设向量a，8、已知a=( 1，2)，b=(-3，2)，若 ka+2b与 2a-4b共线，求实数 k 的值；若 ka+2b与 2a-4b垂直，求实数 k 的值b满足|a ib1及4a 3t3，则3a的值为b满足ia1,2,a (a 2b),则 2a b 的值为3、已知向

11、量a、b、两两之间的夹角为 60，其模长都为 1,贝y ab+2c4、 已知向量a (1,sin ),b (1, cos ),则 a耳的最大值为 _、r口八宀“-,，八、山UULT2. UUU UUIT. . UUlUUUIT. UUUIU5、设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外, BC 16, AB AC AB AC ,则 AM _六、平面向量基本定理的应用问题1、下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是uruuITULUIUITuu 13A. &(0,0),e2(1, 2)B.e( 1,2),e2(5,7)C. &(3,5), e2(6,10)D.e(

12、2, 3)L,一)24rrrr2、a(11),b(1,1),c(4,2)，则c()=MHMB*(A)3a b(B)3a b(C)a 3b(D)a 3bUULTuuuUULTr uuu rUUTr r3、 已知AD, BE分别是ABC的边BC, AC上的中线，且AD a,BE b,则BC可用向量a,b表示为_4、已知ABC中，点D在BC边上，且CD 2 DB,CD15、如图，在ABC中，AN NC32AP m AB AC,求实数m的值_9P是BNr AB sAC，贝U r s的值是_点，若6、如图ABC中，AD 2DB,2AE EC,BE I CD P,UUU UUT UUT若AP xAB yAC(x, y R)，求X y高一数学必修四平面向量基础知识与题型归类(6)五、向量的模高一数学必修四平面向量基础知识与题型归类(5)七、平面向量与三角函数的综合1、已知一，、B、C 在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cos ,sin )。2 2uuu uuu(I)若|AC| |BC|,求角 的值；3、已知平面向量 a (sin , 2),b (1,cos )相互垂直，其中(1 求 sin 和 cos 的值;(2)若 sin()010彳求cos的值.uur