数学建模插值方法学习教案

1、会计学1数学数学(shxu)建模插值方法建模插值方法第一页，共76页。第1页/共75页第二页，共76页。 设设 为给定的节点，为给定的节点， ，为相应的函数值，求一个次数不超过为相应的函数值，求一个次数不超过 的多项式的多项式 ，使其满足使其满足 ， .这类问题称为这类问题称为插值问题插值问题。 称为称为被插值函数被插值函数， 称称为为插值函数插值函数， 称为称为插值节点插值节点01,nx xx)(iixfy ni, 1 , 0n)(xPnni, 1 , 0( )niiP xy一、问题提出一、问题提出01,nx xx( )f x( )nP x插值部分插值部分(b fen)第2页/共75页第三页

2、，共76页。 定理定理1 设设 为给定的彼此互异的为给定的彼此互异的 个插值个插值节点，则存在唯一节点，则存在唯一(wi y)的次数不超过的次数不超过 的的多项式多项式 ，满足，满足条件条件 , .nxxx10,1nn)(xPn( )niiP xyni, 1 , 0二、存在二、存在(cnzi)性与唯一性性与唯一性第3页/共75页第四页，共76页。2012nnnPaa xa xa x012,na a aa( )niiP xyAab0011111nnnnnxxxxAxx0011,nnayayabay0( )()ijj i nDet Axx Aab第4页/共75页第五页，共76页。011011()(

3、)()()( ),0,1,()()()()iiniiiiiiinxxxxxxxxl xinxxxxxxxx0( )( )nni iiPxy lx（1）Lagrange插值多项式可以插值多项式可以(ky)表示为表示为 第5页/共75页第六页，共76页。)()()()(1101niiiiiiinxxxxxxxxx)()()(101ninxxxxxxxniinininxxxxyxP011)()()()(第6页/共75页第七页，共76页。（2）插值误差估计）插值误差估计 定理定理2 设设 在在 上连续，上连续， 在在 内存内存在在,节点节点 ， 是拉格朗日插值多项是拉格朗日插值多项式，则对任意式，则对

4、任意(rny) , 插值余项插值余项 其中其中 且依赖于且依赖于 .)()(xfn,ba)()1(xfn),(babxxxan10)(xPn,bax)()!1()()()()(1)1(xnfxPxfxRnnnn),(bax第7页/共75页第八页，共76页。例2.求过点(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多项式。解：用4次插值多项式对5个点插值 00112233442 04 36 58 410 1,xyx yxyx yxy0(4)(6)(8)(10)1( )(4)(6)(8)(10)(2 4)(2 6)(2 8)(2 10)384xxxxl xxxxx第8页/共7

5、5页第九页，共76页。1(2)(6)(8)(10)1( )(2)(6)(8)(10)(4 2)(4 6)(4 8)(4 10)96xxxxl xxxxx2(2)(4)(8)(10)1( )(2)(4)(8)(10)(6 2)(6 4)(6 8)(6 10)64xxxxl xxxxx3(2)(4)(6)(10)1( )(2)(4)(6)(10)(8 2)(8 4)(8 6)(8 10)96xxxxl xxxxx4(2)(4)(6)(8)1( )(2)(4)(6)(8)(10 2)(10 4)(10 6)(10 8)384xxxxl xxxxx第9页/共75页第十页，共76页。40 01 12 2

6、3 34 4( )( )( )( )( )( )P xy l xy l xy lxy l xy lx13(4)(6)(8)(10)(2)(6)(8)(10)3849654(2)(4)(8)(10)(2)(4)(6)(10)64961(2)(4)(6)(8)384xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx于是于是(ysh)有有第10页/共75页第十一页，共76页。function yi=lagrcz(x,y,xi)n=length(x);m=length(xi);for s=1:m yi(s)=0; for i=1:n w(i)=1; dw(i)=1; for j=1:n if (j=i) w(i

7、)=(xi(s)-x(j)*w(i); dw(i)=(x(i)-x(j)*dw(i); end end yi(s)=y(i)*w(i)/dw(i)+yi(s); endend第11页/共75页第十二页，共76页。第12页/共75页第十三页，共76页。缺点缺点(qudin): 当增加或减少插值节点时当增加或减少插值节点时,基函数需要重新基函数需要重新 构造构造,不便于实际的计算使用不便于实际的计算使用第13页/共75页第十四页，共76页。 定义定义称称 为为 在在 两点处的两点处的一阶差商一阶差商. （1）差商定义差商定义011201202, ,f x xf x xf x x xxx( )()

8、,ijijijf xf xf x xijxx( )f x四、四、 Newton插值法插值法,ijx x01112010, ,nnnnf x xxf x xxf x xxxx二阶差商二阶差商n 阶差商阶差商第14页/共75页第十五页，共76页。 , xa b 000( )() ,()f xf xf x xxx001011 , ,()f x xf xxf x xxxx010101 , , , , , , ,()nnnnf x xxf x xxf x x xxx x00100101( )( ) , () , ,() ()nnnN xf xf x x x xf x xxx xx x010( )( )(

9、 ) , , ,()()nnnnR xf xN xf x x xxx xx x第15页/共75页第十六页，共76页。差商表差商表 一阶一阶差商差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商四阶差商四阶差商kx0 x1x2x3x4x()kf x0()f x2()f x1()f x3()f x4()f x01,f x x12 ,f x x23,f xx34,f x x012,f x x x123 ,f x xx234,f xx x0123,f xx xx1234 ,f x x x x01234,f x x xx x第16页/共75页第十七页，共76页。 1 2 3 4 0 -5 -6 3一阶差商二阶差商三阶

10、差商 1 2 3 4 0 -5 -6 3 -5 -1 9 2 5 1xy( )if xix第17页/共75页第十八页，共76页。由上述差商表对角线上取得(qd)的值则牛顿三次插值多项式为 00101201230, ,5, , ,2, , , 1,f xf x xf x x xf x x x x)2)(1(2) 1(50)(xxxxNn)3)(2)(1(xxx3423xx第18页/共75页第十九页，共76页。function yi=newtcz(x,y,xi)n=length(x); m=length(xi); nt=zeros(n,n);nt(:,1)=y;for i=2:n for j=i:

11、n nt(j,i)=(nt(j,i-1)-nt(j-1,i-1)/(x(j)-x(j-(i-1); endEndfor i=1:n nt(i,i)Endfor i=1:m yi(i)=nt(1,1); for j=2:n t=1; for s=1:j-1 t=t*(xi(i)-x(s); end yi(i)=yi(i)+t*nt(j,j); endend第19页/共75页第二十页，共76页。五、五、 Hermite插值多项式插值多项式给定的是节点上的函数给定的是节点上的函数(hnsh)值和导数值值和导数值问题问题(wnt)：已知已知iiyxf)(iiyxf)(1 , 0i求求3次多项式次多项式

12、 ，使得，使得(sh de)(3xHiiyxH)(iiyxH)(1 , 0i第20页/共75页第二十一页，共76页。120101010210101032121)(yxxxxxxxxyxxxxxxxxxH120101021010)()(yxxxxxxyxxxxxx第21页/共75页第二十二页，共76页。)(xR第22页/共75页第二十三页，共76页。3.63x 21,55,1f xxx 201( )1nnijjpxlxxn( )npx), 1 , 0( ,/105ninixi第23页/共75页第二十四页，共76页。第24页/共75页第二十五页，共76页。六、六、 分段分段(fn dun)插值插值

13、 所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。在每所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。在每个个 子段上构造子段上构造(guzo)插值多项式，然后把它们装配在一插值多项式，然后把它们装配在一，作为整个区间作为整个区间 上的插值函数，即称为分段多项式。如果上的插值函数，即称为分段多项式。如果函数函数 在每个子段上都是在每个子段上都是 次式，则称为次式，则称为 次式。次式。1,iix x, a b kSxkk一般一般(ybn)（低次：（低次：k=1,2,3）第25页/共75页第二十六页，共76页。（1）分段线性插值的构造（）分段线性插值的构造（k=1) 易知易知 在每个子区间在每个子区间 上

14、是一上是一次插值多项式次插值多项式分段线性插值的余项分段线性插值的余项其中其中1 , (0,1,)iix xin2( )( )( )8Mhf xxR x( )xmax( )a x bMfx 11111 iiiiiiiiiixxxxxxxyxxxxyx,)(第26页/共75页第二十七页，共76页。（2） 分段分段(fn dun)抛物线插值抛物线插值（K=2）（3） 分段分段(fn dun)三次三次 Hermite 插插值值(K=3)第27页/共75页第二十八页，共76页。（4） 三次三次(sn c)样条插值样条插值 在分段插值中，分段线性插值在节点上仅连续而不可导，分段三次埃尔米特插值有连续的一

15、阶导数，如此光滑程度常不能满足物理问题的需要，而引入的样条函数则可以同时在分段插值中，分段线性插值在节点上仅连续而不可导，分段三次埃尔米特插值有连续的一阶导数，如此光滑程度常不能满足物理问题的需要，而引入的样条函数则可以同时(tngsh)解决这两个问题解决这两个问题,使插值函数既是低阶分段函数使插值函数既是低阶分段函数,又是光滑的函数。又是光滑的函数。 第28页/共75页第二十九页，共76页。三次样条函数定义三次样条函数定义 给定区间给定区间 的一个划分的一个划分 ，如果函数如果函数 满足：满足： ba,bxxxxann110)(xS（1）在每一小区间上是三次多项式；）在每一小区间上是三次多项

16、式；（2）在每个内节点上具有二阶连续导数；）在每个内节点上具有二阶连续导数；（3）iiyxS)( 则称则称 是是 在该区间上关于该划分的一个三次在该区间上关于该划分的一个三次样条函数。样条函数。)(xs)(xf第29页/共75页第三十页，共76页。其中四个待定系数为其中四个待定系数为 , ,子区间共有子区间共有n n个所以要确定个所以要确定S(x)S(x)需要需要4n4n个待定系数。个待定系数。 另一方面另一方面, ,要求分段要求分段(fn dun)(fn dun)三次多项式三次多项式S(x)S(x)及其导数及其导数 和和 在整个插值区间在整个插值区间a,ba,b上连续上连续, ,则要求它们在

17、各个子区间的连接点则要求它们在各个子区间的连接点 上连续，上连续，即满足条件即满足条件 由样条函数的定义可知由样条函数的定义可知, ,三次样条插值函数三次样条插值函数S(x)S(x)是一个分段三次多项式是一个分段三次多项式, ,要求出要求出S(x),S(x),在每个在每个小区间小区间xi,xi+1xi,xi+1上要确定上要确定4 4个待定参数个待定参数(cnsh),(cnsh),若用若用Si(x)Si(x)表示它在第表示它在第i i个子区间个子区间xi,xi+1xi,xi+1上的表达式，则上的表达式，则332210)(xaxaxaaxSiiiii1, 1 , 0ni3210,iiiiaaaa)

18、(xS)(xS 110,nxxx第30页/共75页第三十一页，共76页。（1 1）插值条件）插值条件(tiojin)(tiojin) （2 2）连接条件）连接条件(tiojin)(tiojin) 式共给出了式共给出了4n-24n-2个条件个条件(tiojin),(tiojin),而待定系数有而待定系数有4n4n个个, ,因此还需要因此还需要2 2个条件个条件(tiojin)(tiojin)才能确定才能确定S(x),S(x),通常在区间端点上通常在区间端点上 各加一个条件各加一个条件(tiojin),(tiojin),称为边界条件称为边界条件(tiojin), (tiojin), 常用边界条常用

19、边界条件件(tiojin)(tiojin)有三种类型。有三种类型。)()(iixfxSni, 1 , 0 ) 0() 0(1, 2 , 1) 0() 0() 0() 0( iiiiiixSxSnixSxSxSxSnxbxa,0第31页/共75页第三十二页，共76页。第一种类型：给定第一种类型：给定(i dn)(i dn)两端点两端点 的一阶导数值：的一阶导数值： 第二种类型：给定第二种类型：给定(i dn)(i dn)两端点两端点f(x)f(x)的二阶导数值：的二阶导数值：作为特例作为特例, , 称为自然边界条件。满足自然边界条件称为自然边界条件。满足自然边界条件的三次样条插值函数称为自然样条

20、插值函数。的三次样条插值函数称为自然样条插值函数。第三种类型：当第三种类型：当 是以为是以为 周期的函数时，则要求周期的函数时，则要求S(x)S(x)也是周期函数也是周期函数, ,这时边界条件应满足这时边界条件应满足当当 时，时， )()(),()(00nnxfxSxfxS)()(),()(00nnxfxSxfxS 0)()(0 nxSxS0 xxn)()(0nxfxf)()(),()(00nnxSxSxSxS )(xf)(xf第32页/共75页第三十三页，共76页。这样，由上给定的任一种边界条件加上插值条件和连接条件这样，由上给定的任一种边界条件加上插值条件和连接条件，就能得出，就能得出4n

21、4n个方程，可以惟一确定个方程，可以惟一确定4n4n个系数。从而个系数。从而(cng (cng r)r)得到三次样条插值函数得到三次样条插值函数S(x)S(x)在各个子区间在各个子区间xi , xi+1xi , xi+1上的表达式上的表达式S(xiS(xi）(i=1,2,)(i=1,2,)。但是，这种做法当。但是，这种做法当n n较大时较大时，计算工作很大，不便于实际应用。因此我们希望找到一种，计算工作很大，不便于实际应用。因此我们希望找到一种简单的构造方法。简单的构造方法。 第33页/共75页第三十四页，共76页。三次样条插值函数的求法三次样条插值函数的求法设设S(x)S(x)在节点在节点x

22、ixi处的二阶导数处的二阶导数(do sh)(do sh)为为因为在子区间因为在子区间xi-1,xixi-1,xi上上 是三次多项是三次多项式式, ,所以所以 在此小区间上是在此小区间上是x x的线性函数的线性函数, ,且因为用线性插值且因为用线性插值, ,可可知其表达式为知其表达式为), 1 , 0()(niMxSii )()(xSxSi)(xS iiiiMxSMxS )(,)(11iixxx,11iiixxh1111)( iiiiiiiiixxxxMxxxxMxS记记 ，则有，则有iiiiiiihxxMhxxMxS11)( 第34页/共75页第三十五页，共76页。其中其中,Ai,Bi,Ai

23、,Bi为积分常数为积分常数, ,可利用插值条件可利用插值条件 确定确定, ,即要求即要求(yoqi)Ai,Bi(yoqi)Ai,Bi满足满足并记并记 ，则得，则得)()(6)(6)()(13131iiiiiiiiiiixxBxxAhxxMhxxMxS)()(),()(11iiiixfxSxfxS)(61)(),(61)(21211iiiiiiiiiiiixfhBhMxSxfhAhMxSiiiiyxfyxf)(,)(112211611,611iiiiiiiiiihMyhBhMyhA连续连续(linx)(linx)两次积分两次积分得得第35页/共75页第三十六页，共76页。iiiiiiihxxMh

24、xxMxS6)(6)()(3131iiiiiiiiiihxxhMyhxxhMy)(6)(612211),2, 1,(1nixxxii由上讨论可知由上讨论可知, ,只要确定只要确定 这这n+1n+1个值个值, , 就可定出三就可定出三样条插值函数样条插值函数S(x)S(x)。为了求出。为了求出 , ,利用一阶导利用一阶导数在子区间数在子区间(q jin)(q jin)连接点上连续的条件连接点上连续的条件 ，求导一次，求导一次, ,得在区间得在区间(q jin)(q jin)xi-1,xixi-1,xi上的表达式为上的表达式为 nMMM,10), 1 ,0(niMi)0()0(iixSxS)(62

25、)(2)()(112121iiiiiiiiiiiiiMMhhyyhxxMhxxMxS第36页/共75页第三十七页，共76页。也就是也就是(jish)(jish)在右端点在右端点xixi上有上有 iiiiiiiiiihyyMMhMhxS11)(62) 0(iiiiiiihyyMhMh1136在左端点在左端点(dun din)xi-1(dun din)xi-1上有上有 iiiiiiiiiihyyMMhMhxS1111)(62) 0(iiiiiiihyyMhMh1163将上式中的将上式中的i-1i-1改为改为(i wi)i,(i wi)i,即得在子区间即得在子区间xi,xi+1xi,xi+1上上的表

26、的表达式达式 , ,并由此得并由此得 )(1xSi) 0(1iixS1111163iiiiiiihyyMhMh利用利用 在内接点的连续性在内接点的连续性, ,即即就可得到关于参数就可得到关于参数 的一个方程的一个方程)(xS) 0() 0(1iiiixSxS11,iiiMMM第37页/共75页第三十八页，共76页。iiiiiiiiiiiiihyyhyyMhMhhMh11111 11636) 1, 2 , 1(ni上式两边上式两边(lingbin)(lingbin)同乘以同乘以 , ,即得即得方程方程 16iihhiiiiiiiiiiiiiiiiihyyhyyhhMhhhMMhhh111 11

27、111 162iiiiiiiiiiiiiiiixxfxxfhhghhhhhh,61111111若记若记 第38页/共75页第三十九页，共76页。则所得方程则所得方程(fngchng)(fngchng)可简写成可简写成 iiiiiigMMM112)1,2, 1(ni11121232212121101222nnnnnngMMMgMMMgMMM即即 这是一个含有这是一个含有n+1n+1个未知数、个未知数、n-1n-1个方程的线性方程组个方程的线性方程组. .要完全确定要完全确定 的值还需要补充两个条件的值还需要补充两个条件(tiojin),(tiojin),这两个条件这两个条件(tiojin)(ti

28、ojin)通常根据实通常根据实际问题的需要，根据插值区间际问题的需要，根据插值区间a,ba,b的两个端点处的边界条件的两个端点处的边界条件(tiojin)(tiojin)来补充。边界条件来补充。边界条件(tiojin)(tiojin)的种类很多，常见的有以下的种类很多，常见的有以下3 3种种： ), 1 ,0(niMi第39页/共75页第四十页，共76页。第一种边界条件：即已知插值区间两端第一种边界条件：即已知插值区间两端(lin dun)(lin dun)的一阶导数值：的一阶导数值： 则可得到包含则可得到包含MiMi的两个线性方程的两个线性方程,S(x),S(x)在子区间在子区间 上的导数上

29、的导数为为)()(),()(00nnxfxSxfxS10, xx)(62)(2)()(011101120112101MMhhyyhxxMhxxMxS由条件由条件(tiojin) (tiojin) 得得 000)()(yxfxS)(62011101100MMhhyyhMy)(620101110yhyyhMM即即 同理同理, ,由条件由条件(tiojin) (tiojin) 得得 nnnyxfxS)()(第40页/共75页第四十一页，共76页。)(6211nnnnnnnhyyyhMM即得确定即得确定(qudng) (qudng) 的线性方程组的线性方程组 nMMM,10nnnnnnggggMMMM

30、1101101111212212),(6),(6101010nnnnnxxfyhgyxxfhg其中其中(qzhng(qzhng) )第41页/共75页第四十二页，共76页。第二种边界条件第二种边界条件: :即已知插值区间两端的二阶导数值即已知插值区间两端的二阶导数值: : , ,由于在区间端点处二阶导数由于在区间端点处二阶导数 ，所以方程，所以方程(fngchng)(fngchng)中实际上只包含有中实际上只包含有n-1n-1个未知数个未知数 ，从而得方程，从而得方程(fngchng)(fngchng)组组 nnyxSyxS )(,)(00nnyMyM ,00121,nMMM nnnnnnnn

31、nygggygMMMM112201112211222212222第42页/共75页第四十三页，共76页。第三种边界条件第三种边界条件: :由由 与与 ，可得，可得 和和 ) 0() 0(0 nxSxS) 0() 0(0nxSxSnMM0nnnnngMMM211),(61110111nnnnnnnnnnnxxfxxfhhghhhhhh其中其中(qzh(qzhng)ng)第43页/共75页第四十四页，共76页。得关于得关于(guny) (guny) 的线性方程组的线性方程组。 nMMM,21nnnnnnnnggggMMMM1211211122112222 利用线性代数知识利用线性代数知识, ,可以

32、证明方程组的系数可以证明方程组的系数矩阵都是非矩阵都是非(shfi)(shfi)奇异的，因此有惟一解。奇异的，因此有惟一解。 第44页/共75页第四十五页，共76页。 用三次样条绘制的曲线不仅有很好的光用三次样条绘制的曲线不仅有很好的光滑度，而且当节点逐渐加密时，其函数值在整滑度，而且当节点逐渐加密时，其函数值在整体上能很好地逼近被插函数，相应的导数值也体上能很好地逼近被插函数，相应的导数值也收敛于被插函数的导数，不会发生龙格现象。收敛于被插函数的导数，不会发生龙格现象。因此三次样条在计算机辅助设计中有广泛因此三次样条在计算机辅助设计中有广泛(gungfn)(gungfn)的应用。的应用。第4

33、5页/共75页第四十六页，共76页。用用MATLABMATLAB作插值计算作插值计算(j sun)(j sun)一维插值函数一维插值函数(hnsh)(hnsh)：yi=interp1(x，y，xi，method)插值方法插值方法被插值点被插值点插值节点插值节点xixi处的插处的插值结果值结果nearest ：最邻近：最邻近(ln jn)插值插值linear ： 线性插值；线性插值；spline ： 三次样条插值；三次样条插值；cubic ： 立方插值。立方插值。缺省时：缺省时： 分段线性插值。分段线性插值。 注意：所有的插值方法都要求注意：所有的插值方法都要求x x是单调的，并且是单调的，并且

34、xi不能够超不能够超过过x的范围。的范围。第46页/共75页第四十七页，共76页。 例：在例：在1-121-12的的1111小时内，每隔小时内，每隔1 1小时测量小时测量(cling)(cling)一次一次温度，测得的温度依次为：温度，测得的温度依次为：5 5，8 8，9 9，1515，2525，2929，3131，3030，2222，2525，2727，2424。试估计每隔。试估计每隔1/101/10小时的温度值。小时的温度值。x=1:12;y=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;xi=1:0.1:12;yi=interp1(x,y,xi,spline); pl

35、ot(x,y,+,xi,yi,r)第47页/共75页第四十八页，共76页。第48页/共75页第四十九页，共76页。 三次样条插值的三次样条插值的Matlab实现实现 如果三次样条插值没有如果三次样条插值没有(mi yu)边界条件，最常用的方法，就边界条件，最常用的方法，就是采用非扭结（是采用非扭结（not-a-knot）条件。这个条件强迫第）条件。这个条件强迫第1个和第个和第2个三个三次多项式的三阶导数相等。对最后一个和倒数第次多项式的三阶导数相等。对最后一个和倒数第2个三次多项式也个三次多项式也做同样地处理。做同样地处理。Matlab中三次样条插值也有现成的函数：中三次样条插值也有现成的函数

36、：y=interp1(x0,y0,x,spline)；y=spline(x0,y0,x)；pp=csape(x0,y0,conds,valconds)，y=ppval(pp,x)。其中其中x0,y0是已知数据点，是已知数据点，x是插值点，是插值点，y是插值点的函数值。是插值点的函数值。第49页/共75页第五十页，共76页。对于三次样条插值，我们提倡使用对于三次样条插值，我们提倡使用(shyng)函数函数csape，csape的返回值是的返回值是pp形式，要求插值点的函数值，必须调用函数形式，要求插值点的函数值，必须调用函数ppval。pp=csape(x0,y0)：使用：使用(shyng)默认

37、的边界条件，即默认的边界条件，即Lagrange边界条件。边界条件。pp=csape(x0,y0,conds,valconds)中的中的conds指定插值的边界指定插值的边界条件，其值可为：条件，其值可为：complete 边界为一阶导数，一阶导数的值在边界为一阶导数，一阶导数的值在valconds参数中参数中给出，若忽略给出，若忽略valconds参数，则按缺省情况处理。参数，则按缺省情况处理。not-a-knot 非扭结条件非扭结条件periodic 周期条件周期条件second 边界为二阶导数，二阶导数的值在边界为二阶导数，二阶导数的值在valconds参数中给参数中给出，若忽略出，若忽

38、略valconds参数，二阶导数的缺省值为参数，二阶导数的缺省值为0, 0。variational 设置边界的二阶导数值为设置边界的二阶导数值为0,0。第50页/共75页第五十一页，共76页。对于一些特殊的边界条件，可以通过对于一些特殊的边界条件，可以通过conds的一个的一个12矩矩阵来表示，阵来表示，conds元素的取值为元素的取值为0，1，2。conds(i)=j的含义是给定端点的含义是给定端点i的的j 阶导数，即阶导数，即conds的第一的第一(dy)个元素表示左边界的条件，第二个元素表示右边界的条件个元素表示左边界的条件，第二个元素表示右边界的条件conds=2,1表示左边界是二阶导

39、数，右边界是一阶导数，表示左边界是二阶导数，右边界是一阶导数，对应的值由对应的值由valconds给出。给出。第51页/共75页第五十二页，共76页。x x0 0 x x1 1 x xn, n, 寻寻找找一一个个函函数数f f( (x)x)，使使达达到到最最小小. . 这这个个过过程程称称为为最最小小二二乘乘拟拟合合, , f f( (x) x) 称称为为拟拟合合函函数数. . niiiyxf02)(拟合拟合(n h)部分部分第52页/共75页第五十三页，共76页。令niiiyaxbba02)(),(, 0)(2, 0)(200niiiiniiixyaxbayaxbb第53页/共75页第五十四

40、页，共76页。.,) 1(002000niiiniiniiniiniiyxaxbxyaxbn这是一个关于这是一个关于a, ba, b的的2 2元线性方程组元线性方程组. . 求解求解(qi ji)(qi ji)即可得到即可得到f(x)f(x)的表达式的表达式. .第54页/共75页第五十五页，共76页。二、多项式拟合二、多项式拟合 有时所给数据点的分布并不一定近似地呈一条直有时所给数据点的分布并不一定近似地呈一条直线线, ,这时仍用直线拟合显然是不合适这时仍用直线拟合显然是不合适(hsh)(hsh)的的, ,可用可用多项式拟合。对于给定的一组数据多项式拟合。对于给定的一组数据 寻求次数不超过寻

41、求次数不超过m (mN ) m (mN ) 的多项式，的多项式， Niyxii,2,1,mnxaxaxaay2210来拟合所给定来拟合所给定(i dn)(i dn)的数据，与线性拟合类似，使偏差的的数据，与线性拟合类似，使偏差的平方和平方和201)(jimjjNiixay为最小为最小第55页/共75页第五十六页，共76页。由于由于 可以看作是关于可以看作是关于(guny) ( j=0,1,2, m)(guny) ( j=0,1,2, m)的多的多元函数元函数, , 故上述拟合多项式的构造问题可归结为多元函数的极故上述拟合多项式的构造问题可归结为多元函数的极值问题。令值问题。令201)(jimj

42、jNiixaymkak,2, 1 ,0,0得得 mkxxaykijimjjNii, 1 , 0, 0)(01即有即有 ja第56页/共75页第五十七页，共76页。imimimmimiiimimiiimimiyxxaxaxayxxaxaxayxaxaNa2110121010这是关于系数这是关于系数 的线性方程组，通常称为正规的线性方程组，通常称为正规(zhnggu)(zhnggu)方方程组。可以证明，正规程组。可以证明，正规(zhnggu)(zhnggu)方程组有惟一解。方程组有惟一解。 ja第57页/共75页第五十八页，共76页。三、可化为线性拟合的非线性拟合三、可化为线性拟合的非线性拟合 有

43、些非线性拟合曲线可以通过有些非线性拟合曲线可以通过(tnggu)(tnggu)适当的变量适当的变量替换转化为线性曲线，从而用线性拟合进行处理，对于替换转化为线性曲线，从而用线性拟合进行处理，对于一个实际的曲线拟合问题，一般先按观测值在直角坐标一个实际的曲线拟合问题，一般先按观测值在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点的分布同哪类曲线图形平面上描出散点图，看一看散点的分布同哪类曲线图形接近，然后选用相接近的曲线拟合方程。再通过接近，然后选用相接近的曲线拟合方程。再通过(tnggu)(tnggu)适当的变量替换转化为线性拟合问题，按线性适当的变量替换转化为线性拟合问题，按线性拟合解出后再还原为原变

44、量所表示的曲线拟合方程。拟合解出后再还原为原变量所表示的曲线拟合方程。 下表列举了几类经适当变换后化为线性拟合求解的下表列举了几类经适当变换后化为线性拟合求解的曲线拟合方程及变换关系曲线拟合方程及变换关系 第58页/共75页第五十九页，共76页。 曲线拟合方程曲线拟合方程 变换关系变换关系(gun x) (gun x) 变换后线变换后线性拟合方程性拟合方程baxy xxyyln,ln)ln(aaxbaycaxyxx cxaybaxxyxxyy1,1xbaybaxy1yy1axbycbxaxy21yy1cbxaxy2cbxaxxy2yxy cbxaxy2第59页/共75页第六十页，共76页。多项

45、式曲线拟合函数：多项式曲线拟合函数：polyfit( )polyfit( )调用格式：调用格式：p=polyfit(x,y,n)p=polyfit(x,y,n) p,s= polyfit(x,y,n) p,s= polyfit(x,y,n)说明：说明：x,yx,y为数据点，为数据点，n n为多项式阶数，返回为多项式阶数，返回p p为幂次从高到低的多项式系为幂次从高到低的多项式系数数(xsh)(xsh)向量向量p p。矩阵。矩阵s s用于生成预测值的误差估计。用于生成预测值的误差估计。 例例2 2：由离散：由离散(ls(ls n)n)数据数据x0.1.2.3.4.5.6.7.8.91y.3.51

46、1.4 1.6 1.9 .6.4.81.5 2拟合(n h)出多项式。 第60页/共75页第六十一页，共76页。x=0:.1:1;x=0:.1:1;y=.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2y=.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2n=3;n=3;p=polyfit(x,y,n)p=polyfit(x,y,n)xi=linspace(0,1,100);xi=linspace(0,1,100);z=polyval(p,xi);z=polyval(p,xi); plot(x,y,o,xi,z,k:,x,y,b)plot(x,y,o,xi,

47、z,k:,x,y,b)第61页/共75页第六十二页，共76页。第62页/共75页第六十三页，共76页。二维插值二维插值 xyO O第一种（网格第一种（网格(wn )节节点）：点）：第63页/共75页第六十四页，共76页。 注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单(jindn)的插值是分片线性插值。的插值是分片线性插值。最邻近最邻近(ln (ln jn)jn)插值插值x y(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O O 二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的节点(ji din)的函数值即为所求。第64页/共75页

48、第六十五页，共76页。 将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数(hnsh)值依次简记为：分片分片(fn pin)(fn pin)线性插值线性插值xy (xi, yj)(xi, yj+1)(xi+1, yj)(xi+1, yj+1)O Of (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)=f3，f (xi, yj+1)=f4第65页/共75页第六十六页，共76页。 双线性插值是一片(y pin)一片(y pin)的空间二次曲面构成。双线性插值函数的形式如下：)dcy)(bax()y, x(f其中其中(qzhng)有四个待定系数，利用该函数在矩形的四个顶有四个待定系数，利用该函数在矩形的四个顶点（插值节点）的函数值，得到四个代数方程，正好确定四点（插值节点）的函数值，得到四个代数方程，正好确定四个系数。个系数。双线性插值双线性插值x y(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O O第66页/共75页第六十七页，共76页。(3) 分片分片(fn pin)双三次样条插值双三次样条插值第67页/共75页第六十八页，共7