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文档简介
1、矩阵基本性质1 / 3 矩阵的基本性质矩阵? 的第 ? ?第 ? 列的元素为 a?。我们?或(? )表? ? 的单位矩阵。1. 矩阵的加减法(1)?= ? , 对应元素相加减(2)矩阵加减法满足的运算法则a. 交换律: ?+ ?= ?+ ?b. 结合律: (?+ ? ) + ?= ?+ (?+ ? )c. ? + ?= ?d. ? - ?= ?2. 矩阵的数乘(1)?= ?,各元素均乘以常数(2)矩阵数乘满足的运算法则a. 数对矩阵的分配律:? (?+ ? ) = ? + ?b. 矩阵对数的分配律:(? + ? )?= ? + ?c. 结合律:(?)?= ?(?)d. ? ?= ?3. 矩阵的
2、乘法(1)?= ? ? ?,左行右列对应元素相乘后求和为c的第 ? 行第?列的元素(2)矩阵乘法满足的运算法则a. 对于一般矩阵不满足交换律,只有两个方正满足且有? = ? = ?b. 分配律: ? (?+ ? ) = ? + ?c. 结合律: (? )?= ?(?)d. 数乘结合律: ? (? ) = ?(?)4. 矩阵的转置 ?, (?)?= a?(1)矩阵的幂: ?1= ? , ?2= ?, , ?+1= ?(?)(2)矩阵乘法满足的运算法则a. (?)?= ?b. (?+ ?)?= ?+ ?c. (?)?= ?(?)d. (?)?= ?5. 对称矩阵: ?= ? 即a?= a?;反对称
3、矩阵: ?= -?即a?= -a?(1)设?,? 为(反)对称矩阵,则? 仍是(反)对称矩阵。(2)设?,? 为对称矩阵,则 ? 或? 仍是对称矩阵的充要条件? =? 。(3)设? 为(反)对称矩阵,则?,?也是(反)对称矩阵。(4)对任意矩阵 ? ,则 ?12(?+ ?), ?12(?+ ?)分别是对称矩阵和反对称矩阵且?= ?+ ? .(5)(?)?= ?6. hermite矩阵: ?= ? 即a?= a? ?;反 hermite 矩阵, ?= -?即a?= -a? ?a. ?= (a?)?b. (?+ ?)?= ?+ ?矩阵基本性质2 / 3 c. (?)?= ? (?)d. (?)?=
4、 ?e. (?)?= ?f. (?)-?= (?-?)?(当? 矩阵可逆时)7. 正交矩阵:若 ?= ?= ? , 则?, (?) ? ?是正交矩阵(1)?-?= ? ?(2)det ?= 1(3)? , ? ? ?8. 酉矩阵:若 ?= ?= ? , 则?, (?) ? ?是酉矩阵(1)?-?= ? ?(2)|det ? | = 1(3)? , ? ? ?(4)? ?9. 正规矩阵:若 ?= ?, 则? 是正规矩阵;若 ?= ?, 则? 是实正规矩阵10. 矩阵的迹和行列式(1)?(? ) = ?=?= ?=?为矩阵 ? 的迹; |? |或det (?) 为行列式(2)?(? ) = ?(?
5、 );注:矩阵乘法不满足交换律(3)?(?)= ?(?)= ?(?)(4)?= ?, ? 为酉矩阵,则 ?(? ) = ?(? )(5)|?+ ?| = |?+ ?|(6)|?+ ?| = |?+ ?|(7)|?| = |? |(8)|?| = ?|? |(9)|? | = |? |? |(10)det (? + ?) = det (? + ?)(11)|? | = ?=?(12)?= logdet(?+ ?) , ?=?,则 ?= log (1 +?)?=1其中?为?奇异分解值的特征值11. 矩阵的伴随矩阵?(1)设?= ?由行列式 |? |的代数余子式 ?所构成的矩阵(2)?= ?= |?
6、 |?12. 矩阵的逆(逆矩阵是唯一的)(1)a的逆矩阵记作 ?-?, ?-?= ?-?= ? ;(2)|? | 0(? 为非奇矩阵)时,?-?=?|?|?(3)|? | 0且?0,则 (?)-?=1?-?(4)由?-?-?= ? ,得(?)-?= ?-?-?(5)(?)-?= (?-?)?(6)若|?|0,|?-?| =?|?|(7)若? 是非奇上(下)三角矩阵,则?-?也上(下)三角矩阵(8)?-?= (?-?)?矩阵基本性质3 / 3 (9)(?-?+ ?-?)-?-?= ?(?+ ?)-?(10)(? + ?)-?= ?(? + ?)-?(11)woodbury恒等式 :(?+ ?-?)-?= ?-?- ?-?(? + ?-?)-?-?(12)?-?= ?-1?12. 对角矩阵,矩阵? 为对称矩阵, ? 正交矩阵,则 ?-? = ?(? ,?)为对角矩阵或?-? = ? = ?(? ,?) =,则?= ?= ?=?; ?-?=?-1?= 1?=?13. 矩阵的导数(1)?(? ) =?+ ?(2)?(?-
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