直线与双曲线位置关系典例精析

1、直线和双曲线的位置关系一、要点精讲1直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.2弦长公式：设直线ykxb 交双曲线于P1 x1 , y1， P2x2 , y2 ，则 P1P2x1x2 1 k 21 k 2x1x224x1 x2 ，或 P1P2y1y2 1111y1y224 y1 y2 k 0 k2k 2二、基础自测1经过点 P 1 ,22(A)4条且与双曲线4x2y 21仅有一个公共点的直线有（）(B)3条(C)2条(D)1条2直线 y= kx 与双曲线 4x2y216 不可能（）（A）相交（ B）只有一个交点（C）相离（ D）有两个公共点3 过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫

2、做双曲线的通径，则双曲线y2x2的通径长是1619(A)99(C) 9(D) 104(B)24若一直线l 平行于双曲线的一条渐近线，则l 与双曲线的公共点个数为解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相切5 经 过 双曲 线 x2y28的右焦点且斜率为 2 的直线被双曲线截得的线段的长是x 2y 24，且 l 的斜率为2，求直线 l 的方程6直线 l 在双曲线1上截得的弦长为321 /9三、典例精析题型一：直线与双曲线的位置关系1. 如果直线 ykx 1 与双曲线 x2y 24 没有公共点，求k 的取值范围有两个公共点呢？解，所以 = (b ) 24 0

3、， 所以 b2 ， eca2b21( b )25 ，故选 D.aaaaa2 (2010 安·徽 )若直线 y kx2与双曲线 x2y2 6 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是 ()A.15 ,15B.0,15C.15 ,0D.15, 1333331k 20y kx2，得(1 k2 )x2 4kx10 0，16k 24 1k 2100解：由x2 y2 6，解得x1x20x1 x20 153 <k< 1.x2y21 有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们3、过点 P( 7,5) 与双曲线257的方程。高中数学题型二：直线与双曲线的相交弦问题4. 过双曲线 x2y

4、21的左焦点 F1 ，作倾斜角为的弦 AB ，求 AB ；F2 AB 的周36长（ F2 为双曲线的右焦点） 。5. 已知双曲线方程为3x2y23 ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法” 求解此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在， 因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式>0 进行验证即可6. 双曲线方程为3x2y 23 .问：以定点B(1,1)为中点

5、的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明高中数学理由7、已知中心在原点，顶点1 2 在 x 轴上，离心率为21 的双曲线经过点 P(6,6)A , A3（）求双曲线的方程；（） 动直线 l 经过 A1PA2 的重心 G ，与双曲线交于不同的两点M , N ，问是否存在直线 l使 G 平分线段 MN 。试证明你的结论。题型三：求双曲线方程8. 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4 和 8，直线yx2 被双曲线截得的弦长为202 ，求此双曲线的标准方程9、设双曲线 C : x2y 221 a 0 与直线 l : xy 1 相交于不同的点A、 B.a

6、求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围；高中数学设直线 l与 y 轴的交点为 P ，且 PA5 PB ，求 a 的值。x212解： (1)将 y x 1 代入双曲线由题设条2 y2 1 中得 (1 a2)x2 2a2x 2a2 0a件知，20，解得 0<a<2且 a1， 又双曲线的离心率e21 1，1a1 a21 a4a4 8a2>0aa2 0<a< 2且 a1， e> 6且 e 2.2(2)设 A(x 1，y1)，B(x2 ，y2) ，P(0,1) 5， (x5 PA12PB1，y11) 12(x2，y2 1) x15 12x2， x1、 x2 是方程的两

7、根，且217x2 2a2522a2，1 a 0，12，12x2 1 a21 a2消去 x2 得， 2a2 289， a>0， a 17.1 a2 601310. 已知双曲线的焦点为F1 c,0 ， F2c,0 ，过 F2 且斜率为3 的直线交双曲线于P 、 Q5两点，若 OPOQ(其中 O 为原点）， PQ4 ，求双曲线方程。11. 双曲线的中心为原点O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为l1， l 2 ，经过右焦点F 垂直于 l1 的直线分别交l1， l 2 于 A， B 两点已知OA 、AB 、OB 成等差数列，且BF 与 FA 同向（）求双曲线的离心率；（）设 AB 被双曲线所截

8、得的线段的长为4，求双曲线的方程解 ：（ ） 设 OA m d ， AB m ， OB m d由勾股定理可得：( m d)2m2(m d )21m ， tan AOFbAOB tan 2 AOFAB4得： d， tanOA34a高中数学2 b4b15由倍角公式a2，解得b3a,则离心率 e122a（）过F直线方程为ya (x c),与双曲线方程x2y21联立，将a 2b c5bba2b2，代入，化简有152 x28 5 x 21 04bba2a24 1x1x21( x1 x2 )24x1 x2bb325b24 28b2将数值代入，有45,解 得 b 3故所求的双曲线方程为155x2y2361。

9、9x2y212、已知双曲线 a2 b21(b>a>0) ，O 为坐标原点， 离心率 e 2，点 M(5， 3)在双曲线上(1)求双曲线的方程； (2) 若直线 l 与双曲线交于 P，Q 两点，且 OP OQ0.求 12 12|OP|OQ|的值(1) e 2， c 2a， b2 c2 a2 3a2，双曲线方程为x2y2解：a22 1，即 3x2 y2 3a2.3a点 M( 5，3)在双曲线上， 153 3a2. a2 4.x2y2所求双曲线的方程为4121.22x y 1，得(2)设直线 OP 的方程为 ykx(k 0)，联立 412x212212 k2 113k2 |OP|2x2

10、y2 3 k2 .则 OQ 的方程为 y kx，y212k3k 21211k212 k2 1113k2 3k2 122k22同理有 |OQ|13k2 1 ，|OP|2|OQ|212 k2 112 k2 132k1 6.高中数学13 (2012 上海 )在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线 C1： 2x2y21.(1) 过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线， 求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；(2) 设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、 Q 两点若 l 与圆 x2 y2 1 相切，求证： OPOQ ；(3) 设椭圆 C2：4x2 y2 1.若 M、 N 分别

11、是 C1 、C2 上的动点，且 OM ON，求证： O 到直线MN 的距离是定值解： (1) 双曲线 C1： x2y21，左顶点 A2,0，渐近线方程为：y ± 2x.122过点 A 与渐近线 y2x 平行的直线方程为y2 x2 ，即 y2x 1.22y2xy12解方程组，得4y2 x11.所求三角形的面积为S2|OA|y| 8 .y2(2)证明：设直线PQ 的方程是 y x b，直线 PQ 与已知圆相切，|b| 1，即 b222.y xb得 x2 2bx b2 1 0.设 P(x1， y1)、 Q( x2， y2)，则x1 x22b由y2x1x21 b22x21又 y1y2 (x1

12、b)( x2 b)， OP OQ x1x2 y1 y2 2x1x2 b(x1 x2) b2 2( 1 b2) 2b2 b2 b2 2 0.故OPOQ.23(3)证明：当直线 ON 垂直于 x 轴时， |ON| 1，|OM| 2，则 O到直线MN 的距离为3 .当直线 ON 不垂直于 x 轴时，设直线ON 的方程为 y kx(显然 k2)，2则直线 OM 的方程为 y 1x.ykxx241k2由得y2k4 x21y2k24k2 |ON|21 k21 k2设 O 到直线 MN 的距离为 d.4 k2.同理 |OM |22.2k 1 (|OM |2 |ON|2)d2 |OM |2|ON|2，1121

13、3k2 33222 3，即 d3.d|OM|ON|k 1综上， O 到直线 MN 的距离是定值高中数学五、能力提升1若不论 k 为何值，直线y=k(x-2)+b 与双曲线 x2y21 总有公共点，则 b 的取值范围是（）(A)3,3(B)3,3(C)2,2(D)2,22过双曲线 x2y2A、B 两点，若 |AB|=4 ，则这样的1的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于2直线 l 有（）(A)1 条(B)2 条(C)3 条(D)4 条3过点 P1, b的直线 l 与双曲线 x2y 21 a 0, b 0 有且仅有一个公共点， 且这aa 2b2个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于（）(A

14、)2(B)4(C) 1或 2(D) 2 或 44. 已知双曲线x 2y2ab的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为45 的直线与a 2b210,0双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）(A) (1， 2(B)（1， 2)(C) 2， + )(D) (2，+ )6 直线 l : ykx2 与双曲线 C : x2y 26 的右支交于不同两点，则k 的取值范围是7. 已知倾斜角为的直线 l 被双曲线x24y 260 截得的弦长AB8 2 ，求直线 l 的方4程8. 设直线 l : yx2y 21 a0, b 0 相交于 A、B 两点，且弦 AB 中3x 1 与双曲线于b2a2高中数学点的横坐标为1 2a2(1)求 b2 的值； (2)求双曲线离心率x 2y2