傅里叶变换和拉普拉斯变换讲义

1、大学数学教学参考资料之积分变换专业基础课常用数学工具的补充Done by LQ关键词数学傅里叶级数傅里叶变换拉普拉斯变换摘要本文主要讨论了 Fourier和Laplace变换最基本的知识和应用&0引言 数学作为自然科学的语言，尤其是微积分诞生之后的几百年来，分析学在自 然科学研究中的作用越发显著。在上个世纪的70-80年代，整个理工科本科数学课程都统称为一门课高等数学，包括微积分，线性代数，概率论与数理统计和数学物理方法。到了 90年代，由于教学改革的需要，这一门课变成了四门课，而现在我们所学习的高等数学 是指微积分(数学分析)。但是，在学习一些专业课时，仅仅懂微积分是不够的。电气工程

2、 专业第一学年学习高等数学，也就是微积分；到了第二年，上学期我们学习“工程数学 C”包括线性代数和概率论与数理统计；下学期我们学习“工程数学D”包括复变函数和积分变换。其中高等数学和“工程数学C”是研究生入学考试数学一的全部内容，而“工程数学 D”是我们学习专业课电路原理自动控制原理必备的数学工具。本文讨论的是积分变换中的“傅里叶级数”，“傅里叶变换”，“拉普拉斯变换”三个方面的问题，供大家学习时参考。&1.傅里叶级数(一) 周期函数的傅里叶展开若函数f (x)以2L为周期，即f(x+2L)=f(x)(1.1)则可取三角函数族-2衣才冬kmL .cess tQcsi e * -

3、3;. 穴工 之兀工.(1.2)sin -厂 >8 * *stti 飞-x=a0(akk - x cosb sinlk作为基本函数，将展开为级数(1.3)函数族(1.1.2)是正交的。这是说，其中任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于 零，即(5, b 4)(1.4)利用三角函数的正交性，可以求(1.1.3)中的展开系数为大学数学教学参考资料之积分变换侬=。)3*)<5, 1- S)(1.5), 一 sink_:. x_D . 0由于 1-k sin - 和 1,所以(1.1.8)中的正弦级数的和在 x=0和x=L处为零。若周期函数f(x)是偶函数,则(1.1.5)中所有的bk1

4、(1.9)其展开系数为"d,d1f J0 二a这叫作傅里叶余弦级数。同样，由于对称性，ak =彳 f ' c°sd 加 0 1(1.10)由于余弦级数的导数是正弦级数，所以余弦级数的和的导数在(三)定义在有限区间上的函数的傅里叶展开对于只有在有限区间，例如(0, 1)上有定义的函数其成为某种周期函数g x ，而在(0,1)上,g(x)m(x)均为零，展开式(1.1.3)成为x=0和x=l为零。f (x),可以采取延拓的方法，使。然后再对g (x)作傅里叶级数(1.3) 称为周期函数f (x )的傅里叶级数展开式，其中的展开系数称为傅里叶系数。关于傅里叶级数的收敛性问

5、题，有如下定理：狄利克雷定理若函数f(x)满足条件:(1)处处连续，或在每个周期中只有有限个第一类间断点；(2)在每个周期中只有有限个极值点，则级数(1.3)收敛，且皱密和4 1 -，/ 十(!)+/ 在向断点 G一 一、(1.6)(二) 奇函数及偶函数的傅里叶展开若周期函数 f (x定奇函数，贝U由傅里叶系数的计算公式(1.1.5)可见，a。及ak均等于零，展开式(1.1.3)成为k - xf x 一寸 bkSin ' '气 1(1.7)这叫作傅里叶正弦级数。由于对称性，其展开系数为d .(1.8)bk<f 斯T'(1.12)展开，其级数和在区间(0, 1)上代

6、表(四)复数形式的傅里叶级数取一系列复指数函数您一.-r，厂b ,矿'11 9叮Y'十y'T(1.11)作为基本函数族，可以将周期函数f (x )展开成复数形式的傅里叶级数利用复指数函数族的正交性，可以求出其傅里叶系数大学数学教学参考资料之积分变换1.13)尽管f (x )是实函数，但其傅里叶系数却可能是复的。&2.傅里叶积分与傅里叶变换(一) 实数形式的傅里叶变换设f (x )为定义在区间 q <x <危 的函数。一般来说，它是非周期的，不能展开成傅里叶级数。为了研究这样函数的傅里叶展开问题，我们采取如下办法： 试将非周期函数f (x )看作是某个

7、周期函数 g (x)于周期21 T E时的极限情形，这样，g (x)的傅里叶 级数展开式(2.1)在IT的极限形式就是所要寻找的非周期函数f (x )的傅里叶展开，对于这一极限过程的 具体研究，读者可以参考相关资料，这里揭示傅里叶积分和傅里叶变换式:/Cx)=Cu«Ui(2.2)(2.3)(2.2) 称为傅里叶积分表达式。(2.3)称为傅里叶积分变换式。若函数在区间这一结果的数学理沦,有flf里叶积分定理，(8.8上满足条件(1)7工)柜任一有限区间上满足秋里希利UEl!条件(工)在一8 ,co) 上绝对可积即Eh收敛)，则/匚可袤成她！11口卜做分目一仰里叶目分也匚ZXn -F O

8、> 十_O> /2-关于奇偶函数的傅里叶正弦积分和傅里叶余弦积分，读者可以根据傅里叶级数和傅里叶变换的定义自行推导。(二) 复数形式的傅里叶积分对于这部分内容，需要有复变函数论作为基础，现在向大家介绍基本的变换公式：(2.4)(2.5)FS)。Y= f /V)叶*d矿并常用符号荷写为F3 = /（>）（4 2+18/怂）和FS）分别祢为博里叶变换的原函教和修竭数（2.7）（三）傅里叶变换的基本性质。导敏定理亨丁尸*>：=拓"（3>,UE 按3* 2+ 15； 尸Crsj =吉 J 尸 jkfiH np*=生L/OX*匚一白 f /3）!>-心丁ds

9、£我J根据傅里叶保分定理，有1血/GO = n,所以-T*-±百尸3门= 1她3).fSKf成 2. 20>愆）积分定理 rf= 土莉3九证 记 3/（4 ）HS为WQ , 则时攵）一/Cr）.对村了）应用导数定理即孕1广/炎=志夕LfM）= 志F3.以上两条定理是很重要的,它告诉耘们，原函敷的求导和求根 分的运算,经傅里叶交换后,变成了像函散的代散运算.<3>相佩性定理 .歹/Sr） - 土（勺.【鼠2. 215KP证.才/>工)=J Z(aj)e-I*djr.作代象- *,则上式成为OCW一f /，*'学ily4 /<30也一冬6,

10、.Z> *t JU.n£<JQC-换回原变数&萨T/Gsh) = - f y(；r*fFcLr+口 £吠J44将上式与(5- 2- 15>比较*即得(5- 2. 22)(4?延SB定理J 工。)=e-FCw).证 TT'S 皿）1d f /（客一工力慰一日工.吝兀J大学数学教学参考资料之积分变换作代换事=工-五，典1笋/V _ ml =志 j 73帽if F,g«>=甘-f § I" /(jyjedy =8t(5)位移定理 歹-eWfG = jT(oj 网)“(5* A 23)DO-证=我 J E/O)e

11、-Mjc'"WC：=春 j _/ (d"%Lr 砾、 -aa5)卷积定理 若 歹- FJS,歹人3门-FJ山)，则CAS) *= 2村码3。旦3),(.5.2*24)C"L?其中 ftM * A<> = | f)df 称为八 O)与 hS的卷积.>» »证j J一 exieje-djc.CTD 44交旗积分赡序hiaa"丈 * 人一 & j 儿E) f AC - ejc-drid oa=» on在对工的积分中,作代换* = H一已则，eo- ，ds，月5 * 人 J = & J J

12、A&gf-七刃dS mj v*oa赤 J" f £3LF,诉 6*=5 冬fgUfE . 土 f£3C J占兀J'DO(四) *多重傅里叶积分二维或三维无界空间的非周期函数也可展开为傅里叶积分，只需将前面的结论进行推广即可。&3.拉普拉斯变换拉普拉斯变换常用于初始值问题，即已知某个物理量在初始时刻t=0的值f(0),而求解它在初始时刻之后的变化情况f(t).设f(t)=0为了获取宽松的变换条件，将f(t)加工成g(t),二 tg (t) = e '，f (t)这里e*是收敛因子，就是说，正的实数5的值选得如此之大，以保证 g(t)在

13、区间-00 < < *吐绝对可积。于是，可以对g(t)施行傅里叶变换G3)= £ 以 = £/Q)巳 fa%.£冗 J 8J 0将& +i与记作p ,则y <A>= J；一“de(3.1)大学数学教学参考资料之积分变换pt-e称为拉gQ)=G(陌)芒血=厂f由所以(3.2)其中积分称为拉普拉斯积分，（3.1）代表着的一种积分变换称为拉普拉斯变换, 普拉斯变换的核。G （w）的傅里叶变逆变换是像函数与原函数，之间常用下列符号表示：（/>）=冗地）L(3.3)八七）孑（p）.（二）拉普拉斯变换的基本性质CU 线性定理若则<2

14、> 导数定理 /子弱<3> 丑分左理 J；一一圭，匚做</ZL<-«> *佐1世至理万4龙当匚弓<5> 住样走通ZC<5> 建返品建八/G83-6 卷积定理 若 /；GJ上卢）.人则Z；Cr> * 二白户）,其中 /3 « ya<r>= £ ACO/G Tjdr,称为，lO>与刀”的卷阻.P具体的证明过程，读者可以参考傅里叶变换的性质定理加以证明。（三）拉普拉斯变换的反演拉普拉斯变换主要用于求解线性微分方程（或积分方程）。经过变换，原函数所遵从的微分（或积分）方程变成了像函数所遵从

15、的代数方程，代数方程比较容易求解。但是解出的 像函数后还必须回到原函数，这才是所求的解。由像函数求原函数的过程称为拉普拉斯变换 的反演。那么怎样进行反演呢？1. 有理分式反演法 如果像函数是有理分式，只要把有理分式分解成分项分式，然后利 用拉普拉斯变换的基本公式，就可以得到相应的原函数。（附录常用的拉普拉斯变换公式）Z。MCg帔11J-2_*rj 卢3L < q 二 1 >-_ Afl%3|1 -辱C ODJ&-： * A#h.tl4wT<Aj"JpR ®411jEp x 9c siriKit<EU.千JLV + q10止+点户+ AX字/1

16、 1'S+ 1 十.2. 查表法（查阅拉普拉斯变换函数表）*3.黎曼-梅林反演公式（从略） 小结：积分变换法的阶梯步骤：1. 对方程和定解条件中的各项取变换，得到的函数的常微分方程的定解问题或代数方程。2. 求解常微分方程的定解问题或带式方程，得到像函数。3. 求函数的逆，即得原定解问题的解以上是对积分变换的基本知识的阐述，要学好积分变换，还需掌握一些基本的例题的解法。笔者将这三个内容的例题总结在一起，供读者参考。附录参考例题W1矩形函数 rcctH 指的是jl,SIV 第图5-1试将矩形脉冲= ArretG/2T） （图5-1）展为傅里叶积分.解是偶函数，可按（5. 2- 8）展为博

17、奖叶余弦积分其博里叶变换AM例；2由牙JV个尾止珂妾止咛至猝？W.或的布眼止9匹漩到JI Asintuaf.U,ffi 5 2试将它展为傅里叶积分.解 /G）是奇函数（图5-3）,可按 （S. 2, 6）和（5. 2. T）展开为博里.叶正弦 税分其傅里叶交换Ajrsin<wd/ sincwsino«dz吒 8s3 + 外* cos ( ")2 deAsin 3 + ajQr _ sin (<u f | I 村号R L 加 + Wj皿"-3 母 J | o=£泓(亲心可_或 +洁瓦"姓3 叩产n这个颊谱见图5-牝在e*有一尖峰，高度

18、为量,在其 两侧相差为/2N姓降为年.所以，有限长的正弦波列并非单色(方爪例3求矩形昧冲jn=hg（m）的复数形式的傅里叶变 换，按(5. 2,otal 才hn?ct(r/2T)J =上 hrect(t/T)e -SB*dz2it .T-Tg edr =一 4e_12” J2羽8-rh sigf K 3通常把（sigjj/kH拜为H的sine函数，记为sinc-r,故本例答案也 可写成hT， IT sine 一Of1M 1 求解 在Re/>>0（即（?>0）的半平面上JTLd十，:.河口 =十. （Rep>0）例2求财口.解 在Rep>0的半平面上，81 rR翊一小=-*£一"）J （I点 J 口=-即虹切了 +就.'（ReAO）同理例3 求之LL”为常致.解在R仓卢ARs的平平面上，/,隹"=芬上-<Re>>Rej）例4求7>*赫为常她解 在Rep>RE5的半平面上.炫-厂点小一a 2_ 丁可/心点叮=4 此2S货一e（f-dt=很一舌尹:.比叮=（.丁广（Re>Rei）同理"&%叮=(p sY+i例5 求#/（”,其中 八。是存在拉氏变换的任意函数« 将拉氏变换的定义式（6*. 3）两通分别对