第五章-机器人动力学备课讲稿

1、1第一页，共27页。牛顿欧拉运动方程(fngchng)拉格朗日动力学关节空间与操作空间动力学第二页，共27页。 前面我们所研究的机器人运动前面我们所研究的机器人运动(yndng)学都是在稳态下进行学都是在稳态下进行的，没有考虑机器人运动的，没有考虑机器人运动(yndng)的动态过程。实际上，机器人的的动态过程。实际上，机器人的动态性能不仅与运动动态性能不仅与运动(yndng)学相对位置有关，还与机器人的结构学相对位置有关，还与机器人的结构形式、质量分布、执行机构的位置、传动装置等因案有关。机器人形式、质量分布、执行机构的位置、传动装置等因案有关。机器人动态性能由动力学方程描述，动力学是考虑上述

2、因素，研究机器人动态性能由动力学方程描述，动力学是考虑上述因素，研究机器人运动运动(yndng)与关节力与关节力(力矩力矩)间的动态关系。描述这种动态关系的间的动态关系。描述这种动态关系的微分方程称为机器人动力学方程。机器人动力学要解决两类问题：微分方程称为机器人动力学方程。机器人动力学要解决两类问题： 动力学正问题和逆问题。动力学正问题和逆问题。第三页，共27页。 动力学正问题是动力学正问题是根据关节驱动力矩或力，计算机器人的运根据关节驱动力矩或力，计算机器人的运动动(关节位移、速度和加速度关节位移、速度和加速度)； 动力学逆问题是动力学逆问题是已知轨迹对应的关节位移、速度和加速度，已知轨迹

3、对应的关节位移、速度和加速度，求出所需要的关节力矩或力。求出所需要的关节力矩或力。 不考虑机电控制装置的惯性、摩擦、间隙、饱和等因素时，不考虑机电控制装置的惯性、摩擦、间隙、饱和等因素时，n 自由度机器人动力方程为自由度机器人动力方程为n个二阶耦合非线性微分方程。方程中包括个二阶耦合非线性微分方程。方程中包括惯性力惯性力/力矩、哥氏力力矩、哥氏力/力矩、离心力力矩、离心力/力矩及重力力矩及重力(zhngl)/力矩，是力矩，是一个耦合的非线性多输入多输出系统。对机器人动力学的研究，所一个耦合的非线性多输入多输出系统。对机器人动力学的研究，所采用的方法很多，有拉格朗日采用的方法很多，有拉格朗日(L

4、agrange)方法、牛顿一欧拉方法、牛顿一欧拉(NewtonEuler)、高斯、高斯(Gauss)、凯恩、凯恩(Kane)、旋量对偶数、罗伯逊、旋量对偶数、罗伯逊一魏登堡一魏登堡(RobersonWittenburg)等方法。等方法。第四页，共27页。 研究机器人动力学的目的是多方面的。研究机器人动力学的目的是多方面的。 动力学正问题与机器人的仿真有关；动力学正问题与机器人的仿真有关； 逆问题是为了实时控制的需要，利用动力学模型，实现最优控逆问题是为了实时控制的需要，利用动力学模型，实现最优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。在设计中需根据连杆制，以期达到良好的动态性能和最优指标。在设计

5、中需根据连杆质量、运动质量、运动(yndng)学和动力学参数、传动机构特征和负载大学和动力学参数、传动机构特征和负载大小进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方案，验算小进行动态仿真，从而决定机器人的结构参数和传动方案，验算设计方案的合理性和可行性，以及结构优化程度。设计方案的合理性和可行性，以及结构优化程度。 在离线编程时，为了估计机器人高速运动在离线编程时，为了估计机器人高速运动(yndng)引起的动引起的动载荷和路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型仿真。这些都载荷和路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型仿真。这些都需要以机器人动力学模型为基础。需要以机器人动力学模型为基础。研究研

6、究(ynji)机器人动力学的目的机器人动力学的目的第五页，共27页。5.1 5.1 机器人静力学机器人静力学 机器人静力学研究机器人静止或者缓慢运动时作用在机器人静力学研究机器人静止或者缓慢运动时作用在手臂手臂(shu b)(shu b)上的力和力矩问题，特别是当手端与外上的力和力矩问题，特别是当手端与外界环境有接触力时，各关节力矩与接触力的关系。界环境有接触力时，各关节力矩与接触力的关系。 下图表示作用在机器人手臂下图表示作用在机器人手臂(shu b)(shu b)杆件杆件i i上的力上的力和力矩。其和力矩。其i-1fii-1fi为杆件为杆件i-1i-1对杆对杆i i的作用力，的作用力，-i

7、fi+1-ifi+1为杆为杆i+1i+1对杆对杆i i的作用力，的作用力，i-1Nii-1Ni为杆件为杆件i-1i-1对杆对杆i i的作用力矩，的作用力矩，- -iNi+1iNi+1为杆为杆i+1i+1对杆对杆i i的作用力矩，的作用力矩，cici为杆为杆i i质心。质心。作用作用(zuyng)(zuyng)在杆在杆i i的力和的力和力矩力矩第六页，共27页。根据力、力矩平衡根据力、力矩平衡(pnghng)原理有原理有第七页，共27页。5.2 5.2 机器人动力学正问题机器人动力学正问题 机器人动力学正问题研究机器人手臂在关节力矩机器人动力学正问题研究机器人手臂在关节力矩作用下的动态响应。其主

8、要内容是如何建立机器人手作用下的动态响应。其主要内容是如何建立机器人手臂的动力学方程臂的动力学方程(fngchng)(fngchng)。建立机器人动力学。建立机器人动力学方程方程(fngchng)(fngchng)的方法有牛顿的方法有牛顿欧拉法和拉格朗欧拉法和拉格朗日法等。日法等。第八页，共27页。1、牛顿、牛顿欧拉法方程欧拉法方程 在考虑速度与加速在考虑速度与加速度影响的情况下，作用度影响的情况下，作用在机器人手臂杆在机器人手臂杆i上的力上的力和力矩如右图所示。其和力矩如右图所示。其中中vci和和i分别为杆分别为杆i质心质心的平移的平移(pn y)速度向量速度向量和此杆的角速度向量。和此杆的

9、角速度向量。 根据力、力矩平衡原根据力、力矩平衡原理有理有:5-15-2称称5-1为牛顿为牛顿(ni dn)方程，方程，5-2为欧拉方程。为欧拉方程。第九页，共27页。其中其中IiIi为杆为杆i i绕其质心绕其质心(zh xn)(zh xn)的惯性张量的惯性张量第十页，共27页。2 2、 拉格朗日方程拉格朗日方程 牛顿一欧拉运动学方程是基于牛顿第二定律和牛顿一欧拉运动学方程是基于牛顿第二定律和欧拉方程，利用达朗伯原理，将动力学问题变成静欧拉方程，利用达朗伯原理，将动力学问题变成静力学问题求解。该方法计算快。拉格朗日动力学则力学问题求解。该方法计算快。拉格朗日动力学则是基于系统是基于系统(xtn

10、g)(xtng)能量的概念，以简单的形式能量的概念，以简单的形式求得非常复杂的系统求得非常复杂的系统(xtng)(xtng)动力学方程，并具动力学方程，并具有显式结构，物理意义比较明确。有显式结构，物理意义比较明确。 (1) (1) 拉格朗日函数拉格朗日函数 对于任何机械系统，拉格朗日函数对于任何机械系统，拉格朗日函数L L定义为系统总的定义为系统总的动能动能(dngnng)Ek(dngnng)Ek与总的势能与总的势能EpEp之差，即之差，即: :( , )( , )( )kpL q qE q qEq12nqqqq12nqqqq表示表示(biosh)动能与势能的广义坐标动能与势能的广义坐标相应

11、的广义速度相应的广义速度第十一页，共27页。 (2) (2) 机器人系统动能机器人系统动能 在机器人中，连杆是运动部件，连杆在机器人中，连杆是运动部件，连杆i i的动能的动能EkiEki为连为连杆质心杆质心(zh xn)(zh xn)线速度引起的动能和连杆角速度产生线速度引起的动能和连杆角速度产生的动能之和，即的动能之和，即: :1122TiTiikiiciciiiiEmI 1nkkiiEE1( , )( )2TkE q qq D q q系统系统(xtng)(xtng)的动能为的动能为n n个连杆的动能之和，即：个连杆的动能之和，即：第十二页，共27页。 由于由于 和和 是关节变量是关节变量

12、和关节速度和关节速度(sd) (sd) 的函数，因此，从上式可知，机器人的动的函数，因此，从上式可知，机器人的动能是关节变量和关节速度能是关节变量和关节速度(sd)(sd)的标量函数，记为的标量函数，记为 ，可表示成：，可表示成：1( , )( )2TkE q qq D q qciiiqq ( , )kE q q 式中，式中， 是是nxnnxn阶的机器人惯性阶的机器人惯性(gunxng)(gunxng)矩阵矩阵( )D q第十三页，共27页。 3机器人系统势能机器人系统势能(shnng) 设连杆设连杆i的势能的势能(shnng)为为 ，连杆，连杆i的质心在的质心在O坐标系中的位置矢坐标系中的位

13、置矢量为量为 ，重力加速度矢量在坐标系中为，重力加速度矢量在坐标系中为g，则：，则： 机器人系统的势能机器人系统的势能(shnng)为各连杆的势能为各连杆的势能(shnng)之和，即：之和，即： 它是它是q的标量函数。的标量函数。TpiiciEm g p 1npipiiEEpiEcip第十四页，共27页。 4拉格朗日方程拉格朗日方程 系统的拉格朗日方程为：系统的拉格朗日方程为： 上式又称为拉格朗日上式又称为拉格朗日欧拉方程，简称欧拉方程，简称LE方程。式中方程。式中， 是是n个关节个关节(gunji)的驱动力或力矩矢量，上式可写的驱动力或力矩矢量，上式可写成：成：pkkEEEddtqqqdLL

14、dtqq第十五页，共27页。 例例平面平面RP机器人如图所示，连杆机器人如图所示，连杆l和连杆和连杆2的质量分别为的质量分别为m1和和m2，质心，质心(zh xn)的位置由的位置由l1和和d2所规定，惯量矩阵为：所规定，惯量矩阵为：1111100000 xxyyzzIIIiI2222200000 xxyyzzIIIiI第十六页，共27页。 (1) 取坐标，确定关节变量和驱动力或力矩取坐标，确定关节变量和驱动力或力矩 建立连杆建立连杆D-H坐标系如上图所示，关节变量为坐标系如上图所示，关节变量为1+/2为求解方为求解方便便(fngbin)，此处取关节变量为，此处取关节变量为1和和d2，关节驱动力

15、矩，关节驱动力矩l和力和力f2。第十七页，共27页。(2)(2)系统动能系统动能(dngnng)(dngnng) 由式由式(1)(1)，分别得，分别得22211 111 11122kyyEmlI2222222122 111()22kyyEm ddI22221 1122212211()22kyyyyEmlIIm dm d1122TiTiikiiciciiiiEmI 1总动能总动能(dngnng)为：为：第十八页，共27页。(3)(3)系统势能系统势能(shnng)(shnng) 因为：因为：00Tgg11 11 10Tcpl cl s11111 1TpcEm g pm gl s 22222 1T

16、pcEm g pm gd s 1 1221()pEg mlm ds则：则：总势能总势能(shnng)为：为：第十九页，共27页。221 11222122()yyyykmlIIm dEqm d222 10kEm dq1 12212 1()pEg mlm d cgm sq(4)(4)偏导数偏导数(do (do sh)sh)第二十页，共27页。2211 11222122121 1221222222121()2()yyyymlIIm dm ddg mlm dcm dm dm gs(5)(5)拉格朗日动力学方程拉格朗日动力学方程 将偏导数代入拉格朗日将偏导数代入拉格朗日方程，得到平面方程，得到平面RPR

17、P机器人的机器人的动力学方程的封闭动力学方程的封闭(fngb)(fngb)形式：形式：pkkEEEddtqqq拉格朗日方程拉格朗日方程(fngchng)2第二十一页，共27页。( )( , )( )D q qH q qG q221 1122220( )0yyyymlIIm dD qm22 12222 12( , )m ddH q qm d1 122121()( )mlm dgcG qm gs (1) (1)关节关节(gunji)(gunji)空间动力学方程空间动力学方程 将式将式2 2写成矩阵形式：写成矩阵形式：3、关节空间、关节空间(kngjin)与操作空间与操作空间(kngjin)动力学动

18、力学式中式中3第二十二页，共27页。 式式(3)为机器人在关节空间中的动力学方程封闭形式的一般结构式。它反映了关节力为机器人在关节空间中的动力学方程封闭形式的一般结构式。它反映了关节力或力矩与关节变量、速度或力矩与关节变量、速度(sd)和加速度和加速度(sd)之间的函数关系。对于之间的函数关系。对于n个关节的机器人，个关节的机器人， 是是nn正定对称矩阵，是正定对称矩阵，是q的函数，称为机器人惯性矩阵；的函数，称为机器人惯性矩阵； 是是n1的离心力和哥氏力向的离心力和哥氏力向量；量； 是是n1重力矢量，与机器人的形位重力矢量，与机器人的形位q有关。有关。( )D q( , )H q q ( )

19、G q第二十三页，共27页。( )( , )( )xxxFMq xUq qG q 2 2操作空间操作空间(kngjin)(kngjin)动力学方程动力学方程 与关节空间与关节空间(kngjin)(kngjin)动力学方程相对应，在笛卡尔动力学方程相对应，在笛卡尔操作空间操作空间(kngjin)(kngjin)中，操作力中，操作力F F与末端加速度与末端加速度 之间之间的关系可表示为：的关系可表示为：x ( )xMq( , )xUq q ( )xG q操作空间操作空间(kngjin)中的惯性矩阵中的惯性矩阵离心力和哥氏力矢量离心力和哥氏力矢量(shling)重力矢量重力矢量xF广义操作力矢量广义操作力矢量机器人末端机器人末端位姿向量位姿向量第二十四页，共27页。( )TJq F( )xJ q q( )( )( )