1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编(2)函数与方程(Word版,含答案)

1、1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编函数与方程部分2019AK己知正实数，满足/=（9广，则log“（3）的值为答案:看1 Ia解析:由条件知9a =8 ,故3 = J9xa =小,所以log。(3a)= 。162019A二、（本题满分40分）设整数6满足1= <a2 <-<«2（）19 =99 .t己/=（； +4；+ +。；019）-（4必+。2。4+%45+ ”2017a2019），求/ 的最小值/；）.并 确定使/ =人成立的数组（“外,M刈9）的个数.2017解析：由条件知2f = "； + a + a短+&9） + E（4+

2、2 -4 ）， r-l由于4M2及+2-% （i = 1,2,2016）均为非负整数，故有4：2,嬉沁且 （4+2一q24.2-0 .于是2016）2016（；+ 婚）+ Z （q+2 - 4 ）-2 4 + Z（4+2 - 4 ） 2017 + “2018r-lr-l10分由 kjD、2 f 2。2017 +。208 +(“2019 。2017 ) +。：018 +“：019 '名口 口 "2019 = 2()192。18之。2。17 >°，可矢口f > 1 22017 + (99-«2017)2 + 4.7 + 992 = (2017 -4

3、9)： + 7400> 7400 20分另一方面，令/ =/ =“1920+2氏-I = "220+2 上(% =12 ,49),“2019=99此时验证知上述所有不等式均取到等号，从而f的最小值 f0 = 7400 . 30 分以下考虑的取等条件.此时如&刈7 =49,且中的不等式均取等,即。1=。2=1，ai+2 ai e0(，= 1,2,2016 ) oBlltl = a<<.<«2018 =49,且对每个k (1<A:<49)， 4,4，,旬由中至 少有两项等于k.易验证知这也是取等的充分条件.对每个次 (1KZW49),

4、设,小，。2018中等于2的项数为a+1，则既为 正整数，且(l+J+(l + 2)+(1+49)= 2018 ,即 +e+ %9 =1969, 该方程的正整数解(小 2,，心)的组数为G黑，且每组解唯一对应一个使 取等的数组"2019)，故使/ =工> 成立的数组M刈9)有。；68 个40分2019B 10.（本题满分20分）设也c均大于1,满足心7?' = ：, lg/? + lognc = 4求1 g a 1 g c的最大值。解析：设x = lga, y = lgb, z = lgc,由也 c>l,可知 x,y,z>0。由条件及换底公式得x +三=3

5、, y + - = 4 , HJ + z = 3y = 4x ,由此令x = 3t,y = 4r （ r >0 ）,则 z = 4x-xy = 12f 12/ >0 ,得Ovfvl。所.以lg.lgc = 3/（1T）= 18J（2t）«18，+'T：_2" =-,当且仅当 / = 2-2/ ,即f = |时取得等号，相应的a = 100, = c = 10,，所以lga.lgc的 最大值为学。2018A 5、设/(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间0,1上严格递减，且满足琥=1, f(2)= 2,则不等式组I：""2的解集

6、为 U « fM < 2答案：3-2,8-2乃解析：由/为偶函数及在区间0,1上严格递减知，/*)在-10上递 增，结合周期性知，/*)在2上递增，又/(*2) = /=1 , /(8 -2 4)=/(一2%)=/(2万)=2，所以不等式等价于/(-2)</(x)</(8-24)，又Iv/r-2V8-21<2所以*2<%<8-24，即不等式的解集为3-2,8-2同2018A, B9、(本题满分16分)己知定义在R+上的函数f(x)为 X)=叱g 3 X 1|。U 9 ,设d b, c是 4-y/x,x>9三个互不相同的实数，满足f(a) =

7、f(b) = f(c),求abc的取值范围。解析：不妨设由于/(X)在(0,3上递减，在3,9上递增，在9”) 上递减,且/=0, 9) = 1,结合图像如：ae(0,3), b e(3,9), c e(9,-ko), 且/= /S) = /(c)e(0,l)。Etl /() = f(b)得 log3 a + log3 b = 2 ,即 ab = 9 ,小匕时 abc = 9c f又/(c) = 4-6'由 0<4-人<1 得 c£(9,16), 所以 aZ?c = 9c £(81,144)。2018B7、设/a)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间

8、12上严 格递减，且满足幻=1, /(2乃)=0,则不等式组的解集为一 0 < f(x) < 1答案：2* 6,4-句解析：由/为偶函数及在区间12上严格递减知，/*)在上 递增，结合周期性知，/3)在01上递增，又/(4-4)=/=1, /(24一6) = /(20=0 ,所以不等式等彳介于/(2万一6)«/&)</(4 万)，又 0< 2-6<4-7F< 1,即不等式的解集为2乃一6,4-司.2017A1、设f(x)是定义在R上函数，对任意的实数x有 x + 3)-/(x 4)=1,又当 04xv7 时，/(x) = tog2(9-x)

9、,则/(100)的值 为答案：2解析：由条件知，f(x + 7)f(x) = -l ,即/* + 7)/* + 14) = -1,故 /(x) = /(x+14),即函数f(x)的周期为14 , 所以/(-100) = /(-2) = -f(5)2017B3、设/(x)是定义在R上的函数，若/(幻+ /是奇函数，/(x) + 2。是 偶函数，则/的值为答案：:4解析：由条件知，/(I) +1 = -(/(-I) + (-D2) = -/(-I)-1 » /(1) + 2 = /(-1) + 1, 两式相加消去可知：2/(1) + 3 = -1,即/=.2016A 3、正实数，v ,

10、w均不等于1 ,若log卬+ log1,卬=5 , log v w + log M. V = 3 , 贝|J 10gH. u 的 值 为答案：:解析：令log="， logv w = b ,则logv m = > logH. v = , logM vw = log” v + log” v logv w = a+ ab ab条件化为4 + 4 + = 5 , + - = 3 ,由此可得= 因此 a b44 logh w = logH, v log, u =-.2016A 10.(本题满分20分)已知/(x)是R上的奇函数，/(I) = 1,且对任 意 XV。 ， 均 有 /(&#

11、39;) = xf(x) 0 求X-1yw(高)+心磕)+心舄)+舄)呜)的值。解析：设勺=/()( = 1, 2, 3,)，则 ="1) = 1. n在/'(二一) = M'(x)中取x =-(AeN*),注意到 KX-I1 1 k + 1 k，及一(X)为奇函数.可知即上=；,从而4“ =4 aL k-11in=n-= "% ik (-1)!5分110分因此50502?四。1 i-l=E /-I1(z-l)!(100-/)!49 =E J-01 i!(99i)!20分2015Al、设、为两不相等的实数，若二次函数/(x) = /+4x +满足 f3) =

12、 f(b),则 /(2)的值为答案：4解析：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得亨=，即 2a+0 = 0,所以/(2) = 4+2a+ = 4.2015A9、(本题满分16分)若实数满足2"+4 =2" 4 求c的最小值。解析：将2。,23分别记为y 则x,y,z>0.由条件知，x+V =z, + y = z)故z?-'一/二仁一卡了二？?一2y2z + yl 8分因此，结合平均值不等式可簟Z = V V = -(2y2 4- +- 3sky2 - = -2 . 12 分2y-4 y y 4 Y ' y y 4当2=l即),=w时，z的最小值为m

13、返(此时相应的工值为之五， yV244符合要求).由于C = k)g2Z，故C的最小值logzg显) = 10g2 3-g . 16分2016B 4>己知/(x), g均为定义在R上的函数，的图像关于直线 x = l对称，g(x)的图像关于点(1,-2)中心对称，ELf(x) + g(x) = 9x+xi + , 则/(2)g(2)的值为答案： 2016解析：由条件知 0) +4(0) = 2,2)+ 田2)= 81 + 8 + 1=90.由f(x),g(x)图像的对称性,可得0)= /(2),g(0)+ g=-4.结合知，2)-g -4 = /(O)+ g(O)= 2.由、解得&quo

14、t;2) = 48,g= 42,从而2)g(2)= 48x42 = 2016.另解：因为月+雇工)=9,+/+1,所以2)+ g(2)= 90.因为的图像关于直线户1对称，所以/(x) = /(2r).又因为g(x)的图像关于点(1,-2)中心对称，所以函数Mx) = g(x + l) + 2是奇函数，/?(-x) = -/z(a) , g(f + l) + 2 = -g(x + l) + 2,从而 g(x) = -g(2-x)-4.将、代入，再移项，得27)(27)= 9，+/+5.在式中令x = 0，得“2)-g=6.由、解得"2) = 48,g=46.于是2)g= 2016.2

15、014A1、若正数“、Z? 2 + log, « = 2 + log, b = log6(t/ + b),贝lj1+ ?的值 a b为答案：1。8解析：设2 + bg?6/ = 3 + log3Z? = log6(a + b) = k ，则 a = 2"： b = 3，= 22 x33 = 108 o.11 不？ 11 u + h 6Aa + b = 6，/AlIIJ - + - = a b ab 2k x 32015B1.己知函数，可产、，其中为常数，如果alog 2 x e (3,+qc)/(2) < /(4),则。的取值范围为答案：(-2,-ko)解析：/(2)

16、 = a 2J(4) = 2a,所以a 2V解得：a>2.2015B2、已知y = /(x) + Y为偶函数，且八10)= 15,则/(-10)的值为答案： 2015解析：由己知得 -10) + (-10)3 = /(10) + 103, BP /(-10) = /(10) + 2000 =2015.2014A 3、若函数/*)=炉+3_1|在。+s)上单调递增，则实数的取 值范围为答案：-2,0解析：在口什)上，/1) = /单调递增，等价于一,1, BP « >-2 o 在0,1上，/(x) = /以+ 单调递增，等价于即<0,因此实数。 的取值范围是-2,。2

17、014BK若函数/")的图像是由依次连接点(0,0), (U), (2,3)的折线，则尸= 答案：|2 解析：可求得直线y = 2与函数图像的交点为信即/=2,根 据反函数的性质知尸(2) = ；。2014B 8、设g(x) = "(1 -x),是定义在区间0,1上的函数，则函数 y = Xg(X)的图像与工轴所围成图形的面积为 答案：裔 解析：显然g的图像与x轴围成一个半圆，我们用A表示xg(x)与x 轴围成的图形。直线2x = l是半圆的对称轴，它将A分成左右两个部分。 我们知道：xg(x) + (l-x)g(l-x) = xg(x) + (l-x)g(x) = g(x

18、) ( 0<x< 1 ),这个式子的几何 意义如下图所示：根据祖唯原理的二维形式，A的左半部分与右半部分的面积之和恰好是四分之一圆的面积。即我们要求的面积是=2。4 2）162014B二、（本题满分40分）在同一直角坐标系中，函数/"）=疯” （。0）与其反函数y =的图像恰有三个不同的交点.求实数的取值范围，并证明你的结论。解析：由题意可得其反函数r'（A）= l（x2-4）,记/（X）与其反函数尸（X） a的交点坐标为（力，则卜>'" + 4,两式子相减得（-" + "。） = 0,得 v = an + 4“=口 或

19、 + U + 4 = 0，若00,显然两个函数的图像都在第一象限，所以+ >0,联立=>， 和2=，+ 4,得到一个交点（另一个是负数），与题目要求三个交点不相 符，故"0当4<0时，联立“=和2= + 4,得交点（"叵三运、"2乜二生|；联立 + u + a = 0和if2 =av + 4， 得父点 :或-1丁“6 1+16 ,考虑这两个交点不重合，且坐标非 22 /负，故解得一勺1<h_2,即所求的范围为，拽2 o-«-V16-3«2 >03I 32013A 5、设泊为实数，函数/（x） = ax + b满足：

20、对任意xe0,l,都有 |/W| < 1，则ab的最大值为答案：）4解析：由题意得。=/（1）-/（0）,。= /（0）当且仅= /(O) . (/(I)- /(o)=y(o)-1 y(i)j +1/2(1)<1/2(1)<1,当"(。)=，即±；时，加;，故所求最大值为 2013A 7、若实数匹丁满足穴-44 = 2万？，则实数x的取值范围为答案：0U4,206解析：令后=a , y/x-y =b ,显然之0，b>0f 且x = a2 +b2 , x-4后=2Jx-y 即为a，+b，-4a = 2b ,/； 亦为("-2)2=5 (a&g

21、t;0, Z?>0),以(a,»为坐标;二一才 作图如图示，在平面水乃内，(的轨迹为如图所示)的实线部分含原点O,因此77万e0u2,2括, 才'二 RPx = f/2+/?2 e0U4,20o2013A 11、(本题满分20分)设函数/(、)=改2+，求所有的正实数对 (a, b)，使得对任意的实数 x, y 均有 f(xy) + f(x + y) > f(x) f(y)。解析：已知即可变为:(ax2y2 + b)+ (a(x + y)+ b) > (ax2 + bay? + b) 先寻找a.b所满足的必要条件。式中，令y = 0,的对任意的x都有(1-匹

22、+(2-)之0,由于a>0, 故.2可以取到任意大的正值，因此必有1-。之0, EJ0</7<1o式中，令丁 = 7,得(/+" + /注(加+戌，即对任意实数X,有 a-a2)x4- 2abx2 +(2b - 之 0 记g(x) = (a-a2)x4 - labx2 +(2b-b2),即g(x = (a-a2 x2- ! d(2-2a-b)A -a)-a一a-a2 >0要 g(x)N。恒成立，则 上(2 2a)>0'即 0<<l, 0</?<l, 2a+b<2 .1 -a'下面证明对满足的任意实数对(“及任

23、意实数x,y,总有成立，令人(x,y) = (a -a2 )x2y2 +a(-bx' + y2) + 2axy + (2b-b2) 2 0'怛成立，事实上，在成立时，有a(l-)之0, a-a2 > 0 , (2 -2a-b)>0 t又1-6/x2 + y2 > -2xy , 可得 h(x, y) = (a-a2 )x2y2 + a(-h)(x2 + y2) + 2axy + (2b-b)> (a -a2)x2y2 +“(1 -b)(-2xy) + 2axy + (2b -b2)=(a-a2)x2y2 +2abxy + (2b-b2) /> 2,=

24、(a-a2) x>? + ' 4- (2-2a-b)>I .-a)-a综上所述，满足条件的(",)为(a,“0 <Z? < 1,0 < « < 1,2 + /? < 2)o2013B2、设i = Q为虚数单位，则i + 2尸+3/+. + 2013产3=答案： 1006+1007/解析：因为i + 2尸+ 3/+ 2013产3 =(-2 + 4 6 + 82010+2012)+(1-3 + 5-7+ - -2011 + 2013> = 1006+1007/JJ JJ1005项1006项2013B5、在区间0,町中，方程

25、sinl2x = x的解的个数为.答案：4解析：因为当x>l时,卜inl2,v|<l vx ,方程无解；当x£01时， 3万<12<4万，做出y = |sin2x|及y = x的图像即可得至!J。2013B 6、定义在实数上的函数/3 =粤鼻(心式)的最小值 J + X + X是.答案：-当解析：因为/+X + 1 = (x + g) +>|->知,V4又当x = L时，_1)= _空，所以所求最小值为空。 2'2332013B 7、设，为实数，函数力= or+b满足：对任意xe0,l “/<1, 则油的最大值为.答案：!4解析：由题

26、意得。=/(1)-/(0), b = f(0)/2所以皿=/(0).(/(1)一/(0)=1/(0)一“1) +1/2(1)<1/2(1)<1,当且仅V 2 J 444当 2/(0) =/=±1, B|J a = b = ±- H;t, ab = y 故所求最大值为2442012A 3、设x,y,z w。，则 M = Jlx-y I + y-z I +I z-xl 的最大值为答案：V2 + 1解析：不妨设OKA- < y < < 1,则 M =+Jz-y + lz-x.因为 yjy-x + yjz-y < J2(y-x)+(z-y) =

27、J2(z-x).所以 M W J2(z-x) + Jz-X = (V2 + )y/z-X <y/2-.当且仅当y-x = z-丁,1=0,2 = 1,、=；时上式等号同时成立.故Ma =0+1.2012A 6、设函数/(x)是定义在R上的奇函数，且当GO时，/0) = /. 若对任意的xe4M+ 2,不等式/(x + a»2/(x)恒成立，则实数0的取值 范围是 答案：点,+8).解析：由题设知,则2/(x) = /("v) .因此原不等式等 一厂(x<0).价于/(x +“注/(无。因为f(x)在R上是增函数，所以X +，d企工即。之(0一 1)X.又X e

28、a, a + 2,所 以当x = + 2时，取得最大值(点-1)(4 + 2).因此，aN(四-1)(a + 2), 解得a之V2.故"的取值范围是&, +S).2012A 9.(本题满分16分)1 O 1已知函数 f(x) =asinxcos2x + t/- - 4- ， a e R,a W 0.2 a 2若对任意x e R,都有fM < 0，求实数，的取值范围；若此2,且存在xe七使得x)K。，求实数”的取值范围；解析：令 f = sinx,则-1WY1,函数/(x)即为 g(f) = +4/ +。-上,31±17。)4 0即8。)40对任意-1±

29、;41恒成立,即<g(-l) = l-<0工 ，解得(1) = 1 + 2«-<0 a0 < « < 1 >故所求实数”的取值范围为(0J因为此2,所以g的对称轴x = -1,有g在-1,1上递增，所以go的最小值为g(-1)=1-m,即/“)的最小值为a, sii-<o, aaa解得Ova 43,又aN2,故所求实数，的取值范围为(2,32012B4、若关于x的不等式组卜：+3/7一3>°,(稣。)的整数解有 x- -2ax-<0且只有一个，贝心的取值范围为答案： 解析：由1+3/_工_3>0解得-3V

30、XV-1或x>l,所以不等式组的唯一 整数解只可能为-2或2 0记函数/(力=/一加1 ,由于对称轴x = a>0, 所以整数解只能是2,因此有7(-2) = 3 + 46/>0,"2) = 3-4叱。，解得故所求范围为±3 °,4314 3;/(3) = 8-6。>02012B 7、设函数/是定义在R上的奇函数，且当xNO时，f(x) = x2. 若对任意的xe,4 + 2,不等式/(x + a)2 2/(x)恒成立，则实数”的取值 范围是答案：在+吩解析：由题设知/0)=卜"："°)，则2/(x) = /(

31、"。因此原不等式等 -x2(x<0)价于f(x + a)> /(0A).因为f(x)在R上是增函数，所以x + a之5,即a > (>/2-l)x.又xea,a + 2,所以当 x = a+2时,(>/7-1)，取得最大值_ l)(a + 2).因此4 2 (y/2-)(a + 2),解得4 2 "故”的取值范围是I瓶,+03).2012B 9.(本题满分16分)一31己知函数/(X)= asinx cos2x + a - - + -， a w R,a H 0 .2a 2若对任意X e R,都有f(x) < 0 ,求实数4的取值范围；若心

32、2,且存在xe乩使得求实数的取值范围；解析：令f = sinx,则1W1,函数/(x)即为g(f)=3+R+ °一3 , a3g(_1) = 1 _ W 0由/(x)K0即g(f)4。对任意IMF恒成立，即。，解得g(l) = l + 2«-<0.a0 v a 4 1,故所求实数a的取值范围为1因为心2,所以g«)的对称轴x =1,有g«)在-川上递增，所以g的最小值为g(-l) = l-j即/(X)的最小值为1-上，由1一10, aaa解得0<a<3,又.22,故所求实数"的取值范围为(2,32011A 2、函数/(x) =

33、 S_=的值域为X-1答案：(-co,-lU (1,4-00)解析：提示：设 = 121e,-£<6<工，且6工工，则2241/(X)= cos6> =1=1.设=、历sin(e_2),贝Ijtan -1 sin8-cos6 血 sin(6乃) 4-y/2 <u < f 旦“工0,所以 /(a) = - e (o,-U(1,-h).2011A3、设 为正实数，- + -<2a/2 , (a - b)2 = 4(ab)3 f 则 logf=a b 答案：-1 解析：由!«2、历，得 a + b42、&b. a b又(a+Z?)* =

34、 4ab + (a-by = 4ab + 4(ab)y >4-2yjab. (ab) = 8(aZ?)2，即a + b> 2y2ab .于是 a + b = 2/2ab.再由不等式中等号成立的条件，得出,=1.与联立解得卜=T或 b = y/2+l,a = V2+ 1,1)=尬-1：故 log. b = - .2011A9.(本题满分16分)已知函数/(x)=llg(x + l)l ,实数 ( a<b )满足/() = /(匕L), b + 2/(10a + 6 + 21) = 41g2.求实数a,b的值。 解析：因为/() = /(-簿)，所以b + 2+】七）曰联&quo

35、t;功,所以 a + l= + 2 或( + 1)(。+ 2) = 1,又因为 av，所以 a + lW + 2,所以 ( + 1)。+ 2) = 1 .又由 /(0=llg(a + l)| 有意义知 Ova + 1,从而 Ova+lvb+lvb+2, 于是0 va + 1 v 1 <。+ 2 .所以(10。+ 6 + 21) +l = 10(a + l) + 6(Z? + 2) = 6( + 2) + ->1 .b + 2从而/(10</ + 6/? + 21) =llg6(Z? + 2) + -l=lg6(Z? + 2) + -.b+2b+2又/(1616 + 21) =

36、 41g2,所以lg6g + 2) + - = 41g2,b + 2故6(Z? + 2) +-= 16 .解得=或/? = -1 (舍去). b + 23把=-，代入(a+ 1)(3+ 2) = 1 解得=一2 .所以 a = - f b = -.532011B3、若正实数满足，则.答案：解析：由，得.又，即.于是.再由不等式中等号成立的条件，得.与联立解得或,故.2011B9、（本题满分16分）己知实数满足：，.求实数的取值范围.解析：令，由得，代入得由方程有实根，得，解得。由方程及可得，又，所以，即，解得，综上可得,即，所以实数的取值范围为。2011B三、（本题满分50分）设实数，且满足,

37、求的最大值.解析：由己知等式可得，令，则，则式等价于易知.令,则。设，则O当时，由平均不等式得所以，从而，整理得，即，所以。式中等号成立的条件是，即，代入得，因此，的最大值即的最大 值为。2010ABK函数的值域为答案：解析：易知的定义域是，旦在上是增函数，从而可知的值域为.2010AB 2.已知函数的最小值为，则实数的取值范围为答案：解析：令，则原函数化为，即.由，及知即.（1）当时（1）总成立；对；对.从而可知2010AB 5、函数（,且）在区间上的最大值为，则它在这个区间上的最小值为答案：解析：令则原函数化为，在上是递增的.当时，所以；当时，所以.综上在上的最小值为.2010AB 9&g

38、t; （本题满分16分）己知函数，（），当时，求实数的最大值。解析：解法一：由得*所以，所以.又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为.解法二：.设，则当时，.设，则.*容易知道当时，.从而当时，即，从而,由知.又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为.2010A 11、（本题满分20分）证明：方程恰有一个实根，且存在唯一 严格递增的正整数数列，使得。证明：令，贝h所以是严格递增的.又，故有唯一实数根.所以，即.故数列是满足题设要求的数列.若存在两个不同的正整数数列和满足,去掉上面等式两边相同的项，有这里，所有的与都是不同的.不妨设，则，矛盾.故满足题设的数列是唯一的.2009*1、函

39、数，且，则答案：解析：由题意得，.故 2009*6、若关于的方程仅有一个实根，则实数的取值范围为答案：或解析：由题意，方程等价于，当且仅当（1）； （2）；（3）对（3）由求根公式得（4）又或当时，由（3）得，所以同为负根。又由（4）知，所以原方程有一个解。当时，原方程有一个解当时，由（3）得，所以同为正根，且，不合题意。综上可得或为所求。2009*11、（本题满分15分）求函数的最大和最小值。解析：函数的定义域为。因为当时等号成立。故的最小值为又由柯西不等式得所以10分由柯西不等式等号成立的条件，得解得.故当时等号成立。因此的最大值为11.15分2008ABK函数在上的最小值为（C.D.A.

40、B.答案：C解析：当时，因此,当且仅当时取等号.而此方程有解，因此在上的最小值为2.2008A7、设，其中为实数，若，则答案：解析：由题意知，由得，因此，.2008B7、设，其中为实数，若，则答案：解析：由题意知，由得，因此，. 因此, 2008AB8、设的最小值为,则实数答案：解析：，(1)时，当时取最小值；(2)时，当时取最小值1；(3)时，当时取最小值.又或时，的c不能为，故，解得，（舍去）.2008A 11、设是定义在上的函数，若，且对任意，满足，则 答案：解析：方法一：由题设条件知因此有，故方法二：令，则即，故，得是周期为2的周期函数，所以.2008B 11、设是定义在上的函数，若，

41、且对任意，满足，则答案：解析：解法一由题设条件知因此有，故解法二令，则即，故，得是周期为2的周期函数，所以.2008AB14.解不等式解析：方法一;由，且在上为增函数，故原不等式等价于.即.分组分解得所以，即。解得.故原不等式解集为.方法二：由，且在上为增函数，故原不等式等价于即，,令，则不等式为，显然在上为增函数，由此上面不等式等价于， 即，解得，故原不等式解集为.2008A二、（本题满分50分）设是周期函数，和是的周期且，证明： 若为有理数，则存在素数，使是的周期；若为无理数，则存在各项均为无理数的数列满足，（），且每个（）都 是的周期。证明：（1）若是有理数，则存在正整数使得且，从而存在

42、整数，使 得.于是是的周期.又因，从而.设是的素因子，贝h ,从而是的 周期.（2）若是无理数，令，则，且是无理数，令，由数学归纳法易知均为无理数且,又，故，即.因此是递减数列.最后证：每个是的周期.事实上，因1和是的周期，故亦是的周期.假 设是的周期，则也是的周期.由数学归纳法，己证得均是的周期.2006*2、设，则实数的取值范围为A.B.,且C.D.答案：B解析：因为，解得.由，解得；或 解得，所以的取值范围为.2006*5、设函数，则对于任意实数，是的A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案：a解析：显然为奇函数，且单调递增。于是若,贝IJ,有

43、，即，从而有.反之，若，则，推出，即。2006*15、（本题满分20分）设.记，集合对所有正整数，。证明:证明：（1 ）如果，则，。（2 ）如果，由题意，.则 当时，（）.事实上，当时，设时成立（为某整数），则对，.当时，（）.事实上，当时，设时成立（为某整数），则对，有. 注意到当时,总有，即.从而有.由归纳法， 推出。（3）当时，记，则对于任意，且。对于任意，贝人所以，。当时,即。因此。综合（1 ） （ 2 ） （ 3 ）,我们有。2005*8、已知是定义在上的减函数，若成立，则实数的取值范围为答案： 解析：不等式等价为，解得或。2005*二、（本题满分50分）设正数满足，求函数的最小值。

44、解析：由条件得，即2,即，同理，由于均为正数，由上式知，故以为边长可以构造一个锐角三角形，其中。则问题等价于：锐角三角形中，求函数二的最小值.令则且同理,（取等号当且仅当，此时,综上可知 2004*1、设锐角使关于的方程有重根，则的弧度数为A.B.或C.或D.答案：B解析：由方程有重根，故，;，得，得或.2004*2、已知，若对所有的，均有，则实数的取值范围是A.B.C. D.答案：A解析：点在椭圆内或椭圆上，得.2004*3、不等式的解集为A.B.C.D.答案：c解析;令，则不等式转化为，得2004*8、设函数，满足，且对任意，都有，则答案：解析：令，得；令得交换位置后，令，得 比较、得，.

45、2004*15、（本题满分20分）已知是方程（）的两个不等实根，函数的定义域为。求；证明：对于（），若，则解析：（1）由题意得，.故.当时，由于，知时，于是，即在上单调递增。所以，把，代入得注意到所以因为, 所以又等号不可能同时成立，故2003*5、已知都在区间内，且，则函数的最小值是A.B.C.D.答案：d解析：由，知，将代入函数解析式整理得.因为，所以，知当即时，取得最小值为，故选2003*10、己知均为正整数，且，若，则答案：解析：由题意得，设，则，即.因为均为正整数，则也是 整数，所以，解得，.所以.2002*1、函数的单调递增区间是A.B. C.D.答案：a解析：由解得或，由复合函数

46、的单调性可得选A2002*3、函数A.是偶函数但不是奇函数B.是奇函数但不是偶函数C.既是偶函数又是奇函数D.既不是偶函数也不是奇函数答案：a解析：计算出的表达式整理到最简后对比即可发现，2002*10、己知是定义在上的函数，旦对任意都有，。若，则答案：解析：由得，已知不等式即为， ，又所以，即的周期为，所以2002*11、若,则的最小值是答案：解析：由己知方程等价于，即由对称性只考虑，因为，所以只须求的最小值。令代入中有，由于 所以，解得当，时，故的最小值是2002*15、（本题满分20分）设二次函数（,）满足条件:（1）当时,，且；（2）当时，；（3）在上的最小值为.求最大的0,使得存在，

47、只要，就有。解析：因为，知函数的图象关于对称即解得；由知当时，即；由得，由得，所以，即联立以上三个式子解得，所以。假设存在，只要，就有。取时，有，即解得，下面对固定的，取，有，即，即，解得，注意到当时，对任意的，恒有所以的最大值为。2001*11、函数的值域为 答案： 解析：，则.两边平方得，从而且.由，或.任取，令，易知，于是且.任取，同样令，易知，于是且.因此，所求函数的值域为.2000*14、（本题满分20分）若函数在区间上的最小值为，最大值为， 求. 解析：若，则的最大值为.最小值为.即是方程的两个根，而此 方程两根异号.故不可能.若，当时，取最大值，故，得.当或时取最小值，时.，但，

48、故取.此时，从而是最小值.，显然.与矛盾.故舍.此时，最大值为，最小值为.两式相减得.解得.符合条件的有或.1999*3、若，则（）D.A. B.C.答案：B解析：记，则在上单调递增，则原不等式等价于，即，即。1998*1、若且，则 的值（）A.等于B.等于C.等于D.不是与答案：C无关的常数解析：由己知得1998*7、若是以为周期的偶函数，当时,由小至IJ大的排列是答案:解析：因为上递增，旦于是1998*14、（本题满分20分）设函数）,对于给定的负数,有一个最大的正数，使得在整个区间上，不等式都成立。问:为何值时最大?求出这个最大的,证明你的结论。解析:当时,是方程的较小根,当时,是方程的

49、较大根,综合以上,时,上递增,所以当时,时,所以 时，取得最大值1997*7、设为实数，且满足答案:解析：原方程组即,令 ，则这是一个奇函数，且增函数，即1996*5、如果在区间上，函数在同一点取相同的最小值,那么在该区间上的最大值是A.B.C.D.以上答案都不对答案：B解析：由于 .当且仅当 即 时 取得最小值,解得由于 .故在 上 的最大值为 .故选B.1995*4、若方程在区间上有两个不相等的实根，则的取值范围是 ()A. B. C. D.以上都不是答案：b解析：由，故，若,可知在所给区间上只有解.故.由图象可得，时，.即.故选员又解：与线段（）有两个公共点.即方程 在上有两个不等实根.

50、故.且，且，且.解得.1995*9、用表示不大于实数的最大整数，方程的实根个数是答案：解析：令，则得.作出及的图象可知交点落在及内.当时，代入解得.故得：，即共有3个实根.1995*二、（本题满分25分）求一切实数，使得三次方程的三个根均为 正整数。解析：显然是方程的一个根.于是只要考虑二次方程的两个根为正 整数即可.设此方程的两个正整数根为.则由韦达定理知， 消去，得.同乘以5： .由于均为整数，故、为整数.即或或或其中使为正整数的，只有这一组值.此时.1994*8、已知，且，则.答案：解析：，令，知在上单调增即.1993*2、已知（为实数），则的值是（）A.B.C.D.随取不同值而取不同值

51、答案：c解析：设，则，贝即.所以.选C1993*8、实数满足，设，则.答案：解析：令，则且.1993*10、整数的末两位数是.答案：解析：令，则得.由于，故所求末两位数字为.1992*6、设是定义在实数集上的函数，且满足下列关系，则是（）A.偶函数，又是周期函数B.偶函数，但不是周期函数C.奇函数，又是周期函数D.奇函数，但不是周期函数答案：C解析：.是周期函数； 是奇函数.选C1992*12、函数的最大值是 答案: 解析:0.11表示点与点的距离及距离差的最大值.由于此二点在抛物线两侧，故过此二点的直线必与抛物线交 于两点.对于抛物线上任意一点，到此二点距离之差大于.即所求最小值为.1992*15、（本题满分20分）设是自然数，（），令。1 .求证：，（）2 .用数学归纳法证明：解析：由.故证.，.故命题对成立.设对于（，为正整数），命题成立，现证命题对于成立.1.若为偶数，则为奇数.由归纳假设知，对于及，有 即命题对成立.2.若为奇数，则为偶数，由归纳假设知，对于及，有用乘减去，同上合并，并注意最后一项常数项为于是得到，即仍有对于，命题成立综上所述，知对于一切正整数，命题成立.1991*2.设均为非零复数，且，则的值为（）A.B.C.D.答案：c解析：令，则.由得.且.故.选C1991*4.设函数对于一切实数满足.且方