小升初数学思维训练教程

1、1 / 22 小升初数学思维训练教程小升初系统总复习目录目录 . 1第 1 讲计算一速算与巧算 . 2第 2 讲计算二比较大小、估算、定义新运算. 17第 3 讲数字谜、数阵图、幻方. 错误 !未定义书签。第 4 讲数论一整除、奇偶性、极值问题. 错误 !未定义书签。第 5 讲数论二约数倍数、质数合数、分解质因数. 错误 !未定义书签。第 6 讲数论三带余除法、同余性质、中国剩余定理. 错误 !未定义书签。第 7 讲几何一平面图形 . 错误 !未定义书签。第 8 讲几何二曲线图形 . 错误 !未定义书签。第 9 讲几何三立体图形 . 错误 !未定义书签。第 10 讲典型应用题一和差倍、年龄、植

2、树问题. 错误 !未定义书签。第 11 讲典型应用题二鸡兔同笼、盈亏、平均数问题. 错误 !未定义书签。第 12 讲牛吃草问题 . 错误 !未定义书签。第 13 讲行程一相遇追及多次 、电车问题. 错误 !未定义书签。第 14 讲行程二平均速度、变速度、流水、电梯. 错误 !未定义书签。第 15 讲行程三行程中的比例. 错误 !未定义书签。第 16 讲分数与百分数. 错误 !未定义书签。第 17 讲工程问题 . 错误 !未定义书签。第 18 讲浓度与经济问题. 错误 !未定义书签。第 19 讲方程 . 错误 !未定义书签。第 20 讲排列组合 . 错误 !未定义书签。第 21 讲容斥原理 .

3、错误 !未定义书签。第 22 讲抽屉原理 . 错误 !未定义书签。第 23 讲逻辑推理 . 错误 !未定义书签。第 24 讲统筹与策略 . 错误 !未定义书签。2 / 22 第 1 讲计算一速算与巧算一、知识地图二、基础知识一整数计算1、基本公式（1）加法交换律：abba（2）加法结合律：cbacbacba)()(（3）减法的性质：()abcabc（4）乘法交换律：abba（5）乘法结合律：cbacbacba（6）乘法分配律：()()abcabacabcabac（7）除法的性质：()abcabc2、平方、立方公式（1）完全平方公式：2222222222()2()2()222ababababab

4、ababcabcabbcac（2）平方差公式：22()()abab ab（3）完全立方公式：3322333223()33()33abaa babbabaa babb（4）立方和公式：3322()()abab aabb（5）立方差公式：3322()()abab aabb3、数列及特殊公式（1）等差数列：a)通项公式：1(1)naand为什么要“n-1 ”呢？b)求项数公式：1()1naand为什么要“+1”呢？速算与巧算整数计算基本公式平方、立方公式数列及特殊公式特殊方法分数计算拆分与裂项几个常用拆分分数循环小数化分数仅做了解3 / 22 c)求和公式：1()2naans为什么要“2”呢？关于这

5、个等差数列，同学们可以联系植树问题的数量关系来看，怎么把植树问题与等差数列联系在一起呢？“在数轴上植树” ，这可是带有一定的技术含量的如图：25221916131074请体会这里数字与“树”对应、公差与“株距间隔”对应例如：a)22 这个数是“第七棵树” ，要由“第一棵树”加上六个“间隔”得到，算式为： 22=4+ 7-1 3；b)如果要求这个数列从4 到 25，一共有多少个数，相当于把4 看作第一棵树，问 25 是第几棵树？可以思考，从4 到 25 一共有多少个“间隔” ，25-4 3=7，所以应该是“第8 棵树” ，这里注意到了为什么求项数“加1”了吧？c)求和公式的来龙去脉，同学们不可不

6、知：法一：高斯“配对法”例如，在计算1+2+3+8+9 这一串数列的和时，我们可以把第一个数加上最后一个数， 第二个数加上倒数第二个数，这样， 一直到第四个数加上倒数第四个数，每一对数的和都是10，这里，要注意还有一个“中间数”5， ，没有配上对，所以，这组数列9 个数的和是104+5=45法二：借来还去法例如，还是计算1+2+3+8+9 这一串数列吧，如果我再“借”来一串“9+8+7+3+2+1” ，这么一串数只是把原来的数列颠倒一下顺序，可以知道两串数是相等的所以，如果我把这两串数的和求出来，是一定要“除以2”的！问题在于，本来要求一串数的和， 干嘛我还扯上了另一串，这样做好算吗？答案正在

7、这个地方，就是因为再有这么一串倒过来的数，好算不得了“变异为同”了！如图：4 / 22 +=2s=s=s101010101010101010123456789+987654321所以，可以得出，1092=45 回头再看，这里的10 可以用 1+9为代表，则得：1+9 92=45 再推广开去，对于其他等差数列，都有这么一个公式：和=首项 +末项项数2 （2）等比数列：11nnaaq11(1)(1)1naqsqq（3）1123(1)2nnna)22221123(1)(21)6nnnnb)2233332(1)(1)12324nnnnn（4）2123321nn（5）211121211112321211

8、111234554321nn个n 9（6）10110101ababababababab（7）100110001abcabcabcabcdabcdabcd这一类的数不妨称之为“重码数”，关键于把一个循环节的“个位”的“ 1”作为记数单位，结合位值原则，我们可以得到上述结果4、特殊方法（1）凑整法：利用运算公式和运算律如交换律、结合律、分配律5 / 22 将一些数凑成整一或整十整百再计算（2）换元法：将一些数或一个式子记为某个字母，如 a， b， c达到化繁为简的目的二分数计算1、拆分与裂项（1）111(1)1nnnn（2）11 11()()nnkknnk(1)k（3）1111(1)(2)(1)(

9、1)(2)2nnnnnnn（4）11()()aannkknnk(11)ak且2、几个常用拆分分数11162351162311112347111234111204591120451113056111130561114267131142673、循环小数化分数0.9aa0.090aa0.99abab0.90abaab0.999abcabc0.990abcaabc0.9900abcdababcd请聪明的你，来比较1 与 0.99999999 的大小？你可能已经知道：0.9999999 =1 6 / 22 也就是：0.9=1，可是这是为什么呢？铺垫：21.0=90112=9011312.0=900121

10、23=300374123.0=90001231234=900011114312.0=9900121234=49506114321 .0=999011234=1110137以此题为例推导：1234126110.123499004950设0.1234为 a，那么 100a=12.3410000a=1234.34所以： 10000a-100a=1234-12 9900a=1234-12 12341261199004950a注意：循环小数化分数，分母中 9 的个数与其循环节的位数对应，0 的个数与小数点后不循环的位数对应分子是不循环部分连上第一个循环节组成的多位数与不循环部分组成的多位数相减所得到的差

11、三：经典透析【例 1】 ： 11 192199319994199995审题要点：1）看题目中的数，聪明的你是否发现了什么秘密？对了，每一个数都有一个小秘密：11101192200810.191240.129933123410.12399933312340.123499997 / 22 2）发现了秘密就赶紧动手吧！详解过程：11 192 1993 19994 199995(10 1)(2008)(20007)(200006)(2000005)222210 126222185专家点评：这道题目不是很难，关键是要学会“凑整”的思路！【例 2】 2387654338765423876544审题要点：1

12、）好大的数啊！别怕，肯定有绝招2）哈哈，终于发现了数之间的小秘密38765433876542(38765431)38765433876544(38765431)详解过程：222238765433876543 13876543 13876543387654311原式（） （）（）专家点评：做这道题目，你会发现，奥数的很多题目，不仅仅是记公式就能解决的，很多时候需要你对公式进行消化吸收，达到灵活应用才能在用时得心应手【例 3】 222221222350审题要点：1）这题看着很熟悉联想平方求和公式2）可是起始的数不是21？没关系，缺什么补什么！详解过程： 22221231(1)(21)6nnnn；凑

13、整；提取公因数；“借来还去”思想。 原来平方差公式还可以这么用！22()()abab ab8 / 22 22222222222222221222350(12320212250 )(12320 )115051 101202141661505110012021 (401)640055专家点评：很多题目不能就题论题，你必须要在熟练应用公式的前提下，做适当的变换，这道题目就是一个很好的例子【例 4】 16199573730153.3225审题要点：1 “ 73”好像是关键2如果可以提取73，那不是很简单？试试吧！详解过程：1995.5 730.24 73 1073 2.173 (1995.5 2.42

14、.1)73 2000146000原式专家点评： 此处利用了分拆法，将 730 分拆为 7310，153.3 分拆为 732.1 ，目的都是为了构造出“公因数”73此种构造方法很常用，你学会了吗？【例 5】 1111112123123100审题要点：1）分母很特别哦：1,12,123,1231002）(1)1232n nn3）12112()(1)(1)12n nn nnn详解过程： 提取公因数的两大特征：一是要有“公因数” ， “疑似”公因数也不错，我们可以借助下面两招对它加工。二是要有互补数。(10)()10baba()abcabcaccabb变招9 / 22 原式 =1111112()2()

15、2()12231nn=111112 (1)223100101=12 (1)101=200101专家点评：这道题目稍微有点难度，需要先归纳分母的通项，然后利用裂项进行解题，所以同学们应该在记住公式的同时做适当的综合应用【例 6】 1511109_2612110审题要点：1） 分数相加，分子不相等，似乎不能裂项；2） 如果做一下变换呢？1112251166试试吧详解过程：原式 =1111(1)(1)(1)(1)2612110=11110()26110=11110()2 12310 11=1111110(1)2231011=110(1)11=191110 / 22 专家点评：这道题目的解题关键在于对

16、裂项的熟练应用题目本身并不是很难，但是需要同学认真仔细【例 7】 4444444454941344943474114474审题要点： 1既然题目这样出了，说明绝大部分项能够裂项约掉！试验可知：44546293734855，4494656510174240537这两个利用辗转相除法，能够约掉37，看来确实可以裂项详解过程：观察到 5，37，101 以及约去的最大公约数17 和 65 都是偶数的平方+1，所以立刻猜测最后的44494474约分后等于22501461，原式等于2501150055专家点评： 这是一道比较难的计算题，很多人认为只有到了初中，学了因式分解才有可能做出来但是，小学生如果能够

17、有“找规律” 的思维， 也是完全可以得出答案的本题解题的关键在于“试算观察法”与“辗转相除法”的综合运用，你学会了么？【例 8】 621739458739458378621739458378739458()()()()126358947358947207126358947207358947审题要点： 1看到这么庞大的算式，应该想到要换元； 2换元时注意要整个括号作为一个整体代换； 3不妨设621739458126358947739458358947ab详解过程：原式378378()()207207abab =378378207207abaabb11 / 22 =378()207ab =3786

18、21207126 =9 专家点评：“换元” 法在庞大的数学计算中经常用到，数学题目很少是需要你对一个复杂的式子进行每一步的计算，一般都有简便算法， 这些需要你平时多积累利用换元法解题时有两种可能性：一，换元的未知数最后都消去，可直接得出答案二，换元的未知数不能完全消去，那么就应该将原数或原式重新代入计算，此时的代入计算将很简单，如本题中最后 a-b 须换回原来式子计算得621126【例 9】 0.120.230.340.450.560.89审题要点：1 ：有循环小数的计算，首先要进行分数转换2 ：每个数都是混循环小数，应该怎样化成分数？详解过程：原式 =90112+90223+90334+ +

19、90889 =9011+9021+9081 =(1181) 8290 =36890 =4445专家点评：循环小数化分数， 你学会了么？这是个很重要的知识，在比较大小和计算过程中经常用到另外，如果对循环小数的性质很熟悉的话，知道0.9=1，则可观察到：0.890.912 / 22 0.120.670.790.80.230.560.790.80.340.450.790.8还有一个0.78，所以总和为0.90.830.784.08经验证，844.08449045四、拓展训练1.11111 353 575792001 20032005= 初级点拨 这道题目不难，关键是考察对公式的应用11111()(2

20、 )2()()(2 )n nknkkn nknknk； 深度提示 注意哦， 分母中 1 与 3，3 与 5 都是要差 2，所以在裂项时， 括号外面要乘以14； 全解过程 原式 =11111111()221 3353 5572001200320032005=111()41 320032005=1401601534320032005=1004003120480452.2131419911001 121314151991 1213141519911001213141991=_ 初级点拨 这么庞大的式子，换元毫无疑问，但是要找好，到底换什么哦 深度提示 换元时，可以设111123499a，111112

21、3499b；13 / 22 全解过程 设111123499a，1111123499b原式 =11()()100100abba=ab+100bab+100a=1()100ab=11003.22472634472635472633472635472634472636=_ 初级点拨 类似于例题2； 深度提示 运用平方差公式，你会了么？ 全解过程 原式22472634472635(472634 1) (4726341)(472635 1) (4726351)24.22223 4545 656789 10=_ 初级点拨 这题比较简单，利用1111n(n1)(n2)n(n1)(n1)(n2)2； 深度提示

22、 这道题目很简单，主要就是公式应用的问题； 全解过程 原式 = 221431541+541651+9811091 =113 49 10=1318014 / 22 5.111111 44771010 1320052008=_ 初级点拨 直接利用公式1111()n(nk)knnk； 深度提示 公式的直接应用，但是要注意，分母拆开后，差值是3； 全解过程 原式 =31 141+4171+2005120081=1200732008=66920086.1111111234562612203042=_ 初级点拨 带分数在计算过程中，通常有两种处理办法，或者化成整数和分数的和，或者化成假分数，聪明的同学，想

23、想这道题应该怎么处理呢？ 深度提示 拆成你熟悉的形式：111122112266 全解过程 原式 =1+2+3+6+(21+61+421)=11121()122 367=6217=62177.5119141171112345678916122030425672902=_15 / 22 初级点拨 类似于上面的第6 题，但是要稍微难点，关键也是对带分数的处理，不要犹豫，你想的没错，写出来试试 深度提示 将带分数拆成整数和分数的和； 全解过程 原式 =(361) (3+121)+(5 201)+(5+301) (7421)+(7+561)(9721)+(9+901)(1+21)=111111111(3

24、35577991)()3042567290261220=111111111111111119()566778899102233445=219(1)510=38108.1234567876543218888888888888888=_ 初级点拨 这道题目是典型的利用公式解题，所以公式一定要熟记哦 深度提示 记住两个公式即可，翻看前面的基础知识，你需要的都在那里； 全解过程 原式 =2288123456787654321=11234567876543219.567345566567345222=_ 初级点拨 提取公因数，但是要先做下变换，看看，怎么变动一下！ 深度提示 1 找题目中的特殊之处2如果

25、分母中也是566345那多好啊！16 / 22 3变变嘛！567345566345345 全解过程 原式 =567345566345566345222=1. 10.19191919(1)(12)(13)(111)92929292=_ 初级点拨 第一步肯定是要去括号，聪明的你想到了吗？ 深度提示 去括号，提取公因式，两项结合； 全解过程 原式 =11191919(1 1 11)(211)929292个=1911(12311)92=19116692=29244611.1(0.30.1875)65400_ 初级点拨 如果在计算中出现循环小数，那毫无疑问要先化为分数 深度提示 循环小数化分数的计算 全

26、解过程 原式 =31(0.1875)659400=(0.06250.0025)65=0.06565=4.22517 / 22 第 2 讲计算二比较大小、估算、定义新运算一：知识地图：二：基础知识一 ：比较大小1、分数的大小比较1通分： a 通分母：化成分母相同的分数比较，分子小的分数小； b 通分子：化成分子相同的分数比较，分母小的分数大2比倒数：倒数大的分数小3与 1 相减比较法： a 真分数：与1 相减，差大的分数小； b 假分数：与1 相减，差大的分数大4经典结论：a 对于两个真分数，如果分子分母相差相同的数，则分子分母都大的分数比较大；b 对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则

27、分子分母都小的分数比较大对于分数的分子分母同时加上或减去相同的数和原分数进行比较：ab，且, ,a b c为非零自然数时 1,bbc bbcaac aac即“真分数越加越大，越减越小”0ac如33 1 331,55 1 551； 2,aac aacbbc bbc即“假分数越加越小，越减越大”5放缩法6化成小数比较：小数比较大小的关键是小数点对齐，从高位比起切记！7两个数相除进行比较如：34和57，352114720，所以35472、小数的大小比较常用方法： 将小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0” ，使它们都变成小数位数相同的小数，然后比较二估算问题1、常用方法比较大小分数的大小比较

28、通分比倒数与1相减比较法经典结论放缩法化成小数比较两个数相除进行比较对于分数的分子分母同时加上或减去相同的数和原分数进行比较小数的大小比较估算常用方法经典步骤定义新运算18 / 22 1 放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小，将结果确定在两个接近数之间，从而估算出结果2变换结构：将算式变形为便于估算的形式2、经典步骤估算和式整数部分：a 令和式结果等于a； b 最小的数个数a最大的数个数； c 求 a对于较简单的题目，使用“最小的数个数a最大的数个数”就可以确定整数部分对于较复杂的题目，这会造成放缩幅度过大如果出现此情况，设法比较原式与最小的数+最大的数个数2 的大小，以及与中位数个数

29、的大小总共有偶数个数的时候，“中位数”视为中间两个数的平均数三定义新运算这是近年来出现的一种新题型，解题的过程可以归结为经典三步：阅读理解应用三：经典透析【例 1】 如果20052006a，20062007b，那么a， b 中较大的数是 _审题要点： 1 通分似乎太麻烦了，怎么办呢？2大小比较有6 个经典方法，这个似乎与“4 经典结论”相仿哦！3发现了吗？两个分数的分子分母的差值都相等：200620051，200720061详解过程：因为a 与 b 都是真分数，且分母与分子差相同，并且2006200520072006，所以ab专家点评：分数比较问题，方法很多，做题时要注意从不同角度考虑下面再介

30、绍两种解题方法：方法二：1a 与 b 都很接近“ 1” ；2聪明的你，发现秘密了吧！1-a= 20061， 1-b=200712006120071且 a 和 b 为真分数，所以 ab19 / 22 方法三：比倒数a1=20052006=120051，b1 =20062007=120061，a1b1所以 ab方法四：两个数相除进行比较22200520062005200720061120062007200620062006，所以：2005200620062007同学们开动脑筋看还有没有更多的思路！【例 2】 如果111111110444444443,222222221888888887ab，a与

31、b中哪个数较大？审题要点： 1快开动脑筋看这个题目适合用哪个方法？2不妨先试试比倒数详解过程：11112,2111111110444444443ab，11,.abab所以专家点评：同样是分数比大小的问题，你能做出几种解答过程呢？下面给出另外两个解题过程解法二：1这么庞大的式子，如果能“4 经典结论”该多棒啊！2开动脑筋做个小变换，11111111044444444402222222214888888884a，变换后 a与 b分子分母相差相同的数“3” ，a与 b都为真分数且a的分子分母都较小，所以 ab 解法三：与12比较法，聪明的你自己动手试试哦! 【例3】 24807319在上式的方框内填

32、入一个整数，使不等式成立，那么= 20 / 22 审题要点： 1这类题目关键是对公式aaccbbdd的灵活应用详解过程：因为802478所以2480783198即2480563172则31 72103专家点评： 这道题目比较简单，聪明的你做出来了吧！下面再介绍另外一个解法希望对同学们日后解题有帮助利用公式：当,acadbcbd时那么：2431 8079 80可以得到102.8103.3所以103【例 4】 已知除法算式1234567891011121331211101987654321，它的计算结果的小数点后的前三位数字分别是_审题要点： 1 毫无疑问，这是一道估算题详解过程：1） 取除数的前两位：12.345 32原式 12.345 31 0.385 原式 0.398 在 0.385 到 0.398 之间无法确定小数点后三位的准确值，说明放缩范围太大2） 再取除数的前三位：123.456 313原式 123.456 312 0.394 原式 0.395 仍无法确定3） 取除数的前四位1234.567 3122原式 1234.567 3121 这类题目解题方法：1）aaccbbdd2）aacbd3）