导数综合讲义(教师版)

1、1 导数综合讲义第 1 讲导数的计算与几何意义. 3 第 2 讲函数图像 . 4 第 3 讲三次函数 . 7 第 4 讲导数与单调性. 8 第 5 讲导数与极最值. 9 第 6 讲导数与零点. 10 第 7 讲导数中的恒成立与存在性问题 . 11 第 8 讲原函数导函数混合还原（构造函数解不等式） . 13 第 9 讲导数中的距离问题. 17 第 10 讲 导数解答题. 18 10.1导数基础练习题. . 21 10.2分离参数类 . . 24 10.3构造新函数类 . . 26 10.4导数中的函数不等式放缩. 29 10.5导数中的卡根思想. 30 10.6洛必达法则应用. . 32 10

2、.7先构造，再赋值，证明和式或积式不等式. 33 10.8极值点偏移问题. . 35 10.9多元变量消元思想. 37 10.10导数解决含有ln x 与ex 的证明题（凹凸反转）. 39 10.11导数解决含三角函数式的证明. 40 10.12隐零点问题 . . 42 10.13端点效应 . . 44 10.14其它省市高考导数真题研究. 45 2 0 0 0 x导数【高考命题规律】2014 年理科高考考查了导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性，利用导数求函数的最值，文科考查了求曲线的切线方程，导数在研究函数性质中的运用；2015 年文理试卷分别涉及到切线、零点、单调性、最值、不等式证明

3、、恒成立问题；2016 文科考查了导数的几何意义，理科涉及到不等式的证明，含参数的函数性质的研究，极值点偏移；2017 年高考考查了导数判断函数的单调性，含参零点的分类讨论。近四年的高考试题基本形成了一个模式，第一问求解函数的解析式，以切线方程、极值点或者最值、单调区间等为背景得到方 程从而确定解析式，或者给出解析式探索函数的最值、极值、单调区间等问题，较为简单； 第二问均为不等式相联系，考查不等式恒成立、证明不等式等综合问题，难度较大。预测2018 年高考导数大题以对数函数、指数函数、反比例函数以及一次函数、二次函数中的两个或三个为背景，组合成一个函数，考查利用导数研究函数的单调性与极值及切

4、线，不等式结合考查恒成立问题，另外2016 年全国卷1 理考查了极值点偏移问题，这一变化趋势应引起考生注意。【基础知识整合】1、导数的定义： f (x ) lim f (x0 x) f (x0 ) ， f (x) limf (x x) f (x) 0 x0 x x0 x2、导数的几何意义：导数值f (x ) 是曲线y f (x) 上点(x , f (x ) 处切线的斜率3、常见函数的导数：c 0 ；(xn ) nxn 1 ；(sin x) cos x ；(cos x) sin x ；(ln x) 1 ；(log xx) 1 x ln a ；(ex ) ex ；(ax ) ax ln a u u

5、 v vu 4、导数的四则运算： (u v) u v ； (u v) u v v u ；( ) v v25、复合函数的单调性： f (g (x) f (u)g (x) 6、导函数与单调性：求增区间，解 f (x) 0 ；求减区间，解 f (x) 0 若函数在f (x) 在区间(a, b) 上是增函数f (x) 0 在(a, b) 上恒成立；若函数在f (x) 在区间(a, b) 上是减函数f (x) 0 在(a, b) 上恒成立；若函数在f (x) 在区间(a, b) 上存在增区间f (x) 0 在(a, b) 上恒成立；若函数在f (x) 在区间(a, b) 上存在减区间f (x) 0 在(

6、a, b) 上恒成立；7、导函数与极值、最值：确定定义域，求导，解单调区间，列表，下结论8、导数压轴题：强化变形技巧、巧妙构造函数、一定要多练记题型，总结方法a3 n第 1 讲导数的计算与几何意义（2016全国卷1理16） 若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b 1 ln 2（2015 全国卷1 理21（1）已知函数f (x) x3 ax 1 ，当a 为何值时，x 轴为曲线4y f (x) 的切线a 34（2015 安徽卷理18（1）设n n * ，x 是曲线y x2n 2 1 在点(1, 2) 处的切线与x 轴交点的横坐标，求数列xn 的通项公式. xn

7、n n 1（2015 重庆卷理 20（1）设函数 f (x) 3ax2 ax ex (a r) ，若f (x) 在x 0 处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲线 y f (x) 在点(1, f (1) 处的切线方程 a 0 ， 3x ey 02 1 1 1、函数f (x) cos x 在点( , ) 处的切线方程为x y 0 4 2 2 42、过f (x) x3 3x2 2x 5 图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是3_0, ) , ) 2 43、若一直线与曲线y ln x 和曲线x2 ay(a 0) 相切于同一点p ，则a 2e 4、两曲线y x2 1和y a ln x 1 存

8、在公切线，则正实数a 的取值范围是(0, 2e) 5、已知a, b 为正实数，直线y x a 与曲线y ln(x b) 相切，则1a22 b的取值范围是（c）（a）(0, ) （b）(0,1) （c）(0, ) 2（d）1, ) 6、若曲线 y （c ）1 x2 与曲线 y a ln x 在它们的公共点 p(s, t) 处具有公切线，则实数 a 2e 1（a）2 （b）2（c）1 （d）2 2 f (x) xf (x) 7、函数f (x) 是定义在(0, ) 的可导函数，当x 0 且x 1 时，曲线y f (x) 在x 1 处的切线的斜率为3 ，则f (1) （c ）4x 1 0 ，若（a）0

9、 （b）1 （c）381 （d）54 第 2 讲 图像问题1、己知函数f xax3 bx 2 c ，其导数f x的图象如图所示，则函数f x的极大值是（d ）（a） a b c （c） 3a 2b （b） 8a 4b c （d）c 2、设函数 y f (x) 可导，y f (x) 的图象如图所示，则导函数 y f (x) 的图像可能为（a）a b c d3、（2017 全国卷文8）函数 y sin2x 1 cos x 的部分图像大致为（c）yoxyoxyoxyyoxox5 4、函数f xx ln | x | 的图像可能是（b )| x | a b c d 5、函数 f (x) (x 1) co

10、s x(x , x 0) x的图像可能为（d ）6、已知f (x) 1 x2 sin(x) ，f x为f x的导函数，则f x的图像是( a )4 2 7、下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是( b ) （a）（b）（c）（d）y o1 1 xy o1 1 xy 1 o 1 xy 1 o 1 x6 1 28、已知r 上可导函数f x的图象如图所示，则不等式x22x3 fx0的解集为( d)（a）, 21, （c）, 11, 02, （b） , 21, 2（d） , 11,13, 9、函数f xx3 bx2 cx d 的大致图象如图所示,则x2 x2 等于

11、( c )8（a）910（b）916（c）94 （d）510、（2015 安徽）函数 f xax b xc2的图像如图所示，则下列结论成立的是（c ）（a）a 0,b 0,c 0 （b）a 0,b 0,c 0 （c ）a 0,b 0,c 0 （d ）a 0,b 0,c 0 11、（2016 全国卷）函数y 2x2 e x 在 2, 2 的图像大致为（d）（a）（b）（b）（d）7 0 011第 3 讲 三次函数1、函数f (x) 1 x3 1 (m 1)x2 2(m 1)x 在(0, 4) 上无极值，则m 33 2 2、已知 f (x) x3 3ax2 bx a2 在 x 1 时有极值0 ，则

12、 a b _ 7 _ 3、设 函 数f (x) x3 (a 1)x2 ax 有 两 个 不 同 的 极 值 点x1 , x2 ， 且 对 不 等 式f (x ) f (x ) 0 恒成立，则实数 a 的取值范围是_ (, 1 1 , 21 2 24、函数f (x) x3 3x2 ax 2a ，若存在唯一正整数x ，使得 f (x ) 0 ，则实数a 的2取值范围是 ,1) 35、已知函数f (x) x3 ax2 x 1 在(, ) 上是单调函数，则实数a 的取值范围是（a ）（a）3, 3 （b）(3, 3) （c）(, 3) ( 3, ) （d）(, 3 3, ) x3 a6、若函数f (x

13、) x 2 x 1 在区间( , 3) 上有极值点，则实数a 的取值范围是（c）3 2 2 5 5 10 10 （a）(2, ) 2（b）2, ) 2（c）(2, ) 3（d）2, ) 3 x3 a7、若函数f (x) x 2 x 1 在区间( , 3) 上单调递减，则实数a 的取值范围是（c ）3 2 2 1 5 10 16 （a） , ) 3 （b） , ) 3 x3 2 2（c） , ) 3 （d）, ) 3 8、 若函数f (x) x 在区间(a, a 5) 上存在最小值，则实数a 的取值范围是（c ）（a） 5, 0) 3 3 （b）( 5, 0) （c） 3, 0) （d）( 3,

14、 0) 9、若函数f (x) x3 ax2 bx a2 7a 在x 1 处取得极大值10 ，则b 的值为（c ）a（a）3 或1（b）3 或1（c）3（d ）12 2 2 2 2 2 8 m11第 4 讲 导数与单调性2 11、已知函数 f (x) x 5x 2 ln x ，则函数f (x) 的单调递增区间是_ (0, ) (2, ) 22、已知函数f (x) ex ln x aex (a r) ，若f (x) 在(0, ) 上单调，则a 的取值范围是_ a 1 3、设函数 f (x) a 923x2 ax ex (a r) ，若f (x) 在3, ) 上为减函数，则a 的取值范围是4、若函数

15、 f (x) 在定义域 d 内的某个区间 i 上是增函数，且 f (x) f (x) 在i 上也是增函x数，则称y f (x) 是i 上的“完美函数”，已知g(x) ex x ln x+1 ，若函数g(x) 是区间 , ) 上的“完美函数”，则整数m 的最小值为3 25、设函数f (x) e2 x ax 在(0, ) 上单调递增，则实数a 的取值范围为（c ）（a）1, ) （b）( 1, ) （c） 2, ) （d）( 2, ) 6、函数f (x) 2x2 ln x 在其定义域内的一个子区间(k 1, k 1) 内不单调，则k 的取值范围是（b ）（a）1, ) 3（b）1, ) 23 （c

16、）1, 2）（d） , 2) 27、若函数f (x) ln x ax 2 2 在区间( 1 , 2) 内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是2（d ）（a）(, 2 （b）( 2, ) （c） ( 2, ) 8（d） , ) 8ln x ln x 2 ln x 28、设1 x 2 ，则x , ( x ) , x 2的大小关系是（a ）ln x 2ln x ln x 2ln x ln x 2ln x 2（a）( ) （b） ( ) x x x 2 x x x 2ln x 2ln x2 ln x ln x2ln x 2ln x （c）( ) （d） ( ) x x2 x x2 x x 9、下列

17、命题为真命题的个数是（d ）2ee 2 ln 2 2 ln1 ln 2 ln3 e 2 （a）1 （b）2 （c）3 （d）4 9 11 、 已知x 0 是函数第 5 讲导数与极最值f (x) (x 2a)(x 2 a 2x 2a 2 ) 的极小值点，则a 的范围是_ (, 0) (2, ) 2、已知x 1 是函数f (x) (x 2)ex k x 2 kx(k 0) 的极小值点，则k 的范围是_ (0, e) _ 23、已知函数f (x) x2 2x 1a ln x 有两个极值点x , x ，且x x ，则（d ）1 2 1 2（a）f (x ) 1 2 ln 2 （b）f (x ) 1 2

18、 ln 22 4 2 4（c）f (x ) 1 2 ln 2 （d）f (x ) 1 2 ln 22 4 2 44、若函数f (x) aex 3x 在r 上有小于零的极值点，则实数a 的取值范围是（b ）（a）( 3, ) （b）(, 3) （c）(1 , ) 3（d）(, 1) 35、已知函数f (x) x(lnax) 有两个极值点，则实数a 的取值范围是（b ）1（a）(, 0) （b）(0, ) 2（c）(0,1) （d）(0, ) ax2 1 6、若函数f (x) (1 2a)x 2 ln x(a 0) 在区间( ,1) 内有极值，则a 的取值范围是（c ）（a） ( , ) e2 （

19、b）(1, + ) 2 （c）(1, 2) （d）(2, ) 7、若函数f (x) 在区间a 上，对a, b, c a, f (a), f (b), f (c) 为一个三角形的三条边，则称函数f (x) 为“三角形函数”.已知函数f (x) x ln x m 在区间 1 , e 上是“三角形函数”，e2则实数m 的取值范围为（d ）1 e2 2 2 1 e2 2 （a）( , ) e e （b） ( ,+) e（c） ( , ) e（d）( , ) e10 2 2 2 第 6 讲导数与零点1、设函数f (x) x2 2ex ln x a ，若函数f (x) 至少存在一个零点，则实数a 的取值范

20、x围是（d ）（a）(0, e2 1 e（b）(0, e2 1 e（c）e2 1 , ) e（d）(, e2 1 emex2、 已知函数f (x) 与函数g(x) 2x22的取值范围为（d ）x 1 的图像有两个不相同的交点，则实数m （a）0,1) （b）0, 2) 18e（c）(0, 2) 18e（d）0, 2 e) 18e3 、 定 义 ： 如 果 函 数f (x) 在 区 间a, b 上 存 在x1 , x2 (a x1 x2 b) 满 足f (x ) f (b) f (a) ，f (x ) f (b) f (a) ，则称f (x) 是a, b 上的“双中值函数”.已知1 b a 2

21、b a函数f (x) 2x3 x2 m 是0, 2a 上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是（a ）1 1 1 1 1 1 1 （a）( , ) （b）( ，）（c）( , ) （d）( ,1) 8 4 12 4 12 8 8 4、若存在正实数m ，使得关于x 的方程x a(2x 4m 4ex)ln(x m) ln x 0 有两个不同的根，则实数a 的取值范围是（c ）（a）(, 0) （b）(0, 1 ）（c）(0) ( 1 , ) （d） ( 1 , ) 2e 2e 2e 5 、（2017.12 成都一诊）若关于x 的方程x exm 0 有三个不相等的实数解ex x exx1 , x2

22、 , x3 ， 且x1 0 x2 x3 ， 其中m r, e 2.71828. 为自然对数的底数，则( x1 ex11)2 ( x2ex21)( x3 1) 的值为（d）e x3（a）e （b）1m （c）1m （d）1 6、已知函数f (x) (3x 1)ex 1 mx ，若有且仅有两个整数使得f (x) 0 ，则实数m 的取值范围为（b ）5（a）( , 2) （b）5 , 8 ) （c）1 , 8 ) （d） 4e, 5 ) e 2e 3e22 3e2 2e 11 0 0第 7 讲导数中的恒成立与存在性问题1、（2015 全国卷1 理12）设函数f (x) ex (2x 1) ax a

23、，其中a 1 ，若存在唯一的整数x0 使得f (x0 ) 0 ，则a 的取值范围是（d ）（a）3 ,1) （b）3 , 3) （c）3 , 3) （d） 3 ,1) 2e 2e 4 2e 4 2e 2、设函数f (x) ex (3x 1) ax a ，其中a 1 ，若有且只有一个整数x 使得f (x ) 0 ，则a 的取值范围是（c ）2 3 （a）( , ) 2 3 （b） , ) 2 （c）( ,1) 2 （d） ,1) e 4 e 4 e e 3、已知函数 f (x) x(a 1 ) ，曲线y f (x) 上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的ex切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范

24、围是（d）（a）( e2 , ) （b）( e2 , 0) (e2 a)2 2（c）(1 , ) e2（d） (1 , 0) e214、设函数f (x) (x a) (a r) ，若关于x 的不等式f (x) 有解，则实数a 的值为（a ）1（a）54 1（b）45 （c）0 （d）125、 已知f (x) a ln x 1 x 2 (a 0) 2， 若对任意两个不等的正实数x1 , x2 ， 都有f (x1 ) f (x2 ) 2 恒成立，则实数a 的取值范围是（d ）x1 x2（a）(0,1（b）(1 ， +)（c）(0,1)（d）1,)6、 已 知 函 数f (x) a ln(x 1)

25、x 2， 若 对p, q (0,1) ， 且p q ， 有f ( p 1) f (q 1) p q 2 恒成立，则实数a 的取值范围为（c ）（a）(,18) （b）(,18 （c）18, ) （d）(18, ) 7、设函数f (x) ex (x2 3x 3) aex x(x 2) ，若不等式f (x) 0 有解，则实数a 的最小值为（a ）（a）11e（b）2 1e（c）1 1 e（d）1e212 , ) , ) 1 2118、设函数f (x) ex (x3 + 3 x2 6x 2) 2aex x ，若不等式f (x) 0 在 2, ) 上有解，2则实数a 的最小值为（c ）（a）3 1 （

26、b）3 2（c）3 1 （d）112 e 2 e ln x (x b)24 2e e 1 9、已知函数 f (x) (b r) ，若存在x , 2 ，使得f (x) xf x 2 (x) ，则实数b 的取值范围是（c ）（a） (, 2) （b） (32（c） (94（d）(, 3) 10、已知 f (x) xex ， g(x) (x 1)2 a ，若x , x r ，使得f (x2 ) g(x1 ) 成立，则实数 a 的取值范围是_ a 1e11、若关于x 的不等式c2 x2 (cx 1) ln x cx 0 在(0, ) 上恒成立，则实数c 的取值范围 是 , ) e12、若关于x 的不等

27、式(ax 1)(ln x ax) 0 在(0, ) 上恒成立，则实数a 的取值范围是(, 1) e _ e13、若函数 f (x) x 1 a ln x(a 0) ，g(x) x ，且对任意x , x 3, 4(x x ) ，ex 11 2 1 2f (x1 ) f (x2 ) 1 g(x ) 1 g(x ) 恒成立，则实数 a 的取值范围为_4 3 e3 , 0)41 2x2 1 x g(x ) f (x ) 14、设函数f (x) ，g(x) ，对任意x , x (0, ) ，不等式12 恒x成立，则正数 k 的取值范围是_ k ex 1 212e 1k k +1 15、记曲线f (x)

28、ex 2x 上任意一点处的切线为l ，总存在过g(x) ax 3cos x 上一点处的切线为l2 ，使得l1 l2 ，则实数a 的取值范围是 1, 2 13 一 导数的常见构造第 8 讲 原函数导函数混合还原1对于 f xg x，构造 h xf xg x更一般地，遇到 f xa a 0，即导函数大于某种非零常数(若a=0，则无需构造)， 则可构 h xf xax 2对于 f xg x0 ，构造 h xf xg x3.对于f xf x 0 ，构造h xex f x4.对于f xf x或f xf x0 ，构造 h xf xex 5.对于xf xf x 0 ，构造h xxf x6对于 xf xf x

29、 0 ，构造 h xf xf xx 7对于f x 0 ，分类讨论：(1)若f x 0 ，则构造h x ln f x；(2)若f x 0 ，则构造h x lnf x；二对 于抽象函数而言，在构造函数时我们必须从以下方面考虑：函数的奇偶性、单调性、 对称性、周期性等方面考虑，如果题目给出的条件已经是最简的，则从问题入手；否则反向考虑。例：（ 2015 课标2 卷理12）设函数f (x) 是奇函数f (x)(x r) 的导函数，f ( 1) 0 ，当x 0 时，xf (x) f (x) 0 ，则使得f (x) 0 成立的x 的取值范围是（a ）（a）(, 1) (0,1) （b）( 1, 0) (1

30、, ) （c）(, 1) ( 1, 0) （d）(0,1) (1, ) 变式1.函数f x的定义域是r，f 0 2 ，对任意x r, f xf x 1，则不等式ex f xex 1的解集为（a）（a） x x 0 （b） x x 0 （c）x x 1或0 x 1 （d）x x 1或x 1 14 变式2. 设函数f (x) 是定义在(, 0) 上的可导函数，其导函数为f (x) ， 且有3f (x)xf(x)0,则不等式x20153f (x2015)27 f ( 3)0的解集是（a）（a）( 2018, 2015) （b）(, 2016) （c）( 2016, 2015) （d）(, 2012)

31、 变式3.设函数f (x) 在r 上存在导数f (x) ，x r ，有f (x) f ( x) x 2 ，在0, 上f (x) x ，若f (4 m) f (m) 8 4m ，则实数m 的取值范围为（b）（a）2, 2（b）2, （c）0, （d）, 22, 课后练习：1、已知定义在r 上的函数f (x) 满足f (2) 1，且f (x) 的导函数f (x) x 1 ，则不等式f (x) 1 x2 x 1的解集为（c）2（a）( 2, 2) （b）(2, ) （c）(, 2) （d）(, 2) (2, ) 2、己知定义在 r 上的可导函数 f ( x) 的导函数为 f ( x) ，满足 f (

32、 x) f ( x) ，且 f ( x 2) 为偶函数，f (4) 1，则不等式f ( x) ex 的解集为（b ）（a）( 2, ) （b）(0, ) （c）(1, ) （d）(4, ) 3、若定义在 r 上的函数 f (x) 满足 f (x) f (x) 1，f (0) 4 ，则不等式 f (x) 为自然对数的底数)的解集为（a）3 1 ( eex（a）(0,)（b）(, 0) (3, )（c）(, 0) (0, )（d）(3, )4、已知函数f (x) 对定义域r 内的任意x 都有f (x) f (4 x) ，且当x 2 时，其导函数f (x) 满足xf (x) 2 f (x) ，若2

33、a 4 ，则（c ）（a） f (2a ) f (3) f (log2 a) （b） f (3) f (log2 a) f (2a ) （c ）f (log2 a) f (3) f (2a ) （d ）f (log2 a) f (2a ) f (3) 15 25、定义在r 上的函数f x满足：f x1f x , f 0 0, f x 是f x的导函数，则不等式ex f xex 1（其中e 为自然对数的底数）的解集为（b ）（a）, 10, （b）0, （c）, 01, （d）1, 6、已知函数y f x对 于任意的x (, )2 2 满足f x cos x f x sin x 0 （其中f x

34、是函数f x的导函数），则下列不等式不成立的是（b ）（a）f ( ) f ( ) （b）f () f () 3 4 3 4 （c） f (0) f ( ) 4 （d） f (0) 2 f ( ) 37、f (x), g(x)(g(x) 0) 分别 是定义 在r 上的奇 函数和 偶函数 ，当x 0 时，f (x)g (x) f (x)g (x) ，且f ( 3) 0 ，f (x) 0 的解集为（c ）g(x) （a）(, 3) (3, ) （b）( 3, 0) (0, 3) （c）( 3, 0) (3, ) （d）(, 3) (0, 3) 8、函数f (x) 的导函数为f (x) ，对x r，

35、都有2 f (x) f (x) 成立，若f (ln4) 2 ，x则不等式f (x) e 2 的解是（a ）（a）x ln 4（b）0 x ln 4 （c ）x 1 （d）0 x 1 9、设f (x) 是定义在r 上的奇函数，且f (2) 0 ,当x 0 时，有则不等式x2 f (x) 0 的解集为 （d ）xf (x) f (x) x2 0 恒成立，（a）( 2, 0) (2, ) （b）( 2, 0) (0, 2) （c）(, 2) (2, ) （d）(, 2) (0, 2) 2216 10、已知一函数满足x 0 时，有g (x) 2x2 g(x) ，则下列结论一定成立的是（b ）xg(2)

36、 （a）g(1) 3 2g(2) （b）g(1) 2 2g(2) （c）g(1) 4 2g(2) （d）g(1) 4 211、定义在区间0, 上的函数f(x)使不等式2 f (x) xf (x) 3 f (x) 恒成立，其中f (x)为f (x) 的导数，则（a ）f (2) （a）4 8 f (1) f (2) （b）8 16 f (1) f (2) （c）3 4 f (1) f (2) （d）2 3 f (1) 12、已知函数f (x) 的定义域为, 00, ，图像关于y 轴对称，且当x 0 时，f (x) f (x) 恒成立，设 a 1 ，则4af (a 1) , 2a f (2 a )

37、, (a 1) f ( 4a) 的大小关系为x（b ）（a）4af (a 1) 2a 1 a f (2 a 1 a ) (a 1) f ( 4a ) a 1 a 1 （b）4af (a 1) 2a 1 a f (2 a ) (a 1) f ( 4a ) a 1 （c）2（d）2a f (2 a f (2 a )4af (a 1) (a 1) f ( a 1 a )4af (a 1) (a 1) f ( a 1 4a )a 1 4a )a 1 13、 已知函数f (x) 的导函数为f (x) ，x 0, ， 都有xf (x) 2 f (x) 成立，则 （d ）（a）2 f ( 3) 3 f (

38、2) （b）2 f (1) 3 f ( 2) （c）4 f ( 3) 3 f (2) （d） 4 f (1) f (2) 14、已知奇函数 f (x) 满足：对x , x , 0且xx ，有x1 f (x1 ) x2 f (x2 ) 0 恒成1 2 1 2x x 立，若 a 20.2 f (20.2 ),b (ln 2) f (ln 2), c (log 1 21 1 ，则a, b, c 的大小关系为2 ) f (log 2 ) 4 4 b a c （用“ ”表示）17 23x第 9 讲 导数中的距离问题1、 （2012 全国卷1 理12）设点p 在曲线y 1 ex 上，点q 在曲线y ln(

39、2x) 上，则pq 最2小值为（b ）（a）1 ln 2 （b） 2(1 ln 2) （c）1 ln 2 （d）2(1 ln 2) 2、直线x m 与函数f (x) x3 g(x) ln x 图像分别交于点m , n ，则mn 最小值为（a ）1 ln 3 （a）3ln 3 （b）31 ln 3 （c）3（d）ln 3 1 3、已知直线 y a 分别与函数 y ex1 和 y 离是（c ）交于a, b 两点，则a, b 之间的最短距（a）3 ln 2 2（b）5 ln 2 2（c）3 ln 2 2（d）5+ ln 2 24、已知点m 在曲线y 3ln x x2 上，点n 在直线x y 2 0

40、上，则mn 的最小值是 2 5、 已知直线y b 与函数f (x) 2x 3 和g(x) ax ln x 分别交于m , n 两点， 若mn 的最小值为2 ，则a b 2 6、若实数a, b, c, d 满足2a2 ln a 3c 2 1，则(a c) 2 (b d )21的最小值为b d 107、若实数a, b, c, d 满足b a2 4 ln a 2c d 2 0 ，则(a c)2 (b d )2 的最小值为 5 8 、已知函数ex 1, x 0 f (x) 1, x 0 2 ， 若m n ， 且f (m) f (n) ， 则n m 的范围是_ 7 2e , ln 3 1 _ 3 2 3

41、ln(x 1), x 09 、已知函数 f (x) ， 若 f (x ) f (x ), x x ， 则 x x 的范围是_3 2 ln 2, 2) 1x 1, x 0 2 1 2 1 2 1 210、已知函数f (x) (x m)3 (x mem)3 2ax(a r) 在r 上单调递增，则a 的取值范围是_ a 0 x 1 18 a2 b22a b ab xxx常用函数不等式x 1 ln xx ln(x 1) ln x 1 1第 10 讲 导数解答题ex x 1 ex 1 x2xxx2 1 e 1x 2 1ln x 2 1 xex x 1 2 ln x ex1 ex 1 n 1 x 1 2

42、n 1i 1ln(n 1) i2 ln n 不等式链： a b 12 a2 ab b2a b a2 ab b2 (aabb ) a b 3 a b 2 a bb a1b alnb lna ab1 2ab 1 ( )2 e1( ) b a e( ) b a (a bb a) a b2 2 对数均值不等式：ab ln b ln a b a baa b a b b a （用来解决极值点偏移问题）2 ln b ln a 对数不等式（用来证明对数均值不等）0 x 1, x 1 ln x 2(x 1)x 1 x 1, 2(x 1) ln x x 1x 1 【基础典例分析】例：已知函数 f (x) ln(x

43、 1) （）讨论f (x) 零点的个数；ax x a(a 1) （）证明：2 2n 1 ln(11 ) n3 3n 1 , nn *【答案】（）当a 1 时，1 个零点；当1 a 2 时，2 个零点；当a 2 时，1 个零点；当a 2 时，2 个零点（）分别取a 2 和a 3 证左右两边ab iix19 【近七年高考全国卷】（2017 年高考全国卷）已知函数 f (x) ae2 x (a 2)ex x （）讨论f (x) 的单调性；（）若f (x) 有两个零点，求a 的取值范围【答案】（）当a 0 时，f (x) 在r 上单调递增；当a 0 时，f (x) 在(, ln a) 上单调递减，在(

44、 ln a, ) 上单调递增（）0 a 1（2016 年高考全国卷）已知函数f (x) (x 2)ex a(x 1) 2 有两个零点（）求a 的取值范围（）设 x1 , x2 是 f (x) 的两个零点，证明： x1 x2 2 【答案】（）a 的取值范围为(0, ) ；（）极值点偏移问题，构造函数（2015 年高考全国卷）已知函数 f (x) x3 ax 1 ， g(x) ln x 4（）当a 为何值时，x 轴为曲线y f (x) 的切线（）用min m, n 表示m, n 中的最小值，设函数h(x) min f (x), g(x)( x 0) ，讨论h(x) 零点的个数【答案】（）a 3 ；

45、4（）当a 3 或a 5 时，1 个零点；4 4当a 3 或5 时，2 个零点；4 4当5 a 3 时，3 个零点4 420 x be（2014 年高考全国卷）设函数 f (x) ae 切线为 y e(x 1) 2 x 1ln x ，曲线y f (x) 在点(1, f (1) 处的x（）求a, b （）证明： f (x) 1 【答案】（）a 1,b 2 ；（）变形构造，略（2013 年高考全国卷）设函数 f (x) x2 ax b ，g(x) ex (cx d ) ，若曲线 y f (x) 和曲线 y g (x) 都过点 p(0, 2) ，且在点 p 处有相同的切线 y 4x 2 （）求a,

46、b, c, d 的值（）若x 2 时，f (x) kg(x) ，求k 的取值范围【答案】（）a 4,b 2, c 2, d 2 ；（）k 的取值范围为1, e2 （2012 年高考全国卷）已知函数 f (x) f (1)ex 1 f (0)x 1 x22（）求f (x) 的解析式及单调区间（）若f (x) 1 x2 ax b ，求(a 1)b 的最大值2【答案】（）f (x) 的解析式为f (x) ex x 1 x 2 ；2单调递增区间为(0, ) ，单调递减区间为(, 0)e（）(a 1)b 的最大值为2（2011 年高考全国卷）已知函数f (x) a ln x b ，曲线y f (x) 在

47、点(1, f (1) 处的切线x 1 x 方程为 x 2 y 3 0 （）求a, b 的值a 1,b 1（）如果当 x 0 且x 1 时， f (x) ln x k ，求k 的取值范围k 021 x 1 x 22 21 10.1 导数基础练习题1、已知函数 f (x) x ln x ， g(x) x2 ax （）求函数f (x) 在区间t, t 1(t 0) 上的最小值m(t) （）令h(x) g(x) f (x) ，a(x1, h(x1 ) ，b(x2 , f (x2 )(x1 x2 ) 是函数h(x) 图像上任意两点，且满足h(x1 ) h(x2 ) 1，求实数a 的取值范围x1 x2（）

48、若x (0,1 ，使f (x) a g (x) 成立，求实数a 的最大值x【答案】（）当0 t 1 时，m(t) 1；当t 1时， m(t) t ln t（）a 的取值范围为a 2 2（）实数a 的最大值为12、已知函数 f (x) x ln x ， g(x) x2 ax 3 （）求函数f (x) 在t, t 2(t 0) 上的最小值（）若存在x , e ，2 f (x ) g(x ) 成立，求实数a 的取值范围0 e 0 0【答案】（）当0 t 1 时，f (x)emin1 ；e当t 1 时，f (x)emint ln t（）a 的取值范围为 a 3e 1 2e3、已知函数 f (x) x

49、ln x ， g(x) x2 ax 2 （）求函数f (x) 在t, t 2(t 0) 上的最小值（）若函数y f (x) g (x) 有两个不同的极值点x1 , x2 (x1 x2 ) 且x2 x1 ln 2 ，求实数a 的取值范围【答案】（）当0 t 1 时，f (x)emin1 ；e当t 1 时，f (x)emint ln t（）a 的取值范围为 a 2 ln 2 ln(ln 2) 13 323 14、已知函数 f (x) ln x ， g(x) 1 x2 bx 2（）函数f (x) 的图像在点(1, f (1) 处的切线与函数g(x) 的图像相切，求实数b 的值（）若函数h(x) f

50、(x) g(x) 在定义域上存在单调递减区间，求实数b 的取值范围（）若b 2 ，x1 , x2 1, 2 ，且x1 x2 ，都有求实数b 的取值范围【答案】（）b 1（）b 的取值范围为b 2（）b 的取值范围为b 2f (x1 ) f (x2 ) g(x1 ) g(x2 ) 成立，5、设函数 f (x) ax2 a ln x ，g(x) 1 ex ex（）讨论f (x) 的单调性（）证明：当 x 1 时， g(x) 0 （）确定a 的所有可能取值，使得f (x) g(x) 在(1, ) 区间内恒成立【答案】（）当a 0 时，f (x) 在(0, ) 上单调递减；当a 0 时，f (x) 在

51、(0,（）变形x 1, ex ex 0（）a 的取值范围为 , )22a ) 上单调递减，在( 2a2a , ) 上单调递增2a6、函数g(x) f (x) 1 x 2 bx ，函数f (x) x a ln x 在x 1 处的切线与直线 x 2 y 0 2 垂直（）求实数a 的值（）若函数g(x) 存在单调递减区间，求实数b 的取值范围（）设x , x (x x ) 是函数g(x) 的两个极值点，若b 7 ，求g(x ) g(x ) 的最小值1 2 1 2【答案】（）a 1 ；（）b 3（）15 2 ln 2 82 1 2224 aa 1aa 1n mm n5 17、已知函数 f (x) a

52、ln x a 1 x 2 1 2（）当a 121 时，求f (x) 在区间 , e 上的最值e（）讨论函数f (x) 的单调性（）当1 a 0 时，有f (x) 1a ln( a) 恒成立，求a 的取值范围2e2【答案】（）f (x)min f (1) 4 , f (x)max f (e) 2 4（）当a 0 时，f (x) 在(0, ) 上单调递增；当1 a 0 时，f (x) 在( , ) 上单调递增，在(0, ) 上单调递减（）a 的取值范围为(1 1, 0)e8、已知函数f (x) ax x ln x 图像在点x e 处的切线的斜率为3 （）求实数a 的值（）若f (x) kx2 对任

53、意x 0 成立，求实数k 的取值范围（）当n m 1(m, n n 【答案】（）a 1 ；*) 时，证明：m n （）分参构造， k 1（）取对数，构造 h(x) x ln xx 19、已知函数 f (x) x ln(x a) 的最小值为0 ，其中 a 0 ，设函数 g(x) ln x mx（）求a 的值（）对任意x x 0 ，g(x1 ) g(x2 ) 1恒成立，求实数m 的取值范围1 2 x x 1 2（）讨论方程g(x) f (x) ln(x 1) 在1, ) 上根的个数【答案】（）a 1 ；（）移项构造， m 14（）m 1，1 个根；m 1 ，无根25 e10、已知函数 f (x)

54、ln x a(1x) （）讨论f (x) 的单调性（）当f (x) 有最大值时，且最大值大于2a 2 时，求a 的取值范围【答案】（）当a 0 时，f (x) 在(0, ) 上单调递增；当a 0 时，f (x) 在(0, 1 ) 上单调递增，在( 1 , ) 上单调递减；a a（）(0,1)10.2 分离参数类11、已知函数 f (x) ln x 1 ax 2 2x(a 0) 2（）若函数f (x) 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围（）若a 1 ，且关于x 的方程f (x) 1 x b 在1, 4 上恰有两个不等的实根，求实2 2 数b 的取值范围【答案】（）a 1 ；（）(ln 2

55、2, 5)4ex12、已知函数f (x) a(x ln x) x（）当a 0 时，试求f (x) 的单调区间（）若函数f (x) 在x ( 1 , 2) 上有三个不同的极值点，求实数a 的取值范围2【答案】（）当a 0 时，f (x) 在(1, ) 上单调递增，在(0,1) 上单调递减；（）2 a e26 21 213、已知函数 f (x)=ex ax a ， g(x) 2xex（）讨论f (x) 的单调性（）若不等式f (x) g(x) 有唯一正整数解，求实数a 的取值范围【答案】（）当a 0 时，f (x) 在r 上单调递增；当a 0 时，f (x) 在(ln( a), ) 上单调递增，在

56、(, ln( a) 上单调递减；5e3（）(3e , ) 214、已知函数 f (x) (x2 ax a)e x（）讨论f (x) 的单调性（）若a (0, 2) ，对于任意x1 , x2 4, 0 ，都有f (x ) f (x ) 4e 2 mea 恒成立，求m 的取值范围【答案】（）当a 2 时，f (x) 在(, a) 上单调递增，在(a, ) 上单调递减；当a 2 时，f (x) 在r 上单调递增；当a 2 时，f (x) 在(, 2),(a, ) 上单调递增，在( 2, a) 单调递减（）m 1e2 e215、已知函数 f (x) ln x x a 1 （）若存在x (0, ) 使得

57、f (x) 0 成立，求实数a 的取值范围（）求证：当x 1 时，在（）的条件下，1 x2 ax a x ln x 1 成立2 2 【答案】（）a 0 ；当a 0 时，f (x) 在(0, 1 ) 上单调递增，在( 1 , ) 上单调递减；a a（）略26 1g(x1 ) 10.2 构造新函数类16、已知函数 f (x) mx a ln x m ，g(x) exx2（）求g(x) 的极值（）设m 1, a 0 ，若对任意的x , x 3, 4(x x ) ， f (x ) f (x ) 恒成立，求a 的最大值1 2 1 2 1 2（） 设a 2 ， 若对x0 (0, e ， 在区间(0, e

58、上总存 在t1 , t2 (t1 t2 ) f (t1 ) f (t2 ) g(x0 ) 成立，求m 的取值范围 （*）【答案】（）g(x) 的极大值为g(1) 1 ，无极小值；（）a 的最大值为3 2 e23， 使得（）m 的取值范围为3e 1, )17、已知 f (x) e2 x ln(x a) （）当 a 1 时，f (x) 在点(0,1) 处的切线方程；当 x 0 时，求证： f (x) (x 1)2 +x （）若存在x 0, ) ，使得f (x ) 2 ln(x a) x 2 成立，求实数a 的取值范围0 0 0 0【答案】（）切线方程为y 3x 1 ；二阶导可证（）a 的取值范围为

59、 a e18、已知函数 f (x) 2x 1 a ln x(a r) x（）当a 3 时，求f (x) 的单调区间（）g(x) f (x) x 2a ln x ，g(x) 有 两 个极 值 点x1 , x2， 其 中x1 x2 ， 若g(x1 ) g(x2 ) t 恒成立，求t 的取值范围1 1【答案】（）f (x) 的单调递增区间为(0, ), (1, ) ，单调递减区间为( ,1) ；2 21g(x2 ) 26 （）t 的取值范围为t 027 10 019、已知函数f (x) a ln x 1 x 2 ax 有两个极值点2（）求实数a 的取值范围（）设f (x)的两个极值点分别为x1,x2

60、，若不等式f (x1)f (x2)(x1x2)恒成立，求的最小值【答案】（）a 的取值范围为 a 4（）的最小值为ln 4 320 、 记maxm, n 表 示m, n 中 的 最 大 值 ， 如max3, 10 ， 函 数f (x) maxx 2 1, 2 ln x ，g(x) maxx ln x, ax 2 x 1（）求函数f (x) 在 ,1 上的值域2（）试探讨是否存在实数a ，使得g(x) 3 x 4a 对x (1, ) 恒成立？若存在，求a 2的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】（）f (x) 的值域为3 , 3 ；4（）存在， a 的取值范围为 ln 2 1 a 0421、已