导数常用的一些技巧和结论(1)

1、努力的你，未来可期! 拼搏的你，背影很美！导数常用的一些技巧和结论努力的你，未来可期! 拼搏的你，背影很美！努力的你，未来可期! 拼搏的你，背影很美！努力的你，未来可期! 拼搏的你，背影很美！（2017 年全国新课标1理 21）已知22xxfxaeaex. （1）讨论fx的单调性；（2）若fx有两个零点，求a的取值范围 . 解析： （1）2221211xxxxfxaeaeeae若0a，则0fx恒成立，所以fx在 r上递减；若0a，令0fx，得11,lnxexaa. 当1lnxa时，0fx，所以fx在1,lna上递减；当1lnxa时，0fx，所以fx在1ln,a上递增 . 综上，当0a时，fx在

2、 r 上递减；当0a时，fx在1,lna上递减，在1ln,a上递增 . （2）fx有两个零点，必须满足min0fx，即0a，且min111ln1ln0fxfaaa. 构造函数1lng xxx，0 x. 易得110gxx，所以1lng xxx单调递减 . 又因为10g，所以11111ln01101ggaaaaa. 下面只要证明当01a时，fx有两个零点即可，为此我们先证明当0 x时，lnxx. 事实上，构造函数lnh xxx，易得11hxx，min11h xh，所以0h x，即lnxx. 当01a时，22222110aeaeaafeee，2333333ln121ln11ln10afaaaaaaa

3、a，其中11lna，31lnlnaaa，所以fx在11,lna和13ln,lnaaa上各有一个零点. 努力的你，未来可期! 拼搏的你，背影很美！故a的取值范围是0,1. 注意： 取点过程用到了常用放缩技巧。一方面：2233202030ln1xxxxxxxaaeaexaeaeeaeaexaa；另一方面：0 x时，220201xxxaeaexaexx（目测的）常用的放缩公式 （考试时需给出证明过程）第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln1xx，ln xx，ln 1xx（放缩成双撇函数）11ln12xxxx，11ln012xxxx，1ln1xxxx，1ln01xxxx，（放缩成二次函数）2ln xx

4、x，21ln 1102xxxx，21ln 102xxxx（放缩成类反比例函数）1ln1xx，21ln11xxxx，21ln011xxxx，ln 11xxx，2ln 101xxxx，2ln 101xxxx第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1xex，xex，xeex，（放缩成类反比例函数）101xexx，10 xexx，（放缩成二次函数）21102xexxx，2311126xexxx，第三组：指对放缩ln112xexxx第四组：三角函数放缩sintan0 xxx x，21sin2xxx，22111cos1sin22xxx. 第五组：以直线1yx为切线的函数lnyx，11xye，2yxx，11yx，

5、lnyxx. 努力的你，未来可期! 拼搏的你，背影很美！几个经典函数模型经典模型一：ln xyx或lnxyx. 【例 1】讨论函数lnfxxax的零点个数 . （1）1ae时，无零点 .1fxax，max11ln10fxfaa. （2）1ae时， 1 个零点 . 11fxxe，maxln10fxf ee. （3）当10ae时， 2 个零点 . 10fa（目测），111ln1011111aafaaaaa，其中111ea.（放缩）10f eea. 2211111ln0faaaaaaa，其中221eea.（用到了1ln1xxxx）（4）当0a时， 1 个零点 . 10fxax，单调递增 .10fa，

6、1122111110aaaaafeaaeaaaaeea. 【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例1：lnfxxax） ：1. 讨论lnfxxmx的零点个数 （令xt，2ma） ；2. 讨论lnfxxmx的零点个数 （令1am） ；3. 讨论lnfxxxmx的零点个数 （考虑fxg xx） ；努力的你，未来可期! 拼搏的你，背影很美！4. 讨论ln xfxmxx的零点个数（考虑g xx fx，令32tx，32ma） ；5. 讨论2lnfxxmx的零点个数（ 令2tx，2ma） ；6. 讨论xfxaxe的零点个数 （令xet）. 经典模型二：xeyx或xeyx【例 2】讨论函数xfxeax

7、的零点个数 . （1）0a时， 1 个零点 .0 xfxea，xfxeax单调递增 . 且010fa，1110afea，所以在1,0a上有一个零点；（2）0a时，无零点 .0 xfxe恒成立；（3）0ae时，无零点 .minln1ln0fxfaaa；（4）ae时， 2 个零点 . 1110afea，10fea，2ln2ln20faa aaa e. 【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题2：xfxeax） ：1. 讨论2xfxemx的零点个数（令2xt，2ma） ；2. 讨论xxemfxxe的零点个数（去分母后与1 等价 ） ；3. 讨论xfxemx的零点个数（移项平方后与1 等价 ）

8、 ；4. 讨论2xfxemx的零点个数（移项开方后换元与1 等价 ） ；5. 讨论1xfxemx的零点个数（乘以系数e，令ema） ；6. 讨论ln xfxmxx的零点个数（令txe，转化成2）努力的你，未来可期! 拼搏的你，背影很美！7. 讨论1xfxemxm的零点个数（ 令1xt，2mae） ；经典模型三：lnyxx或xyxe【例】讨论函数lnafxxx的零点个数 . （1）0a时， 1 个零点 . 20 xafxx，lnafxxx单调递增 . 10fa，11ln 110111aafaaaaa. （2）0a时， 1 个零点 （01x）. （3）1ae时，无零点 . 2xafxx，minln10fxfaa（4）1ae时， 1 个零点 . 01xe.min11ln10fxfee（5）10ae时， 2 个零点 . 22111ln0faaaaaaa，110feae，10fa，【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题3：lnafxxx） ：1.讨论1lnfxaxx的零点个数；2. 讨论lnfxmxx的零点个数（考虑fxg xx，令xt） ；3. 讨论xafxxe的零点个数（ 令xet） ；努力的你，未来可期! 拼搏的你，背影很美！4. 讨论xafxex的零点个数；练习题1. 已知函数221xfxxea x有