《高等数学》电子课件（自编教材）：02第一章 第2节 数列的极限

1、1数列的极限第二节一、概念的引入 二、数列的定义三、数列的极限四、数列极限的性质五、小结2“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽一、概念的引入3R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126nnA,nAAAA321S42 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;222121X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖

2、长总和;nnXn2121212天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第nnX21115二、数列的定义如果按照某个法则，可以得到一列有序数：如果按照某个法则，可以得到一列有序数： ,21nxxx (1) 称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数列的其中的每个数称为数列的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为nx. 例如例如;,n2842;,n21814121n2n21定义：定义：6注意：注意： 1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整

3、标函数数列是整标函数).(nfxn;,)( ,11111n)(11n;,)(,nnn 1134212)(nnn 11nnx2如如Nxxfx 2)(,3333337.)(时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列nnn 111播放播放三、数列的极限8 .)(,1111无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻划它如何用数学语言刻划它?10nx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:( 1)11nnxn 充分小，充分小，充分大时，充分大时，即当即当1nxn因为所以90 给定给定,)(时时当当 1Nn.成成立立

4、恒恒有有 1nx也就是说：也就是说：充充分分大大即即可可；充充分分小小，只只要要要要使使nxn1或者说：或者说：,（无论多么小）（无论多么小）. 1nx要使要使充分大即可办到，充分大即可办到，只要只要n多大才能办到？）多大才能办到？）（n，要使要使 1nx1nxnnn1111)(, n1只只要要即可，即可，即即 1n，取取 1N101111无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn)(,0 给定给定,（无论多么小）（无论多么小），取取)( 1NN总存在正整数总存在正整数,)(时时使当使当 1 Nn.成成立立恒恒有有 1nx11 如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说

5、数列是发散的.注意：注意：;.的的无无限限接接近近与与刻刻划划了了不不等等式式axaxnn 1.有关有关与任意给定的正数与任意给定的正数 N2语言）：语言）：N (定义定义,axn及常数及常数对于对于,（无论多么小）（无论多么小）0 ,N总存在正整数总存在正整数时，时，当当Nn , axn恒有恒有,axxann收敛于收敛于的极限，或称的极限，或称是是则称则称limnnxa记作()nxan 或12x1x2x2 Nx1 Nx3x 2 a aa只有有限个的几何意义：的几何意义：、axnnlim3, 0 axn axan,NnN，只要，只要可找到一个可找到一个即即0 (,)aa内，项）在这个区间之外。

6、项）在这个区间之外。（至多（至多Nnnxa随着 的增大， 代表的点越来越“密集”在点 附近。nx所有都落在13例例1证证,1 n只要只要,1 n即即,1 N取取,时时则当则当Nn 0nx就有就有. 0limnnx即的的极极限限。是是否否为为、此此定定义义只只能能用用来来判判断断nxa4. 0lim,) 1() 1(2nnnnxnx证明证明已知已知,0 ,0 nx要使要使0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11nn114说明说明:, 0 关键是任给关键是任给用定义证明数列存在，用定义证明数列存在，.N但不必要求是最小的例例2.,10 q设证明等比数列,112nqqq的极限为 0 0 .证

7、证:0 ),1 （设（设,0 nx要使要使0nx110nnqq,1 nq只要只要,lnln) 1( qn即即,N寻求15.lnln1qn 亦即亦即,lnln1 qN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq恒有恒有1limlim0.nnnnxq所以16四、数列极限的性质1.有界性有界性例如例如,;1 nnxn数列数列.3nnx 数列数列有界有界无界无界注：注：不是唯一的；不是唯一的；）（M1.,2MMxMxnn则在数轴上则在数轴上）若）若（17定理定理1 1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则则

8、. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注意注意(1)数列数列有界不一定收敛有界不一定收敛.(2) (2) 无界数列必定发散无界数列必定发散. .nnx) 1(如如182.唯一性唯一性定理定理2 2 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设使使得得则则.,21NN;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时恒有时恒有当当 ,max21NNN 取取时有时有则当则当Nn )()(axbxbann axbxnn ab 故收敛数列极限唯一故收敛

9、数列极限唯一., ba 若若,2ab 取取矛盾矛盾ab)()(193. 保号性保号性.定理定理3 3 若,limaxnn且0a,NN则Nn 当时, 有0nx, )0(. )0(证证: 对 a 0 ,取,2aN则,时当Nn axn2anx02aaax2a2a推论推论:若数列从某项起0nx,limaxnn且0a则)0(. )0(用反证法证明)问题：，0nx,limaxnn？是否0a不一定nnx1如20、子数列、子数列3定义：定义：，项后任取项后任取，在，在中，第一次抽取中，第一次抽取在在211nnnnxxxxknnnnnxxxxx,2132这样得到这样得到，后再任取后再任取在在,knx记作记作的子

10、数列；的子数列；为为称称nnxxk,1,31,21, 1n如如为子列。为子列。,21,41,21k21系）（收敛数列与子列的关定理4证明：证明：, 0 .knxalim,nnxa因为0,0,NnN对上面的存在当时，恒有.nxa,kKNKNkKnnnN取则当时，恒有.knxalim.knkxa所以.axaxknn都都收收敛敛于于，则则它它的的任任一一子子列列收收敛敛于于若若KkK要证存在正整数 ，使当时，恒有22说明：说明：发散；发散；数，则数，则存在两子列收敛于不同存在两子列收敛于不同）若）若（1nnxx，如如1111此数列发散。此数列发散。，收敛于收敛于，收敛于收敛于11212kkxx.,2

11、212自证自证则则若若）对于）对于（axaxaxxnkkn234例例. 0lim0limnnnnnnyxyx，证明，证明有界，又有界，又设设证明：证明：nx因为 有界，0,nMxM所以使；, 0 .0 nnyxNnN时，有时，有，当，当要证要证, 0limnny而而11,NnNM对于给定的当时，恒有0,nnyyM,1NN 取取nN当时，恒有0,nnnnnx yx yM yMMlim0.nnnx y 所以24五.小结数列数列: :研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限: :极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质: :有界性，唯一性，保号性有界性

12、，唯一性，保号性.251. 如何判断极限不存在?方法1. 找一个趋于的子数列;方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.2. 已知),2, 1(21,111nxxxnn, 求nnxlim时, 下述作法是否正确? 说明理由.设,limaxnn由递推式两边取极限得aa211a不对不对!此处nnxlim练习与思考题练习与思考题2626231223limnnn证：证：231223nnaxn0只要1N取成立恒有时当则对2312230nnNn231223limnnn注(1)化简axn（必要时适当地放大）(2)用倒推法得到与n有关的一系列不等式的函数）仅是）中不含（）（, nn 3、求证1221n121nn1

13、1,n即当1n时，恒有nxa271 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入281 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入29“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入30“割

14、之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入31“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入32“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入33“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又

15、失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入34“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入35“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入36.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限37.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限38.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限39.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限40.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限41.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列的极限42.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn三、数列