[理学]01第一节 向量及其运算ppt课件

1、第一节第一节 向量及其运算向量及其运算一、向量概念一、向量概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影六、小结六、小结 思索题思索题向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M为为起起点点，2M为为终终点点的的有有向向线线段段.1M2M a21MM模长为模长为1 1的向量的向量. .21MM00a零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单

2、位向量：单位向量：一、向量概念一、向量概念或或或或或或自在向量：自在向量：不思索起点位置的向量不思索起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向一样的向量大小相等且方向一样的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向径：向径：aba a空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量. . OMM1 加法：加法：cba abc平行四边形法那么平行四边形法那么特殊地：假设特殊地：假设ababc|bac 分为同向和反向分为同向和反向bac|bac 平行四边形法那么有时也称为三角形法那么平行四边形法那么有时也称为三角

3、形法那么二、向量的线性运算二、向量的线性运算1、向量的加减法、向量的加减法向量的加法符合以下运算规律：向量的加法符合以下运算规律：1 1交换律：交换律：.abba 2 2结合律：结合律：cbacba )().(cba 3. 0)( aa2 减法减法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab设设 是是一一个个数数，向向量量a与与 的的乘乘积积a 规规定定为为, 0)1( a 与与a同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反反向向，|aa aa2a21 2、向量与数的乘法、向量与数的乘法数与向量的乘积符合以下运算规律：数与向量的乘积符合以下运算规律：1

4、1结合律：结合律：)()(aa a)( 2 2分配律：分配律：aaa )(baba )(0.ababa 定定理理1 1设设向向量量，那那末末向向量量平平行行于于的的充充分分必必要要条条件件是是：存存在在唯唯一一的的实实数数 ，使使两个向量的平行关系两个向量的平行关系证证充分性显然；充分性显然；必要性必要性ab设设,ab 取取取正值，取正值，同向时同向时与与当当 ab取负值，取负值，反向时反向时与与当当 ab.ab 即即有有.同同向向与与此此时时ab aa 且且aab .b .的唯一性的唯一性 ，设设ab ，又设又设ab 两式相减，得两式相减，得，0)( a ，即即0 a ，0 a，故故0 .

5、即即同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aa0按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，0|aaa .|0aaa 上式阐明：一个非零向量除以它的模的结果是上式阐明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.例例1 1 化化简简 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 例例2 2 试用向量方法证明：对角线相互平分试用向量方法证明：对角线相互平分的四边形必是平行四边形的四边形必是平行四边形. .证证AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD与与 平行且

6、相等平行且相等,BC结论得证结论得证.ABCDMab.上的有向线段上的有向线段是轴是轴，设有一轴设有一轴uABuuAB.ABABABuuABuABAB ，即，即的值，记作的值，记作上有向线段上有向线段叫做轴叫做轴那末数那末数是负的，是负的，轴反向时轴反向时与与是正的，当是正的，当向时向时轴同轴同与与，且当，且当满足满足如果数如果数向量在轴上的值：向量在轴上的值：ouAB1轴轴同同方方向向的的单单位位向向量量，是是与与设设ue.)(eABAB 的相互位置如何，的相互位置如何，三点三点轴上任意三点，不论这轴上任意三点，不论这是是设设uCBA,eBCeABeAC)()()( 即即,)(eBCAB .

7、BCABAC ,BCABAC ex横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合右手系符合右手系.即以右手握住即以右手握住z轴，轴，当右手的四个手指当右手的四个手指从正向从正向x轴以轴以2 角角度转向正向度转向正向y轴轴时，大拇指的指向时，大拇指的指向就是就是z轴的正向轴的正向.三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有八个卦限空间直角坐标系共有八个卦限空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(O),(zyxM xyzo)0

8、, 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.rOMxiyjzk xyzo ijkPNQRMHK向量的坐标分解式：向量的坐标分解式：任给向量任给向量 ，对应有点，对应有点 ,使使 ，如下图，设，如下图，设r MOMr ,OPxi ,OQyj .ORzk 那那么么上式称为向量上式称为向量 的坐标分解式，的坐标分解式， 称为向量称为向量 沿三个坐标轴方向的分向量。沿三个坐标轴方向的分向量。r r x

9、iyjzk、 、向量向量 称为点称为点 关于原点关于原点 的向径。的向径。rOM MO ,x y z、( ,).rxyz 定义：定义：向量向量 的坐标：的坐标：r 向量向量 的坐标表达式：的坐标表达式：r ,x y z、点点 的坐标：的坐标：M记作：记作：( ,).M xyz四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 设：设：那么那么解解,1

10、11zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点，例例 3 3 设设),(111zyxA和和),(222zyxB为两已知为两已知点， 而在点， 而在AB直线上的点直线上的点M分有向线段分有向线段AB为两为两部分部分AM、MB，使它们的值的比等于某数，使它们的值的比等于某数)1( ，即，即 MBAM，求分点的坐，求分点的坐标标. ABMxyzo由题意知：由题意知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM为为有有向向线线段段AB的的

11、定定比比分分点点.M为为中中点点时时，,221xxx ,221yyy .221zzz 设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212NMPNPMd 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空间两点间间隔公式空间两点间间隔公式特殊地：假设两点分别特殊地：假设两点分别为为,),(zyxM)0 , 0 , 0

12、(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M例例 4 4 求证以求证以)1 , 3 , 4(1M、)2 , 1 , 7(2M、)3 , 2 , 5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6)31()23()54(222 32MM,13MM 原结论成立原结论成立.例例 5 5 设设P在在x轴上，它到轴上，它到)3 , 2, 0(1P的距离为的距离为到点到点)1, 1 , 0(2 P的距离的两倍，求点的距离的两倍，求点P的坐标的坐标

13、. 解解设设P点坐标为点坐标为),0 , 0 ,(x因因为为P在在x轴轴上上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求点为所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a与与向向量量b的的夹夹角角),(ba ),(ab 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间

14、恣意取值之间恣意取值. 0() 非零向量非零向量 的方向角：的方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M xyzo 1M 2M 由图分析可知由图分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式21212121RMQMPMMM 0222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaa

15、aa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为例例 6 6 求求平平行行于于向向量量kjia676 的的单单位位向向量量的的分分解解式式. 解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 例例 7 7 设有向量设有向量21PP，已知，已知221 PP，它与，它与

16、x轴轴和和y轴的夹角分别为轴的夹角分别为 3 和和 4 ，如果，如果 1P的坐标为的坐标为)3 , 0 , 1(，求，求2P的坐标的坐标. 解解设设向向量量21PP的的方方向向角角为为 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos .32,3 设设2P的的坐坐标标为为),(zyx,1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的的坐坐标标为为).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u AA 过点过点A

17、作轴作轴 u的垂直平的垂直平面，交点面，交点 A 即为点即为点 A在在轴轴 u上的投影上的投影. 空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uAA BB 已知向量的起点已知向量的起点A和终点和终点B在在轴轴u上的投影分别为上的投影分别为BA ,那那 么轴么轴u上的有向线段上的有向线段BA 的的值，称为向量在轴值，称为向量在轴 u上的投影上的投影. uPrj AB .BA 向向量量AB在在轴轴 u上上的的投投影影记记为为 关于向量的投影的性质：关于向量的投影的性质： 向量向量AB在轴在轴 u上的投影等于向量的模乘上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：以轴与向量的夹角的余弦： uPrj

18、AB |cosAB 证证uABA B B uPrj AB uPrj AB cos| AB u 性质性质1性质性质1 1的阐明：的阐明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；uabc(4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和. . 1212().uuuPrj aaPrj aPrj aAA BB CC 可推行到有限多个可推行到有限多个u1a2a性质性质2性质性质3().uuPrjaPrj a 例例 8 8 设

19、设kjim853 ，kjin742 ，kjip45 ，求求向向量量pnma 34在在 x轴轴上上的的投投影影及及在在y轴轴上上的的分分向向量量. 解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x轴轴上上的的投投影影为为13 xa,在在y轴上的分向量为轴上的分向量为j7.六、小结六、小结向量的概念向量的概念向量的加减法向量的加减法向量与数的乘法向量与数的乘法留意与标量的区别留意与标量的区别平行四边形法那么平行四边形法那么留意数乘后的方向留意数乘后的方向空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间间隔公式空间两点间间隔公式留意它与平面直角坐标系的区别

20、留意它与平面直角坐标系的区别轴、面、卦限轴、面、卦限 21221221221zzyyxxMM 向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式.留意分向量与向量的坐标的区别留意分向量与向量的坐标的区别作业：作业：P12 P12 习题习题8-18-15 5、12 12、13 13、15 15思索题思索题2、在空间直角坐标系中，指出以下各点在哪个、在空间直角坐标系中，指出以下各点在哪个卦限？卦限？, )3 , 2, 1( A, )4, 3 , 2( B, )4,

21、3, 2( C. )1 , 3, 2( D1、知平行四边形、知平行四边形ABCD的对角线的对角线AC,a BDb 试用试用 表示平行四边形四边上对应的向量表示平行四边形四边上对应的向量.ba,思索题思索题2解答解答A:; B:; C:; D:;思索题思索题1解答解答BCAD AM MD).(21ba DC AB AM MB).(21ba ABCDMab一、一、 填空：填空：1 1、 向量是向量是_的量；的量；2 2、 向量的向量的_叫做向量的模；叫做向量的模；3 3、 _的向量叫做单位向量；的向量叫做单位向量；4 4、 _的向量叫做零向量；的向量叫做零向量；5 5、 与与_无关的向量称为自由向

22、量；无关的向量称为自由向量；6 6、 平行于同一直线的一组向量叫做平行于同一直线的一组向量叫做_，三，三个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做_ _ _；7 7、两两向向量量_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，我我们们称称这这两两个个向向量量相相等等；8 8、两两个个模模相相等等、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _的的向向量量互互为为逆逆向向量量；9 9、把把空空间间中中一一切切单单位位向向量量归归结结到到共共同同的的始始点点，则则终终点点 构构成成_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；练练 习习 题题 110

23、10、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的 始点，则终点构成始点，则终点构成_；1111、要使、要使baba 成立，向量成立，向量ba,应满足应满足_ _ _；1212、要使、要使baba 成立，向量成立，向量ba,应满足应满足_ _ _ _ . .二二、 用用向向量量方方法法证证明明：对对角角线线互互相相平平分分的的四四边边形形是是平平行行四四边边形形 .三 、 把三 、 把ABC的的BC边 五 等 分 ， 设 分 点 依 次 为边 五 等 分 ， 设 分 点 依 次 为4321,DDDD， 再 把 各 分 点 与 点， 再 把 各 分 点

24、与 点A连 接 ， 试 以连 接 ， 试 以aBCcAB ,表示向量表示向量ADADADAD4321,和和 . .练习题练习题1答案答案一、一、1 1、既有大小、既有大小, ,又有方向；又有方向； 2 2、大小；、大小； 3 3、模等于、模等于 1 1； 4 4、模等于零；、模等于零； 5 5、起点；、起点； 6 6、共线向量、共线向量, ,共面向量；共面向量； 7 7、模相等且方向相同；、模相等且方向相同； 8 8、方向相反；、方向相反； 9 9、半径为、半径为 1 1 的球面；的球面； 1010、距离等于、距离等于 2 2 的两点；的两点； 1111、a垂直于垂直于b； 1212、a与与b

25、同向同向 . .三、三、)51(1acAD , ,)52(2acAD , , ).54(),53(43acADacAD 1 1、以下各点所在象限分别是：、以下各点所在象限分别是： _;1,3,2d_4,3, 2c_4,3,2b_3,2- ,1 a在在、；在在、；在在、；在在、 ；轴轴的的对对称称点点是是，关关于于轴轴的的对对称称点点是是，关关于于的的对对称称点点是是轴轴，关关于于的的对对称称点点是是关关于于平平面面的的对对称称点点是是，关关于于平平面面的的对对称称点点是是关关于于平平面面、点点_,_)1,2,3(2zyxzoxyozxoyp 一、填空题一、填空题练习题练习题23、点点)5,3,

26、4( A在在xoy平平面面上上的的射射影影点点为为_ _ _ _ _ _ _ _, ,在在yoz面面上上的的射射影影点点为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，在在 zox轴轴上上的的射射影影点点为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _，在在轴轴上上x的的射射影影 点点为为_ _ _ _ _ _ _ _ _，在在轴轴上上x的的射射影影点点为为_ _ _ _ _ _ _，在在 轴上轴上z的的射射影影点点为为_ _ _ _ _ _ _ _ ; ;4、已知空间直角坐标系下，立方体的、已知空间直角坐标系下，立方体的 4 个顶点为个顶点为 ),(aaaA ，),(aaaB ，),(aaaC 和和 ),(aaaD，则其余顶点分别为，则其余顶点分别为_，_ _，_，_ ; ;5、已知三角形的三个顶点、已知三角形的三个顶点)4 ,1,2( A，)6,2,3( B， )2,0,5( C则则（1）过）过A点的中线长为点的中线长为_;（2） 过过点点的的B中中线线长长为为_ _ _ _ _ _ _ _ _； （3） 过过点点的的B中中 线线 长长为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、