结构力学(龙驭球)第5章-虚功原理与结构位移计算复习过程

1、结构力学结构力学 第一页，共87页。结构力学结构力学 第二页，共87页。结构力学结构力学 计算结构位移计算结构位移(wiy)的目的目的：的：（1）验算）验算(yn sun)结构结构的刚度的刚度（2）为超静定结构内力分析打基础）为超静定结构内力分析打基础产生位移的原因产生位移的原因:（3）制作沉降和制造误差）制作沉降和制造误差C1ABCab（2）温度变化和材料收缩）温度变化和材料收缩dsAB1t C 2t C （1）荷载作用）荷载作用ABqCCB第三页，共87页。结构力学结构力学 C1ABCab结构内产生结构内产生(chnshng)位移的同时是否会产生位移的同时是否会产生(chnshng)应变呢

2、？应变呢？（1）静定结构由于支座位移或者温度改变在结构内部）静定结构由于支座位移或者温度改变在结构内部(nib)不产生内力，所以不会产生应变。不产生内力，所以不会产生应变。dsAB1t C 2t C 刚体体系位移刚体体系位移-有位移，无应变有位移，无应变第四页，共87页。结构力学结构力学 （2）结构在荷载作用下各点产生）结构在荷载作用下各点产生(chnshng)线位移，同时，线位移，同时，梁内由于承受弯矩而产生梁内由于承受弯矩而产生(chnshng)曲率和应变。曲率和应变。ABqCCB变形体体系位移变形体体系位移(wiy)-有位移有位移(wiy)，有应，有应变变第五页，共87页。结构力学结构力

3、学 位移计算问题位移计算问题(wnt)：几何问题：几何问题(wnt)-几何方法几何方法ABqCCBC1ABCabCab221dxwdRk第六页，共87页。结构力学结构力学 ABqCCBCCxCCyCxC结构结构(jigu)的位移的位移 PC-C点的竖向位移 CC-截面B的转角BCx-C的水平位移 Cy- C点的竖向位移C-截面C的转角 Cy第七页，共87页。结构力学结构力学 计算计算(j sun)结构位移的结构位移的思路：思路：（1）讨论）讨论(toln)静定结构由于支座移动而引起的位移计算问题。静定结构由于支座移动而引起的位移计算问题。-刚体体系的位移计算刚体体系的位移计算（2）讨论静定结构

4、由于局部变形（局部拉伸、剪切、弯曲变形，）讨论静定结构由于局部变形（局部拉伸、剪切、弯曲变形，结构其他部分没有变形仍为刚体）引起的位移。结构其他部分没有变形仍为刚体）引起的位移。-变形体体系位移计算变形体体系位移计算（3）讨论静定结构由于整体变形（结构中各个杆件的各个微段）讨论静定结构由于整体变形（结构中各个杆件的各个微段都产生变形）而引起的位移。都产生变形）而引起的位移。-叠加原理：由局部变形位移计算公式推导整体变形位移叠加原理：由局部变形位移计算公式推导整体变形位移计算公式计算公式第八页，共87页。结构力学结构力学 计算计算(j sun)结构位移的思结构位移的思路：路：（1）化整为零：局部

5、变形引起）化整为零：局部变形引起(ynq)的位移。的位移。（2）积零为整：叠加原理）积零为整：叠加原理局部变形位移计算公式局部变形位移计算公式 整体变形位移计算公式整体变形位移计算公式第九页，共87页。结构力学结构力学 位移计算的基本位移计算的基本(jbn)假定和理论基础假定和理论基础线弹性变形(bin xng)体系基本假定:位移与荷载成正比条 件:线弹性材料小变形叠加原理适用理论基础:虚功原理 计算方法: 单位荷载法 第十页，共87页。结构力学结构力学 处于受力平衡状态的刚体(gngt)，当发生符合约束条件的无限小刚体(gngt)体系虚位移时，则外力在位移上所作的虚功总和恒等于零。0eiiW

6、F 虚功虚功 力的状态力的状态位移状态位移状态一个(y )平衡力系虚设一个位移状态虚设一个位移状态确定真实的未知力确定真实的未知力虚设一个平衡力系虚设一个平衡力系确定真实的位移确定真实的位移虚位移原理虚力原理第十一页，共87页。结构力学结构力学 虚力原理(yunl)虚平衡力系真实(zhnsh)位移10APR c确定 C点的竖向位移1ARcP ARbPa1bca C1ABCabABCPAbRPaABC1ab假设的力方向和位移 相反第十二页，共87页。结构力学结构力学 ABCDBC4l3 4lABDC1Pl?54014B点发生(fshng)支座移动，求由此引起的 C点竖向位移 由支座(zh zu)

7、移动引起的真实位移虚设力系 在待求位移点沿位移方向施加单位力单位力求出单位力作用下发生支座移动处的支座反力由虚功原理列虚功方程 10KKR c KKR c 55()( )44BBcc 支座移动时的位移计算公式第十三页，共87页。结构力学结构力学 支座移动时，静定结构的位移计算支座移动时，静定结构的位移计算(j sun)步骤：步骤： 在待求位移点沿位移方向施加单位力在待求位移点沿位移方向施加单位力求出单位力作用下发生支座移动处的支座反力求出单位力作用下发生支座移动处的支座反力令虚设力系在实际位移上做功，由虚功原理列虚功方程令虚设力系在实际位移上做功，由虚功原理列虚功方程 10KKR c KKR

8、c 支座(zh zu)移动时的位移计算公式计算出的位移为正值，表明与假设方向一致。计算出的位移为正值，表明与假设方向一致。 第十四页，共87页。结构力学结构力学 河南理工大学河南理工大学确定B支座(zh zu)的水平位移和B截面的转角例例ABlB ( ) 第十五页，共87页。结构力学结构力学 ABlBhlhl1P1AB1l1l01MAB确定(qudng)B截面的转角确定B支座(zh zu)的水平位移()()KKhhaR call ) 1()KKR cal （ ）第十六页，共87页。结构力学结构力学 n结构位移计算结构位移计算(j sun)一般属于变形体体系的位移计算一般属于变形体体系的位移计算

9、(j sun)。n变形体体系的位移计算变形体体系的位移计算(j sun)步骤：先计算步骤：先计算(j sun)局部变局部变形时的位移计算形时的位移计算(j sun)公式，再导出整体变形时的位移计公式，再导出整体变形时的位移计算算(j sun)公式。公式。1、局部变形时静定结构、局部变形时静定结构(jigu)的位移计算举例的位移计算举例 当某个微段有当某个微段有局部变形局部变形时静定结构的位移计算问题可归结为时静定结构的位移计算问题可归结为当该处相邻截面有相对位移时刚体体系的位移计算问题。对于微当该处相邻截面有相对位移时刚体体系的位移计算问题。对于微段可用虚力原理计算。段可用虚力原理计算。由于制

10、造误差或者其他原因引起局部拉伸、由于制造误差或者其他原因引起局部拉伸、剪切、弯曲变形，结构其他部分没有变形仍剪切、弯曲变形，结构其他部分没有变形仍为刚体。为刚体。第十七页，共87页。结构力学结构力学 局部弯曲变形，结构局部弯曲变形，结构(jigu)其他部其他部分没有变形仍为刚体。分没有变形仍为刚体。例例1、图示悬臂梁在、图示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角处两个相邻截面有相对转角，求，求A点竖点竖向位移。向位移。BCaaAaM101MM BCA位移状态位移状态BACM1虚设力系虚设力系第十八页，共87页。结构力学结构力学 局部剪切变形，结构其他局部剪切变形，结构其他(qt)部分没有变形仍为刚

11、体。部分没有变形仍为刚体。例例2、图示悬臂梁在、图示悬臂梁在B处两个处两个(lin )相邻截面有相对剪切位移相邻截面有相对剪切位移 ，求求A点竖向位移。点竖向位移。 BCABCA位移状态位移状态BAC1虚设力系虚设力系QF1QF01QFQF 第十九页，共87页。结构力学结构力学 2、局部、局部(jb)变形时位移计算公式变形时位移计算公式 位移状态位移状态BCAdCdddBAC1虚设力系虚设力系QFMNF悬臂梁除微段悬臂梁除微段ds有局部变形外，结构其他有局部变形外，结构其他(qt)部分没有变形。部分没有变形。微段微段ds局部变形包括：局部变形包括：局部伸长应变局部伸长应变平均切应变平均切应变0

12、轴线曲率轴线曲率0,k第二十页，共87页。结构力学结构力学 位移状态位移状态BCAdCddd（1）根据微段）根据微段ds的三类变形，求出微段两端截面的三类变形，求出微段两端截面(jimin)的三的三种相对位移：种相对位移：kdsRdsddsddsd0相对轴向位移：相对轴向位移：相对剪切位移：相对剪切位移：相对转角位移：相对转角位移： 相对位移相对位移 是描述微段总变形是描述微段总变形的三个基本参数。的三个基本参数。ddd,第二十一页，共87页。结构力学结构力学 位移状态位移状态BCAdCddd（2）将微段变形集中化，即）将微段变形集中化，即ds 0 ，但三种相对位移仍，但三种相对位移仍存在。存

13、在。B截面发生集中变形，其他部分是刚体，不变形。截面发生集中变形，其他部分是刚体，不变形。问题转化为刚体体系的位移问题。问题转化为刚体体系的位移问题。（3）应用刚体体系的虚功原理，根据截面）应用刚体体系的虚功原理，根据截面B的相对位移的相对位移 求求A点位移。点位移。叠加法：叠加法：ddd,dFdFdMdQN第二十二页，共87页。结构力学结构力学 （3）应用刚体体系的虚功原理，根据截面）应用刚体体系的虚功原理，根据截面B的相对位移的相对位移 求求A点位移。点位移。叠加法：叠加法：ddd,dFdFdMdQNdsFFkMdQN)(0kdsRdsddsddsd0第二十三页，共87页。结构力学结构力学

14、 dFdFdMdQNdsFFkMdQN)(0或者：或者：dsFFkMdFdFdMdQNQN)(10即变形即变形(bin xng)体系的体系的虚功原理虚功原理QNFFM,分别为虚设单位荷载在截面分别为虚设单位荷载在截面(jimin)B引起的弯引起的弯矩，轴力和剪力。矩，轴力和剪力。第二十四页，共87页。结构力学结构力学 3、结构位移计算的一般、结构位移计算的一般(ybn)公式：整体变形时的位移公式公式：整体变形时的位移公式整个整个(zhngg)结构的位移是结构各个微段变形的总和。结构的位移是结构各个微段变形的总和。叠加原理：叠加原理：dsFFkMdQN)(0dsFFkMdQN)(0若整个结构有若

15、干个杆件组成：若整个结构有若干个杆件组成：第二十五页，共87页。结构力学结构力学 3、结构位移计算、结构位移计算(j sun)的一般公式：整体变形时的位的一般公式：整体变形时的位移公式移公式如果结构除各个如果结构除各个(gg)微段有变形外，支座处还有给定位微段有变形外，支座处还有给定位移：移：kRKQNcFdsFFkMd)(0dsFFkMdcFQNkRK)(10适用条件：小变形适用条件：小变形位移公式实际为几何方程，给出了已知变形与拟求位移之位移公式实际为几何方程，给出了已知变形与拟求位移之间的几何关系。间的几何关系。外虚功外虚功内虚功内虚功第二十六页，共87页。结构力学结构力学 公式的普遍性

16、：公式的普遍性：（1）变形类型：弯曲变形、拉伸变形、剪切变形；）变形类型：弯曲变形、拉伸变形、剪切变形；（2）变形因素）变形因素(yn s)：荷载、支座移动；：荷载、支座移动；（3）结构类型：梁、桁架、刚架、拱等；）结构类型：梁、桁架、刚架、拱等；（4）材料性质：弹性材料、非弹性材料。）材料性质：弹性材料、非弹性材料。kRKQNcFdsFFkMd)(0第二十七页，共87页。结构力学结构力学 kRKQNcFdsFFkMd)(0弯曲变形：弯曲变形：拉伸变形：拉伸变形：剪切变形：剪切变形：支座移动：支座移动：kdsMkdsFNdsFQ0kRKccF第二十八页，共87页。结构力学结构力学 4、结构位移

17、计算的一般、结构位移计算的一般(ybn)步骤：步骤：kRKQNcFdsFFkMd)(0 已知结构各个微段的应变已知结构各个微段的应变 、 、0和支座位移和支座位移ck ，求，求结构某点沿某方向的位移结构某点沿某方向的位移：（1）在某点沿拟求位移）在某点沿拟求位移方向虚设相应单位荷载；方向虚设相应单位荷载；（2）在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出结构内力）在单位荷载作用下，根据平衡条件，求出结构内力 和支座反力和支座反力FRK；（3）由下列位移公式求出位移。）由下列位移公式求出位移。MQFNF第二十九页，共87页。结构力学结构力学 kRKQNcFdsFFkMd)(0 kRkQNcFFFkM,0

18、?表示力与变形之间的乘积，当力与变形方向一致时乘表示力与变形之间的乘积，当力与变形方向一致时乘积为正。积为正。 和和k使纤维同侧受拉时使纤维同侧受拉时 乘积为正。乘积为正。MkM第三十页，共87页。结构力学结构力学 WP力和位移力和位移(wiy)无因果关系无因果关系广义力广义(gungy)位移PABCPMABCPMFp1Fp2121122AB对应第三十一页，共87页。结构力学结构力学 广义位移广义位移(wiy):某点线位移某点线位移(wiy)，某点角位移，某点角位移(wiy)，某两个截面的相对线位移，某两个截面的相对线位移(wiy)和角位移和角位移(wiy) =A+ B- A、B点左右两侧截面

19、点左右两侧截面(jimin)间的相对转角间的相对转角MBMAABqABC)(11BABBAAMM- 一对单位力偶一对单位力偶1BAMM广义力：与广义位移相对应的荷载广义力：与广义位移相对应的荷载第三十二页，共87页。结构力学结构力学 广义广义(gungy)力和广义力和广义(gungy)位移位移PPABAB12A BPPMM121212PPPP - 一对水平力力P - A、B间的水平相对位移AB12M- 一对力偶 - C点左右两侧截面间的相对转角1212MMPM第三十三页，共87页。结构力学结构力学 虚设力与拟求位移之间应满足共轭关系，从做功虚设力与拟求位移之间应满足共轭关系，从做功(zugng

20、)角度讲：角度讲： FWF-共轭力共轭力-共轭位移共轭位移(wiy)表表5-1 广义位移和广义荷载示例广义位移和广义荷载示例第三十四页，共87页。结构力学结构力学 荷载荷载-内力内力-应力应力(yngl)-应变应变N PFEA0QPFkGAPMEIBAadsPq1Rk1Rkdddsddsdds0ddsddsNPFNPFQPFQPFPMPM第三十五页，共87页。结构力学结构力学 QPN PPNQkFFMFdsFdsMdsEAGAEIBNQAF dF dMd 1、荷载引起的位移计算公式、荷载引起的位移计算公式BAadsPqN PFEA0QPFkGAPMEIdds0ddsdds第三十六页，共87页。

21、结构力学结构力学 ,NQFFM -由单位荷载由单位荷载P=1引起的内力引起的内力,N PQPPFFM -结构承受的真实荷载引起的内力结构承受的真实荷载引起的内力（1）写出各杆件在真实荷载作用）写出各杆件在真实荷载作用(zuyng)下的下的Mp、FQp 和和F Np 方程；方程； （2）写出各杆件在虚设单位下的）写出各杆件在虚设单位下的M、FQ 和和FN 方程方程； （3）用上述公式）用上述公式(gngsh)计算位移；计算位移； QPN PPNQkFFMFdsFdsMdsEAGAEI （4）轴力以拉为正，剪力使微段顺时针转动者为正，）轴力以拉为正，剪力使微段顺时针转动者为正， 和和MP使杆件同侧

22、受拉为正；使杆件同侧受拉为正； M 第三十七页，共87页。结构力学结构力学 （1）梁和刚架：）梁和刚架：（2）桁架）桁架(hngji)： （3）桁架）桁架(hngji)混合结构：混合结构： QPN PPNQkFFMFdsFdsMdsEAGAEI （4）拱，当压力线与拱轴接近时：）拱，当压力线与拱轴接近时： dsEIMMPlEAFFdsEAFFdsEAFFNPNNPNNPNlEAFFdsEIMMNPNPdsEAFFEIMMNPNP)(第三十八页，共87页。结构力学结构力学 例例x2qlMP 图28ql2ql2qlFQP 图xl/2l/2ABCP=11212确定跨中C截面的竖向线位移(wiy)，并

23、比较由弯曲变形和剪切变形引起的效应。2qlABqCl/2l/22()2PqMlxx(2 )2QPqFlx14 M1212 QF12Mx12QF 真实力(shl)系虚设力系24201()()5222384lPMqxlxxMMqldsdxEIEIEI2201( )(2 )2 22 1.20.15lPQqlxQQqlkdsdxGAGAGA2420.1511.525384QMqlEIGAqlGAlEI212IhA82(1)3EG22.56( )QMhl剪切变形引起的位移远小于弯曲变形引起的第三十九页，共87页。结构力学结构力学 1QQPNN PPkF FF FMMdsdsdsEAGAEI ,NQFFM

24、 - 虚设单位荷载P=1 引起的内力,N PQPPFFM - 真实荷载引起的内力梁和刚架PMMdsEI 桁架(hngji)NN PNN PiF FF FdslEAEA 桁梁(hn lin)组合结构NN PPiF FMMldsEAEI 拱NN PPF FMMdsdsEAEI 第四十页，共87页。结构力学结构力学 qPQPM1 PiQiMxl dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 例例 1：已知图示梁的：已知图示梁的E 、G,求求A点的竖向位移点的竖向位移(wiy)。解：构造解：构造(guzo)虚设单位力状态虚设单位力状态.0)( 0)(xNxNPi)()( 1)(xlqxQxQPi1P

25、x2/)()( )(2xlqxMlxxMPilhbqAdxEIxlqGAkxlql2)()(03)(8242EIqlGAqkl)(5 . 2/,10/1/, 5/6,12/,3钢砼GElhkbhIbhAGAqklEIqlQM2,8:24设24GAlEIkMQ1001MQ 对于细长杆对于细长杆,剪切变形剪切变形对位移的贡献与弯曲对位移的贡献与弯曲(wnq)变变形相比可略去不计形相比可略去不计.5-4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算举例举例第四十一页，共87页。结构力学结构力学 2P2PPmNq/P4qlP 1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.0PN10.50

26、.5-1.58-1.58001.51.5N2P2P例例2 计算计算(j sun)屋架顶点的竖向位移。屋架顶点的竖向位移。0.25l0.25l0.25l0.25lADCEFGB5-4 荷载荷载(hzi)作用下的位移计算举例作用下的位移计算举例第四十二页，共87页。结构力学结构力学 1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.0PN10.50.5-1.58-1.58001.51.5NEAlNNPCADDCDE材料杆件PNNlAEAlNNPEAlNNP钢筋砼钢CEAEEGccAEPl97. 1ccAEPl81. 3ssAEPl63. 0ssAEPl13. 1ssccCEAEAPl

27、13. 181. 32ABCDEFGP74. 458. 1l263. 0P42. 458. 1l263. 0cAcAccAEPl84. 1P95. 00l088. 0cA75. 00P50. 10l278. 0sA0P50. 450. 1l278. 0sA3P00. 350. 1l222. 0sA2ssAEPl50. 0第四十三页，共87页。结构力学结构力学 PP=1例例3：求图示曲杆（：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点圆弧）顶点(dngdin)的竖向位移的竖向位移。解：解：1）虚拟）虚拟(xn)单位荷载单位荷载虚拟虚拟(xn)荷载荷载3）位移公式为）位移公式为ds=Rddds钢筋混凝土结构钢筋混

28、凝土结构G0.4E矩形截面矩形截面,k=1.2,I/A=h2/1212001DDMND4001DMQD2=DMNARI2412=DDMQRhGAREIk 可见剪切变形和轴向变形引起可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计。但对于深相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽梁剪切变形引起的位移不可忽略略.2）实际荷载）实际荷载h101R如如2121RhsinPRMPcosPQPsinPNPsinRMsinN cosQdsGAQkQdsEANNdsEIMMPPP2022023cossindGAkPRdEAPREIPRGAkPREAPR

29、EIPR4443QNM第四十四页，共87页。结构力学结构力学 Pl/2l/2EIABx1x2例例4：求图示等截面：求图示等截面(jimin)梁梁B端转角。端转角。解：解：1）虚拟单位荷载）虚拟单位荷载m=1积分(jfn)常可用图形相乘来代替2）MP 须分段须分段(fn dun)写写)20(2)(lxPxxMP)2(2)()(lxlxlPxMP)0()(lxlxxMlPBdxEIMM0llldxEIlxxlPdxEIlxPx2201)(2)(1)(2EIPl162第四十五页，共87页。结构力学结构力学 确定C点的水平位移(wiy) 和转角CHC例例5LACBLEIEIq解：（解：（1 1）求）求

30、 CH写出杆件的写出杆件的 方程方程 MPMBCBC杆：杆： 0M 212PMqx ACBFP=1BABA杆：杆： Mx212PMqL 240124LCHqL xqLdxEIEI 5-4 荷载作用荷载作用(zuyng)下的位移计算举例下的位移计算举例第四十六页，共87页。结构力学结构力学 确定C点的水平位移(wiy) 和转角CHC例例5LACBLEIEIq （2 2）求）求 C写出杆件的写出杆件的 方程方程 MPMBCBC杆：杆： 1M 212PMqx BABA杆：杆： 1M 212PMqL 2230011( 1)( 1)2223LLCqxqLqLdxdxEIEIEIACBM=15-4 荷载作

31、用下的位移计算荷载作用下的位移计算(j sun)举例举例第四十七页，共87页。结构力学结构力学 理论(lln)基础:虚功原理单位(dnwi)荷载法梁和刚架:PM MdsEI l两种内力函数:( ),( )PM x Mxl积分:PM Md sE I麻烦第四十八页，共87页。结构力学结构力学 补充(bchng)条件:直杆常数(chngsh)一个弯矩图为直线图形LpoMMdsEI 图乘法第四十九页，共87页。结构力学结构力学 yxOAx0ABy0 xdxAB( )PMxM( )M xCdA( )( )tan( )BBPPAAM x Mx dxxMx dxtan( )BPAxMx dxMP的形心0Ax

32、0( )( )tan()BPAM x Mx dxAx0Ay0(tan)A x( )tanM xx第五十页，共87页。结构力学结构力学 01PM MdsAyEIEI 一个(y )弯矩图的图形面积面积(min j)A形心处的另一直线弯矩图上的纵标注意:u y0必须取自直线直线弯矩图 u 符号规定: 两弯矩图位于杆件的同侧同侧，Ay0 为正正；反之，为负u 适用条件: 直杆; EI=C; 一个弯矩图为直线!切莫丢掉此切莫丢掉此项项第五十一页，共87页。结构力学结构力学 常用(chn yn)图形的面积和形心三角形Cabhl(l+a)/3(l+b)/32lhA l2l/3l/3Ch2lhA 第五十二页，

33、共87页。结构力学结构力学 常用(chn yn)图形的面积和形心Cl/2l/2hChl5l/83l/8二次抛物线23Alh顶点(dngdin)顶点l3l/4l/4hC13Alh顶点标准抛物线标准抛物线: 图形顶点的斜率必须图形顶点的斜率必须平行于平行于杆轴线杆轴线23Alh第五十三页，共87页。结构力学结构力学 图形(txng)的分解和叠加A1y1Mk 图I1I2A2y2A3y3Mi 图 A1y1A2y2Mk 图Mi 图 分解分解(fnji)(fnji)多段线多段线图形的分解变刚度变刚度杆的分解1122331()kiM MdxA yA yA yEIEI11221211kiM MdxA yA y

34、EIEIEI第五十四页，共87页。结构力学结构力学 图形(txng)的分解和叠加Mk 图 Mi 图+ + 叠加叠加11221()kiM MdxA yA yEIEIabcdA2A1y1y212133ycd21233ycdabcdA1A2y1y211221()kiM MdxA yA yEIEI11()2ycd21233ycdABCDabcdA1A2ly1y211221()kiM MdxA yA yEIEI12133ycd 21233ycd分解分解(fnji)(fnji)第五十五页，共87页。结构力学结构力学 图形(txng)的分解和叠加AABMAMBBMAMBqMAABMBMBMA M 图MP 图

35、y1y0分解分解(fnji)(fnji)叠加叠加011()PMM dxMM dxMM dxEIEI1021001()A yA yA yEI0 M图A1A2A0图 M第五十六页，共87页。结构力学结构力学 4l例例计算(j sun)下图所示简支梁的跨中挠度 584l28qlC2l2lEI 常数ACAB1P真实(zhnsh)系统MP 图 M 图虚设系统C点竖向位移1PMM dxEI ABq341552( )24 32384qllqlEIEI第五十七页，共87页。结构力学结构力学 l M 图虚设系统AB1P2qlAB例例真实系统MP 图B点挠度(nod)1Aq2qlEI 常数ABl2A1y2y确定(

36、qudng)悬臂梁自由端挠度 2311122Al qlql ， (and， (and123yl+-2322113812Alqlql212yl334112211127()()( )2312224BPqllqllqlMM dxA yA yEIEIEIEI ！不是标准抛物线 221321qlqllA第五十八页，共87页。结构力学结构力学 例例5-72311122Al qlql ， ABCl/2l/2Pl/6计算(j sun) C点竖向位移 PABPlMP 图真实系统P=12lAB M 图虚设系统B点挠度(nod)A0y011CPMM dxAyEIEI 41155()( )222648llqlPlEI

37、EI第五十九页，共87页。结构力学结构力学 P=1MPql2/2 ll/2A B2EIEIl/2M确定(qudng) B点竖向位移q？ql2/8l/2？ql2/32y0241 133 248BqllqllEIEI 201 1 3.2382Bql lyEI 21 13/23 8 24Bql llEI 222210.5222628 22 28lqlql lql lqlllEI24120.51723 32 22256ql l llqlEIEI例例第六十页，共87页。结构力学结构力学 虚设力系ABC1M M 图llABC2例例真实(zhnsh)系统C截面(jimin)的转角2311122Al qlql

38、 ， (and， (计算 C截面的转角245kNmEI ABC1y2y2A3kN/m4m1m2kN3y3A1A123y 114242A 212y 2246163A 311212A 31y MP 图+-+1122330111211313()(4161)0.096 (rad)323345AyA yA yA yEIEIEIEI 第六十一页，共87页。结构力学结构力学 例例计算 C 、D两点间的水平相对(xingdu)位移 真实(zhnsh)系统MP 图 M 图虚设系统水平相对位移EI 常数ABCDq2a2a22qa26qa1A2AABCD3A4A1a1y2yABCDaa3y4ya23114624qa

39、qaAa14455yaa232263qaqaAa2ya233222323qaAaqa3ya112233333411(2)142 22453314 ()15PMM dxAyA yA yEIEIqaaqaqaaaEIqaEI +-+第六十二页，共87页。结构力学结构力学 例例C点竖向位移(wiy)确定(qudng)C点的竖向位移ABCD4m3m3m6kN23738 10 kNEA 23484kN mEI 6kN真实系统MP 图 和FNP 图 ABCD6kN8kN-10kN12kNm4kNA4kN组合结构及其荷载 NMF和图虚设系统ABCD23234353y11P 2m03211121452(3 1

40、2)(2)84( 10)()5233348128250 14.11 10 m( )34843738 103PNN PNN PMMF FF FdxlAylEIEAEIEAEIEA 梁式杆第六十三页，共87页。结构力学结构力学 1t2tdsdsAB1t C 2t C d1t ds2t dsh假定(jidng):l温度沿截面高度h线形(xin xn)分布l发生变形后，截面应变分布仍满足平截面假定. 虚设力系由温度变化引起的真实位移AB1P 0t dsd211221011ttt ht htthhhtds21ttt 0dt ds21()ttddsh00=NNttMdsFt dsMdstF dshh NQ

41、MdF dF d 第六十四页，共87页。结构力学结构力学 静定(jn dn)结构材料自由伸长(shn chn)或压缩温度改变变形不引起内力01t C02t C12tt第六十五页，共87页。结构力学结构力学 例例4ma ABC0 C0 C15 C 15 C aa M 图ABC1PN F图确定(qudng)C点的竖向位移。真实(zhnsh)系统CAB1P虚设系统0.00001线膨胀系数01200157.522tttC02115015tttC 0NCtMdstF dsh 温度变化引起的弯曲变形方向与虚设力系引起的相反0.93( )Ccm 151()7.5 ()2aaaaah 若既有温度变化和若既有温

42、度变化和（或）支座移动，（或）支座移动，又同时作用有荷载？又同时作用有荷载？第六十六页，共87页。结构力学结构力学 刚体刚体(gngt)体系的虚功原理中，刚体体系的虚功原理中，刚体(gngt)的应变的应变=？刚体？刚体(gngt)体系体系 内力做功内力做功=？ 变形体体系变形体体系(tx)的虚功原理中，变形体存在应变吗？的虚功原理中，变形体存在应变吗？外力做功，内力做功吗？外力做功，内力做功吗？第六十七页，共87页。结构力学结构力学 设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于(yuy)其他原因产生符合其他原因产生符合约束条件的微小连续变形，

43、则外力在位移上所做的外力虚功约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所做的外力虚功We恒等于各个微段的应力合恒等于各个微段的应力合力（即内力）在变形上所做的内力虚功力（即内力）在变形上所做的内力虚功Wi. eiWW内力内力(nil)所做的虚功所做的虚功外力外力(wil)所做的虚功所做的虚功注意注意: :l变形可以是任意因素引起的变形可以是任意因素引起的l小变形小变形l虚功原理对任何结构都适用，无论其是否是弹性体虚功原理对任何结构都适用，无论其是否是弹性体第六十八页，共87页。结构力学结构力学 ads任意原因引起(ynq)的变形处于平衡(pnghng)状态的梁adsBA123BA1P2P3PARB

44、ReiikkWPR c dsMMds1RkdddsdNF dBiNQAWF dF dMdBeiikkNQiAWPR cF dF dMdW dsNFNFdsQFQFQF dMdidWds第六十九页，共87页。结构力学结构力学 BAads真实的位移真实的位移(wiy)状态状态虚力状态(zhungti)1P BAARBR1kekWR c dsNFNFdsQFQFdsMMd1Rk1RkdddsdsBiNQAWF dF dMdBNQAF dF dMd 单位(dnwi)力作用下1eW ads如何虚设单如何虚设单位力？位力？第七十页，共87页。结构力学结构力学 eiWW内虚功内虚功外虚功外虚功应用应用(yn

45、gyng)(yngyng)条件条件: :l力系满足力系满足(mnz)平衡条件平衡条件l位移满足变形位移满足变形(bin xng)协调条件协调条件第七十一页，共87页。结构力学结构力学 MAFQAFQBqxMBABpFNBFNAMFQM+dMFQ+dFQqdxqdxFN+dFNFNpdx平衡条件平衡条件:000dxFdMqdxdFpdxdFQQN第七十二页，共87页。结构力学结构力学 变形变形(bin xng)协调条协调条件件:AAABABBBdxddxdudxd0dx+d+ d +d第七十三页，共87页。结构力学结构力学 MAFQAFQBqxMBABpFNBFNA平衡力系平衡力系AAABABB

46、B变形状态变形状态BAAQAANAAABQBBNBBBdxqpFFMFFMW)()()(上述平衡力系在变形状态上述平衡力系在变形状态(zhungti)上做功上做功第七十四页，共87页。结构力学结构力学 微段两侧截面的应力微段两侧截面的应力(yngl)合力在变形上作的内虚功为合力在变形上作的内虚功为MFQM+dMFQ+dFQqdxqdxFN+dFNFNpdxdx+d+ d +dBAQNidxFdxFMdW0第七十五页，共87页。结构力学结构力学 eiWWBAQNidxFdxFMdW0BAQNBAAQAANAAABQBBNBBBdxFdxFMddxqpFFMFFM0)()()(BAAQAANAAA

47、BQBBNBBBedxqpFFMFFMW)()()(第七十六页，共87页。结构力学结构力学 变形体虚功原理的证明变形体虚功原理的证明(zhngmng)：000dxFdMqdxdFpdxdFQQN0)()()(BAQBAQBANdxFdMqdxdFpdxdFBAQBABAQNBAQNdxFdxqpMddFdFMFF0)()()()()(MddFdFMFFddMdFdFQNQNQN0)()(BAQBAQNdxFqpdMdFdF第七十七页，共87页。结构力学结构力学 变形体虚功原理的证明变形体虚功原理的证明(zhngmng)：BAQBABAQNBAQNdxFdxqpMddFdFMFF0)()()(dxddxddx0)()()()(MddxFdxFFdxqpMFFMFFQBANPBAAAQAANAABBQBBNBB?第七十八页，共87页。结构力学结构力学 推广推广(tugung)：杆件结构中（计入集中荷载所作虚功）：杆件结构中（计入集中荷载所作虚功）：PF)()()(0BAQNPBABAQNMddsFdsFFdxqpMFF)()()()(MddxFdxFFdxqpMFFMFFQBANPBAAAQAANAABBQBBNBB?第七十九页，共87页。结构力学结构力学 将边界荷载和集中荷载作的虚功用通式将边界荷