线性代数知识点

1、1第一章 行列式考试内容行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开以达到降阶的目的重要公式 、性质及结论 方阵的行列式的值与的AAA转置行列式的值相等。TA 交换行列式的两行（列） ，行列式的值改变符号。 行列式中某行（列）元素的非公因子可以提到行列式的外面，如，其中,2 ,2, 为三维列向量, , 。nAA 行列式中某行（列）的对应元2素成比例，或行列式中有一行（列）的元素全为零，则此行列式的值为零。如；,20 ，其中为三维列向,00 , 量。 行列式某行（列）元素是两数之和，则此行列式等于下述行列式之和：111111niinininnnaaaaaaaa+11111niinnnnaaaaa

2、a11111niinnnnaaaaaa用向量形式表示为：312,iin +。12,in 12,in 将行列式的某行（列）的个元素乘以常数 加到另一行（列）的k对应元素上去，行列式的值不变。 行列式 按某行（列）展开D（）1,0,nikjkkDija Aij1,2,in（）1,0,nkikjkDija Aij1,2,in其中是的代数余子式。ijAija1212nn 411(1)2212( 1)n nnn 111212221122nnnnnnaaaaaa aaa112122112212nnnnnnaaaa aaaaa 9. 范德蒙行列式 1222212111112111()nnijn ijnnnn

3、xxxxxxxxxxx 其中，记号表示全体同类因子的乘积。10时，时， 个数的所有排列中，个数的所有排列中，2n n5奇排列和偶排列各占一半，即奇排列和偶排列各占一半，即各有各有。!2n11，*0AA BB0*AA BB。0( 1)0nmnmnmBABA 11如果将行列式中的某行（列）的每一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同。12阶行列式等于它的任ndet()ijDa意一行（列）的个元素与其对应的代数余子式乘积之和，即6（）1122iiiiininDa Aa Aa A1,2,in（）11

4、22jjjjnjnjDa Aa Aa A1,2,jn13行列式中两行对应元素全相等，其值为零。14克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式不11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb等于零，即，则方程11110nnnnaaDaa组有唯一解，其1212,nnDDDxxxDDD中是把系数行列式中(1,2, )jDjnD第 列的元素用方程组右端的常数项j代替后所得到的 阶行列式，即n7111,111,111,1,1jjnnn jnn jnnaabaaaabaa第二章 矩阵考试内容矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法

5、方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充要条件 伴随矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价 分块及其运算分块及其运算重要公式 、性质及结论 矩阵的乘法不满足交换律 对于任意方阵，总有A*AAA AA E8如果，即为可逆矩阵，则有0A A或，其中1*1AAA*1AA A为的伴随矩阵。111*1nnnnAAAAAA3矩阵 A 的秩等于 r 的含义是：A中所有 r+1 阶子式全为零，至少有一个 r 阶子式不为零，或：任意 r+1 个行（列）向量线性相关，总能找到 r个行（列）向量线性无关。阵和的秩不超过矩阵秩的和，即有 ()( )( )R ABR AR

6、B矩阵乘积的秩不超过各因子的秩，即有( )( )()min( ), ( )R AR BnR ABR A R B9 若 A 与 B 都是 n 阵矩阵，且，则有。0AB ( )( )R AR Bn 已知已知 A 与与 B 均为可逆矩阵，则均为可逆矩阵，则也为可逆矩阵，并且有也为可逆矩阵，并且有00AB成立。成立。1110000AABB5已知 A 为一个 n 阵矩阵（） ，2n 则有 （其中 *,( )1,( )10,( )1nR AnR AR AnR AnA*为 A 的伴随矩阵）7若 A 是一个 n 阶矩阵（） ，则2n 有。1*nAA8若 A 是一个 n 阶矩阵（） ，则3n 10有。 *2*n

7、AAA9对 A 的行施以某种初等变换得到的矩阵，等于用同种阶初等矩阵m左乘 A。10对 A 的列施以某种初等变换得到的矩阵，等于用同种阶初等矩n阵右乘 A。11初等矩阵 对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵； 初等矩阵都是可逆的； 可逆矩阵总可以经过一系列初等变换化为单位矩阵； 阶方阵可逆的充要条件是它能n表成一些初等矩阵乘积。1112初等变换与初等矩阵的关系 设 A 为矩阵，则对 A 作一mn次初等行变换得到的矩阵，相当于用一个阶相应的初等矩阵左乘 Am所得的矩阵。对 A 作一次初等列变换得到的矩阵，相当于用一个阶相n应的初等矩阵右乘 A 所得的矩阵。13求逆矩阵的方法 （1）.

8、用定义求逆矩阵； （2）.若 A 为阶方阵，且，n0A 利用伴随矩阵求 A 的逆，1*1AAA其中为 A 的伴随矩阵；*A （3）.初等变换不改变矩阵的秩,所以左乘或右乘初等阵,不改变矩阵的12秩,且可用初等变换求矩阵的秩设是矩阵，分别Amn,P Q是阶、阶可逆矩阵，则mn。( )()()()R AR PAR AQR PAQ利用初等变换求逆矩阵，即对矩阵进行初等行变换，当 A()A E变为单位阵 E 的同时，单位矩阵 E就变为 A 的逆矩阵；1A （4）.利用初等行变换解矩阵方程: 则,AXB,;1XA B11,rXABE A BA B ，,XAB11()TTXBAAB11,()(,rTTTT

9、TTABEABXAB ， 14阶矩阵 A 为（可逆）的（充n要条件是）它可以表示为一些初等13矩阵的乘积。15设是两个阶矩阵，则乘积,A Bn的行列式等于和的行列式的ABAB乘积，即。注意: ABA Bm nn mABA B16为对称矩阵的充要条件是A；为反对称矩阵的条件是TAAA。TAA 17如果 是阶可逆矩阵，则经过An有限次初等变换可化为单位矩阵。18任一矩阵，必可经过有mnA限次初等变换化成如下形式的矩阵： ()()() ()rrn rm rm rn rE；nkAkA14；211*()()nnnnnA AAAAAA ；121*nnnnA AAAAAA；21*1*1nnnA AAAA 。

10、2111*1()nnnnnA AAAAAA18牢记二阶方阵的逆矩阵abAcd19I.逆矩阵 II.伴随矩阵的性*A质（1） （1）11()AA*11 *()()AA（2）（2）（可逆）111()AA*11()AAAA（3） （3）111()ABB A*()ABB A（4）（4）（可11 ()()AA2* *()nAAAA逆）III.转置的性质 IV.分块矩阵的性质（1） （1）()TTAA15111AABB（2） （2）()TTTABAB111ABBA（3） （3）()TTTABB A11111ACAA CBBB（4） （4）()TTkAkA11111AACBB CAB第三章 向量考试内容向量

11、的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大无关组等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之16间的关系 线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质 重要公式、性质及结论. 向量组线性相关12,(2)nn 的充要条件是其中至少有向量可以由其余个向量线性表示,两1n 个向量相关的充要条件是对应分量成比例. 证明一组向量是否线性相关，基本方法是用定义证明. 若向量线性相关，则12,r 12,r 1,rm也线性相关。(1)mr. 若向量线性无关，则12, m17其任意个向量所组成的(0)rrm向量组也线性无关。. 设，12(,),1,2,iiiir

12、aaait12(1)(,),1,2,iiiiri rimaaaaait ：(1)mr若线性无关，则12,t 也线性无关；12,t 若线性相关，则12,t 也线性相关。12,t . 一个向量组线性无关的充要条件是向量组的秩等于其所含向量的个数，线性相关的充要条件是向量组的秩小于其所含向量的个数。. 若向量组可以由向量组线性AB18表示，则。( )( )R AR B.个维向量nn线性无关的充要12(,),1,2,iiiinaaain条件是它们所构成的行列式：，线性相关的充要11110nnnnaaAaa条件是。0A . 向量组的任意两个线性无关组都是等价的，它们含有相同个数的向量，即它们有相同的秩。

13、.设是一组维向量，12,n n则线性无关的充要条件12,n 是任一 维向量都可由它们线性表n示。19.任何矩阵的行秩等于列秩。.向量组线性相关的充12,n 要条件是它所构成的矩阵的秩小于向量个数12(,)nA ；向量组线性无关的充要条件n是。( )R An.矩阵的秩满足（）；()( )( )R ABR AR B（）。()min( ),( )R ABR A R B. 向量能由向量组b线性表示的充要条件是12:,nA 矩阵的秩等于矩阵12(,)nA 的秩。12(, )nBb . 阶方阵的秩等于的充要nAn条件是，即为可逆矩阵。0A A20. 向量组能由向量组12:,lB 线性表示的充要条件是矩12

14、:,mA 阵的秩等于矩阵12(,)mA 的秩，即121( ,)(,)mlA B 。( )( ,)R AR A B.设向量组能由向12:,lB 量组线性表示，则12:,mA 。112(,)(,)lmRR .对于维列向量组，m12,n 其中12jjjmjaaa(1,2, )jn，则线性相关的充要条件12,n 是：以为列的矩12,n (1,2, )jn21阵的秩小于向量的个数 。n.如果向量组线性相12,s 关，而线性无关，则向量12,s 可由向量组线性表示且表12,s 示方法唯一。.如果是的12,riii 12,s 线性无关组部分组，它是极大无关组的充要条件是：中每一12,s 个向量都可由线性表示

15、。12,riii 20求一个向量组的极大无关组与秩，并把剩余向量用极大无关组线性表出。第四章线性方程组考试内容22线性方程组的克莱姆法则齐次线性方程组有非零解的充要条件非齐次线性方程组有解的充要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的通解重要公式、性质及结论. 有非零解的充要条件是0Ax （为未知数的个数） ，即( )R Ann。0A . 只有零解的充要条件是0Ax （为未知数的个数） ，即( )R Ann。0A . 有解的充要条件有以下三Axb23种：（）， 为增广矩阵，( )( )R AR BB即；()BA b（） 可由线性表示；b12,n （）向量

16、组与向量组12,n 等价。12,nb . 有解的判定情况如下：Axb（为 阶方阵）An（）当时，有唯( )( )R AR BnAxb一解；（2）当时，有无( )( )R AR BnAxb穷多组解；（3）当时，无解。( )( )R AR BAxb5.若有解，则其一般解为Axb，其中是的一个特0 xxx0 xAxb24解（某一个解） ；而是1 1ppxk xk x（也称的导出组）的一0Ax Axb般解。6. 对于非齐次线性方程组（）下列条件等价：Axb（1）有解；Axb（2） 可由的列向量组线性表示；bA（3）增广矩阵的秩等于系()BA b数矩阵的秩。A7.设矩阵的秩，则 元mnA( )R Arn

17、齐次线性方程组的解集的秩0Ax S。SRnr8.（1）若为的解，12,xx0Ax 则也是的解；12x0Ax 25（2）若为的解， 为实数，1x0Ax k则也是的解；1xk0Ax （3）设是的解，则12,xxAxb为对应的齐次线性方程组的12x解；（4）设为的解，是xAxbx方程的解，则仍是方0Ax x程的解；Axb（5）若是方程的解，则12,x xAxb为对应的齐次线性方程组的解；12xx（6）如果是非齐次线性方程组的1u一个解， 是其导出组的全部解，则v是 是非齐次线性方程组的1uuv1u全部解。269.对矩阵 做初等行变换化为，则AB与的任何对应的列向量组有相同AB的线性相关性，即 12(

18、,)nA 12( ,)nB 则列向量组与（12,riii 12,riii ）有相同的线性相关121riiin性。10.若，则有个线( )R Ar0Ax nr性无关的解称为的12,n r 0Ax 基础解系，且它的通解为（为任意常数） 。11n rn rkk1,n rkk11.设是矩阵，分别是阶、Amn,P Qm阶可逆矩阵，则n( )()()()R AR PAR AQR PAQ12. 设111211(,)Tnaaa初等变换27212222(,)Tnaaa12(,)Trrrnraaa则向量组线性相关的充要条12,r 件是齐次线性方程组有非零0Ax 解，其中，111121(,)rrnnraaAaa 。

19、12rxxxx第五章第五章 矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量考试内容考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质、相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充要条件及相似对角矩阵实对称矩阵28的特征值、特征向量及相似对角矩阵重要公式、性质及结论重要公式、性质及结论. 方阵的不同特征值的特征向量A是线性无关的。. 若阶方阵与相似，则它们nAB的特征多项式相同，从而有相同的特征值，即。EAEB. 矩阵与相似，则。AB( )( )R AR B.阶方阵与对角矩阵相似的充nA要条件是有个线性无关的特征An向量。. 设阶方阵的特征值为n()ijAa，则有12,n （）29（称矩121122

20、( )nnnaaatr A阵的对角线元素和为的迹） ；A( )tr AA（）；12nA （）相似的矩阵有相等的行列式和相等的迹。. 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交。. 特征值和特征向量的求法：先由特征方程求出的个0AEAn特征值。然后对的每个特12,n A征值 ，求出的基础解系，i()0iAE x它就是的属于特征值 的全部线性Ai无关的特征向量。.矩阵 的属于不同特征值的特征A30向量是线性无关。.矩阵的相似关系也是一种等价关系，即也有以下三条性质：（）反身性：；AA（）对称性：；若，则ABBA（）传递性：若，则ABBC。AC.设是阶矩阵，若()ijAan（）（）11nijja1,2,in（）（）11nijia1,2,jn有一个成立，则的所有特征值A的模（当为实数时，(1,2, )kkn是指的绝对值）小于。kk.正交矩阵具有以下性质：31（）若为正