函数的连续性与间断点PPT课件

1、第八节函数的连续性与间断点 第一章 自然界中有许多现象，如气温的变化自然界中有许多现象，如气温的变化、河、河水的流动、植物的生长都是连续变化的，水的流动、植物的生长都是连续变化的，反映在反映在函数关系上函数关系上就是就是连续连续函数，反映在函数，反映在图形上就是不间断的曲线。图形上就是不间断的曲线。. )(0间间断断在在点点以以上上三三种种情情形形函函数数xxf不不存存在在)(lim)2(0 xfxx)()(lim)3(00 xfxfxx 0 x0无无定定义义)()1(0 xf00 x0 x0 函数的连续点的定义：函数的连续点的定义：连连续续。在在则则称称且且的的某某邻邻域域内内有有定定义义，

2、在在点点定定义义：设设函函数数000)(, )()(lim)(0 xxfxfxfxxfxx .,)(,)(上上连连续续在在称称上上每每一一点点都都连连续续在在如如果果函函数数baxfbaxf).()(lim)( ),()(lim)(bfxfbxfafxfaxfbxax 连连续续是是指指在在右右端端点点连连续续是是指指在在左左端端点点注注：几何几何：即函数在一点的极限值等于该点的函数值即函数在一点的极限值等于该点的函数值. .0 x )(xfy 连续函数在定义区间上的图形是一条不间断连续函数在定义区间上的图形是一条不间断的曲线的曲线. .函数连续点的等价定义：函数连续点的等价定义：连连续续在在0

3、)(xxf0)()(lim000 xfxfxx0lim0 yx注注：根据此定义，：根据此定义，对于连续函数，对于连续函数，当自变量当自变量改变很小时，因变量也改变很小改变很小时，因变量也改变很小。)()(lim00 xfxfxx ）（当当0, 0 yx)()(0 xfxfy , 0（增增量量）改改变变量量代代表表自自变变量量的的其其中中xxx （增量可正可负）（增量可正可负）代表因变量的改变量代表因变量的改变量. .)()(00 xfxxf 例例1 1.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证：证：),( x任取任取xxxsin)sin( )2cos(2sin2xxx ,

4、1)2cos( xx.2sin2xy 则则,sin xx 前前已已证证,22xxy 故故. 00 yx时，时，当当.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy连续点举例连续点举例时时，改改变变当当xx y.),(cos也是连续的也是连续的在区间在区间同理可证同理可证 xy例例2 2.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解：解：)(lim0 xfx , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()0()0(fff 要要使使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数

5、xxf, 1 axxcoslim0 .0, 0,1, 0,)(. 1的的连连续续性性处处在在讨讨论论函函数数例例 xxxxxxf解：解：, 0)(lim0 xfx, 1)(lim0 xfx),0()0( ff.0称称为为函函数数的的跳跳跃跃间间断断点点 xoxy间断点举例间断点举例跳跃间断点：跳跃间断点： 左右极限都存在但不相等的点左右极限都存在但不相等的点. .)(lim0不不存存在在xfx例例2 2.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 , 1)1( f, 2)1( f, 2)1( f2)(lim1 xfx

6、),1(f .1称称为为函函数数的的可可去去间间断断点点 x解：解：可去间断点：可去间断点：左右极限都存在且相等左右极限都存在且相等即极限存在的间断点即极限存在的间断点. .对于可去间断点，只要改变或者补充间断点处对于可去间断点，只要改变或者补充间断点处函数的定义，则可使其变为连续点函数的定义，则可使其变为连续点. .如上例如上例, 2)1( f令令 , 1 ,11, , 2, 10 ,2)(xxxxxxf则则oxy112.1处处连连续续在在 x例例3 3.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解：解：oxy, 0)0( f,)0( f.0称称为为函函数

7、数的的无无穷穷间间断断点点 x例例4 4.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解：解：xy1sin ,11)(0之之间间变变动动无无限限多多次次与与在在时时当当 xfx.0称为函数的振荡间断点称为函数的振荡间断点 x跳跃间断点与可去间断点属于第一类间断点跳跃间断点与可去间断点属于第一类间断点. .第一类间断点：第一类间断点：左左、右极限至少有一个不存在右极限至少有一个不存在的间断点的间断点. .无穷间断点与振荡间断点属于第二类间断点无穷间断点与振荡间断点属于第二类间断点. .左左、右极限都存在的间断点右极限都存在的间断点. .第二类间断点：第二类间断点：可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x 要点要点:连续点的定义连续点的定义:间断点的分类间断点的分类: :)()(lim00 xfxfxx . 0, 0 yx当当分段函数在分界点的连续性分段函数在分界点的连续性:)(lim0 xfxx )(lim0 xfxx ).(0 xf 第一类间断点：第一类间断点：左左、右极限都存在的间断点右极限都存在