广义积分的判别法实用教案

1、二、无界函数二、无界函数(hnsh)反常积分反常积分的审敛法的审敛法第一第一(dy(dy)讲讲反常反常(fnchng)积积分分无穷限的反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分无界函数的反常积分一、无穷限反常积分的审敛法一、无穷限反常积分的审敛法反常积分的审敛法 函数 第1页/共27页第一页，共28页。定义定义(dngy)1. 设设若若存在存在(cnzi) ,则称此极限则称此极限(jxin)为为 f (x) 的无穷限广的无穷限广义积分义积分, 记作记作这时称广义积分这时称广义积分收敛收敛 ;如果上述极限不存在如果上述极限不存在,就称广义积分就称广义积分发散发散 .一、无穷限广义积分一、无穷限广

2、义积分注：注：f(x)非负，上述积分几何意义是开口曲边梯形的面积非负，上述积分几何意义是开口曲边梯形的面积第2页/共27页第二页，共28页。引入记号引入记号(j ho)则有类似则有类似(li s)N L公式的计算表达式公式的计算表达式 :2. 无穷无穷(wqing)限广义积限广义积分的计算分的计算第3页/共27页第三页，共28页。一、无穷限反常一、无穷限反常(fnchng)积积分的审敛法分的审敛法定理定理(dngl)1.若函数若函数(hnsh)证证:根据极限收敛准则知根据极限收敛准则知 存在存在 ,第4页/共27页第四页，共28页。定理定理2 . (比较比较(bjio)审敛原理审敛原理)且对充

3、且对充, 则则证证: 不失不失(b sh)一般性一般性 ,因此因此(ync) 单调递增有上界函数单调递增有上界函数 , 第5页/共27页第五页，共28页。说明说明(shumng): 已知已知得下列得下列(xili)比较审敛法比较审敛法.极限极限(jxin)存在存在 ,第6页/共27页第六页，共28页。定理定理(dngl)3. (比较比较审敛法审敛法 1)第7页/共27页第七页，共28页。例例1. 判别反常判别反常(fnchng)积分积分解解:的敛散性的敛散性 .机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由比较审敛法由比较审敛法 1 可知原积分可知原积

4、分(jfn)收敛收敛 .思考题思考题: 讨论反常积分讨论反常积分的敛散性的敛散性 .提示提示: 当当 x1 时时, 利用利用 可知原积分发散可知原积分发散 .第8页/共27页第八页，共28页。定理定理(dngl)4. (极极限审敛法限审敛法1)机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则有则有: 1) 当当2) 当当证证:根据极限根据极限(jxin)定义定义 , 对取定的对取定的当当 x 充充分大时分大时, 必有必有, 即即满足满足第9页/共27页第九页，共28页。当当机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 可取

5、可取(kq)必有必有即即注意注意(zh y): 此极限的大小刻画了此极限的大小刻画了第10页/共27页第十页，共28页。例例2. 判别判别(pnbi)反常积分反常积分的敛散性的敛散性 . 解解:机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 根据极限审敛法根据极限审敛法 1 , 该积分该积分(jfn)收敛收敛 . 例例3. 判别反常积分判别反常积分的敛散性的敛散性 . 解解:根据极限审敛法根据极限审敛法 1 , 该积分发散该积分发散 . 第11页/共27页第十一页，共28页。定理定理(dngl)5.机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页

6、返回返回 结束结束 证：证：则则而而第12页/共27页第十二页，共28页。定义定义(dngy). 设反常积分设反常积分机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则称则称绝对绝对(judu)收敛收敛 ; 则称则称条件收敛条件收敛 . 例例4. 判断反常积分判断反常积分的敛散性的敛散性 .解解:根据比根据比较审敛原理知较审敛原理知故由定理故由定理5知所知所给积分收敛给积分收敛 (绝对收敛绝对收敛) .第13页/共27页第十三页，共28页。(2013)第14页/共27页第十四页，共28页。无界函数的反常积分可转化无界函数的反常积分可转化(zhunhu)为无穷限的反

7、为无穷限的反常积分常积分.二、无界函数反常二、无界函数反常(fnchng)积积分的审敛法分的审敛法机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由定义由定义 例如例如因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数的反常积分中来的反常积分中来 .第15页/共27页第十五页，共28页。定理定理(dngl)6. (比较比较审敛法审敛法 2)定理定理3 3 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 瑕点瑕点(xi din) ,有有有有利用利用有类似定理有类似定理 3 与定理与定理 4 的如下

8、审敛法的如下审敛法. 使对一切充分接近使对一切充分接近 a 的的 x ( x a) .第16页/共27页第十六页，共28页。定理定理(dngl)7. (极极限审敛法限审敛法2)定理定理4 4 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则有则有: 1) 当当2) 当当例例5. 判别判别(pnbi)反常积分反常积分解解:利用洛必达法则得利用洛必达法则得根据极限审敛法根据极限审敛法2 , 所给积分发散所给积分发散 .第17页/共27页第十七页，共28页。例例6. 判定椭圆判定椭圆(tuyun)积分积分定理定理4 4 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回

9、结束结束 散性散性 . 解解:由于由于(yuy) 的敛的敛根据极限审敛法根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛椭圆积分收敛 . 第18页/共27页第十八页，共28页。类似类似(li s)定理定理5, 有有下列结论下列结论:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 称为绝对称为绝对(judu)收敛收敛 . 则反常积分则反常积分 第19页/共27页第十九页，共28页。三、三、 函函数数(hnsh)1. 定义定义(dngy)机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 下面证明这个特殊函数在下面证明这个特殊函数在内收敛内收敛

10、. 令令第20页/共27页第二十页，共28页。机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 综上所述综上所述 , 第21页/共27页第二十一页，共28页。2. 性质性质(xngzh)(1) 递推公式递推公式(gngsh)机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证证: (分部积分分部积分)注意到注意到:第22页/共27页第二十二页，共28页。(2)得应用中常见得应用中常见(chn jin)的积分的积分这表明这表明(biomng)左端的积分可用左端的积分可用 函数来计算函数来计算.例如例如(lr),第23页/共27页第二十三页，共28页。 0411)1(dxxI 0421)2(dxxxI 022202221112111121dxxxxdxxxx例.(2014)第24页/共27页第二十四页，共28页。(2010)第25页/共27页第二十五页，共28页。(2012)第26页/共27页第二十六页，共28页。感谢您的观看(gunkn)！第27页/共27页第二十七页，共28页。NoImage内容(nirng)总结二、无界函数反常积分的审敛法。则称此极限为 f (x) 的无穷限广义积分,。则有类似N L公式的计算