随机过程第六章实用教案

1、1严平稳(pngwn)过程的定义设设X(t),tT是随机过程，如果对任意常数是随机过程，如果对任意常数(chngsh)和正整数和正整数n， t1,t2, ,tnT，t1+,t2+, ,tn+ T，(X(t1),X(t2), ,X(tn)与与(X(t1+),X(t2+), ,X(tn+)有相有相同的联合分布，则称同的联合分布，则称X(t),tT为严平稳过程或侠义平稳为严平稳过程或侠义平稳过程。过程。严平稳过程的统计特征严平稳过程的统计特征(tzhng)是由有限维分布函数决定的，在实际应用中难以确是由有限维分布函数决定的，在实际应用中难以确定。定。第1页/共26页第一页，共26页。2宽平稳(png

2、wn)过程的定义设设X(t),tT是随机过程是随机过程(guchng)，如果，如果1、X(t),tT是二阶矩过程(guchng)；2、对任意tT，mX(t)=EX(t)=常数；3、对任意s,t T，RX(s,t)=EX(s)X(t)=RX(s-t) 。则称X(t),tT为广义平稳过程，简称为宽平稳过程第2页/共26页第二页，共26页。3对于严平稳随机对于严平稳随机(su j)过程过程X(t)（以实过程为例）的一维分布（以实过程为例）的一维分布F1(X1,t1)=F1(X1,t1+ )，若令若令=-t1，则，则F1(X1,t1)=F1(X1,0)=F1(X1)因此严平稳随机因此严平稳随机(su

3、j)过程的一维分布函数与时间无关，其在任何时刻的统计规律相等。过程的一维分布函数与时间无关，其在任何时刻的统计规律相等。1( )( )XXmtxfx dxm222( )( )XxX tE Xtm若随机若随机(su j)过程过程X(t)为严平稳，则其均值、均方值和方差均为常数。为严平稳，则其均值、均方值和方差均为常数。第3页/共26页第三页，共26页。4对于对于(duy)严平稳随机过程严平稳随机过程X(t)的二维分布的二维分布F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;t1+ ,t2+ )，若令，若令=-t1，则，则F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;0,t2-t1)，令，令

4、t2-t1= ，则，则F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2; )();,(),;,()(),(),(21212212121221XXRdxdxxxfxxdxdxttxxfxxtXtXEttR严平稳过程严平稳过程(guchng)+二阶矩过程二阶矩过程(guchng)=宽平稳；反之不成立。宽平稳；反之不成立。第4页/共26页第四页，共26页。5例题例题(lt)1：设设Y是随机变量，试分别考虑是随机变量，试分别考虑X(t)=Y和和X(t)=tY的平稳性。的平稳性。例题例题2：设设Xn，n=0, 1, 2, 是实的互不相关随机变量序列，且是实的互不相关随机变量序列，且EXn=0,DXn=2

5、。试讨论。试讨论(toln)随机序列的平稳性。随机序列的平稳性。例题3：设Xn，n= 1, 2, 是相互独立且都服从N(0,1)的随机变量(su j bin lin)序列，Yn，n= 1, 2, 是相互独立且都服从 上的均匀分布的随机变量(su j bin lin)序列，且Xn 与Yn 相互独立， n= 1, 2, 。令(3, 3)nnnnnXZY，若 为奇数，若 为偶数证明证明Zn，n= 1, 2, 是宽平稳过程，但不是严平稳过程。是宽平稳过程，但不是严平稳过程。第5页/共26页第五页，共26页。6联合(linh)平稳过程)()(tYtXE设设X(t),tT和和Y(t),tT是两个平稳过程，

6、若它们的互相关函数是两个平稳过程，若它们的互相关函数 和和 仅与仅与有关有关(yugun)，而与，而与t无关，则称无关，则称X(t)和和Y(t)是联合平稳随机过程。是联合平稳随机过程。 )()(tXtYE当两个当两个(lin )平稳过程平稳过程X(t)，Y(t)是联合平稳时，则它们的和也是平稳过是联合平稳时，则它们的和也是平稳过程。程。第6页/共26页第六页，共26页。74、RX()是非负定的，即对任意实数是非负定的，即对任意实数(shsh)t1,t2, ,tn及复数及复数a1,a2, ,an，有有平稳过程自相关函数(hnsh)的性质0)0(XR)()(XXRR)0(| )(|XXRRnjij

7、ijiXaattR1,0),(XXXmmR)(lim|设x(t),tT为平稳过程(guchng)，则其相关函数具有下列性质：5、若X(t)是周期为T的周期函数，即X(t)=X(t+T)，则RX()=RX( +T)；6、若X(t)是不含周期分量的非周期过程，当| |时，X(t)与X(t+ ) 相互独立，则1、2、3、第7页/共26页第七页，共26页。8联合平稳过程自相关函数(hnsh)的性质2) ()( ), ( ), ( ),()( ),XYYXXYYXRRX t Y tRR当为实联合平稳过程时 有 注意无对偶性.221) ( )(0)(0),( )(0)(0);XYXYYXXYRRRRRR第

8、8页/共26页第八页，共26页。9收敛性概念(ginin)对于概率空间对于概率空间(,F,P)上的随机序列上的随机序列(xli)Xn每个试验结果每个试验结果e都对应一序列都对应一序列(xli)，如果该序，如果该序列列(xli)对每个对每个e都收敛，则称随机序列都收敛，则称随机序列(xli)Xn处处收敛，即满足处处收敛，即满足XXnnlim称二阶矩随机序列称二阶矩随机序列(xli)Xn(e)以概率以概率1收敛于二阶矩随机变量收敛于二阶矩随机变量X(e)，即，即1)()(lim:eXeXePnn或称或称Xn(e)几乎处处收敛于几乎处处收敛于X(e)，及作，及作XXean.称二阶矩随机序列称二阶矩随

9、机序列Xn(e)依概率收敛于二阶矩随机变量依概率收敛于二阶矩随机变量X(e)，若对于任给，若对于任给0，有，有lim|( ) |0nnPXeXe 记作记作XXPn第9页/共26页第九页，共26页。10设有二阶矩随机序列设有二阶矩随机序列(xli)Xn和二阶矩随机变量和二阶矩随机变量X，若有，若有0|lim2XXEnn成立成立(chngl)，则称，则称Xn均方收敛于均方收敛于X，记作，记作.n m snnXX XXl.i.m 称二阶矩随机称二阶矩随机(su j)序列序列Xn依分布收敛于二阶矩随机依分布收敛于二阶矩随机(su j)变量变量X，若，若Xn相应相应的分布函数列的分布函数列Fn(x)，在

10、，在X的分布函数的分布函数F(x)的每一个连续点处，有的每一个连续点处，有)()(limxFxFnn记作记作XXdna.em.sPd不收敛不收敛26.2 :lim0nnmn,mXXE XX定理二阶矩随机序列收敛于二阶矩随机变量 的充要条件为第10页/共26页第十页，共26页。11定理定理6.3设设Xn,Yn,Zn都是二阶矩随机序列都是二阶矩随机序列(xli)，U为二阶矩随机变量，为二阶矩随机变量，Cn为常为常数序列数序列(xli)，a,b,c为常数，令为常数，令l.i.mXn=X，l.i.mYn=Y，l.i.mZn=Z， 有有 ccnnlim1. .limnnnl i mccc、2. .l i

11、 m UU、3. ()nlim c UcU、4. . ()nnl i m aXbYaXbY、5 lim . .nnnE XE XE l i mX、,6 lim( .)( .)nmnmn mE X YE XYE limXlimY、第11页/共26页第十一页，共26页。12定理定理(dngl)6.4设设Xn为二阶矩随机序列，则为二阶矩随机序列，则Xn均方收敛的充要条件为下列极限存在：均方收敛的充要条件为下列极限存在：lim,mnmnXXE定义定义(dngy)6.6设有二阶矩过程设有二阶矩过程X(t),tT，若对每一个，若对每一个tT，有，有0|)()(|lim20tXhtXEh则称则称X(t)在在

12、t点均方连续，记作点均方连续，记作若若T中一切中一切(yqi)点都均方连续，则称点都均方连续，则称Xt在在T上均方连续。上均方连续。)()(. .0tXhtXmilh定理定理6.5二阶矩过程二阶矩过程X(t)，tT在在t点均方连续的充要条件为相关函数点均方连续的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点在点(t,t)处连续。处连续。第12页/共26页第十二页，共26页。13均方导数(do sh)定义定义6.7设设X(t),tT为二阶矩过程，若存在另一个随机为二阶矩过程，若存在另一个随机(su j)过程过程X(t)，满足，满足0|)()()(|lim20tXhtXhtXEh则称则称X(t)在在t点

13、均方可微，记作点均方可微，记作htXhtXmi ldttdXtXh)()(. .)()(0第13页/共26页第十三页，共26页。14二阶矩过程二阶矩过程(guchng)的相关函数的相关函数RX(t1,t2)的广义二阶导数记作的广义二阶导数记作122121212121212(,)(,)(,)( ,)= lim( ,)XXXXhXhRttttRththRthtRt thh hRt th h 定理定理6.6二阶矩过程二阶矩过程X(t),tT在在t点均方可微的充要条件微相关函数点均方可微的充要条件微相关函数RX(t1,t2)在点在点(t,t)的广义的广义(gungy)二阶导数存在。二阶导数存在。推论：

14、数学期望运算与求导运算可以交换(jiohun)顺序。第14页/共26页第十四页，共26页。15均方积分(jfn)定义定义6.8设设X(t),tT为二阶矩过程为二阶矩过程(guchng)，f(t)为普通函数，其中为普通函数，其中T=a,b，设，设T的的任一划分为任一划分为 a=t0t1tn=b，记，记 做和式做和式如果当如果当n0时，时，Sn均方收敛于均方收敛于S，即，即0|lim20SSEnn则称则称f(t)X(t)在区间在区间(q jin)a,b上均方可积，记作上均方可积，记作badttXtfS)()(11max(iini ntt 111( )( )(), nniiiiiiiiSf t X

15、tttttt第15页/共26页第十五页，共26页。定理定理(dngl)6.7f(t)X(t)在区间在区间a,b上均方可积的充要条件为上均方可积的充要条件为 babaXdtdtttRtftf212121),()()(存在。二阶矩过程存在。二阶矩过程(guchng)X(t)在区间在区间a,b上均方可积的充要条件为上均方可积的充要条件为RX(t1,t2)在在a,ba,b上可积。上可积。第16页/共26页第十六页，共26页。17定理定理(dngl)6.8设设f(t)X(t)在区间在区间a,b上均方可积，则有上均方可积，则有 1( )( )( ) ( )bbaaEf t X t dtf t E X t

16、dt、babadttXEdttXE)()(1112221212122( )( )()()( )()( ,)bbbbXaaaaEf tX t dtf tX tdtf tf tRt tdt dt 、 babaXbadtdtttRdttXE21212),(|)(|定理定理6.9设设X(t),tT为二阶矩过程在区间为二阶矩过程在区间a,b上均方连续，则上均方连续，则在均方意义下存在在均方意义下存在(cnzi)，且随机过程，且随机过程Y(t), tT在区间在区间a,b上均方可微，上均方可微，且有且有Y(t)=X(t)。( )( )taY tXd第17页/共26页第十七页，共26页。18( )( ) (

17、)( )( ).( )( )( ).tabaX tX tX tX aX t dtX bX aX t dt推论：设均方可微，且均方连续，则及 ( ),( ),( , )XX t tTX t tTBs t例6.7：设是实均方可微过程，求其导数过程的协方差函数第18页/共26页第十八页，共26页。19时间(shjin)平均和集合平均概念)(tXEmX1( )lim( )2TTTX tX t dtT集合(jh)平均mX是随机过程的均值，即任意时刻是随机过程的均值，即任意时刻(shk)的过程取值的统计平均。的过程取值的统计平均。时间平均是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，它随样本不同而不同，是个随机是

18、随机过程的样本函数按不同时刻取平均，它随样本不同而不同，是个随机变量。变量。对于一个确定的样本对于一个确定的样本1( )lim( )2TTTX tX t dtT常数时间平均集合平均第19页/共26页第十九页，共26页。20定义定义6.10设设X(t),-t是均方连续的平稳过程，若是均方连续的平稳过程，若以概率以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经(l jn)性。若性。若以概率以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经(l jn)性。性。1( )( )2TXTTXtlimXtd tmT 1( )()(

19、 )()( )2TXTTXtXtlimXtXtdtRT 定义定义6.11如果均方连续的平稳过程如果均方连续的平稳过程X(t),tT的均值和相关函数都具有的均值和相关函数都具有(jyu)各态历各态历经性，则称该平稳过程为具有经性，则称该平稳过程为具有(jyu)各态历经性或遍历性。各态历经性或遍历性。第20页/共26页第二十页，共26页。21定理定理6.10设设X(t),-t是均方连续的平稳过程，则它的均值是均方连续的平稳过程，则它的均值(jn zh)具有各态历经性的具有各态历经性的充要条件为充要条件为0|)()2|1(21.222TTXXTdmRTTmil例题例题(lt)6.9：随机过程随机过程X(t)=acos(wt+),a,w为常数，为常数，为为(0,2)上均匀分布的随机变量，上均匀分布的随机变量，试分析试分析X(t)遍历性。遍历性。 1,0XXX tPX tmEX tmDX tX t 思路的均值具有各态历经性的定义为： 后面只要计算的均值与:方差就可以了第21页/共26页第二十一页，共26页。22 20XXXXXXlim Rlim Blim BX tlim RmlitBXm注意： 因此在或存在条件下，均值各态历经性的条件为：，即当时间差 充分大时，和呈现不相关性 22limXXX