高等数学电子同济六函数学习教案

1、会计学1高等数学电子同济六函数高等数学电子同济六函数第一页，编辑于星期三：七点 四十七分。2具有特定性质具有特定性质xxM 有限集有限集无限集无限集映射与函数第一节、集合、集合1,9210M如如),( 1222yxyxM如如、集合间的关系：、集合间的关系：2）子集；）子集；（1）集合相等；）集合相等；（2）空集；）空集；（3第1页/共51页第二页，编辑于星期三：七点 四十七分。3）集合运算：）集合运算：（4BxAxxBA且且如如BxAxxBA或者或者、常用数的集合：、常用数的集合：3N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集数集间的关系数集间的关系:.,RQQZZ

2、N第2页/共51页第三页，编辑于星期三：七点 四十七分。44.4.区间与记号区间与记号: :.,baRba且且,bxaxba闭区间：闭区间：oxaboxab开区间：),(bxaba第3页/共51页第四页，编辑于星期三：七点 四十七分。5),bxaxba,(bxaxba半开区间：半开区间：),xaxa),(bxxb无限区间),(Rxx第4页/共51页第五页，编辑于星期三：七点 四十七分。65.5.邻域邻域: :.,0 且且是两个实数是两个实数与与设设a),( aU记作记作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径 . ),( axaxaU即即:邻域邻域的去心的的去

3、心的点点 a. ),( axxaU0,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxxa)(aa第5页/共51页第六页，编辑于星期三：七点 四十七分。7、两闭区间的直积6,),(,dcybaxyxdcba平面上的矩形区域。它表示xoy第6页/共51页第七页，编辑于星期三：七点 四十七分。87.7.常量与变量常量与变量: : 在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为常量常量,通常用字母通常用字母a, b, c等表示常量等表示常量,而数值变化的量称为而数值变化的量称为变量变量.用字母用字母x, y, t等表示等表示变变量量.第7页/共51页第八页，编辑于星期三：七点 四十七分。9引例

4、引例匀速直线运动:),0ttvs圆的面积与半径的关系：),(,02rrA 定义：定义：是两个变量，是两个变量，和和设设yx是一个给定的数集，是一个给定的数集，D按按照照一一定定法法则则变变量量如如果果对对于于每每个个数数yDx,应，应，总有确定的数值和它对总有确定的数值和它对的函数，的函数，是是则称则称xy第8页/共51页第九页，编辑于星期三：七点 四十七分。10)(xfy 记作记作xxD称为自变量， 的取值范围 称为定义域；1 1、函数的三要素、函数的三要素: :定义域、值域和对应关系；定义域、值域和对应关系；说明：说明：xysin如如的函数，的函数，是是xy), 0定定义义域域为为.,11

5、值域为值域为.22cos1)(,sin)(xxgxxf如).()(xgxf第9页/共51页第十页，编辑于星期三：七点 四十七分。11、单值函数：、单值函数：24xy 如如多值函数：多值函数：122 yx如如值域。值域。、会求函数的定义域及、会求函数的定义域及3例例1 1. . 求下列函数的定义域:;)(21112xxy解解,021xx由由故定义域为), 1 () 1 , 1() 1, 2D第10页/共51页第十一页，编辑于星期三：七点 四十七分。12)(lg)(arccos)(xxy2112解解 因11 x021x即20 x21x故定义域为),021D第11页/共51页第十二页，编辑于星期三：

6、七点 四十七分。13 (1) 符号函数符号函数010001xxxxy当当当当当当sgn3、几个特殊的函数举例、几个特殊的函数举例1-1xyoxxx sgn(,),D 定义域 1,0,1W 值域图形：图形：第12页/共51页第十三页，编辑于星期三：七点 四十七分。14(2) 取整函数：取整函数： y=x 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线53如, 0 3, 1 8, 88 . 3. 4(,),D 定义域WZ值域图形：图形：x表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数x第13页/共51页第十四页，编辑于星期三：七点 四十七分。15（3

7、）分段函数）分段函数函函数数。用用几几个个式式子子表表示示的的一一个个0, 10, 12)(,2xxxxxf例如12 xy12 xy),(D定定义义域域 )2(f, 3)(3f. 5第14页/共51页第十五页，编辑于星期三：七点 四十七分。16(4) 取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg第15页/共51页第十六页，编辑于星期三：七点 四十七分。 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(5) 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函数函数6第16

8、页/共51页第十七页，编辑于星期三：七点 四十七分。例例2 2.)3(,212101)(的定义域求函数设xfxxxf解解1031(3)2132xf xx101( )212xf xx122231xx 1, 3 :D故故第17页/共51页第十八页，编辑于星期三：七点 四十七分。19例例3 3 试将函数试将函数,min)(2xxxf用分段函数表示用分段函数表示. .解作出,xy 2xy 的图形,min)(2xxxf1,11,1,2xxxxxx三、映射（自学）第18页/共51页第十九页，编辑于星期三：七点 四十七分。20,)(,成立成立有有若若MxfXxMDX01函数的有界性函数的有界性:）上有界，）

9、上有界，在（在（如如22xxycos）上有界，）上有界，在（在（ 2112xy ）上无界。）上无界。，在（在（ 10.)(否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数Xxf第19页/共51页第二十页，编辑于星期三：七点 四十七分。212函数的单调性函数的单调性:,Ixx21当21xx 时,),()(21xfxf若若上上的的单单调调增增加加函函数数；为为称称Ixf)(, )()(21xfxf若若上上的的单单调调减减少少函函数数；为为称称Ixf)(单增单增如如3xyxy,?2xy 第20页/共51页第二十一页，编辑于星期三：七点 四十七分。223函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数有有对

10、于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD)()(xfxfyx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf第21页/共51页第二十二页，编辑于星期三：七点 四十七分。23有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD)()(xfxf;)(为奇函数为奇函数称称xf奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy 第22页/共51页第二十三页，编辑于星期三：七点 四十七分。24偶函数偶函数如如242xxxgxxf)(,cos)()ln()(,ln)(,)(11123231xxxfxxxfxxf均为奇函数均为奇函数xxxfcos)(都不是都不是第23页/共51页第二

11、十四页，编辑于星期三：七点 四十七分。254函数的周期性函数的周期性:通常说周期函数的周期是指其最小正通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期,0lDx)()(xflxf使使为为周周期期函函数数。称称)(xfxo2y2xysin如如思考：狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函数的周期性函数的周期性第24页/共51页第二十五页，编辑于星期三：七点 四十七分。26)()(yxxfy 所所确确定定的的函函数数由由).(xy 也可记作为也可记作为12xy如：如：,21yx反函数：反函数：;21xy也可写成：也可写成：xey ,ln yx 反函数：反函数：.ln xy 也可写成：也可写成：第25页/共

12、51页第二十六页，编辑于星期三：七点 四十七分。27)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数说明：说明：对称；对称；图形关于图形关于）原函数与其反函数的）原函数与其反函数的（xy 1第26页/共51页第二十七页，编辑于星期三：七点 四十七分。28一一定定是是单单值值函函数数，）单单值值函函数数的的反反函函数数不不（22xy 如：如：.yx反函数：反函数：单调增（减），单调增（减），）若）若（)(xfy 3）。）。其反函数也单调增（减其反函数也单调增（减第27页/共51页第二十八页，编辑于星期三：七点 四十七分。291.幂函数幂函数)( 是是常常数数 xy

13、 oxy)1 , 1(112xy xy xy1xy 第28页/共51页第二十九页，编辑于星期三：七点 四十七分。302.指数函数指数函数),(10aaayxxay xay)(1)1( a)1 ,0( xey 第29页/共51页第三十页，编辑于星期三：七点 四十七分。313.对数函数对数函数),(log10aaxyaxylnxyalogxya1log)(1a)0 , 1( 第30页/共51页第三十一页，编辑于星期三：七点 四十七分。324.三角函数三角函数正弦函数正弦函数xysinxysin第31页/共51页第三十二页，编辑于星期三：七点 四十七分。33xycosxycos余弦函数余弦函数第32

14、页/共51页第三十三页，编辑于星期三：七点 四十七分。34正切函数正切函数xytanxytan第33页/共51页第三十四页，编辑于星期三：七点 四十七分。35xycot余切函数余切函数xycot第34页/共51页第三十五页，编辑于星期三：七点 四十七分。36正割函数正割函数xysecxysec第35页/共51页第三十六页，编辑于星期三：七点 四十七分。37xycsc余割函数余割函数xycsc第36页/共51页第三十七页，编辑于星期三：七点 四十七分。385.反三角函数反三角函数xyarcsinxyarcsin反反正正弦弦函函数数第37页/共51页第三十八页，编辑于星期三：七点 四十七分。39x

15、yarccosxyarccos反反余余弦弦函函数数第38页/共51页第三十九页，编辑于星期三：七点 四十七分。40 xyarctanxyarctan反反正正切切函函数数第39页/共51页第四十页，编辑于星期三：七点 四十七分。41 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三三角函数和反三角函数统称为角函数统称为基本初等函数基本初等函数.xarcycot反余切函数反余切函数xarcycot第40页/共51页第四十一页，编辑于星期三：七点 四十七分。421.复合函数复合函数,uy 设设,21xu21xy定义定义: 设函数设函数)(ufy 的定义域的定义域fD, 而函数而函数)

16、(xu 的值域为的值域为 Z, 若若 ZDf, 则称则称函数函数)(xfy 为为x的的复合函数复合函数. ,自自变变量量x,中中间间变变量量u,因变量因变量y第41页/共51页第四十二页，编辑于星期三：七点 四十七分。43注意注意: : 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的数的;,arcsinuy 例如例如;22xu)arcsin(22xy2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,cot2xy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 2.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次

17、的由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初等初等函数函数.第42页/共51页第四十三页，编辑于星期三：七点 四十七分。44例例1. 求求21210 01 12xexxxxyx,ln,的反函数及其定义域.解解时时，当当01x, ,(102 xy1,0(,yyx时时，当当10 x, 0,(lnxy时时，当当21 x, 2,2(21eeyx,(,0 xeyx即即反函数反函数,(,10 xxy即即反函数反函数0,(,yexy第43页/共51页第四十四页，编辑于星期三：七点 四十七分。45反函数y,(

18、,lnexx2212,(,10 xx0,(,xex定义域为,(,(e221 2,2(,ln12eyxy反函数2,2(,ln12exyx即即第44页/共51页第四十五页，编辑于星期三：七点 四十七分。462sinhxxeex 双曲正弦双曲正弦xycosh xysinh ),(:D奇函数奇函数.2coshxxeex 双曲余弦双曲余弦),(:D偶函数偶函数.1.双曲函数双曲函数xey21 xey 21第45页/共51页第四十六页，编辑于星期三：七点 四十七分。47xxxxeeeexxx coshsinhtanh双曲正切双曲正切奇函数奇函数,),(:D有界函数有界函数,第46页/共51页第四十七页，编辑于