第一章函数、极限与连续

1、高等数学讲稿狭义的高等数学是由微积分、微分方程和无穷级数组成的。其中微积分(或者称数学分析)是高等数学的重要组成部分，是介于自然科学与人文科学之间的数学的一个重要的分支学科，是人类历史上经历2500多年之久人类思维和智力奋斗的结晶与成果。基于它深深根植于人类活动的众多领域，于是也就历史地奠定了它在社会发展和人类进步中强力地位。微积分研究的内容属于高等数学的范畴。高等数学与初等数学的本质区别就在于：前者研究的是变量，研究的方法是动的、联系的和辩证的；而后者研究的是常量，研究的方法是静止的、孤立的。微积分在形成目前这样一套完整理论的过程中，期间克服了多次危机(著名的有三次)，经历了很多磨难。微积分

2、理论建立和完善的过程，也是促进人类文明和社会进步的过程。而生产力的发展和工程科技中的技术难题也是历代科学家在当时的历史条件下推进微积分理论发展和完善的基本动力。其中对微积分理论发展影响较大的问题主要是以下四个方面：一是物理问题求物体的瞬时速度，就是说怎样解决在时间和距离都是0时的速度、加速度问题；二是几何问题求任意曲线在某点处的切线。古希腊人已知的圆锥曲线的切线定义已经不适用17世纪的复杂曲线；三是求建模函数的最大值最小值问题。弹道学计算炮弹的射程，天文学计算行星和太阳的最近、最远距离等都是要求最大值最小值问题；四是求积累问题，求曲线的弧长，曲线所围区域的面积，曲面所围的体积，物体的重心等，这

3、些问题在古希腊已开始研究，但他们的方法不具有一般性。对微积分的学习研究，我们是从极限微分积分的基本顺序展开的。因为，微积分研究的对象是变量、是函数，微分学、积分学的理论都是通过极限的理论作为基础和工具进行研究和建立的。但是，在微积分理论发展完善的历程中，却是戏剧性的和上述的顺序相反，这也是在谈微积分简史时为什么先谈积分学，再谈微分学和极限，其原因就在于此。微积分的主要课题是研究变量的变化形态，为了利用变量的变化趋势、变化速度以及变化的积累效应等要素刻画变化过程的特征，人们提出并发展了极限的理论和方法。实际上，导数是一类特殊的极限，定积分又是另一类型的极限，极限的理论和方法构成了整个微积分的基础

4、。我们就从高等数学研究的对象函数，和其基础知识极限，谈起。因此我们的第一章就是第一章 函数与极限客观世界处在永恒的运动、发展和变化中。对各种变化过程和变化过程中的量与量的依赖关系的研究，产生了函数与函数极限的概念。函数概念就是对运动过程中量与量的依赖关系的抽象描述，是刻划运动变化中变量之间相依关系的数学模型。并且，函数概念本身也在不断发展中。极限是刻划变化过程中变量的变化趋势的数学模型。在中学数学里，通常突出的是极限的描述性定义。微积分则必须强调精确的、定量的极限定义。本章将介绍函数与极限的基本概念、性质和运算，并利用极限描述函数的连续性。连续函数是最常见的一类函数，它具有一系列很好的性质和基

5、本运算，微分理论将以连续函数为主要对象。下面我们首先介绍函数的定义、性质及表示方法。  § 1 函 数一、变量与区间1、常量与变量 我们生活在永恒运动着的客观世界中，变化无处不在。诸如行星围绕太阳转动时相对位置的改变；城市人口数逐年增减；转炉中钢水温度的升降；流水线上完成产品的多少；国际贸易中逆差的变化，他们都可以用数学上的变量来描述。（略）2、区间与邻域中学学过区间的概念，如有限区间：闭区间 = ，开区间 () = ，半开半闭区间 a , b 等；还有无限区间：( a , + ) = x a < x 等。注意 只是符号不是数，+表示沿x轴正方向可以无限变大，表示沿x

6、轴负方向可以无限变小（或说其绝对值可无限变大）。今后常用到形如（）的开区间，称为点0的邻域，简记为,其中称为此邻域的中心，称为此邻域的半径，于是有（ 。 ）（ ）.O x0d x0 x0 + d O x0d x0 x0 + d 有时还用到去心邻域，它的记法和定义是 = ， 其中 . 无需指明邻域的半径时，可用符号或.数学上用绝对值表示直线上两点a, b之间的距离：d =ab.绝对值的性质： ；(4)；（几何解释：数轴上到原点的距离不超过a 的点集，见图1）。 . 。 -a O a -a O a图1 图2(5) （几何意义见图2）；(6) 。二、函数概念人们注意到在同一个自然现象、生产实践或科学

7、实验过程中，往往同时有几个变量相互联系、相互影响地变化着，这种变化遵循着一定的客观规律。如果能用数学方式精确地描述出这些变化的因果关系，就有可能准确的预测事物未来的进程，提出有效的工作方案，把握事物的发展趋势。函数就是变量变化关系最基本的数学描述。函数一词是由著名德国数学家莱布尼茨首先在数学上使用的，尽管他也考虑到变量x和与x同时变化的变量y，但他只是针对某些特殊的数学公式而言的。后经欧拉、狄里克利、戴德金等数学家的不断修订、扩充才逐步形成现代的函数概念，直到今天，函数的概念还在不断的发展着。在初中代数中函数概念是利用“对应法则”直接给出的。高中代数是先用“对应法则”、“对应”定义映射，再用映

8、射定义函数。它们都是用原始概念（对应法则、对应）等来定义函数。现代函数概念发展到以通常所理解的“函数的图象”的概念作为函数定义的蓝图，用有序数对集合的语言来的定义。我们教材采用接近于初中的定义形式，是最容易理解的一种，不再罗嗦(见P3定义)。只强调三点：（1） 函数可按对应数值的多少分为单值函数和多值函数两类，由于多值函数可分解为一些单支分支函数，所以一般只讨论单值函数的情形。（2） 虽然函数定义中出现了两个变量取值于定义域的自变量x和取值于值域的因变量y,反映这两个变量联系的数学概念就是函数关系。由定义可见，确定函数只有两个要素定义域和对应法则。两函数相等 Û 定义域和对应法则相同

9、。（3）定义域的确定：实际问题则由实际意义确定；有解析式子表达的函数如不说明，则是使其表达式有意义的自变量的全体。用一个解析式子来表示函数是最重要的表示函数的方法，但不是唯一的方法。还可以用图象（如书上的例2），表格（如学生成绩表），或语言叙述来表示函数。借助于图形的直观形象有助于掌握函数的变化规律。 v(t)例如汽车的计速器把车轮转动的角速度转换为表盘上指针的相应位置，即指示汽车的速度。画出车速关于 时间的图形，得到车辆起步后的速度图（图3）从图中可以清晰地看到车加速和减速的全过程：起步后迅速加 0 10 40 t速，至10分钟后又缓缓减速，直至40分钟时停下。 图1-3如何得到这40分钟间

10、汽车经过的路程，并把它显示在 里程表上？一般是通过机械装置的运转实现的，这个装置的运转结果实际上是计算出了图中阴影的面积，学了积分后即可以知道这部分面积恰恰就是汽车经过的里程。由此可见反映变量间依赖关系的几何图形对研究变量的关系起着十分重要的作用，这种图形就是函数的图像。 定义 设函数的定义域为D，对任一xÎD，对应的函数值为，这在xO y面上就确定了一点 (x, y)，我们称这种有序对点全体的集合：为f 的图形(图象)。 图1-4 下面介绍几个重要的函数： 例1 绝对值函数 其定义域是，值域是，（图1-5）。 图1-5例2 符号函数 其定义域是，值域是三个点的集合（图1-6）。.

11、。.。 . 。. 。1. 。 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 . 。 -1 图1-6 图1-7例3 取整函数 =表示不超过的最大整数。如 3.01 = 3 = = 3.99999 = 3, -3.01 = - = -3.999 = -4 = 4.其定义域是，值域是全体整数的集合，（图1-6）。 例4 狄里克利（Dirichlet）函数表示：当的有理数时1，当是无理数时0.以上四个函数的定义域都是全体实数。它们在坐标平面上都有自己的图象；但例4的图象是画不出来的。例2和例3中的函数在自变量的不同变化区间中，函数的表达式也不同，通常称之为分段函数。在自然科学、工程技术社会科学中，经常会遇到分

12、段函数的情形。三、 函数的几种特性1、 有界性定义2 设函数在I上有定义。如果$正数M，'D，则称是在I上的有界函数，正数M称为在I上的界。否则就称f在I上无界。函数的有界性实际上就是它的值域集合的有界性。如都是（-¥，+¥）上的有界函数；符号函数和取整函数则是无界函数。无界函数定量性质的数学定义的叙述？2、 单调性定义3 设函数的定义域为D, 区间I Ì D，" x1,x2 Î I。若x1< x2 Þ ，则称在区间I上单调增加；若x1< x2 Þ ，则称在区间I上单调减少。称区间I为函数的单调区间；若I

13、 = D , 则称函数为单调(增加、减少) 函数。这里的单调是指严格单调。还有函数的周期性和奇偶性，不再赘述。 四、反函数函数可以看作从定义域到值域的一种运算，现在讨论这种运算的逆运算，就引出了反函数的概念。高中数学已介绍过反函数概念。定义4 设函数的定义域是D、值域是W，如果"W，都至少有一个D, 使得，则在集合W上确定了一个函数，则称这个新函数为函数的反函数，记作。相对于反函数，称函数为直接函数。反函数的定义域是W，值域是D。依照习惯，把中的与对调，记为，以保持是自变量、是函数。函数与互为反函数，如果函数与互为反函数，则二者的图象是同一个。这时函数与反函数的图象关于直线对称。这里

14、定义与中学定义的不同之处在于，中学反函数局限在单值函数上，定义虽然简单，但反函数存在的要求高。结论 单值单调函数的反函数必为单值单调函数，且单调增加函数的反函数仍是单调增加的，单调减少函数的反函数仍是单调减少的。证明从略。从几何上看十分明显，如y =sinx与y = arcsinx .五、复合函数如果某个变化过程中同时出现几个变量，其中第一个变量依赖于第二个变量，第二个变量又取决于第三个变量，于是第一个变量实际上是由第三个变量所确定。这类多个变量的连锁关系导致数学上复合函数的概念。在中学数学里，我们就常遇到过这样的函数，如，是由对数函数与三角函数复合构成的函数；再如，是指数函数与三角函数复合构

15、成的函数等。定义5设函数的定义域为D，并且函数的值域包含于函数的定义域中，称函数是由与构成的定义域为D的复合函数。其中u称为中间变量，函数称为里层函数，函数称为外层函数。 yf ( )uj ( )x 输入x 产出u 输入u 产出y通过一个复杂的函数分解为几个简单的函数的复合来简化运算，或反之，引入新变量、通过函数复合而简化运算的方法，都是微积分中常用的有效手段。P7例7请自读。六、初等函数在中学里已学过的常值函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数这六类函数统称为基本初等函数。中学数学里已重点介绍过基本初等函数；详尽地讨论了它们的定义域、值域、单调（或在区间单调）性、奇偶性和周期

16、性，同济大学编高等数学(第三版)后面附有基本初等函数表。基本初等函数经四则运算可生成大量的函数： 。还有复合运算也可生成新的函数。由基本初等函数，经过有限次四则运算和有限次函数复合步骤所得到的、能用一个式子表达的函数，称为初等函数。初等函数包括的内容极其广泛。此前所见到过的、凡是能够用一个解析式子表示的函数，都是初等函数。分段表示的函数一般不是初等函数，如例2；但例1（绝对值函数）虽然是分段表示的，因为，所以绝对值函数仍是初等函数。高等数学的主要讨论对象是初等函数。 §2 数 列 的 极 限极限的概念是高等数学最基本的一个概念，以后将介绍的导数，定积分等重要的概念都是建立在极限概念之

17、上的。先介绍数列极限的概念。1、 定义具体分析某一数列的视角有多个，但数列一般项的变化趋势无疑是最值得重视的。高中数学都是通过实例引入数列极限概念的。观察下列数列：(1) 无限接近于1(2) ； 无限接近于0 n无限增大时,数列与某一常数无限接近。(4) 交错 (5) 无限增大 n无限增大时数列无上述变化趋势。将数列的这一变化趋势用普通语言描述出来就是中学所介绍的极限的直观描述性定义：对于数列，如果存在一个常数a ，当n无限增大时(记为)，与常数a无限接近（就把常数a叫做数列的极限。记作= a；有时也可记做：a（）.这个定义无疑是正确的。但缺乏数学形式的精确的、量化的刻画，比如：什么叫n无限增

18、大时与常数a无限接近 ？所谓“无限接近”即它们的距离可以任意的小，用数学语言说就是：可以任意的小。以数列(2)为例：就是当n无限增大时， 的项与0的差的绝对值 可以任意的小。比如， 要使， 即要， 只要；要使，即要，只要；容易看出: 要使任意小，只要项数n充分大。我们引入e 表示任意小的数（应为正数），上面的表述改述为 “”. 即在大于的这一项后面的所有项与0的差的绝对值都小于.可更简单地说成“只要项数 ”，如果再把满足不等式的项数n更明确化,找到正整数N ，再让n > N，我们再用宽泛的“存在”取代“找到”，上面的表述就变为：存在正整数N，当n > N时，就有.现在我们可以从对实

19、例的分析抽象出一般数列极限的定量性质的定义了：定义 设有数列与常数，如果对于任意给定的正数e（无论它多么小），总存在正整数N，使得n > N时，恒有|-|<.则称数列xn以常数a为极限，记为= (或（）).有极限的数列称为收敛数列；否则称为发散数列。注 本定义中的“>N|-|< ”给出了数列极限概念的定量性质的表述。强调：10 关于 ： 定义中给定正数 的任意小性，表达了数列的项与极限值可以无限地任意接近，其小性是不言而喻的，关键是其任意性。 由于要根据它求N，所以一旦给定，就应暂时视为是不变的。20 关于N ： （存在不唯一）定义中用“>N ”刻画n足够大。N的

20、存在性是保证|-|< 的条件，是数列否以常数为极限关键。并且N不唯一，存在一个就有无穷多个。 一般 越小，N就越大，显然自然数N依赖于正数 . 定义用逻辑符号可简洁地表述为： ，N， ' >N时|-|< .2、数列极限的几何解释 把数列的项都摆在数轴上（图-7），于是，都是数轴上的点。设有一个动点在数轴上跳动，动点的第一个位置在点，第二个位置在点x1，第个位置在点xn，。根据=的定义，再由 |-|<U ，于是我们得到与之等价的说法：“这个动点跳动到第N次以后，就跳进了邻域U之内，而且永远不跳出来了”。也就是说，它可以开始时在邻域的外面跳，也可以跳进这邻域再跳出来

21、，重要的是“它能够跳进去而永远不出来”。 更简捷的等价说法是：“这个动点在. 。. . . 。. . . 邻域U 之外跳动的次数至多是有限 x1 x3 xN+1 x4 xN x2次(N次)”，就是“数列xn中至多有有限 a- a a+ 项不属于点的邻域U ”。 图1-8 极限是一类运算。我们已经学过许多运算，如四则运算，各类函数也可以认为都是运算。以前学过的各类运算都是由有限个数产生一个数,数列极限则是由一系列无穷多个数产生一个数的运算。数列的一系列无穷多个数 ， ，逐步逼近、近而再近、无限逼近一个常数它的极限数值；这是一个无穷的渐变过程。经过一系列无穷多次量的渐变，达到了质的突变，得到极限数

22、值。 反过来，用极限这一个数，可以近似代替这一系列无穷多个数中除去有限个之后的所有的数，其近似程度可以达到任意精确的范围（即>0）之内。所以，可以说是用一个数极限数值，把握住了一系列无限多个数中除去有限个之后的所有的数，高度实现了由简驭繁的功效。极限问题，是有限与无限、量变与质变的辨证统一。 3、用定义证明数列极限例题例1 试证明数列的极限为1.证 |-|=|-1|=. >0,要使|-1|<,只要< ，即>，取自然数N为的整数部，即取N=，则当>N时，|-1|<. .注 用数列极限的定义来证明某个数列以某个常数为极限时（或说用数列极限定义来验证已知数列

23、和已知常数的极限关系），关键是证明N的存在性，找到了就证明了存在。通常是从要满足的不等式|-|<入手,找到n与 e 的关系,再由此取定一个N，从而说明了N的存在性。这种证明采用的是分析的方法，极为严谨。例2 证明 .证 = , 故>0, 要使，只要，即>，取N =，则时，<. 这就是所要证明的。 注 存在一个N就存在无穷多个,而我们只需要找一个就够用。找那个呢？当然找那个最好找的。其中，放大不等式是简化证明过程的关键,这使得N的选取比较容易了。 例3 恒取常值 -7的数列（即-7）以常数=-7为极限。 证 ">0,不等式|- |0 < 对于任意自然

24、数恒成立，所以，不论怎样选取自然数N（例如取N =1），则>N |-|<. 由例3可以得出一般性结论：恒取常值的数列，以这个常值为极限。 例4 设|q|<1，证明.证 q = 0时，结论显然成立。以下设 0<|q|<1. 故 > 0,要使，只要，两边取自然对数，得，即>，取N =，取，则，. 4、收敛数列的有界性有界数列 如果$正数M，' "n，恒有.定理（收敛数列的有界性） 若数列收敛，则是有界数列。 分析 求证数列有界，即证明 MR+，使得N | M.要从数列极限定义入手，寻找合适的常数M. 证 设=，则对于=1，N N，使得&g

25、t;N|<=1， 由 ,可见 >N| < | + 1。令 M = max,则 N |M .所以数列有界。 其逆否命题？ 定理的逆否命题：无界数列必发散。其否命题？有界数列未必收敛（即定理1的逆命题不成立），例如通项公式是xn = (-1)n的数列，是发散的数列，但它是有界的。可见收敛数列只是有界数列中的一部分，即数列收敛是其有界的充分条件；而有界性仅是数列收敛的的必要条件。§3 函 数 的 极 限数列极限就是定义在正整数集上的函数当自变量趋于无穷大时函数值的变化趋势，即对于自变量的变化过程中相应函数值变化趋势的讨论，引出了数列这种函数极限的概念。本节讨论的对象是定义

26、在实数直线某区间上的函数，即当自变量在其定义域中连续地趋于某个值（有限或无限）时，函数值的变化趋势。由于自变量变化过程不同，函数的极限主要表现为两类不同的形式。一、当自变量趋于无穷大时函数的极限所谓自变量趋于无穷大，即自变量的绝对值无限增大，记为x若x时，函数与常数A无限接近，称A为函数f(x)当x时的极限, 记为如当x时，函数与0无限接近，即.模仿数列极限的“N”型定义，我们给出x时函数极限的量化的精确定义。 定义1 设函数f(x)当ïxï充分大时有定义，A为常数。若>0, X >0，'ïxï>X时，恒有称A为函数当时的极限,

27、记为，或A（x）·yy=A+ y=Ay=A-X X x 注 对定义中的的理解完全同于数列极限定义中的。X是相应存在的充分大的实数，用来限制自变量的范围，以保证。几何解释 |-A|<.在坐标平面上，表示函数曲线，与 表示两条水平直线。">0，$X>0，使得当ïxï< X时，函数y = f(x)的图形位于这两条直线y = A与y =A + 之间（图110）. 图110从直观上看，函数f(x)的图形与直线y = A可以无限接近，称直线y = A为函数f(x)图形的水平渐近线。即，若，则直线y = A就是函数f(x)的图形的水平渐近线。例

28、1(P17例1) 证明.证 |-0|=，若要|-0|<，即要<，只要ïxï>，取X=，则当ïxï>X时，恒有|-0|<. 0（x）.直线y = 0是函数y = 的一条水平渐近线。例2 试证明 = 1. 证明 因为不妨设 çxú，又因为=<，所以对于任意的正数，若要，只需，取，则当ïxï>X时，恒有.由定义知=1.证明函数存在极限与证明数列存在极限时所采用的方法与技巧完全类似函数自变量趋于无穷的方式还有以下两种。 > 0且无限增大：记为. 若时，函数与定值A无限接近，称

29、函数当时以数A为极限。记为=A 或A（）.这个定义与x时函数极限的定义区别仅在于自变量的变化趋势不同，所以只需将定义1中关于自变量变化趋势的描述“÷x÷>X ”相应地改变为“ x>X ”，即可得时函数极限的精确定义：定义1/ 设函数f(x)当ïxï充分大时有定义，A为常数。若>0, X >0，' x>X时，恒有称A为函数当时的极限,记为，或A（x+）· x<0且ïxç无限增大：记为.类似于上面的讨论，可得时函数极限的精确定义：与的区别在于符号相反。所以，由函数当（）时以数为极限的（

30、不等式）定义，即可得到下面的当时的极限 定义1/ >0, X > 0，使得<- X |-A|<，称A为函数当时的极限,记为，或A（x-）·注 可以证明： =A并且=A.二、自变量趋于有限值时函数的极限所谓自变量趋于有限值，即无限接近x0，记为.注意这里不限制大于或小于，但不得等于. 若当时，对应的函数值能与常数A无限接近，则称常数A为函数当时的极限。记为=A，或 A（）。例如，函数，在点x=1无定义，但x1时，.当x1时，无限接近于常数2，所以2（1）.下面给出时函数极限定量的精确定义。我们已会定量地描述“函数值与常数A无限接近”，是用. 问题是如何定量地描述

31、“当时”, 并非对所有的x都能使不等式“”成立，只要与x0足够接近的x，这只要x落在x0的某去心邻域中即可。即有定义2 设函数在点x0的某去心邻域内有定义，A是一常数。>0，使得当时，恒有.yy=A+ y=Ay=A-x0- x0 x0+ x 则称常数A为函数f(x)当xx 0时的极限。记为=A，或 A（）. =的几何解释：注意到，|-A|<.所以，定义2的几何解释是：">0，$d >0，使得对于位于点的去心邻域内的任何，函数曲线y = f(x)的图形位于这两条直线 y = A与y =A + 之间。参看图1-11。 图1-11例3(P19例2) 证明 =.证 因

32、为=，所以，取 d = ，当时，就恒有，所以=. 例4(P19例3) 证明 .证 = ê(3x-1)-2 ê= 3çx-1ç.">0，若要，只要3çx-1ç<，即 çx-1ç<.取 d =，则当0<çx-1ç<时，恒有，一般地，对于线性函数 ，有 ()=； a =1,时，有；a = 0, b = 1时，有.例5(P19例4) 证明 .证 x2时，x2， =ç- 2 ç=ç (x+2) - 4 ç=ú x -

33、 2ú ， "> 0，若要，只要 çx-2ç<，取 d = ，则当0< çx-2ç<时，就恒有 ·所以 . 函数f在某x0两侧变化趋势不一致的情形是经常发生的，有时f 原来就只定义于x0的某一侧,这就需要刻划自变量从x0自变量从x0的某一侧趋于x0时函数值的变换趋势。若x仅从右侧趋于x0，即>，且趋向于，记为+ 0 .若x仅从左侧趋于x0，即x< x0，且趋向于x0，记为- 0 .将定义2中的不等式“”用不等式“”替换，就可得到+ 0时函数极限的定义,并称A为函数当xx0时的左极限，记为

34、=A，或简记为=A.将定义2中的不等式“”用不等式“”替换，就可得到- 0时函数极限的定义，并称A为函数当xx0时的右极限，记为=A，或简记为=A.左、右极限统称为单侧极限。显然有： 结论 函数在点的极限存在的充分必要条件是，函数在点的两个单侧极限存在且相等。（留作习题） 由此结论可知，若函数f(x)在点x0的左、右极限有一个不存在，或都存在但不相等，则极限不存在。 例6(P21例5) 设 求极限. 解 因为 =x = 1； =1 = 1； 由结论知， 不存在. 有极限函数有两个基本性质： 10 唯一性 若函数f(x)在自变量x在某一变化趋势之下有极限，则极限必唯一。证 反证法。设，又，且，则

35、. ， 对于 ，使得当时，恒有 ；同理，对于，使得当时，恒有 .取，则当时，不等式与同时成立 Þ ，矛盾。故，即极限若存在必唯一。 注 从几何上看，当时，对应函数图形上的点不可能在落在与构成的带状区域内的同时又落在与构成的带状区域内，对数列极限来说，即时在某时刻后，点不可能即跳入点a的e 邻域内不再出来的同时又跳入点b的e 邻域内不再出来。20 局部有界性 若函数f (x)在自变量x某变化趋势之下有极限，则f (x) 对应变化区间上是有界的。注 作为练习请自己给出证明。几何上看十分明显，因为有极限时，函数图像必落在带状区域与内。有极限函数还有一个很重要，也是常用的性质极限的局部保号性

36、，我们用两个定理的形式将它表述如下：定理1 设=A，如果A>0（或A<0），则存在x0点的去心邻域U，使得当xÎU时，有f(x)>0（或< 0）. 证 设A>0, =A，对于正数 A，$ d >0，当,即xÎU 0(x0,d)时, 恒有 . 即 ， A- 0， . 从几何上看也十分明显。因为有极限时，函数图像必落在带状区域与内，只要取得足够小，就可使得与同号，从而f(x)与A同号。 定理2 设=A，如果在x0的某去心邻域内（或），则A0（或0）. 推论(局部保序性) 如果函数f (x)、g (x)在同一极限过程中有极限: =A， =B.则

37、在相应区间有: A<B时，Þ f (x)< g (x)； f (x)g (x)时，Þ AB. 小结 上面介绍函数极限时提出了自变量的六类变化趋势： , ， ， ， ， .需要时，用符号表示这六类变化趋势中的任意某一类。自变量x的六类变化趋势在各自定义中相应的不等式是：.下面就利用极限做工具，给出无穷小的概念。 §4 无穷小与无穷大一、 无穷小量定义1 在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量，简称为无穷小。无穷小量只是极限的一个特殊情况（=0），因而可由极限的不等式定义得到无穷小的精确定义，共有七种，先以xx0为例给出无穷小的精确

38、定义：定义1/ 设在x0点的某一去心邻域内有定义。若 ">0，$d >0，'当时,Þ|f(x)| < .则称函数当xx0时为无穷小。例如，当x1时函数x2 - 1是无穷小；当n时数列是无穷小；当x1+ 时是无穷小。注 无穷小不能脱离过程，如x0时，x2 - 1就不是无穷小；无穷小不是很小的数，任何一个非零常数，不论其绝对值如何小都不是无穷小。不能把无穷小混同于习惯上说的“很小的量”，后者只是一种相对的、较为模糊的对象，并无确切的数学内涵。零是一个特殊的数，数中只有0是无穷小。 共有7种无穷小的定义。如能一一轻松写出，极限概念比较清晰。下面我们分析一

39、下无穷小与极限的关系，我们仍以xx0为例叙述。若=A Û >0，使得当时，恒有.Û xx0时，f(x) - A是无穷小，表示为f(x)- A =a .定理1 若=A，则= A + a，其中a 是当xx0时的无穷小。反之，若= A +a ，其中A是常数，a 是当xx0时的无穷小，则=A.简言之，有了前面的分析后，定理的证明应不困难，请自读。这个定理表明极限存在问题都可归结为无穷小量问题，可见无穷小在极限理论中的重要性。有必要对其性质加以研究。性质1 自变量同一变化趋势下的有限个无穷小的代数和是无穷小。分析 3可化为2加1，关键是证两个无穷小的和还是无穷小。且仅以过程xx

40、0为例证明。证 设 g =a+b，其中a 与b 均是xx0时的无穷小，则 ">0，$ d 1 >0，'时Þúaú < / 2 ； $ d 2 >0，'时Þúbú < / 2，取 d= mind 1, d 2 ，则当时，有 | g | = |a + b |úaú + úbú < / 2 + / 2 = Þ g 是xx0时的无穷小。注 无穷多个无穷小量的和未必是无穷小量。性质2 无穷小与有界函数的乘积是无穷小。证 设函数f (x

41、)在x0的某邻域U 0(x0 , d 1)内有界 Û $ M>0，' "xÎU 0(x0 , d 1)，恒有ú f (x) úM；设a 是xx0时的无穷小 Û ">0，$ d 2 >0，' " xÎU 0(x0 , d 2)，恒有 |a | < /M. 取d = mind 1, d 2 ，则当时，有ú f (x) ·aú = | f (x) | |a | < M / M = Þ 结论成立。注 性质2在具体求极限时经常直接

42、用到。如例1(P24 例1) 求极限 . 解 因为是有界函数， 是无穷小量，由性质2知 . .推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。注 由性质1及推论1知，无穷小的线性组合还是无穷小。推论2 自变量同一变化趋势下的有限个无穷小量的乘积是无穷小。二、无穷大量变化趋势与无穷小量相反的量叫做无穷大量。 即若在自变量的某一变化过程中，函数的绝对值êf (x) ê无限增大，则称f (x)为该过程中的无穷大量，简称无穷大。我们以过程x为例，给出无穷大的精确定义定义2 设函数f(x)当|x|充分大时有定义。若 " M>0，$ X >0，' |x|> X

43、Þ ïf (x) ï>M，则称函数f (x)当x时为无穷大量，记为或. 注 由无穷大定义知，无穷大不是数，再大的数也不是无穷大。且若函数是无穷大，则函数必无极限。但为描述函数的这种变化趋势的性态，也称函数的极限是无穷大。如：x0时，是无穷大；x -1时，也是无穷大；x时，1-ln x是无穷大。显然这些无穷大的变化趋势不相同，随着x， 的值非负且越来越大，而1-ln x则取负值且绝对值越来越大，在数学上加以区别就是正无穷大+与负无穷大-。将定义2中的“|x|> X”相应地改为“x< X ”和“x>-X ”即可得到x时正无穷大和负无穷大的定义。

44、共有21种无穷大的定义。y y=11 x例2 证明.证 " M >0，要使ïf (x) ï=>M，只要| x -1|< ，取 d =，则当时，Þ >M， .注 证明无穷大的思想方法完全同于极限证明部分。 从图形(图1013)上看直线 x =1是曲线y = 的垂直渐近线。 图1013 一般地，如果xx0时f(x)为无穷大，即若，则直线x = x0就是函数y =f(x)的图形的一条垂直渐近线，这就是xx0时无穷大的几何解释。无穷大与无穷小的关系：定理2 在自变量同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则 为无穷小；反之，若f(x)为非零无

45、穷小，则 为无穷大。 简言之：无穷小与无穷大是互为倒数的，但分母不得为0。证 仅就过程xx0给出证明。设，则">0，对于正数M=1/，$ d >0，' 0<| x-x0<d 时，Þ|f(x)| > M = 1/，Þ ê ï<， .反之，设，且f(x)0. "M >0， ，对于 =，$ d >0，使得当时，恒有f(x)< = ， Þ ê ï> M， .无穷大与无界的关系：由无穷大的定义知，若函数是某过程时的无穷大，则它必是此变化范围上的无界

46、函数。反之呢？例3（P27题6） 函数f(x) = x cosx是（-，+）上的无界函数(图1-14)： "正整数M， 都有xM = 2Mp，使得f(xM)= 2Mp cos 2Mp =2M > M，f(x)是无界函数。直观上看，对于再高的直线y = M；直线的上方都有函数的图像。但x时它不是无穷大： 对于正整数M， "X >0， $ xX =>X， 使得f(xM)=cos= 0< M， f(x)不是x时的无穷大。直观上看，任意一条直线y=M，无论X多么大，都有xX ，使得对应的函数图像在直线的下方。再如，函数在区间(0,1)上是无界函数，但x0+

47、时不是无穷大（图1-15）。所以，无穷大是无界函数，但无界函数未必是无穷大。直观地说，无界仅要求对于再高的界线，其上方总有函数图像的点，即出去界外还可回来；无穷大则要求对于任意高的界线，都存在一个时刻，使得函数图像出去不再回到界线的下方。y y=1/x xy y=xcosxxy= -x y=x 图1-14 图1-15§5 极限的运算法则由于高等数学的主要研究对象是初等函数，因此我们应该会求初等函数的极限，显然用定义求函数的极限是不现实的，我们应该通过对极限性质的进一步讨论来寻找一些更有效的求极限方法。极限的性质可分为两大类：基本性质和运算性质。函数极限一节已对极限的基本性质进行了研究

48、。再由初等函数的构成知，我们还应对函数的四则运算和复合运算性质进行研究。 下面的定理对七种极限过程均成立，我们仅以过程xx0为例给出证明。定理1(四则运算法则) 如果函数、在自变量的同一变化趋势下有极限，则 存在，且=±； 存在，且=； 存在，且（分母不为0）.（想一想为什么不限定g(x)¹0）证 三个公式证明的思想方法是一致的，仅给出(1)的证明：设,.则f (x) = A +a ，g (x) = B +b，其中a、b 为xx0时的无穷小。则有 f (x) + g (x) = (A +B ) + (a +b ) Þ = . 注 可将定理5推广到任何有限多个函数的

49、情形，但对无限的情形定理未必成立。 使用定理是一定注意满足条件：函数的极限存在。 (2)的特别情形：； lim f (x) - A = B Þ lim f (x) = lim f (x)- A + A= B +A，特别地，lim f (x) - A = 0 Þ lim f (x) = A.例1 求极限 .解 原式 = · · =.一般地有，.例2 (P28例1) 求极限.原式 = .一般地，若n次多项式f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + +an x n ，则. 注 求过程xx0时多项式f (x)的极限，只需将x = x0带入多项式f

50、(x) 求对应值即可（代入法）。例3(P29例2) 求极限.解 原式=. 注 一般地，若 ，其中P (x)、Q (x) 均为多项式，则，若Q (x0)0，由商的极限法则知.即求过程xx0时有理分式函数F (x)的极限，只需将x = x0代入多项式F (x) 求对应值即可。例4(P29例3) 求极限.解 x3时分母的极限为零，不能用代入法求。注意到x3时x3.原式=. （约分法） 例5 (P30例5) 求极限.解 x1时分母的极限为零，不能用商的极限法则求。注意到x1时，分母的极限不等于0，故 =. 原式 = （倒置法） 注 求此极限不可写为下式： ，第一步错用了商的极限法则，第二步的代数式无意义。 例6 (P30例5) 求极限 .解 x2时，括号中两项极限均不存在，不能直接用极限的减法法则，先通分恒等变型。原式 = . （通分法） 例7(P30例6) 求极限.解 x时，分子、分母的极限都不存在()，不能直接用商的极限法则，利用 0，先恒等变形：原式. 例8(P31例7) 求极限.解 注意到分子多项式的次数大于分母的，不能直接用上题的方法。 ， 原式 = . （倒置法） 一般地，可直接求x时有理分式函数的极限（可作为结论直接应用）注 再次强调：使用极限四则运算法则必须满足其前提条件，而且仅为单向运算规则。例如1999年全国MBA入学考试题： “已知，求”由于题设意味着极限与都存在，