第一章极限与连续

1、经济数学基础微积分 第一章 极限与连续第一章 极限与连续函数、极限、连续是微积分中最重要的基本概念函数是微积分的主要研究对象。极限方法是微积分研究变量的最基本方法。连续是函数的主要特性之一。一、本章基本要求第一节 函数1.弄清常量、变量的概念及表示法；理解函数的概念及表示法。2.会求已知函数在某一点的函数值。会求函数的定义域。3.理解分段函数的概念。会求分段函数在某一点的值及分段函数的定义域。会做简单函数的图像。4.了解反函数的概念。弄清反函数与直接函数的关系。会求已知函数的反函数。5.了解函数的主要性质。如：奇偶性、有界性、周期性、单调性。会判断已知函数的奇偶性、有界性等。并熟悉其图形特征。

2、6.理解基本初等函数的概念。掌握六类基本初等函数的表示、定义域、值域、图象、性质。微积分所研究的函数均是以这六类基本初等函数为基本的。7.理解复合函数、初等函数、简单函数的概念。熟练地掌握把一个复合函数分解成基本初等函数或由基本初等函数经四则运算后得到的函数。分解得到的函数不能多也不能少。会根据几个中间变量写出复合函数。会判断一个函数是不是初等函数。第二节 数列的极限1.了解数列及数列极限、收敛、发散、有界的概念。2.弄清有极限、有界、收敛三者的关系。3.会根据数列的通项判断数列的敛散性。第三节 函数的极限1.了解,各表示什么。2.了解及时，函数的极限及表示法。会根据已知函数的图形观察其极限是

3、否存在。A3.了解左极限与右极限的概念及表示法。会根据函数在某一点处极限存在的充要条件来判断分段函数在分段点处的极限是否存在。第四节 无穷小量与无穷大量1.了解无穷小量、无穷大量的概念；无穷小量与无穷大量的关系。2.弄清函数极限与无穷小量的关系。 （）3.熟记无穷小量的四个性质。并由其性质求函数极限。4.了解无穷小量阶的概念。会比较两个无穷小量的阶。第五节 极限的性质与运算法则1.记住极限的三个性质。极限的四则运算法则及二个推论。注意极限四则运算法则成立的前提条件。2.熟练掌握利用四则运算法则求函数的极限的方法。记住几个特殊函数的求极限方法。（1） 当为多项式函数时， （2） 当 时 1. 当

4、2 ， 当但时 3当，时（1）分子和分母分解出无穷小量（），约去后求极限（2）若分子或分母中含有根式时，先有理化，后用（1）法（3）洛比达法则（第三章将要介绍） , 当=时 ,当<时0 , 当>时（3）对型 ，是分式的，先通分，后求极限。是根式的，先有理化，后求极限。第六节 两个重要极限1.知道极限存在的两个准则，熟记两个重要极限的形式。重要极限： 或重要极限：或 2.熟练掌握用两个重要极限求函数的极限。记住：（1）重要极限： 或 的形式。使用的三个条件：是由三角函数和幂函数或三角函数与三角函数构成的分式形式。 分子与分母均为无穷小量。 将函数化为重要极限的形式，对应内的变量要相同

5、。（2）重要极限：或的形式。 使用的三条件：是幂指函数。 底为（1+无穷小量），指数为无穷大量。 括号内的无穷小量与指数互为倒数。推广：是x的连续函数，则：或且有： 或 （3）了解重要极限在复利计算中的应用。第七节 函数的连续性1.理解函数在点的连续性的概念及两个表示形式。 2.弄清左连续、右连续的概念。并会用来判断分段函数在分段点处的连续性。在点左连续：则在点右连续：则3.弄清函数在某点连续与在某点极限存在的关系。 即： 存在 在点连续。4.记住函数在点连续的两个结论：（1）= 即若函数在点连续，则极限值等于函数值，用此结论可以求函数在某一点的极限。 （2）= 即若函数在点连续，则极限符号与

6、函数符号可交换。可用于求极限。5.弄清函数在（,）内连续与,上连续概念。6.牢记：一切初等函数在其定义域都连续。用此结论可以求函数的极限及判断函数在某点及某区间上的连续性。7.了解函数间断点的概念及类型。会求初等函数的间断点。会判断分段函数在区间端点处的连续性。8.记住闭区间上连续函数的两个性质及推论。会用推论来判断方程在某区间上是否有实根。第八节 常用经济函数1.记住几个常用的经济函数及表示法，之间的关系。2.会根据已知条件，建立经济变量之间的函数关系。二、 本章重点1.函数、分段函数、基本初等函数、复合函数、初等函数的概念。2.极限的一般性定义；点极限存在的充要条件；无穷小量阶的概念及其阶

7、的比较。3.求极限的各种方法。4.函数连续性的定义。三、 本章难点函数的定义域的确定，复合函数的分解，求极限。四、 自学中应注意的问题1.在函数的定义中，定义域和对应法则是确定函数的两个要素，两个函数只要它们的定义域和对应法则相同，那么就是同一个函数，否则就是两个不同的函数。例1 判断下列函数是否是同一个函数。 1. = = 2. =+ =1 3. = =1 4.= =解：1. 不同。 因为的定义域（- 0）（0 +），定义域为R.2. 相同。3. 不同。 因为对应关系不同。4. 相同。2.定义域是函数有意义的自变量x取值范围。在求函数的定义域时，应遵循的原则是：（1） 分式的分母不能等于零。

8、（2）负数不开偶次方。（3）对数的真数必须大于零。（4）反正弦函数与反余弦函数。（5）正切，+ （=0、+ 1、+ 2、 + 3、）。余切，（=0、+ 1、+ 2、 + 3、）（6）由基本初等函数之间的加、减、乘、除构成的函数，取各定义域的交集。（7）分段函数的定义域，取各区间段的并集。例2 求下列函数的定义域1. 2. 3. 4. 解：1. D：（2，3）2. D：-2，-1）（-1，1） 3. D：（0，1）（1，+）4. D：（-，0）（0，1）(因为分段函数的定义域取各区间段的并集)3.函数与自变量及因变量所选用的字母无关。这个概念在反函数的表示中已用到，在后面的积分中还会用到。如上例

9、1的第4题。4.对于复合函数，主要应掌握会把一个复合函数分解成几个简单函数。因为这方面的知识对于以后学习导数及不定积分都十分重要。例3 分解下列复合函数为简单函数1. 2. 3. 4. 解：1. 2. 3. 4. 注意：每一步分解得到的函数都应是一个简单函数，即基本初等函数或由基本初等函数的四则运算构成的函数。5.无穷大量和无穷小量不是一个数，而是变量，是一类特殊的函数。它们的极限分别有如下特点。 和 称为（）时的无穷小量或称为（）时无穷大量.特殊地：， 0是一个数，也是无穷小量。注：一个函数是无穷大量还是无穷小量，与自变量的变化趋势密切相关。另外，不能把无穷小量的性质类推到无穷大量的运算中去

10、，这一点必须注意，尤其在求极限的过程中。无穷大量与无界函数是两个不同的概念。若函数在自变量的变化过程中为无穷大量，则它一定是某个区间上的无界函数，但，反之不然。例4 , 即是时的无穷大量。 , 即是时的无穷小量。例5 在时是无穷大量，也是无界函数；在区间（上是无界函数，非无穷大量。6.无穷小量的界是用来比较两个无穷小量趋向零的快慢程度的。若：，7.本章求极限方法的总结（1） 利用极限的四则运算法则求极限例6 求解：原式=（2） 利用函数的连续性求极限例7 求解：=是初等函数，且在处有定义，由一切初等函数在其定义域都连续的结论及连续的定义，则极限值等于函数值。即：=（3） 利用无穷小量的性质求极

11、限例8 求解：在时，分子、分母的极限均不存在，故不能用极限的四则运算法则求极限。时，是无穷小量，即是有界函数，由无穷小量的性质：无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量。故可得：=（4） 利用两个重要极限求极限例9 求下列函数的极限1. 2. 解：1. 方法一：时，分子、分母均为无穷小量，不能用极限的四则运算法则求极限，可利用重要极限求极限。=3 令3=，当 则=3=3×1=3方法二：可用第三章的洛比达法则求极限 （型）= 方法三：可利用等价无穷小量的性质（见后） 因为时，3 = =3解:2.= =-2 (5) 利用等价无穷小量代换定理求极限定理：在自变量的某一变化过程中，若， 则： 注意

12、：此定理只能用在乘积和商的求极限运算中。几种常用的等价无穷小量：时 1- 1+ 一般地：当时 1- 1+ 例10 求下列函数的极限 1. 2. 3. 4. 解： 1. = (因为时， )2. 9 （因为时，） 3. （因为时， 1- ）4. （因为时， ）(6) 当为多项式函数时，例11 =3×22+2-1=13(7)当、均为多项式函数时，求：例12 求下列函数的极限1. 2. 3. 解: 1. 2. 3. 因为 所以=(8) 当、均为多项式函数时，求：例13 求下列函数的极限1. 2. 3. 解: 1. = =02. 3. (9) 通过对根式有理化后，因式分解求极限例14 求解:

13、=-(10) 利用三角函数的半角、倍角公式等(11) 除上述外，求极限法还有“洛比达法则”。此法将在第三章介绍7 .判断函数在某点是否连续（1）若为初等函数，看是否在定义域内，若在定义域内，则在该点一定连续。否则，间断。（2）若为分段函数，为分段点，若，则在点一定连续。若有一个等式不成立，则间断。例15 判断下列函数在已知点的连续性1. 在处 2. 在处 3. 在x=1处 4. 在处解：1. 当时，无意义。所以在处不连续。2. 是的定义域内一点。所以在x=0处连续。3. 因为 = 不存在 所以在处不连续。 4. 所以在处连续。五、习题解答1.设，求f(0)，f(-x)，f(x)+1，f(x+1

14、)，解：， ， 2.设 ，求f(-2)，f(-1)，f(0)，f(1)，f(2) 解：f(-2)=1+(-2)=-1 ()f(-1)=1+(-1)=0 ()f(0)=1+0=1 ( )f(1)= =2 ( )f(2)= =4 ( )3.设f(x)=ax+b，若f(0)=-2，f(3)=5，求a和b解： 即：f(0)=a0+b=-2 (1) 即：f(3)=a3+b=5 (2) 即：4.求下列函数的定义域：(1)解：D: (2)解： (3) 解： (4) 解： (5)解： 即： (6) 解： 5.指出下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数？(1)解： 此函数是奇函数(2)解： 此函数是偶函数(3)解

15、： 此函数是偶函数(4)解：此函数是奇函数(5)y=2+5cosx解：f(-x)=2+5cos(-x)= 2+5cosx=f(x)此函数是偶函数(6)解： 此函数是奇函数(7)解：此函数是非奇非偶函数(8) 解： 此函数是奇函数6.设，求ff(x)解：7.下列函数可以看成是由哪些简单函数复合而成？.(1)解：(2)解：(3)解：， (4)解：(5)解：(6)解：8.如果，将y表示成x的函数.解：9.如果，将y表示成x的函数.解：，10.求下列函数的反函数：(1)解：xy-2y=x+2x(y-1)=2y+2 即：(2)解： 即：(3)解： 即：11.作出下列函数的图像：(1)（图一） (2)（图

16、二） (3)（图三） (4)（图四） (5)（图五） 12.求下列极限：(1)解：(2)解：(3)解：(4)解： (5)解：(6)解：(7)解：(8)解：(9)解：(10) 解：(11)解：(12)解：(13)解：(14)解：(15)解：(16)解： ，3+cosx是有界变量（无穷小量与有界变量乘积是无穷小量）13.求下列极限：(1) 解1：解2：=(2) 解： (3) 解1： 解2：= (4) 解1：解2：(5) 解1：解2：(6) 解：(7) 解1：令arcsinx=t，sint=x 当时，解2：=(8) 解： 14.求下列极限：(1) 解1：解2：利用 =(2) 解1：解2：=(3) 解

17、1： 解2：利用=(4) 解：(5) 解：15.求下列函数的间断点，并说明理由.(1)解：此函数的间断点是：x=-3当x=-3时，分母为零，且 （x=-3是无穷间断点）(2)解：此函数的间断点是：x=0x=0时，分母为零，且 （x=0是可去间断点）(3)解：此函数的间断点是：x=1当x=1时，分母为零，且 （x=1是可去间断点）(4)解：此函数的间断点是：x=0当x=0时，分母为零，且 （x=2可去间断点）(5)解：此函数的间断点是：x=0当x=0时，分母为零，且 （x=0是可去间断点）(6)解：此函数的间断点是：x=1或x=2当x=1时，分母为零，且(x=1是可去间断点)当x=2时，分母为零

18、，且 （x=2是无穷间断点）(7)解：此函数的间断点是：，()当x=0时，分母为零，且 （x=0是可去间断点）当时，分母为零，且（是无穷间断点）16.求下列函数的极限：(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解： (6)解：17. 函数 在，x=1，x=2处是否连续？并作出函数的图象解：当时 处连续当时 处不连续 当时 处连续18.求 的连续区间，并作出函数的图象。解：当时 处连续当时 处连续f(x)的连续区间19.设 试确定k的值，使f(x)在定义域内连续。解：f(x)的定义域为，f(x)在定义域内连续，即也在x=0点连续，则有 f(0)=k ， k=220.下列函数在x=0处是否连续？为什么？(1)解： ，即不存在在x=0处不连续(2)解： f(0)=1+cos0=1+1=2在x=0处连续(3)解：f(0)=0在x=0处连续21.设某商品的销售收入R是销