自动控制原理-闭环零点对二阶系统的暂态影响分析

1、闭环零点对二阶系统暂态的影响作者:智世宁 班级：10电本2班 学号：4100208211摘要二阶系统的单位阶跃响应是典型的二阶系统。因此分析二阶系统的单位阶跃响应，对于研究自动控制系统的暂态特性具有重要意义。在实际工作中，在一定的条件下，常常需要把一个高阶系统降为二阶系统来处理，这样的近似处理可以大大简化分析方法，减少计算量，而且任然不失其运动过程的基本性质。二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡，但阻尼比取值恰当，则系统既有响应的快速性，又有过渡过程的平稳性，因此在控制过程中常把二阶系统设计为欠阻尼的情况。大多数高阶系统中含有一对闭环主导极点，则该系统的动态响应就可以近似的用这对主导极点所描述的二

2、阶系统来表达。本论文是通过直接求解系统在单位阶跃信号作用下的时域响应来分析系统的性能的。通过对设零点系统与未设零点系统上升时间、峰值时间、最大超调量、调节时间等暂态特性各个方面的对比，以及零点位置的变化对各动态性能变化趋势最终找到闭环零点对实际二阶系统的作用效果。关键字：暂态响应 动态指标 单位阶跃 二阶系统 欠阻尼 闭环零点 0 引言由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。欠阻尼振荡的二阶系统在实际中可以看成是稳定的系统，因此分析欠阻尼系统具有实际意义。二阶系统的单位阶跃响应是反映二阶系统本质的重要表现形式。我们在实际生产过程中，二阶系统总是需要满足工程最佳参数的要求，但是通过改变开环放大系

3、数的方法可能会增大系统稳态误差。因此需要通过设置零点的方法从而达到既满足工程所需的阻尼比，又保证系统稳态精度的目的。正是由于闭环零点对二阶系统如此重要，所以此文主要分析闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响。1 二阶系统的描述一个系统的阶次是由其最简闭环传递函数分母S的最高次项的幂决定的。而二阶系统就是以2为S的最高次幂的闭环传递函数所对应的系统典型。简单来说，由二阶微分方程所描述的系统就叫做二阶系统。1.1 二阶系统结构图及传递函数 图1.1-1 二阶系统标准形式的结构图由图可知：二阶系统的开环传递函数为：二阶系统的闭环传递函数为： 1.2 二阶系统单位阶跃响应当输入单位阶跃信号时 ，可得该二

4、阶系统的单位阶跃响应 为： 求其拉氏反变换有 （） 其中阻尼振荡角频率： ，阻尼角：1.3 二阶系统极点分布图图1.3-1 时的极点分布图1.4 二阶系统动态特性1.4.1 上升时间 （系统输出量第一次达到稳态值时所用的时间）令中 时 得 在系统没有达到最后的稳定以前，为满足上式，使得 1.4.2 峰值时间 (系统输出量第一次达到最大值时所用的时间)令中 则第一个峰值对应的时间 1.4.3 最大超调量 （发生在第一个周期的峰值时间处）由于 且在单位阶跃输入下，稳定值因此得 1.4.4 调节时间 （与稳态值之间的偏差达到允许范围而不再超出的动态过程时间）（） （） 2 具有零点的二阶系统的动态分

5、析2.1 具有零点的二阶系统结构图及传递函数 图2.1-1 带零点的二阶系统结构图具有零点的二阶系统的闭环传递函数为：其中为时间常数。令=z，则上式可写为如下形式：由式可得，该系统的闭环传递函数具有零点，将式分解，由 得 2.2 具有零点的二阶系统的单位阶跃响应为求其阶跃响应，设，取初始条件为零，则Xc1(s)和Xc(s)的拉氏反变换为求出中两项然后相加即得输出量，经过运算得上述式子中的“l”为极点与零点间的距离，在复平面上画出其位置（假设零点在极点左侧）Zl-Zjw图2.2-1 复平面上的零点与极点分布由上图可知：故式子可以写成：式子中：令，则上式中的可以写为r代表闭环传递函数的复数极点的实

6、部与零点实部之比。因此式子可以写为：（）由此计算得到了典型的具有零点的二阶系统的单位阶跃响应的公式，即为公式。3 具有零点的二阶系统的动态性能指标由公式得到了具有零点的二阶系统的单位阶跃响应的公式： 3.1上升时间在动态过程中，系统的输出第一次达到稳态值的时间称为上升时间。根据定义在公式中令时，得=0但在期间，即没有达到最终稳定之前，>0，所以使上式为零的原因是=0，因此讨论=0所出现的情况。由=0得：=3.2 最大超调量%最大超调量发生在第一周期中时刻，即导数为0的时刻。得因此即 因为第一次达到最大值经过时间，因此n取值为1，当n=1时，由于 且在单位阶跃输入下，稳定值因此得 3.3

7、调节时间调节时间是与稳态值之间的偏差达到允许的范围而不再超出的动态过程时间。在动态过程中的偏差为当时采用近似计算法得到： （或0.02）由此求得调节时间为：，0<<0.9,0<<0.93.4 振荡次数振荡次数是指在调节时间内，波动的次数。根据这一定义可得振荡次数为：其中为阻尼振荡的周期时间。4 闭环零点的不同对二阶系统动态指标的影响4.1对上升时间的影响上升时间由上式可以看出上升时间受到，的影响，当，一定的时候，上升时间只与有关。 -p1-zzz-z-p1-z-p1z 图4 零点实部大于极点实部 图3 零点实部等于极点实部 图2 零点实部小于极点实部 由图2，图3，图4

8、可以看出随着z值的减小，零点越来越靠近虚轴，值逐渐增大，由可得逐渐减小。4.2 对最大超调量%影响超调量 由式子可以看出，的值随的值增大而减小，结合图3.1-1，图3.1-2，图2，图3，图4得到结论：z值逐渐减小，值逐渐增大，逐渐减小，超调量逐渐增大。4.3 对调节时间的影响调节时间，0<<0.9,0<<0.9由上面的两个式子可以看出，具有零点的二阶系统的调节时间只与和有关，与z的大小无关。4.4 振荡次数其中为阻尼振荡的周期时间。由上述公式可以看出，振荡次数只与与阻尼和振荡角频率有关，因此振荡次数不受零点的位置影响，即与零点的大小无关。5 闭环零点的不同对二阶系统暂

9、态响应的影响具有零点的二阶系统传递函数：下面是在极点位置不同（值不同）的情况下随着闭环零点不断向负无穷移动过程中对系统的暂停态响应的图形当，系统无零点的二阶系统的阶跃响应曲线图当，的二阶系统的阶跃响应曲线图当，的二阶系统的阶跃响应曲线图当，的二阶系统的阶跃响应曲线图 当，系统无零点的二阶系统的阶跃响应曲线图当，的二阶系统的阶跃响应曲线图当，的二阶系统的阶跃响应曲线图当，的二阶系统的阶跃响应曲线图6 总结通过上述分析可以看出，有具有零点的二阶系统的响应指标与无零点的系统有很大的差别。无零点的上升时间只与阻尼和振荡角频率有关，而在具有零点的二阶系统中，上升时间还与零点的实部有关，反映到图像上，即零点离虚轴越近上升时间越小。由可知，r值越大，振荡性就越强。最大超调量%也与零点的位置有关，z值越小，值越大，影响的值变小。调节时间只与阻尼和振荡角频率有关，所以不受零点位置的影响，同样，振荡次数也不受其影响。参考文献：【1】王建