建筑结构抗震第三章实用教案

1、3.1 3.1 概述概述(i sh)(i sh)由地震动引起的结构内力、变形、位移(wiy)及结构运动速度与加速度等一、结构一、结构(jigu)(jigu)地震反应地震反应 ：由地震动引起的结构位移地面运动结构动力特性：自振周期，振型和阻尼1.1.结构地震反应2.2.结构地震位移反应：结构地震反应 影响因素 第1页/共162页第一页，共163页。3.1 3.1 概述概述(i sh)(i sh)：能引起结构：能引起结构(jigu)内力、变形等反应的各内力、变形等反应的各种因素种因素二、地震二、地震(dzhn)(dzhn)作用作用 作用分类作用分类各种荷载：如重力、风载、土压力等各种非荷载作用：如

2、温度、基础沉降、地震等 等效地震荷载：工程上，可将地震作用等效为某种形式的荷载作用作用直接作用间接作用第2页/共162页第二页，共163页。3.1 3.1 概述概述(i sh)(i sh)1. 1. 连续化描述(mio sh)(mio sh)（分布质量）三、结构动力三、结构动力(dngl)(dngl)计算简图及体系计算简图及体系自由度自由度描述结构质量的两种方法描述结构质量的两种方法采用集中质量方法确定结构计算简图 （步骤）：2. 2. 集中化描述（集中质量）工程上常用 定出结构质量集中 位置（质心）将区域主要质量集中在质心；将次要质量合并到相邻主要质量的质点上去 第3页/共162页第三页，共

3、163页。集中化描述(mio sh)举例a a、水塔(shut)(shut)建筑(a) 水塔hh(b) 厂房(c) 多、高层建筑(d) 烟囱主要质量：水箱部分(b fen)次要质量：塔柱部分(b fen)水箱全部质量部分塔柱质量集中到水箱质心单质点体系b b、厂房（大型钢筋混凝土屋面板）(a) 水塔hh(b) 厂房(c) 多、高层建筑(d) 烟囱主要质量：屋面部分厂房各跨质量集中到各跨屋盖标高处 第4页/共162页第四页，共163页。集中化描述(mio sh)举例c c、多、高层建筑(o cn jin (o cn jin zh)zh)主要(zhyo)质量：楼盖部分多质点体系d d、烟囱结构无主

4、要质量部分结构分成若干区域集中到各区域质心 (a) 水塔hh(b) 厂房(c) 多、高层建筑(d) 烟囱(a) 水塔hh(b) 厂房(c) 多、高层建筑(d) 烟囱多质点体系返回目录返回目录第5页/共162页第五页，共163页。惯性力 、阻尼力 、弹性(tnxng)恢复力3.2 3.2 单自由度体系的弹性地震反应单自由度体系的弹性地震反应(fnyng)(fnyng)分析分析一、运动一、运动(yndng)方程方程作用在质点上的三种力：作用在质点上的三种力：Ifcfrf惯性力)(xxmfgI 阻尼力 xcfc由结构内摩擦及结构周围介质（如空气水等）对结构运动的阻碍造成 弹性恢复力 由结构弹性变形产

5、生 kxfr C C 阻尼系数 k k 体系刚度 第6页/共162页第六页，共163页。力的平衡条件：力的平衡条件：0rcIfffgxmkxxcxm 令kmmc2gxxxx 22二、运动二、运动(yndng)(yndng)方程的解方程的解1. 1.方程的齐次解方程的齐次解自由自由(zyu)(zyu)振动振动 齐次方程齐次方程(fngchng)(fngchng)：022xxx 自由振动：在没有外界激励的情况下结构体系的运动第7页/共162页第七页，共163页。01为共轭复数(n f sh)，（2 2）若方程方程(fngchng)(fngchng)的解：的解：特征方程0222rr特征(tzhng)

6、根121r122r（4 4）若 ， 、 为负实数11r2rtrtrecectx2121)(121rrtetcctx)()(21（3 3）若，1r2r、)sincos()(21tctcetxDDt体系不振动过阻尼状态体系不振动临界阻尼状态体系产生振动欠阻尼状态21D其中图 各种阻尼下单自由度体系的自由振动当1临界阻尼系数：mcr2临界阻尼比（简称阻尼比）rcc（1 1）若tx(t)x(t)10112( )cossinx tctct10体系自由振动无阻尼状态第8页/共162页第八页，共163页。初始条件: :)0(0 xx )0(0 xx , 初始(ch sh)速度01xc Dxxc002则体系(

7、tx)自由振动位移时程 sincos)(000txxtxetxDDDt初始(ch sh)位移当 （无阻尼）000( )cossinxx txttkm固有频率kmT22固有周期无阻尼单自由度体系自由振动为简谐振动自振的振幅将不断衰减，直至消失 有阻尼体系第9页/共162页第九页，共163页。例题例题(lt)(lt)3-13-1kg10000mkN/cm1k已知一水塔结构(jigu)，可简化为单自由度体系（见图）。，求该结构(jigu)的自振周期。 解：直接由式(a) 水塔hh(b) 厂房(c) 多、高层建筑(d) 烟囱kmT22并采用国际单位可得: : skmT99. 110/101100002

8、223第10页/共162页第十页，共163页。2.2.方程方程(fngchng)(fngchng)的特解的特解II简谐强简谐强迫振动迫振动 地面(dmin)简谐运动 使体系(tx)产生简谐强迫振动 tAtxggsin)(设，代入运动方程222singgxxxAt 方程的特解（零初始条件方程的特解（零初始条件22222)(2)(1cos2sin)(1)()(gggggggttAtx)sin()(tBtxg化简为振幅放大系数振幅放大系数 2222)(2)(1)/(gggABA A 地面运动振幅 B B 体系质点的振幅 0)0(x0)0(x ）：）：第11页/共162页第十一页，共163页。0.20

9、.5125/g12图 单自由度体系简谐地面强迫振动(zhndng)振幅放大系数1/g达到(d do)最大值 共振(gngzhn)第12页/共162页第十二页，共163页。2.2.方程的特解方程的特解IIII冲击强迫冲击强迫(qing p)(qing p)振振动动 图 地面(dmin)冲击运动地面冲击(chngj)运动：dtdtxxgg00)( 对质点冲击力：dtdtxmPg00 质点加速度（0 0dtdt）：gxmPa dtdt时刻的速度：dtxdtmPVg dtdt时刻的位移：0)(212dtmPd第13页/共162页第十三页，共163页。地面冲击作用(zuyng)后，体系不再受外界任何作用

10、(zuyng)，将做自由振动 dtxVg 根据自由振动(zhndng)位移方程，可得tdtextxDDtgsin)( 自由(zyu)振动初速度为图 体系自由振动第14页/共162页第十四页，共163页。地震地面(dmin)运动一般为不规则往复运动 求解(qi ji)方法：将地面(dmin)运动分解为很多个脉冲运动tdxg)( 时刻的地面运动脉冲 4.4.方程的特解方程的特解III III 一般强迫振动一般强迫振动 地面运动加速度时程曲线第15页/共162页第十五页，共163页。引起(ynq)的体系反应为： ttdxettdxDDgt)(sin)(0)()( 叠加：体系在t t时刻的地震(dzh

11、n)(dzhn)反应为：方程(fngchng)通解（单自由度体系）：体系地震反应（通解）=自由振动（齐次解）+强迫振动（特解）初位移、初速度引起迅速衰减，可不考虑地面运动引起返回目录返回目录()001( )( )( )sin()tttgDDx tdx txetd地面运动脉冲引起的单自由度体系反应杜哈密积分第16页/共162页第十六页，共163页。3.33.3单自由度体系单自由度体系(tx)(tx)的水平地的水平地震作用与反应谱震作用与反应谱一、水平地震作用一、水平地震作用(zuyng)的定义的定义单自由度体系(tx)的地震作用maxmax)(xxmxxmFgg 单自由度体系运动方程 ()()g

12、m xxcxkx 位移最大0 x maxmax)(xkxxmg F =地震作用求得地震作用后，即可按静力分析方法计算结构的最大位移反应 质点所受最大惯性力，即maxmax()gm xxcxkx第17页/共162页第十七页，共163页。单自由度体系(tx)的地震最大绝对加速度反应与其自振周期T 的关系，记为 二、地震二、地震(dzhn)反反应谱应谱地震(dzhn)加速度反应谱（地震(dzhn)反应谱）：)(TSa()001( )( )( )sin()tttgDDx tdx txetd 杜哈密积分tDDtgDtextx02)()(sin)(1)()( 求导)()(cos2txdtgDD 第18页/

13、共162页第十八页，共163页。D2T一般(ybn)结构阻尼比较小；得到地震(dzhn)反应谱max0)(2)(2sin)(2ttTgdtTexT max)()()(txtxTSga max0)()(sin)(ttgdtex 第19页/共162页第十九页，共163页。地震地震(dzhn)加速度反应加速度反应谱的意义谱的意义 地震（加速度）反应谱可理解为一个确定的地面运动，通过一组阻尼比相同(xin tn)但自振周期各不相同(xin tn)的单自由度体系，所引起的各体系最大加速度反应与相应体系自振周期间的关系曲线 T1T1sa(T)TT2T2T3T3T4T4T5T5=0( )gx t第20页/共

14、162页第二十页，共163页。影响影响(yngxing)地震反应谱的因素：地震反应谱的因素：两个影响(yngxing)(yngxing)因素：1.1.体系阻尼比 2.2.地震动1.1.体系(tx)(tx)阻尼比体系阻尼比越大体系地震加速度反应越小地震反应谱值越小 图 阻尼比对地震反应谱的影响Sa/xg maxT(s)4.02.01.01.03.04.02.03.0=0.010.030.050.10第21页/共162页第二十一页，共163页。2.2.地震动(zhndng)(zhndng)不同的地震(dzhn)动将有不同的地震(dzhn)反应谱 地震动(zhndng)(zhndng)特性三要素 :

15、 : 振幅 、频谱 、持时 地震动振幅 仅对 地震反应谱值 大小 有影响振幅振幅越大地震反应谱值越大呈线性比例关系第22页/共162页第二十二页，共163页。频谱：地面运动各种频率(pnl)（周期）成分的加速度幅值的对应关系不同场地条件(tiojin)下的平均反应谱 不同震中距条件(tiojin)下的平均反应谱 地震反应谱峰值对应的周期也越长 场地越软震中距越大地震动主要频率成份越小（或主要周期成份越长）地震动频谱对地震反应谱的 形状 有影响 持时对最大反应或地震反应谱影响不大 第23页/共162页第二十三页，共163页。G G 体系的重量； 地震系数(xsh)(xsh)； 动力系数(xsh)

16、(xsh)二、地震二、地震(dzhn)反应谱反应谱设计(shj)反应谱：地震反应谱直接用于结构的抗震设计有一定的困难，而需专门研究可供结构抗震设计用的反应谱，称之为设计反应谱 maxmax( )G( )gagxS TFmgkTgxk)(T)(TmSFa地震系数定义：gxkgmax 可将地震动振幅对地震反应谱的影响分离出来 基本烈度基本烈度6789地震系数地震系数k0.050.10（0.15）0.20（0.30）0.40烈度每增加一度地震系数大致增加一倍 第24页/共162页第二十四页，共163页。动力(dngl)系数定义(dngy)意义(yy)：体系最大加速度的放大系数max)()(gaxTS

17、T 体系最大加速度地面最大加速度是规则化的地震反应谱为使动力系数能用于结构抗震设计，采取以下措施： 05. 01.1.取确定的阻尼比，因大多数实际建筑结构的阻尼比在0.050.05左右考虑阻尼比对地震反应谱的影响 第25页/共162页第二十五页，共163页。nTTnii105. 0)()(2.2.按场地、震中距将地震动记录(jl)(jl)分类(12(12类) )3.3.计算(j sun)(j sun)每一类地震动记录动力系数的平均值考虑地震动(zhndng)频谱的影响因素 考虑类别相同的 不同地震动记录 地震反应谱的变异性第26页/共162页第二十六页，共163页。工程设计采用(ciyng)的

18、动力系数谱曲线25. 2max2max0/45. 01gT 特征周期， 与场地条件和设计地震(dzhn)分组有关 结构(jigu)自振周期衰减指数，取0.91直线下降段斜率调整系数， 取0.020.022阻尼调整系数，取1.0T第27页/共162页第二十七页，共163页。值：地震(dzhn)影响系数定义(dngy)()(TkT图 地震影响(yngxing)系数谱曲线 maxmaxk图中我国建筑抗震采用两阶段设计，各设计阶段的max地震影响地震影响设防烈度设防烈度6789多遇地震多遇地震0.040.08（0.12）0.16（0.24）0.32罕遇地震罕遇地震-0.50（0.72）0.90（1.2

19、0）1.40g15. 0g30. 0注：括号中数值分别用于设计基本地震加速度取和的地区 第28页/共162页第二十八页，共163页。阻尼对地震影响(yngxing)系数的影响(yngxing)当结构阻尼比不等于0.050.05时，其形状参数作如下(rxi)(rxi)调整 ：1.1.曲线下降段衰减指数(zhsh)(zhsh)的调整 55 . 005. 09 . 02.2.直线下降段斜率的调整 8/ )05. 0 (02. 01max的调整： 3.3.max表中值应乘以阻尼调整系数7 . 106. 005. 01255. 0255. 02当取第29页/共162页第二十九页，共163页。地震(dzh

20、n)作用计算由GF)(TmSFa( )( )aS TTg第30页/共162页第三十页，共163页。例题例题(lt)(lt)3-23-2kg10000mkN/cm1k水塔(shut)(shut)结构，同例3-13-1。，(a) 水塔hh(b) 厂房(c) 多、高层建筑(d) 烟囱 位于IIII类场地第二组，基本烈度(lid)(lid)为7 7度（地震加速度为0.10g),0.10g),阻尼比03. 0求该结构多遇地震下的水平地震作用 08. 0maxsTg4 . 0解；查表3-3，查表3-2，第31页/共162页第三十一页，共163页。18. 103. 07 . 106. 003. 005. 0

21、17 . 106. 005. 012931. 003. 055 . 003. 005. 09 . 055 . 005. 09 . 00.931max0.4()()(0.08 1.18)1.99gTT由图3-123-12（地震(dzhn)(dzhn)影响系数谱曲线） N207981. 9100000212. 0GF0.0212此时应考虑阻尼比对地震影响(yngxing)系数形状的调整。返回返回(fnhu)目目录录第32页/共162页第三十二页，共163页。3.4 3.4 多自由度弹性多自由度弹性(tnxng)(tnxng)体系的地震反应分析体系的地震反应分析一、多自由度弹性体系(tx)的运动方程

22、图 多自由度体系(tx)的变形在单向水平地面运动作用下，多自由度体系的变形如图所示。设该体系各质点的相对水平位移为x xi i(i=1,2,n), (i=1,2,n), 其中n n为体系自由度数，则各质点所受的水平惯性力为)(111xxmfgI )(222xxmfgI )(ngnInxxmf 第33页/共162页第三十三页，共163页。体系(tx)水平惯性力 )1(gxxMF 其中(qzhng) TInIIfffF,21 Tnxxxx ,21T1 , 1 , 11nmmmM21刚度(n d)方程： FxK多自由度体系无阻尼运动方程 gxMxKxM 1多自由度有阻尼体系运动方程 gxMxKxCx

23、M 1图 多自由度体系的变形 12,Tnxx xx Tnxxxx,21第34页/共162页第三十四页，共163页。( ( 各质点(zhdin)(zhdin)振幅）二、多自由度体系(tx)的自由振动自由振动(zhndng)方程不考虑阻尼的影响，体系不受外界作用，令多自由度自由振动方程 0gx 0 xKxM 动力特征方程 0)(2MK设方程的解为 )sin(tx Tn,21 )sin(2tx 关于时间t t微分两次得 0)sin()(2tMK代入振动方程得：0)sin(t由于则须有：第35页/共162页第三十五页，共163页。自振频率(pnl)体系发生(fshng)振动， 有非零解，则必有： 02

24、MK多自由度体系的动力(dngl)(dngl)特征值方程 ), 2 , 1(nii其解由小到大排列为22221,n为体系第i阶自由振动圆频率 一个n n自由度体系，有n n个自振圆频率，即有n n种自由振动方式或状态动力特征方程 0)(2MK第36页/共162页第三十六页，共163页。例题例题(lt)3(lt)3-3-3计算仅有两个自由度体系(tx)的自由振动频率 22211211kkkkK2100mmM解：由式 21222211211200| |mmkkkkMK)()()(2112221121222112221kkkkmkmkmm 02MK0解上方程(fngchng)得：2121122211

25、22221112221112221)(21)(21mmkkkkmkmkmkmk可得：第37页/共162页第三十七页，共163页。多自由度体系(tx)以某一阶圆频率振型i自由(zyu)(zyu)振动时， 将有一特定(tdng)的振幅i与之相应 它们之间应满足动力特征方程 0)(2iiMK T121,ininiii设T121 1 ,/,/,/inininiiniin 11niini与相应，用分块矩阵表达 inininiiCBBAMKT1112)(第38页/共162页第三十八页，共163页。则动力(dngl)特征方程 011T111niinininiinCBBA展开(zhn ki)得 0111nin

26、iniBA 01T1ininiCB 1111nininiBA解得 （*）（*）将（* * *）代入（* *），可用以复验求解(qi ji)结果的正确性 1ni第39页/共162页第三十九页，共163页。由此得体系(tx)以i频率(pnl)自由振动的解为 )sin(taxiii体系在自由振动过程中的形状(xngzhun)(xngzhun)保持不变 定义：振型 iiiai把反映体系自由振动形状的向量称为振型称为规则化的振型，也可简称为振型 把i也称为第i i 阶振型 令iina 11nii iiia第40页/共162页第四十页，共163页。例题(lt)3-(lt)3-4 4三层剪切型结构(jigu

27、)如图所示，求该结构(jigu)的自振圆频率和振型 解：该结构为3 3自由度体系， 质量(zhling)(zhling)矩阵和刚度矩阵分别为kg1010005 . 100023Mm/N106 . 06 . 006 . 08 . 12 . 102 . 136K先由特征值方程求自振圆频率，令600B2第41页/共162页第四十一页，共163页。得0B11-01B5 . 13202-B25| |2MK或02-B5 . 7B5 . 5B23由上式可解得351. 0B161. 1B254. 3B3从而(cng r)由 B600得 rad/s5 .141rad/s3 .312rad/s1 .463由自振周

28、期与自振频率(pnl)的关系 /2T ，可得结构(jigu)的各阶自振s433. 0T1s202. 0T2s136. 0T3周期分别为第42页/共162页第四十二页，共163页。 8 .38960006006 .14841200012005 .2579)(21MK 1111nininiBA由得648. 0301. 060006 .1484120012005 .257911211代入 01T1ininiCB校核(xio h)08 .389648. 0301. 0600, 0则第一(dy)阶振型为 1648. 0301. 01同样可求得第二(d r)阶和第三阶振型为 1601. 0676. 02

29、157. 247. 23为求第一阶振型，将 rad/s5 .141代入 第43页/共162页第四十三页，共163页。将各阶振型用图形(txng)(txng)表示: : 1110.6480.301-0.601-0.676-2.57-2.47第一(dy)阶振型第二(d r)阶振型第三阶振型振型具有如下特征: : 对于串联多质点多自由度体系，其第几阶振型，在振型图上就有几个节点（振型曲线与体系平衡位置的交点 ) ) 利用振型图的这一特征，可以定性判别所得振型正确与否 第44页/共162页第四十四页，共163页。模型(mxng)第一振型第二振型第三振型第四振型第五振型第六振型第七振型第45页/共162

30、页第四十五页，共163页。上海环球(hunqi)金融中心第一振型第二(d r)振型第三振型第四振型第五振型第46页/共162页第四十六页，共163页。振型的正交性体系(tx)动力特征方程改写为 MK2上式对体系任意(rny)(rny)第i i 阶和第j j 阶频率和振型均应成立 iiiMK2 jjjMK2两边(lingbin)左乘 Tj Ti jijjiMKT2T式(2)两边转置两边左乘 刚度矩阵和质量矩阵的对称性 ijjijMKT2T ijiijMKT2T(1)(1) (2)(2) (3)(3) （1 1）、（3 3）两式相减得： 0)(T22ijjiMji ji如则 0TijMji (4)

31、(4) （4 4）式代入（1 1）式 ，得： 0TijKji (5) (5) 第47页/共162页第四十七页，共163页。三、地震反应分析三、地震反应分析(fnx)的振型分解法的振型分解法运动(yndng)方程的求解由振型的正交性，体系地震位移(wiy)反应向量 jnjjqx1), 2 , 1(njqj称为 振型正则坐标 jq唯一对应，是时间的函数 x与代入多自由度体系一般有阻尼运动方程得： gjjjjnjjjxMqKqCqM 1)(1 gijjijjinjjjixMqKqCqM 1)(TTT1T将上式两边左乘 Ti得（1 1）（2 2）第48页/共162页第四十八页，共163页。注意到振型关

32、于质量(zhling)矩阵和刚度矩阵的正交性式，并设振型关于阻尼矩阵也正交，即 0TjiCji 则式（2 2）成为(chngwi)(chngwi)： giiiiiiiiiixMqKqCqM 1TTTT ijiijMKT2T由可得： iiiiiMKTT2 iiiiiiMCTT2 iiiiMMTT1令（3 3）第49页/共162页第四十九页，共163页。 giiiiiiixqqq 22计算(j sun)可得：分解(fnji)(fnji)n n自由度体系的n n 维联立运动(yndng)(yndng)微分方程n n个独立的关于正则坐标的单自由度体系运动微分方程与一单自由度体系的运动方程相同 gxxx

33、x 22则将式（3 3）两边同除以 iiMT由杜哈密积分，可得式（4 4）的解为（4 4）tiDtgiiDidtextqii0)()(sin)(1)( )(tii其中21iiiD阻尼比为 i、自振频率为 i的单自由度体系的地震位移反应第50页/共162页第五十页，共163页。多自由度体系地震(dzhn)位移反应的解 njjnjjjjtxttx11)()()()(txj多自由度体系的地震(dzhn)(dzhn)反应可通过分解为各阶振型地震(dzhn)(dzhn)反应求解，故称振型分解法 体系的第j 阶振型 地震(dzhn)反应 第51页/共162页第五十一页，共163页。阻尼(zn)矩阵的处理M

34、 KC振型关于(guny)下列矩阵正交：刚度(n d)矩阵阻尼矩阵振型分解法的前提：质量矩阵无条件满足采用瑞雷阻尼矩阵KbMaC返回目录返回目录第52页/共162页第五十二页，共163页。 iiiiiMKTT2 iiiiiiMCTT2由于(yuy)22iiiba22jjjba得22)(2ijijjijia22)(2ijiijjb实际(shj)计算时，可取对结构地震反应影响最大的两个振型的频率，并取 ji确定瑞雷阻尼矩阵(j zhn)(j zhn)中待定系数a a、b b： 任取体系两阶振型 i j、 iiiiiiKbMaCTTT jjjjjjKbMaCTTTKbMaC第53页/共162页第五十

35、三页，共163页。3.5 3.5 多自由度弹性体系多自由度弹性体系(tx)(tx)的最大的最大地震反应地震反应 与水平地震作用与水平地震作用一、振型分解(fnji)反应谱法理论(lln)基础：地震反应分析的振型分解法 及地震反应谱概念 由于各阶振型的线性组合，即,21n是相互独立的向量，则可将单位向量), 2 , 1(nii表示成1 niiia11其中ia TMj为待定系数，为确定将式（1 1）两边左乘ia得（1 1） jjjniijijMaMaM1T1TT由上式解得 jjjjjMMaTT1（2 2）第54页/共162页第五十四页，共163页。 11niii质点i i任意(rny)(rny)时

36、刻的地震惯性力 TT1jjjjMM其中(qzhng)图 多质点(zhdin)体系对于右图所示的多质点体系，质点i i任意时刻的水平相对位移反应为njjijjittx1)()(则质点i i在任意时刻的水平相对加速度反应为njjijjittx1)()( 将水平地面运动加速度表达成 )()()(1txtxgnjjijg 将式（2 2）代入式（1 1）得如下以后有用的表达式振型j在质点i处的位移第55页/共162页第五十五页，共163页。 为质点i 的第j 振型水平(shupng)地震惯性力 ( )( )iigfm x tx t )()(11txtmgnjjijnjjijji njjigjnjjiji

37、ftxtm11)()( jif则可得质点i i任意时刻(shk)(shk)的水平地震惯性力为第56页/共162页第五十六页，共163页。质点i i的第j j振型水平地震(dzhn)(dzhn)作用将质点(zhdin)i(zhdin)i的第j j振型水平地震作用定义为该阶振型最大惯性力，即maxFjijifmax)()()(txtxTSga max)()(Ftxtmgjjijiji 则根据(gnj)地震反应谱的定义)(FjajijijiTSmjijjijjijijiGgm)(F采用设计反应谱，则由iG质点i i的重量；j按体系第j j 阶周期计算的 第j j 振型地震影响系数 可得( )( )a

38、S TTg可得第57页/共162页第五十七页，共163页。通过(tnggu)(tnggu)各振型反应振型组合(zh)由振型j j各质点(zhdin)(zhdin)水平地震作用jSjSS，此称为振型组合 由各振型产生的地震作用效应，采用“平方和开方”法确定：2jSS注：由于各振型最大反应不在 同一时刻发生，因此直接 由各振型最大反应叠加估计 体系最大反应，结果会偏大 ，按静力分析方法计算，可得体系振型j j某特定最大地震反应估计体系最大地震反应SRSS法第58页/共162页第五十八页，共163页。例题例题(lt)3-(lt)3-5 5三层剪切型结构(jigu)(jigu)同例3-43-4。s43

39、3. 0T1s202. 0T2s136. 0T3 1648. 0301. 01 1601. 0676. 02 157. 247. 23结构处于8 8度区（地震加速度为0.20g0.20g），I I类场地(chngd)(chngd)第一组，结构阻尼比为0.050.05。试采用振型分解反应谱法，求结构在多遇地震下的最大底部剪力和最大顶点位移。 已知第59页/共162页第五十九页，共163页。解：由 niinijiijjjjjimmMM121TT1得421. 1301. 02648. 05 . 11301. 02648. 05 . 11221510. 0)676. 0(2)601. 0(5 . 11

40、)676. 0(2)601. 0(5 . 11222090. 047. 22)57. 2(5 . 1147. 22)57. 2(5 . 11223查 表3-2(3-2(特征周期值表) ) 、3-33-3（水平地震(dzhn)(dzhn)影响系数最大值表）得： s25. 0gT16. 0max第60页/共162页第六十页，共163页。设计地设计地震分震分组组场地类别场地类别IIIIIIIV第一组第一组0.250.350.450.65第二组第二组0.300.400.550.75第三组第三组0.350.450.650.90表3-2特征(tzhng)周期值 Tg(s)max地震影响地震影响设防烈度设防

41、烈度6789多遇地震多遇地震0.040.08（0.12）0.16（0.24）0.32罕遇地震罕遇地震-0.50（0.72）0.90（1.20）1.40表3-3水平(shupng)地震影响系数最大值返回(fnhu)第61页/共162页第六十一页，共163页。则（参见图3-123-12地震影响系数(xsh)(xsh)谱曲线）10.0976230.16jijjijiGF由得第一振型各质点(zhdin)（或各楼面）水平地震作用为kN818. 0301. 0421. 10976. 08 . 9211FkN321. 1648. 0421. 10976. 08 . 95 . 112FkN359. 11421

42、. 10976. 08 . 90 . 113F第62页/共162页第六十二页，共163页。s25. 0gT图3-12 地震(dzhn)影响系数谱曲线 返回(fnhu)9 . 055 . 005. 09 . 0s433. 0T1s202. 0T2s136. 0T30976. 016. 0433. 025. 09 . 0max9 . 011TTg16. 0max216. 0max3第63页/共162页第六十三页，共163页。第二振型各质点(zhdin)水平地震作用为kN081. 1)676. 0()510. 0(16. 08 . 9221FkN721. 0)601. 0()510. 0(16. 0

43、8 . 95 . 122FkN800. 01)510. 0(16. 08 . 90 . 123F第三振型各质点水平地震(dzhn)作用为kN697. 047. 209. 016. 08 . 9231FkN529. 0)57. 2(09. 016. 08 . 95 . 132FkN141. 0109. 016. 08 . 90 . 133F则由各振型水平地震(dzhn)作用产生的底部剪力为kN498. 3FFFV13121111kN002. 1FFFV23222121kN309. 0FFFV33323131第64页/共162页第六十四页，共163页。通过振型组合(zh)求结构的最大底部剪力为22

44、2211VV3.4981.0020.309j3.652kN若仅取前两阶振型反应(fnyng)进行组合kN639. 3002. 1498. 3V221由各振型水平(shupng)地震作用产生的结构顶点位移为31321312113121113FFFFFFUkkkm10442. 66001.3591200359. 1321. 11800498. 3332322322123222123FFFFFFUkkkm10799. 06000.800-1200)800. 0(721. 01800081. 13第65页/共162页第六十五页，共163页。33323332133323133FFFFFFUkkkm100

45、83. 06000.1411200141. 0)529. 0(1800309. 03通过(tnggu)振型组合求结构的最大顶点位移mm492. 6083. 0)799. 0(442. 610UU2223233j若仅取前两阶振型反应进行(jnxng)组合mm491. 6)799. 0(442. 610U2233注意(zh y)振型分解反应谱法计算结构最大地震反应易犯错误：先将各振型地震作用组合成总地震作用，然后用总地震作用计算结构总地震反应 正确的计算次序： 先由振型地震作用计算振型地震反应，再由振型地震反应组合成总地震反应 第66页/共162页第六十六页，共163页。以本例底部剪力结果(ji

46、gu)加以说明： 若先计算总地震作用(zuyng)，则各楼层处的总地震作用(zuyng)分别为kN524. 1697. 0081. 1818. 0FFFF2222312212111kN318. 2)529. 0(721. 0321. 1FFFF2222322222122kN609. 1141. 0)800. 0(359. 1FFFF2222332232133按上面各楼层总地震作用(zuyng)所计算的结构底部剪力为kN451. 5609. 1318. 2524. 1FFFV3211与前面正确计算次序的结果相比，值偏大 原因: 振型各质点地震作用有方向性，负值作用与正值作用方向相反，而按平方和开

47、方的方法计算各质点总地震作用，没有反映振型各质点地震作用方向性的影响。 第67页/共162页第六十七页，共163页。振型组合时振型反应(fnyng)数的确定 结构(jigu)的低阶振型反应大于高阶振型反应振型反应的组合数可按如下(rxi)规定确定 不需要取结构全部振型反应进行组合（1 1）一般情况下，可取结构前2-32-3阶振型反应进行组合，但不多于结构自由度数 （2 2）当结构基本周期s5 . 1T1时或建筑高宽比大于5 5时可适当增加振型反应组合数结构的总地震反应以低阶振型反应为主，而高阶振型反应对结构总地震反应的贡献较小振型阶数越高，振型反应越小 第68页/共162页第六十八页，共163

48、页。二、底部剪力法应用(yngyng)条件建筑物高度(god)(god)不超过40m40m结构(jigu)以剪切变形为主质量和刚度沿高度分布较均匀结构的地震反应将以第一振型反应为主结构的第一振型接近直线假定 （1 1）结构的地震反应可用第一振型反应表征； （2 2）结构的第一振型为线性倒三角形， 即任意质点的第一振型位移与其高度成正比1iiCH图 结构简化第一振型第69页/共162页第六十九页，共163页。底部剪力的计算(j sun)任意(rny)(rny)质点i i的水平地震作用 1121FiinjjnjjjiHGHGHGj结构(jigu)底部剪力 niiinjjnjjjniiHGHGHGj

49、111211EKFF1111221)()()(njjnjjnjjnjjjGGHGHGj iiiiiMMGG11T1T111111FinjjjnjjjiGGG11211111iiCH将代入上式，得= 第70页/共162页第七十页，共163页。简化(jinhu)：结构(jigu)底部剪力 1EKFeqG一般(ybn)建筑各层重量和层高均大致相同 GGGjijhHj) 12(2) 1( 3nn单质点体系，n=1n=1，则 1多质点体系 ，n2n2，则9 . 075. 0按抗震规范统一取85. 0)()(11221njjnjjnjjjGHGHGj即njjEeqGGG1结构总重力荷载等效系数结构等效总重

50、力荷载第71页/共162页第七十一页，共163页。地震作用(zuyng)分布结构总水平地震(dzhn)作用 1EKFeqG分配(fnpi)至各质点上 EKnjjjiiiHGHGFF1仅考虑了第一振型地震作用 高阶振型地震作用影响 各阶振型地震反应总地震作用分布等效地震作用分布结构基本周期较长时结构高阶振型地震作用影响不能忽略 高阶振型反应对结构上部地震作用的影响较大 第72页/共162页第七十二页，共163页。我国抗震规范(gufn)规定： 结构基本(jbn)(jbn)周期 g1T4 . 1T ，则需在结构顶部附加(fji)(fji)集中水平地震作用 EKFnnF结构顶部附加地震作用系数1.1

51、.多层钢筋混凝土房屋和钢结构房屋按下表采用 n不考虑不考虑0.350.55)(sTg35. 055. 0gTT4 . 1107. 008. 01T01. 008. 01T02. 008. 01TgTT4 . 112.2.多层内框架砖房 2 . 0n3.3.其它房屋可不考虑 表3-4第73页/共162页第七十三页，共163页。考虑(kol)高阶振型的影响时 结构(jigu)的底部剪力仍为 1EKFeqG但各质点的地震作用(zuyng)须按下式分布EKEKF)1 (FnnFEKnnjjjiiiHGHGF)1 (F1ni, 2 , 1第74页/共162页第七十四页，共163页。鞭梢效应(xioyng

52、)底部剪力法适用于重量(zhngling)和刚度沿高度分布均比较均匀的结构 当建筑物有局部突出屋面的小建筑时，该部分结构的重量和刚度突然变小，将产生鞭梢效应，即局部突出小建筑的地震反应有加剧(jij)的现象。 按底部剪力法计算作用在小建筑上的地震作用，需乘以增大系数3 3 作用在小建筑上的地震作用向建筑主体传递时（或计算建筑主体的地震作用效应时），则不乘增大系数因此但是第75页/共162页第七十五页，共163页。例题例题(lt)3-(lt)3-6 6结构同例3-43-4，为三层剪切型结构。设计基本地震(dzhn)(dzhn)加速度及场地条件同例3-5 3-5 s433. 0T1s202. 0T

53、2s136. 0T3 1648. 0301. 01 1601. 0676. 02 157. 247. 23结构(jigu)(jigu)处于8 8度区（地震加速度为0.20g0.20g），I I类场地第一组，结构(jigu)(jigu)阻尼比为0.050.05。试采用底部剪力法，求结构在多遇地震下的最大底部剪力和最大顶点位移。已知：第76页/共162页第七十六页，共163页。解：由例3-53-5已求得 0976. 01而结构(jigu)总重力荷载为 kN1 .448 . 9)0 . 25 . 10 . 1 (EG则结构(jigu)的底部剪力为11EK85. 0FEeqGGkN659. 30976

54、. 01 .4485. 0已知 s25. 0gTs35. 04 . 1s433. 01gTT设该结构为钢筋混凝土房屋结构，则需考虑结构顶部附加(fji)集中作用 查 表3-43-4（顶部附加地震作用系数表）得 105. 007. 0433. 008. 007. 008. 01TnkN384. 0659. 3105. 0FEKnnF则又已知 m51Hm92Hm133HmkN7 .3578 . 9)13195 . 152(1njjjHG第77页/共162页第七十七页，共163页。不考虑不考虑0.350.55)(sTg35. 055. 0gTT4 . 1107. 008. 01T01. 008. 0

55、1T02. 008. 01TgTT4 . 11表3-4 结构顶部附加(fji)地震作用系数返回(fnhu)第78页/共162页第七十八页，共163页。则作用在结构(jigu)各楼层上的水平地震作用为EKnnjjjHGHGF)1 (F1111kN897. 0659. 3)105. 01 (7 .3578 . 952kN211. 1659. 3)105. 01 (7 .3578 . 995 . 1F2kN166. 1659. 3)105. 01 (7 .3578 . 9130 . 1F3由此得结构(jigu)的顶点位移为3332321EK3FFFFFFUkkknnm10917. 66000.384

56、1.1661200384. 0166. 1211. 11800659. 33与振型分解(fnji)反应谱法的计算结果很接近 3U6.492mm第79页/共162页第七十九页，共163页。三、结构三、结构(jigu)基本周期的近似计算基本周期的近似计算能量(nngling)法理论(lln)基础 ： 能量守衡原理，即一个无阻尼的弹性体系作自由振动时，其总能量（变形能与动量之和）在任何时刻均保持不变 体系自由振动t时刻质点水平位移向量 )sin()(ttx体系质点水平速度向量为 )cos()(ttx 第80页/共162页第八十页，共163页。当体系振动(zhndng)到达振幅最大值 体系(tx)的振

57、动能 21)()(21maxmaxmaxKtXKtXUETTd体系(tx)的动能为零 当体系达到平衡位置时 体系变形能为零 体系的振动能 21 )()(212maxmaxmaxMtXMtXTETTd由能量守恒原理 maxmaxUT2MKTT体系质量矩阵M和刚度矩阵K已知时，频率是振型的函数 第81页/共162页第八十一页，共163页。近似将作用(zuyng)(zuyng)于各个质点的重力荷载GiGi当做水平力所产生的质点水平位移uiui作为第一振型位移： niiiniiiniiiniiiTTuGuGgumuGMF121121111121niiiniiiuGuGT11212求体系基本(jbn)(

58、jbn)频率1 1 由于(yuy)K1(yuy)K1F1F1为产生第一阶振型11的力向量 2MKTT代入T T1 12/2/1 1 ，g = g = 29.8m/s由于第82页/共162页第八十二页，共163页。例题例题(lt)3(lt)3-7-7采用能量(nngling)(nngling)法求例3-43-4结构的基本周期 解：各楼层的重力(zhngl)荷载为31 9.89.8kNG 21.5 9.814.7kNG 12 9.819.6kNG 将各楼层的重力荷载当做水平力产生的楼层剪力: : 339.8kNVG23224.5kNVGG132144.1kNVGGG第83页/共162页第八十三页，

59、共163页。则将楼层重力荷载当做(dngzu)水平力所产生的楼层水平位移为： 0245. 018001 .44111kVu0449. 00245. 012005 .241222ukVu0613. 00449. 06008 . 92333ukVu基本(jbn)周期： 222211119.6 0.024514.7 0.04499.8 0.0613220.42419.6 0.0245 14.7 0.04499.8 0.0613niiiniiiGuTsGu与精确(jngqu)(jngqu)解T1=0.433sT1=0.433s的相对误差为-2-2第84页/共162页第八十四页，共163页。等效(dn

60、xio)质量法 思想(sxing)(sxing)：用一个等效单质点体系来代替原来的多质点体系 等效(dn (dn xio)xio)原则 （1 1）等效单质点体系的自振频率与原多质点体系的 基本自振频率相等 （2 2）等效单质点体系自由振动的最大动能与原多质点体系 的基本自由振动的最大动能相等 HiximimnxnHeg第85页/共162页第八十五页，共163页。由 U U1max1max=U=U2max2max HiximimnxnHeg按第一振型振动(zhndng)的最大动能 211max1)(21iniixmU等效单质点(zhdin)的最大动能 21max2)(21egegxmU可得等效单