统计学基础 第六章 指数分析

1、统计学基础 第六章 指数分析【教学目的】1.深刻理解指数的意义及指数编制原理2.熟练掌握综合指数的计算方法3.运用指数体系进行两因素分析【教学重点】1.统计指数的概念2.数量指标综合指数；质量指标综合指数；综合指数变形加权算数指数、调和指数和固定权数指数；平均指标指数的编制原则和方法3.应用指数体系进行两因素分析、计算【教学难点】1.同度量因素概念2.各种指数编制原理及相互区别与联系3.运用指数体系进行因素分析的方法【教学时数】教学学时为10课时【教学内容参考】第一节 指数的意义一、指数的含义指数的含义有广义和狭义之分。广义的指数泛指所有反映社会经济现象数量变动或差异程度的相对数。如第四章所讲

2、的动态相对数、计划完成程度相对数、比较相对数等都属于广义指数；狭义的指数是指用来综合反映那些不能直接相加的复杂社会经济现象总体在不同时间上数量变动的相对数，这是一种特殊的动态相对数。如零售物价指数，是反映所有零售商品价格总变动的动态相对数；工业产品产量指数，是表明在某一范围内全部工业产品实物量总变动的动态相对数，等等。统计中所讲的指数，主要是指狭义的指数。二、指数的种类(一)个体指数和总指数指数按研究对象范围不同分为个体指数和总指数。个体指数是反映个别现象数量变动的动态相对数。例如，研究个别商品的销售量指数、个别产品的单位成本指数等。个体指数是在简单现象总体的条件下计算的。总指数是综合反映复杂

3、现象总体数量变动的动态相对数。例如，研究使用价值不同的商品销售量总指数、商品价格总指数等。总指数是在复杂现象总体的条件下计算的。总指数的计算形式有综合指数和平均指数。 (二)数量指标指数和质量指标指数指数按所表明现象的性质不同分为数量指标指数和质量指标指数。数量指标指数是反映数量指标变动的动态相对数。例如，产量指数、销售量指数等。质量指标指数是反映质量指标变动的动态相对数。例如，劳动生产率指数、单位成本指数、商品价格指数等。 三、指数在经济活动分析中的作用(一)分析复杂现象总体的变动方向和程度例如，某企业的总成本指数为102%，这说明总成本上升了2%。(二)分析复杂现象总体变动中各因素的影响方

4、向和程度例如，企业总成本指数为102%，即总成本上升了2%，具体是什么原因使企业的总成本上升了呢？通过分析可以找出影响总成本变动的因素有产量和单位成本，利用指数因素分析法就能从数量方面具体说明总成本变动的原因。【能力训练】你能区分表6-1中各指数的种类吗？表6-1指 数个体指数总指数数量指标指数质量指标指数某一产品单位成本指数三种商品的价格指数全国消费品零售价格指数企业产量指数企业工人劳动生产率指数甲商品销售量指数 第二节 综合指数一、综合指数的含义综合指数是两个总量指标对比形成的指数。即一个总量指标可以分解为两个或两个以上的因素指标，将其中一个或一个以上的因素指标固定下来，只反映其中一个因素

5、指标的变动程度，这样的总指数就是综合指数。综合指数的编制方法是先综合后对比。下面举例说明综合指数的编制方法。 二、数量指标综合指数的编制方法【案例】根据表6-2中三种商品销售量和价格资料计算商品销售量综合指数。表6-2 三种商品销售量指数计算表商品名称计量单位销售量价格（元）销售额（元）q0q1p0p1q0p0q1p1q1p0帽子顶20014068701360098009520上衣件460500300320138000160000150000皮鞋双120180240200288003600043200合计-180400205800202720 商品销售量个体指数的计算公式如下： 三种商品销售量

6、个体指数计算如下： 帽子销售量个体指数=140/200=70% 上衣销售量个体指数=500/460=108.70%皮鞋销售量个体指数=180/120=150%计算结果表明三种商品销售量的变动幅度是不同的。根据要求，计算三种商品销售量综合指数，这是对复杂现象总体的销售量这一数量指标的变动研究。因为三种商品的计量单位不同、使用价值不同，三种商品销售量无法直接加总，也就无法直接求出其销售量的总变动。如何解决这个问题呢？具体方法及步骤如下：(一)确定同度量因素，解决复杂现象总体在研究指标上不能直接加总的问题 因为，销售量×价格=销售额，上述三种商品的使用价值不同，其销售量不能直接加总，但通过

7、此经济关系式中的价格，将不能加总的销售量过渡为可以加总的销售额，那么价格就是销售量的同度量因素。同度量因素是在编制综合指数时将不能直接加总的指标过渡为可以加总的指标的因素。三种商品的价格也不能直接加总，但通过销售量，将不能加总的价格过渡为可以加总的销售额，那么销售量也就是价格的同度量因素。在同一个经济关系式中，数量指标和质量指标互为同度量因素，也即数量指标的同度量因素是质量指标，质量指标的同度量因素为数量指标。 (二)将同度量因素固定在同一时期，消除同度量因素变动的影响 如果将报告期的销售额与基期的销售额对比，即 计算结果表明报告期销售额比基期销售额增长了14.08%，这种增长，不但受销售量变

8、动的影响，也同时受价格变动的影响。因此以销售额的变动来反映销售量的变动，必须把同度量因素价格固定，即两个时期的销售额均采用同一时期的价格计算，并进行对比，借以消除价格变动的影响。(三)选择同度量因素所属时期同度量因素所属时期的选择是非常重要的问题，应根据编制指数的具体任务以及实际经济内容来确定。在我国最为普遍的选择方法是：编制数量指标综合指数将质量指标作为同度量因素，并将其固定在基期。用符号“kq”表示数量指标综合指数，其计算公式如下： 式中，分子是按报告期销售量和基期价格计算的销售额，分母是基期的销售额。三种商品销售量综合指数计算如下： 计算结果表明三种商品销售量综合增长12.37%。由于销

9、售量的增长而增加的销售额为 数量指标综合指数的同度量因素所属时期的选择，除了采用基期以外，也可以采用某一固定时期，其计算公式如下： 比如在实际工作中，经常用固定价格编制工业产品产量的总指数、商品销售量总指数等。 三、质量指标综合指数的编制方法 质量指标综合指数的编制原理与数量指标综合指数的编制原理基本相同，只是同度量因素的固定时期不同。编制质量指标综合指数，将数量指标作为同度量因素，并将其固定在报告期。用符号“kp”表示质量指标综合指数，其计算公式如下： 式中，分子是报告期的销售额，分母是按报告期销售量和基期价格计算的销售额。 【案例】根据表6-2的资料计算三种商品价格综合指数。商品的价格个体

10、指数计算公式如下： 计算三种商品的价格个体指数如下： 帽子价格个体指数=70/68=102.94% 上衣价格个体指数=320/300=106.67%皮鞋价格个体指数=200/240=83.33%计算结果表明三种商品价格的变动幅度是不同的。三种商品价格综合指数如下： 计算结果表明三种商品价格综合增长1.52%。由于价格增长而增加的销售额为 编制综合指数，最重要的就是同度量因素所属时期的选择。在实际统计工作中，编制综合指数的一般原则是：数量指标指数化，将作为同度量因素的质量指标固定在基期；质量指标指数化，将作为同度量因素的数量指标固定在报告期。但这个原则也不是固定不变的，应根据研究现象的不同情况分

11、析确定。第三节 平均指数一、平均指数的含义 平均指数是从个体指数出发编制的，是以平均数形式表现的总指数。平均指数有算术平均指数和调和平均指数两种基本形式。二、算术平均指数的编制方法 仍以上面所举某商场销售三种商品资料为例，用算术平均指数计算销售量总指数。【案例】某商场三种商品销售量和基期销售额资料见表6-3，计算销售量平均指数。表6-3 三种商品销售量平均指数计算表 商品名称计量单位销售量基期销售额（元）基期销售额（元）×个体指数q0q1q0p0kqq0p0帽子顶20014070.0136009520上衣件460500108.7138000150006皮鞋双120180150.028

12、80043200合计-180400202726 计算结果表明三种商品的销售量报告期比基期综合提高了12.38%，也可以表述为：三种商品销售量的增减幅度不同，但三种商品销售量平均增长了12.38%。三、调和平均指数的编制方法【案例】沿用上述资料，用调和平均指数计算价格总指数（见表6-4）。 表6-4 价格平均指数计算表 商品名称计量单位销售量报告期销售额（元）报告期销售额（元）÷个体指数p0p1q1p1帽子顶200140102.998009524上衣件460500106.7160000149953皮鞋双12018083.33600043217合计-205800202694 计算结果表明

13、三种商品价格报告期比基期综合提高了1.5%，也可以表述为：三种商品价格的升降幅度不同，但三种商品价格平均提高了1.5%。 加权算术平均指数和加权调和平均指数是综合指数的变形。编制数量指标综合指数时，一般用基期总量指标为权数计算加权算术平均指数；编制质量指标综合指数时，一般用报告期总量指标为权数计算加权调和平均指数。即 但也不能否认其他形式的权数在计算平均指数上的应用。第四节 指数体系一、指数体系的含义 指数体系是指在经济上有联系、在数量上存在对等关系的三个或三个以上的指数所构成的一个整体。例如：商品销售量指数×商品价格指数=商品销售额指数产品产量指数×产品价格指数=总产值指

14、数产品产量指数×单位产品原材料消耗量指数×单位原材料价格指数=原材料消耗额指数 上例中列举的各个指数，不但经济上有联系，而且数量上还存在对等关系，所以每个整体都称为指数体系。可见，指数体系至少要由三个指数构成。指数体系中各指数间数量对等的关系，是基于现象间客观存在的经济联系。上述三个指数体系的依据是指标在数量上的对等关系。即商品销售量×商品价格=商品销售额产品产量×产品价格=总产值产品产量×单位产品原材料消耗量×单位原材料价格=原材料消耗额二、指数体系的作用1.对现象进行因素分析。利用指数体系从相对数和绝对数两个方面分析现象受各个因素

15、变动的影响。例如：商品销售量指数×商品价格指数=商品销售额指数，在这个指数体系中，就可以将销售额的变动归结为销售量和销售价格两个因素变动影响的结果。2.指数体系还可用于各指数间的互相推算。例如，三个指数形成的指数体系中，已知其中任意两个指数，就可依据指数体系，推算出未知的第三个指数。下面具体介绍运用指数体系进行因素分析的方法。三、因素分析法的应用举例 因素分析法就是从数量上分析研究现象总变动受各因素影响的方向、程度及绝对数量。在经济管理中，因素分析法对于揭露矛盾、挖掘潜力、发现现象的发展变化规律都有重要意义。因素分析法的内容包括相对数分析和绝对数分析。 (一)两因素分析 1.总量指标

16、变动的因素分析 (1)简单现象总体总量指标变动的因素分析【案例】某企业职工年工资情况资料见表6-5。表6-5 某企业职工年工资情况指 标符 号基 期报告期工资总额（万元）a10001360职工人数（人）b500400平均工资（万元）c23.4该企业工资总额的变动： 工资总额的增加额=b1c1-b0c0=1360-1000=360(万元)其中，职工人数变动的影响：由于职工人数的变动而影响的工资额为 (b1-b0)c0=(400-500)×2=-200(万元) 平均工资变动的影响：由于平均工资的变动而影响的工资额为 (c1-c0)b1=(3.4-2)×400=560(万元)上述

17、各指数的关系如下： 计算结果表明工资总额报告期比基期增加360万元，增长36%。其中，由于职工人数降低20%而减少的工资额为200万元；由于职工平均工资提高70%而增加的工资额为560万元。 在上述分析中，可以看出，在进行简单现象总体因素分析时，相对数分析可以不使用同度量因素，而绝对数分析一定要使用同度量因素。 (2)复杂现象总体总量指标变动的因素分析 在复杂现象总体条件下，对总量指标的两个影响因素，应理解为组成复杂现象总体的各要素的单位数变动的综合影响，以及各要素水平变动的综合影响。必须利用综合指数的形式来分析。【案例】根据表6-2所示的某商场三种商品资料，从相对数和绝对数两方面分析销售额变

18、动的原因。 三种商品销售额的变动： 报告期比基期增加的销售额= 计算结果表明，报告期销售额比基期销售额增长了14.08%，增加了25400元，这种变动是由于销售量和价格两个因素变动的影响。其中，销售量变动的影响：由于销售量的变动而影响的销售额为价格变动的影响：由于价格的变动而影响的销售额为 把以上指数联系起来，组成如下指数体系： 114.08%=112.37%×101.52%销售量和价格因素变动对销售额变动影响的绝对额，关系如下：25400元=22320元+3080元 以上指数体系说明了该商场三种商品销售额报告期比基期增长14.08%，是销售量提高12.37%和销售价格提高1.52%

19、两个因素共同影响的结果。由于销售量的增加而增加的销售额为22320元，由于价格提高而增加的销售额为3080元，两个因素共同作用，使销售额总共增加25400元。【能力训练】(1)同样多的人民币却少购商品12%，问：物价上升了多少？ (2)粮食总产量增长5%，而播种面积却减少4%，问：粮食单位面积产量有什么变化？ (3)“某企业的某种产品单位成本上升10%，产量下降10%，总成本没升也没降”，这种说法对吗？为什么？ 2.平均指标变动的因素分析 (1)平均指标指数体系 两个平均指标在时间上对比的相对数，称为平均指标指数。平均指标的大小受变量值和权数两个因素的影响。即,那么两个时期加权算术平均数进行对

20、比时，即时，仍存在着这两个因素的影响。平均指标指数是根据影响平均指标的两个因素分别编制成独立的指数，且使这三个指数在数量上保持密切关系，形成一个指数体系。它们是可变构成指数、固定构成指数和结构影响指数，其关系如下： 可变构成指数=固定构成指数×结构影响指数（2）平均指标指数的编制方法【案例】某公司下设两个生产车间，生产A产品，其有关资料见表6-6。 表6-6 某公司A产品产量和成本资料公司产量（件）单位成本（元/件）总成本（元）f0f1x0x1x0f0x1f1x0f1甲车间40012001084000960012000乙车间60080012147200112009600合计10002

21、000-112002080021600 计算两个时期平均单位成本。 通过计算可以看出，报告期平均单位成本比基期平均单位成本下降了。平均单位成本的下降不仅反映了各组单位成本的变动影响，而且反映了各组产量结构变动的影响。这种既反映各组单位成本的变动影响，又反映各组产量结构变动的影响的总平均单位成本指数，就是平均单位成本可变构成指数。其计算公式如下：10.4-11.2=-0.8(元)可见，可变构成指数就是报告期平均指标与基期平均指标之比。以上计算表明报告期平均单位成本比基期平均单位成本下降了7.14%，绝对额减少了0.8元。【引例】 那么，如何分析公司总平均单位成本变动中产量结构变动的影响呢？为了分

22、析产量结构（视为数量指标）的变动对该公司总平均单位成本的变动影响，依据综合指数编制原理，就必须清除各车间单位成本（视为质量指标）对公司总平均单位成本的变动影响，把各车间单位成本固定在基期。这种只反映产量结构变动的总平均单位成本指数，称为总平均单位成本的结构影响指数。（视为数量指标指数）其计算公式如下： 10.8-11.2=-0.4(元) 计算结果说明，各车间产量结构变动的影响，使公司总平均单位成本下降了3.57%，由于各车间产量结构的下降，使总平均单位成本减少了0.4元。 为了分析各车间单位成本的变动对公司总平均单位成本变动的影响，必须消除产量结构变动的影响，把各组产量结构固定，并且固定在报告

23、期水平上。这种只反映单位成本变动的总平均单位成本指数称为固定构成指数。（视为质量指标指数）其计算公式如下：10.4-10.8=-0.4(元) 计算结果说明，各车间单位成本下降了3.7%，由于各车间成本的下降，使总平均成本减少了0.4元。 (2)平均指标变动的因素分析 通过上述计算，可以看到，平均指标的可变构成指数分解为结构影响指数和固定构成指数，它们的关系如下：可变指数=结构影响指数×固定构成指数即 92.86%=96.43%×96.30% 这些指数表明该公司总平均单位成本报告期比基期下降了7.14%，是由于各车间产量结构的变动使总平均单位成本下降了3.57%，由于各车间平

24、均单位成本的变动使总平均单位成本下降了3.7%。进行绝对数分析，应首先明确各指数的分子与分母绝对差额的含义。表明总平均指标增减的绝对额；表明各组单位数结构的变动；表明各组平均指标的变动引起的总平均指标增减的绝对额。它们的绝对数量关系如下：即10.4-11.2=(10.8-11.2)+(10.4-10.8)-0.8元=-0.4元+(-0.4)元 这说明公司各车间平均单位成本的下降使公司总平均单位成本下降0.4元，各车间产量结构的变动使公司总平均单位成本下降0.4元，两者综合变动使该公司单位成本下降了0.8元。从上例分析中，还可以进一步看到：该公司甲车间单位成本下降20%，乙车间单位成本却上升16

25、.67%，原因在于甲车间的产量结构对公司单位成本的下降影响较大，甲车间单位成本低，下降幅度大，且产量占公司总产量的比重也由基期的40%增加到报告期的60%。 【能力训练】“某企业报告期平均工资比基期下降，而各组工人平均工资比基期上升，原因是工人人数变动的影响”。这种分析对吗？ (二)多因素分析多因素分析主要是对总量指标变动分析而言的。社会经济现象总体总量变动分析，可以分解为两个因素变动分析，有时也可以分解为两个以上的因素变动分析。比如，下列指数体系，即可进行三个因素的变动分析。产值指数=职工人数指数×工人占职工人数比重指数×工人劳动生产率指数原材料消耗额指数=产品产量指数&

26、#215;单位产品原材料消耗量指数×单位原材料价格指数 对多因素指数体系分析，应注意以下两个问题： 1.在编制多因素指数体系时，其原理与综合指数编制原理基本相同。为了测定某一因素指标的变动影响，将其余因素指标一律视为同度量因素，均要确定固定时期。这时各因素指标被确定为数量指标或质量指标是有相对性的。比如，产品产量、单位产品原材料消耗量、单位原材料价格这三个指标中，单位产品原材料消耗量相对于产品产量是质量指标，而相对于单位原材料价格却是数量指标。2.多因素应按照先数量指标、后质量指标的顺序排列。现就原材料消耗额的组成因素顺序来具体说明它们之间的关系。从下列分析中可以看到相邻的两个因素的

27、乘积一定要有经济意义。单位产品原材料消耗额原材料消耗量 原材料消耗额=产品产量×单位产品原材料消耗量×单位原材料价格 合理排列顺序后，就要确定其中的同度量因素所属时期，完成各因素的变动对现象总体变动影响作用的分析。附录 应用Excel计算综合指数单元实训 指数分析方法的应用【实训目的】指数分析法是经济分析中广泛应用的一种统计分析方法。本单元实训的目的就是通过实际方法的操作，使学生能进一步理解指数分析的基础知识，掌握指数分析运用条件，熟练运用指数分析的基本技能与软件操作。【实训资料】因素分析方法的应用详细实训资料见教材【实训要求】 1.根据表6-8的资料，通过必要的计算，分析

28、甲企业工人劳动生产率与工人占全部人员比重的变动对全员劳动生产率变动的影响。2.根据表6-9的资料，通过必要的计算，分析乙企业工人工时劳动生产率与人均月工作小时数的变动对工人月劳动生产率变动的影响。【实训形式】结合实训资料，按照实训要求进行分组讨论。【实训时间】计划学时1学时，要求在第6章指数分析的教学内容完成后进行。【实训地点】教室或多媒体教室。项目实战统计分析三 运用指数分析法分析项目课题【实战目的】通过本项目实战训练，使学生掌握应用统计软件（EXCEL）操作手段将统计整理后的项目资料运用指数分析方法对项目课题进行统计分析的技能。【实战要求】结合第6章指数分析教学内容的学习，以项目小组为单位

29、，将统计整理编制的统计表、或绘制的统计图，结合项目调查课题的任务与目的，运用指数分析方法对项目课题进行统计分析。【实战资料】通过“整理项目资料”实战训练，各项目小组已经得到本组项目课题的电子信息资料。现需要应用统计软件（Excel）操作功能，结合项目调查课题的任务与目的，运用指数分析方法对项目课题进行统计分析。【实战学时】需用2学时来完成“运用指数分析法分析项目课题”的项目实战训练。【实战地点】需在电子实训室完成“运用指数分析法分析项目课题”的项目实战训练。【实战操作步骤】1.取得统计整理编制的统计表或绘制的统计图。2.根据项目课题研究的目的与任务，确定总指数和个体指数。3.根据已知资料情况，

30、选择综合指数或平均指数的计算方法来计算总指数。4.确定指数体系，并以此分析社会经济现象变化原因和变化规律。5.应用以上操作步骤取得的所有图表信息和指数体系指标，进行统计分析。【实战案例】海江造纸厂生产经营情况调查指数分析过程 第7章 抽样推断【教学目的】1.理解抽样推断的含义及特点2.深刻理解抽样误差产生的原因3.对抽样误差、抽样平均误差、抽样极限误差加以区别4.了解各种抽样组织形式的特点5.重点掌握简单随机抽样组织形式的区间估计方法6.掌握必要样本单位数的确定方法【教学重点】1.理解抽样推断中的几个基本概念（总体指标、样本指标、平均数、成数、方差、标准差）。2.理解抽样误差的概念3.理解和运

31、用不同抽样方法下计算抽样误差4.掌握简单随机抽样组织形式的区间估计方法6.掌握必要样本单位数的确定方法【教学难点】1.理解抽样推断中的几个基本概念（总体指标、样本指标、平均数、成数、方差、标准差）。2.理解抽样误差的概念3.理解和运用不同抽样方法下计算抽样误差4.掌握简单随机抽样组织形式的区间估计方法6.掌握必要样本单位数的确定方法【教学时数】教学学时为10课时【教学内容参考】第一节 抽样推断的意义一、抽样推断的含义 (一)抽样推断的特点抽样推断又称为抽样估计，它是在抽样调查的基础上，利用样本实际资料计算样本指标，并据以推算总体相应数量特征的一种统计调查方式。【案例】从全国所有股份制企业中，抽

32、取一部分企业，详细调查其生产经营状况，根据这一部分企业的调查资料，来推算所有股份制企业的生产经营状况，这就属于抽样推断。抽样推断有以下几个特点：1.按随机原则从总体中抽取调查单位。所谓随机原则是指在抽取调查单位时，总体中每个单位都有同等被抽中的机会，完全排除了人为主观意识的影响，哪个单位抽中与否，纯粹是随机的、偶然的。按随机原则抽取调查单位是进行抽样推论的基本要求。2.根据被抽取的调查单位，计算各种指标，并对总体的指标作出估计。 3.抽样推断中的抽样误差可以事先计算并加以控制，从而保证抽样推断的结论符合预定的精确度和可靠度要求。 (二)抽样推断的作用 抽样推断的主要作用有： 1.对某些不可能进

33、行全面调查而又需要了解全面情况的社会经济现象，可以采用抽样推断方式。另外，对于无限总体也不可能进行全面调查，只能采用抽样推断方式。2.对于某些不必要或在经济上不允许经常采用全面调查的社会经济现象，最适宜采用抽样推断方式。3.对于需要及时了解情况的现象，也经常采用抽样推断方式。因为全面调查浪费人力、物力和财力，资料也不易及时取得，而抽样推断方式不仅节省人力、资金，且时间快，方式灵活，能够及时满足了解情况的需要。4.对全面调查的资料进行评价和修正。全面调查由于范围广、工作量大、参加的人员多，发生登记性误差的可能性就大。因此，为了保证全面调查资料的准确性，检验全面调查资料的质量，在全面调查之后，一般

34、都要进行抽样推断。在总体中再抽取一部分单位重新调查，然后将两次调查的资料进行比较，计算出差错率，并据此对全面调查的资料加以修正。5.抽样推断还可以用于工业生产过程中的质量控制。【能力训练】下列事项属于抽样推断的有（ ）。 为了测定车间的工时损失，对车间中的每三班工人中的第一班工人进行调查。 为了解某大学食堂卫生状况，对该校的五个食堂进行调查。 对某城市1%的家庭进行调查，以便研究该城市居民的消费状况。对某公司三个分厂中的一个分厂进行调查，以便研究该工厂的能源利用效果。 二、抽样的基本概念 (一)总体和样本 总体又称全及总体。它是根据研究目的，由全部调查单位所组成的集合体。总体的单位数通常都是很

35、大的，甚至是无限的，这样才有必要组织抽样调查，进行抽样推断。总体单位数一般用符号N表示。 样本又称子样。它是从总体中随机抽取出来的部分调查单位所组成的集合体。样本的单位数是有限的。样本单位数一般用符号n表示，也称样本容量。 对于某一特定研究问题来说，作为推断对象的总体是确定的，而且是惟一的。但由于从一个总体中可以抽取许多个样本，所以作为观察对象的样本，不是惟一的，而是可变的。明白这一点对于理解抽样推断原理是很重要的。 (二)总体指标和样本指标 总体指标又称参数。它是根据总体各单位的标志表现计算的综合指标。 对于总体中的数量标志，可以计算的总体指标有总体平均数、总体方差2 （或总体标准差）。设总

36、体变量X的取值为：X1,X2,则 对于总体中的品质标志，由于各单位品质标志不能用数量来表示，因此，可以计算的总体指标有总体成数、总体成数方差或总体成数标准差P）。 设P表示总体中具有某种性质的单位数在总体单位数中所占的比重，Q表示总体中不具有某种性质的单位数在总体单位数中所占的比重。在总体N个单位中，有N1 个单位具有某种性质，N0 个单位不具有某种性质，N=N1 +N0 。则 如果总体中的品质表现只有“是”、“非”两种。例如，产品质量的标志表现为合格和不合格，人口性别的标志表现为男性和女性，则可以把“是”的标志表现表示为1，而“非”的标志表现表示为0。那么成数P就可以视为（0，1）分布的相对

37、数，并可以计算相应的方差（或标准差）。其计算公式为 在抽样推断中，总体指标的意义和计算方法是明确的，但总体指标的具体数值事先是未知的，需要用样本指标来估计它。样本指标又称统计量。它是根据样本各单位的标志表现计算的、用来估计总体指标的综合指标。可以计算的样本指标有样本平均数、样本方差s2和样本成数P等。设样本变量x的取值为x1,x2,xn,则 在抽样推断中，样本指标的计算方法是确定的，但它的取值随着样本的不同，有不同的样本变量。所以，样本指标本身是随机变量，用它作为总体指标的估计值，有时误差大些，有时误差小些；有时产生正误差，有时产生负误差。 【能力训练】总体指标和样本指标（ ）。都是随机变量都

38、是确定性变量 前者是惟一确定的，后者是随机变量前者是随机变量，后者是惟一确定的三、抽样方法在抽样调查中，从总体中抽取样本单位的方法有两种：重复抽样和不重复抽样。(一)重复抽样 重复抽样也称重置抽样、放回抽样、回置抽样等。它是指从总体N个单位中随机抽取容量为n的样本时，每次抽取一个单位，把结果登记下来后，重新放回，再从总体中抽取下一个样本单位。在这种抽样方式中，同一单位可能有被重复抽中的机会。可见，重复抽样的总体单位在各次抽取中都是不变的，每个单位中选的机会在每次抽取中都是均等的。 用重复抽样的方法从总体N个单位中抽取n个单位组成样本，可能得到的样本总数为Nn个。(二)不重复抽样不重复抽样也称不

39、重置抽样、不放回抽样、不回置抽样等。它是指从总体N个单位中随机抽取容量为n的样本时，每次抽取一个单位后，不再放回去，下一次则从剩下的总体单位中继续抽取，如此反复，最终构成一个样本。也就是说，每个总体单位至多只能被抽中一次，所以从总体中每抽取一次，总体就少一个单位。因此，先后抽出来的各个单位被抽中的机会是不相等的。用不重复抽样的方法从总体N个单位中抽取n个单位组成样本，可能得到的样本总数为。不考虑顺序的组合数为。 可见，在相同样本容量的要求下，不重复抽样可能得到的样本个数比重复抽样可能得到的样本个数少。当采用不重复抽样、而全及总体所包含的单位数又不多时，越到后来，留在总体中的单位就越少，被抽中的

40、机会就越大。不过当全及总体单位数很多、样本总体单位数所占的比重很小时，则对先后抽出来的各个单位被抽中的机会影响不大。由于不重复抽样简便易行，所以在实际工作中经常被采用。第二节 抽样误差一、抽样误差的含义在抽样推断中，用样本指标推断总体指标，总会存在一定的误差，其误差来源主要有两个方面：(一)登记性误差即在调查和整理资料的过程中，由于主、客观因素的影响而引起的误差，如在登记的过程中由于疏忽而将3误写为8，将1误写为7；在计算合计的过程中所造成的计算错误等。(二)代表性误差即由于样本的结构情况不足以代表总体特征而导致的误差。代表性误差的产生又有两种情况：一种是违反了抽样推断的随机原则，如调查者有意

41、地多选较好的单位或多选较差的单位来进行调查，这样计算出来的样本指标必然出现偏高或偏低的情况，造成系统性误差，也称为偏差。另一种情况是遵守了抽样推断的随机原则，但由于从总体中抽取样本时有多种多样的可能，当取得一个样本时，只要被抽中样本的内部结构与被研究总体的结构有所出入，就会出现或大或小的偶然性的代表性误差，也称为随机误差。系统性误差和登记性误差都是由于抽样工作组织不好而导致的，应该采取预防措施避免发生。而偶然性的代表性误差是无法消除的。抽样误差就是指这种偶然性的代表性误差，即按随机原则抽样时，单纯由于不同的随机样本得出不同的估计量而产生的误差。抽样误差是抽样推断所固有的，虽然它无法避免，但可以

42、运用大数定律的数学公式加以精确地计算，确定其具体的数量界限，并通过抽样设计加以控制。所以这种抽样误差也称为可控制误差。 【能力训练】抽样误差是（ ）。 样本数目过少引起的观察、测量、计算的失误引起的抽样过程中的偶然性因素引起的抽样推断中产生的系统性误差二、抽样平均误差 (一)抽样平均误差的含义 抽样误差描述了样本指标与总体指标之间的离差绝对数，在用样本指标估计相应的总体指标时，它可以反映估计的准确程度。但是由于抽样误差是随机变量，具有取值的多样性和不确定性特点，因而就不能以它的某一个样本的具体误差数值来代表所有样本与总体之间的平均误差情况，应该用抽样平均误差来反映抽样误差平均水平。 所谓抽样平

43、均误差，就是所有可能出现的样本指标（平均数或成数）的标准差，也可以理解为所有的样本指标与总体指标之间的平均离差。我们所说的抽样误差可以事先计算和控制，就是针对抽样平均误差而言的。抽样平均误差是用样本指标推断总体指标时，计算误差范围的基础。 抽样平均误差的计算，与抽样方法和抽样组织形式有直接关系，不同的抽样方法和抽样组织形式计算抽样平均误差的公式是不同的。 (二)抽样平均误差的计算 在实际工作中，只求得一个样本指标，无法得到抽样平均误差（即样本指标的标准差），因而常常是根据抽样平均误差和总体标准差的关系来推算。样本平均数的抽样平均误差计算公式如下： 在一般情况下，总体平均数是未知的。当样本较多时

44、，可用样本平均数的平均数来代替（这已经得到证明）。而在实际工作中，通常只需从总体中抽取一个样本，这样就可以根据总体标准差和样本单位数的关系来计算。 1.重复抽样条件下抽样平均误差的计算 数理统计可以证明：在重复抽样条件下，抽样平均误差与总体标准差成正比，与样本单位数的平方根成反比。故在已知总体标准差的条件下，可用下面的公式计算样本平均数的抽样平均误差： 在大样本（n>30）下，如果没有总体标准差的资料，可用样本标准差s来代替，其公式如下： 相应地有样本成数的抽样平均误差公式： 同样，在大样本下，如果P未知，可用样本成数p来代替，即 总体成数方差还有一个特点，就是它的最大值是0.5

45、5;0.5=0.25，也就是说，当两类总体单位各占一半时，它的变异程度最大，方差为25%，标准差则为50%。因此，在总体成数方差值未知时，可用其最大值来代替，这样会使计算出来的抽样平均误差偏大一些，一般而言这对推断认识有益而无害。2.不重复抽样条件下抽样平均误差的计算对上述重复抽样下的公式作如下修正： 不重复抽样的平均误差和重复抽样的平均误差公式，两者相差的因子()永远小于1。在不重复抽样下，抽中的单位不再放回，总体单位数逐渐减少，余下的每个单位被抽中的机会就会增大，所以不重复抽样的抽样平均误差小于重复抽样的抽样平均误差，这就是用因子()作为调整系数来修正原式的道理。但在抽中单位占全体单位的比

46、重很小时，这个因子接近于1，对于计算抽样平均误差所起的作用不大。因而实际工作中不重复抽样有时仍按重复抽样的公式计算。 抽样平均误差的计算，在抽样调查中占有相当重要的地位。抽样调查的优点在于它能计算出抽样平均误差，且以抽样平均误差作为用样本指标推断总体指标的重要补充指标。三、影响抽样平均误差的因素影响抽样平均误差的因素主要有：(一)样本单位数的多少 在其他条件不变的情况下，样本单位数愈多，抽样误差就愈小；反之，样本单位数愈少，则抽样误差就愈大。样本单位数越大，样本就越能反映总体的数量特征，如果样本单位数扩大到接近总体单位数时，抽样调查也就接近于全面调查，抽样误差就缩小到几乎完全消失的程度。 (二

47、)总体被研究标志的变异程度 在其他条件不变的情况下，总体各单位标志值变异程度愈小，则抽样误差也愈小，抽样误差和总体变异程度成正比变化。这是因为总体变异程度小，表示总体各单位标志值之间的差异小，则样本指标与总体指标之间的差异也就小。如果总体各单位标志值相等，则标志变异程度等于0，样本指标就完全等于总体指标，抽样误差也就不存在了。 (三)抽样的组织形式和抽样方法 在其他条件不变的情况下，不重复抽样下的样本比重复抽样下的样本代表性强，其抽样误差相应也要小。在不同的抽样组织形式下，抽样误差也不同。 了解影响抽样误差的因素，对于控制和分析抽样误差十分重要。在上述影响抽样误差的三个因素中，标志变异程度是客

48、观存在的因素，是调查者无法控制的，但样本单位数、抽样方法及抽样的组织形式却是调查者能够选择和控制的。因此，在实际工作中，应当根据研究的目的和具体情况，做好抽样设计和实施工作，以获得经济有效的抽样效果。四、抽样极限误差 (一)抽样极限误差的含义 抽样极限误差是从另一个角度来考虑抽样误差问题的。用样本指标推断总体指标时，要想达到完全准确和毫无误差，几乎是不可能的。样本指标和总体指标之间总会有一定的差距，所以在估计总体指标时就必须同时考虑误差的大小。我们不希望误差太大，因为这会影响样本资料的价值。误差愈大，样本资料的价值便愈小，当误差超过一定限度时，样本资料也就毫无价值了。所以在进行抽样推断时，应该

49、根据所研究对象的变异程度和分析任务的需要确定允许的误差范围，在这个范围内的数字就算是有效的。这就是抽样极限误差的问题。 抽样极限误差是指样本指标和总体指标之间抽样误差的可能范围。由于总体指标是一个确定的数，而样本指标则是围绕着总体指标左右变动的量，它与总体指标可能产生正离差，也可能产生负离差，样本指标变动的上限或下限与总体指标之差的绝对值就可以表示抽样误差的可能范围。 设分别表示样本平均数的抽样极限误差和样本成数的抽样极限误差，则有：上面的不等式可以变换为下列不等式关系： 上面第一式表明样本平均数 是以总体平均数为中心，在至至之间变动的，区间称为样本平均数的估计区间，区间的长度为2，在这个区间

50、内样本平均数和总体平均数之间的绝对离差不超过。同样，上面第二式表明，样本成数是以总体成数P为中心，在至之间变动的，在区间内样本成数与总体成数的绝对离差不超过。由于总体平均数和总体成数是未知的，它需要用实测的样本平均数和样本成数来估计，因而抽样极限误差的实际意义是希望估计区间能以一定的可靠程度覆盖总体平均数,能以一定的可靠程度覆盖总体成数P，因而上面的不等式应变换为 (二)抽样极限误差的计算 基于概率估计的要求，抽样极限误差通常需要以抽样平均误差或为标准单位来衡量。把抽样极限误差或分别除以或，得相对数t，它表示误差范围为抽样平均误差的若干倍，t是测量估计可靠程度的一个参数，称为抽样误差的概率度。

51、 抽样估计的概率度是表明样本指标和总体指标的误差不超过一定范围的概率保证程度。由于样本指标随着样本的变动而变动，它本身是一个随机变量，因而样本指标和总体指标的误差仍然是一个随机变量，并不能保证误差不超过一定范围这个事件是必然事件，而只能给以一定程度的概率保证。因此，就有必要计算样本指标落在一定区间范围内的概率，这种概率称为抽样估计的概率保证程度。根据抽样极限误差的基本公式=t·得出，概率度t的大小要根据对推断结果要求的把握程度来确定，即根据概率保证程度的大小来确定。概率论和数理统计证明，概率度t与概率保证程度F（t）之间存在着一定的函数关系，给定t值，就可以计算出F（t）来；相反，给

52、出一定的概率保证程度F（t），则可以根据总体的分布，获得对应的t值。在实际应用中，因为我们所研究的总体大部分为正态总体，对于正态总体而言，为了应用的方便编有正态概率表以供使用。根据正态概率表，已知概率度t可查得相应的概率保证程度F（t）；相反，已知概率保证程度F（t）也可查得相应的概率度t。 从抽样极限误差的计算公式来看，抽样极限误差与概率度t和抽样平均误差三者之间存在如下关系： 1.在值保持不变的情况下，增大t值，抽样极限误差也随之扩大，这时估计的精确度将降低；反之，要提高估计的精确度，就得缩小t值，此时概率保证程度也会相应降低。 2.在t值保持不变的情况下，如果值小，则抽样极限误差就小，估计的精确度就高；反之，如果值大，抽样极限误差就大，估计的精确度就低。 由此可见，估计的精确度与概率保证程度是一对矛盾，进行抽样估计时必须在两者之间进行慎重的选择。【能力训练】在一定的误差范围要求下（ ）。 概率度大，要求可靠性低，样本数目相应要多概率度大，要求可靠性高，样本数目相应要多概率度小，要求可靠性低，样本数目相应要少概率度小，要求可靠性高，样本数目相应要少概率度小，要求可靠性低，样本数目相应要多第三节 抽样估计 抽样估计是指利用实际调查的样本指标的数值来估计相应的总体指标的数值的方法。由于总体指标是表明总体数量特征的参数，例如总体平均数、总