解排列组合问题的常见策略

1、解排列组合问题的常见策略湖北省淆水县第一中学田胜慧、程选志、皮本炎【内容摘要】计数问题中排列组合问题是最常见的，其解法往往是构 造性的，方法灵活多样，因而不同解法就决定了解决问题的难易，而 且解题过程出现“重复”和“遗漏”的错误很难发现。因而掌握一些 解这类问题的常见策略是十分必要的。【关键词】排列组合策略1、特殊元素和特殊位置优先策略位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的 方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素若以 位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。若有多个 约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。【例】用0到9这10

2、个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位 偶数。【解析】考虑“0”是特殊元素，如果三位数中含0,则它不能排在 首位，因此，符合条件的三位数分为2类：第一类，0排在末位时， 前两位数字从数字1 9中选，符合题意的三位偶数有a；=72个。第 二类，0不排在末位时，末位数字从2, 4, 6, 8四个数字中选，首位数 字从除0和末位数字的8个数字中选，中间位置的数字从除首位和末 位的8个数字中选，符合题意的三位偶数有£w=256个。由分类计 数原理可得，没有重复数字的三位偶数共有72+256=328个。2、相邻元素捆绑策略要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题.即 将需要相

3、邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时 要注意合并元素内部也必须排列。【例】甲、乙等6人要求甲、乙两人相邻站成一排，有多少种不同的 站法。【解析】分2部完成：第一步：先让甲、乙两人站队，有盃种站法; 第二步：将甲、乙看作一个整体，作为一个元素与另外4人站队，有 携种站法。由分步计数原理，共有al al = 240种不同站法。3、不相邻问题插空策略元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素 插入中间和两端。【例】8名学生和2位老师站成一排合影，要求2位老师不相邻的排 法有多少种。【解析】先排8名学生，有心种排法，8名学生间共有9个空隙（加 上边上空隙），然后把老师排

4、在9个空隙中，有福种排法，所以共有 a爲种排法。4、定序问题空位插入策略定序问题可转化为占位插空模型处理【例】7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？【解析】设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有划种方法, 其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有种方法。5、重排问题求磊策略允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约 束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地不同的元素没有限 制地安排在加个位置上的排列数为加"种。【例】把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法？【解析】完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7种分法. 到车间也有7种分法

5、，依此类推，由分步计数原理共有肿种不同的排 法。6、环排问题线排策略一般地,n个不同元素作圆形排列，共有(n-1) !种排法如果从n个不 同元素中取出m个元素作圆形排列共有丄船。m【例】5人围桌而坐，共有多少种坐法？【解析】围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分, 所以固定一人a并从此位置把圆形展成直线其余4人共有況种排法即(5 1)!7、多排问题直排策略一般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研究。【例】8人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丁在后排，共有 多少排法？【解析】8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一 排。先在前4个位置排甲乙两

6、个特殊元素有码种，再排后4个位置上 的特殊元素有种,其余的5人在5个位置上任意排列有&种，则共 有 aaa 种。8、排列组合混合问题先选后排策略解决排列组合混合问题，先选后排是最基本的指导思想.【例】有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球, 共有多少不同的装法.【解析】第一步从5个球中选出2个组成复合元共有c；种方法再把 5个元素（包含一个复合元素）装入4个不同的盒内有尤种方法，根据 分步计数原理装球的方法共有9、相同元素问题隔板策略将n个相同的元素分成m份（m m为正整数），每份至少一个元素, 可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分 法数为c

7、：/ o【例】某校准备组建一个10人的篮球队，这10人由高一 6个班学生 组成，每班至少1人，则名额分配方案有多少种。【解析】将10人看成10个元素，共有9个空，选5个空插入隔板， 分成6部分，即为6个班各班选出的学生人数，共有c；种。10、正难则反总体淘汰策略有些排列组合问题，正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简 洁,可以先求出它的反面，再从整体中淘汰。【例】某班级要从4名男生2名女生中选派4人参加某次社区服务， 如果要求至少有1名女生有多少种不同的选派方案。【解析】6人中选派4人的组合数为c爲其中都选男生的组合数为c：, 所以至少有1名女生的选派方案有c：-c：=14种。11、平均（

8、局部）分组问题除法策略平均分成的组，不管它们的顺序如何,都是一种情况，所以分组后要一 定要除以& （n为均分的组数）避免重复计数。【例】5项不同的工程由3个工程队全部承包下来，每队至少承包一 项工程，有多少种不同的承包方案。【解析】将5项工程分成3组由3个工程队承包。分类：分成1, 2, 2,三组有g誉种；分成3,1,1,三组有c；种，共有承包方案（cqc；12、合理分类与分步策略解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件 发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分 类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。【例】在一次演唱会上共10名演员，其中8人能能

9、唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少选派方法？【解析】10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员为标准进行研究，只会唱的5人 中没有人选上唱歌人员共有种，只会唱的5人中只有1人选上唱歌人 员种，只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有种，由分类 计数原理共有cfcf种，由分类计数原理共有cc+cm+c（c种。13、构造模型策略一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填 空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决。【例】马路上有编号为1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9的九只路灯，现要关掉其 中的3

10、盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的2盏，求 满足条件的关灯方法有多少种？【解析】把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3 个不亮的灯有c；种。14、分解与合成策略分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略，把一个复 杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用 分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案，每 个比较复杂的问题都要用到这种解题策略。【例】正方体的8个顶点可连成多少对异面直线。【解析】我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四面体共有-12 = 58 个，每个四面体有6对异面直线，正方体中的8个顶点可连成 6x58 = 174对异面直线。排列组合历来是学习中的难点，排列组合题的特点是条件隐晦， 不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证