2014汤家凤线性代数辅导讲义

1、文都教育2014年考研数学春季基础班线性代数辅导讲义主讲:汤家凤第一讲行列式、基本概念定义1逆序一设i,j就是一对不等的正整数，若i j，则称（i, j）为一对逆序。定义2逆序数一设i1i2 in就是1,2,n的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为（印2 in），逆序数为奇数的排列称为奇排列 ，逆序数为偶数的排列称为偶排列。a12an定义3行列式一称Da21a22称为n阶行列式an1D (jj jn1)n2(j1 j2jn)a1j1a2j2 anj定义4余子式与代数余子式一把行列式a11a12ana21a22a2 naman2ann中元素aj所在的o n, /i仃兀素与j列元素

2、去掉，剩下的n 1行与n1列元素按照元素原来的排列次序构成的n1阶行列式，称为元素aj的余子式记为j,称 Aj( 1)i j M j为元素aj的代数余子式。二、几个特殊的高阶行列式a100a1000a20称为对角行列式，0a2000an00an1、对角行列式一形如a1a2an。a11a12a1na1102、上（下）三角行列式一称0a22a2n及a21a2200annan1an2为上（下）三角行列a nna11a12a1na1100a22a2na21a22a11a22a nn ,00anna n1an2队，日色2ann °a nn3、|A| |B|，|A| |B|，|A|B|。4、范得

3、蒙行列式一形如 V（a1,a2, ,an）111a1a2an称为n阶范得蒙行列式n 1n 1n 1a1a2a n且 V (a1, a2 ,an)11al a2n1n1ala2an【注解】V(a1 ,a2, ,an)(ai aj)。1 j i n0的充分必要条件就是a1,a2,an两两不等。三、行列式的计算性质（一）把行列式转化为特殊行列式的性质1、行列式与其转置行列式相等，即D DT。2、对调两行（或列）行列式改变符号。3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。推论1行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。推论2行列式某两行（或列）相同,行列式为零。推论3行列式某两行（或列）

4、元素对应成比例，行列式为零。4、行列式的某行 （或列）的每个元素皆为两数之与时，行列式可分解为两个行列式，即a11ai1bi1an1a12ai2bi 2an2a1nain binanna11a12ai1ai2an1an2a1n ain anna11bi1an1a12bi2an2a1n bin anno5、行列式的某行(或列)a11a12a1nai1ai2ainaj1aj2ajnan1an 2ann的倍数加到另一a11ai1kaj1 aaj1an1行(或列)，行列式小变，即 a12a1ni2kaj2ain ka jnaj2ajnan2ann淇中k为任意常数。【例题1】设，1, 2, 3为4维列向

5、量，且| A| | , 1, 2, 3| 4,|B| | , 1,3 2, 3 |21,求 |A B|。【例题2】用行列式性质15计算【例题3】计算行列式【例题4】计算Dn（二）行列式降阶的性质6、行列式等于行列式某行ai1Ai1ai2Ai2aj A1 ja2 j A2 j7、a21a3淇中 ai0(1 i n)。（或列）元素与其对应的代数余子式之积的与，即ainAn(i 1,2,n),anjAnj(j1,2,n)o行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的与为零。321【例题1】用行列式按行或列展开的性质计算12 32482512371 4【例题2】设D，求(1) M21

6、592 74612M 22 M 23 M 24 ；(2) M 31 M 32。四、行列式的应用一克莱姆法则an%a12X2a1nxn0对方程组a21 xia22 X2a2nXn0an1x1an2X2annXn0anXa12X2a1nxnb1a21x1a22X2a2nXnb2am”an2X2ann Xnbn其中（II ）称为非齐方程组(II ),（I ）称为（II ）对应的齐次方程组或（II ）的导出方程组。a11a21a12a22a1na2n,D1b1 b2a12a22a1na2n,Dna11a21a12a22bb2an1an2annbnan2annan1an2bn，其中D称为系数行列式，我们

7、有定理1 (I)只有零解的充分必要条件就是D0;(I)有非零解(或者(I)有无穷多个解)的充分必要条件就是D 0。定理2 (II )有唯一解的充分必要条件就是D：D 0,且 Xi "(i 1,2,n)；当 D 0D时，(II )要么无解，要么有无穷多个解。第二讲矩阵一、基本概念及其运算(一)基本概念aii窕aina21a22a2n1、矩阵一形如称为m行n列的矩阵，记为A(aij)m n,行数与列数ami am 2amn相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O。(2)对A (aj)mn/m n,称A为n阶方阵。称E为单位矩阵。(4

8、)对称矩阵一设(aij )nn ,育 a ijaji(i, j1,2,n)，称A为对称矩阵。(5)转置矩阵一设a11a21am1a12a1na11a21am1a22a2n，记ATa12a22am2，称AT为矩阵am2amna1na2namnA的转置矩阵。2、同型矩阵及矩阵相等若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。3、伴随矩阵一设 A (aij )n n为n矩阵,将矩阵A中的第i行与j列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的n 1阶行列式，称为元素aj的余子式，记为M j ,同时称Aj( 1)i j Mj为元素aj的代数余子式

9、，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子式，An1A12 A22An2记A，称为矩阵A的伴随矩阵。(1) A O,BO 推不出 AB O 。(二 )矩阵的三则运算1、矩阵加减法设矩阵加减法一设Aa11a21a12a22a1na2n,Bb11b21b12b22b1nb2n,则am1am2amnbm1bm2bmna11b11a12b12a1nb1nAa21b21a22b22a2nb2n。am1bm1am2bm2amnbmna11a12a1nka11ka12ka1n2、数与矩阵的乘法设数与矩阵的乘法-一设Aa21a22a2nka21,则 kA21ka22ka2nam1am2amnkam1kam2k

10、amn3、矩阵与矩阵的乘法:a11a12a1nb11b12b1s设a21A21a22a2n,Bb21b22b2s,则am1am2amnbn1bn2bnsc11c12c1sCc21c22c2n,其中cijnaik bkj(i1,2,m; j,2, ,s)。k1cm1cm2cms(2) AB BA。(3)矩阵多项式可进行因式分解的充分必要条件就是矩阵乘法可交换。若 AB BA,则 A2 3AB 2B2 (A B)(A 2b),再如2A2 A 6E (A 3E)( A 2E)。(4)方程组的三种形式形式一 :基本形式auxa12x2a1 n xn0为田a12x2a/ b1a21 x1a22 x2a2

11、nxn0a21x1a22x2a2nxnb2,(I )与(II )am1x1am2x2amnxn0am1 x1am2 x2amnxnbm(I )(II)分别称为齐次与非齐线性方程组。a11a12anXb1记Aa21a22a2nx2 ,X,bb2山心，2，则方程组(I )、(II )可改写为am1am2amnxnbm形式二:方程组的矩阵形式AX0,(I)AXb,(II)a11a12a1n1xb1令1, 2, n,X,b，则有Xnamiam2amnbm形式三：方程组的向量形式xi 1x2 2xn(I )xi 1x22xn(II)二、矩阵的两大核心问题一矩阵的逆矩阵与矩阵的秩初中数学问题：对次方程ax

12、 b(a0),其解有如下几种情况当a0时，ax b两边乘以1 /曰一得x a(2)当 a0,b 0时，方程axb的解为一切实数。当a0,b 0时，方程axb无解。矩阵形式的线性方程组解的联想:对线性方程组AX设A为n阶矩阵，对方程组AX b ,存在n阶矩阵b，其解有如下几种情况B,使得BA E,则XBb。(此种情况产生矩阵的逆阵理论(2)设A为n阶矩阵，对方程组 是否有解？(3)设A就是m n矩阵，且m)AX b ,不存在n阶矩阵B，使得BA E ,方程组AX b就n,方程组AX b就是否有解?(后两种情况取决于方程组的未知数个数与方程组约束条件的个数即矩阵的秩 (一)逆矩阵1、逆矩阵的定义一

13、设 A为n阶矩阵，若存在B，使得BA E ,称A可逆，B称为A的逆矩阵，【例题1】设A为n阶矩阵，且A2 A 2E 。，求A1,(A E) 【例题2】设A为n阶矩阵，且Ak 。，求(E A) 1 o2、关于逆矩阵的两个问题【问题1】设A为n阶矩阵,A何时可逆？【问题2】若A可逆,如何求A 1?3、逆阵存在的充分必要条件定理设A为n阶矩阵，则矩阵A可逆的充分必要条件就是 |A| 0。4、逆阵的求法、， 一，11(1)方法一：伴随矩阵法A A。I A|1(2)初等变换法(A|E)初等行变换. (E|A )。5、初等变换法求逆阵的思想体系第一步，方程组的三种同解变形(1)对调两个方程；(2)某个方程

14、两边同乘以非零常数 ；(3)某个方程的倍数加到另一个方程，以上三种变形称为方程组的三种同解变形。第二步，矩阵的三种初等行变换对调矩阵的两行；(2)矩阵的某行乘以非零常数倍；(3)矩阵某行的倍数加到另一行，以上三种变换称为矩阵的三种初等行变换。若对矩阵的列进行以上三种变换，称为矩阵的初等列变换，矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换。第三步，三个初等矩阵及性质Ej 一将E的第i行与第j行或者单位矩阵E的第i列与第j列对调所得到的矩阵，如100001E23。010性质：1)|Ej|1；1) Ej1 Ej ;3) Ej A即为矩阵A的第i行与第j行对调，AEj即为矩阵A的第i列与第j列对调

15、，即Ej A 就是对A进行第一种初等行变换，AEj就是对A进行第一种初等列变换。(2) Ei(c)(c 0)一将E的第i行乘以非零常数c或E的第i列乘以非零常数c所得到的矩阵1 0 0如 0 10E3( 5)。0 051性质：D|Ei | c；2)E(c)Ei(-);c3) Ei (c) A即为矩阵 A的第i行非零常数 c,AEi(c)即为矩阵 A的第i列非零常数c,即Ei (c)A为对A进行第二种初等行变换，AEi(c)为对A进行第二种初等列变换。Ej (k)将E第j行的k倍加到第i行或E的第i列的k倍加到第j列所得到的矩阵。性质：1)Ej(k)A即A第j行的k倍加到第i行，AEj (k)即

16、A第i列的k倍加到第j歹U;12)|Ej(k)| 1；3)Ej (k) Ej( k)。第四步，三个问题【问题1 设A就是n阶可逆矩阵，A可都经过有限次初等行变换化为E ?【问题2 设A就是n阶不可逆矩阵，A就是否可以经过有限次初等行变换化为Er Or?O O、升 、，口 人 ，-、，口一 ，“ ，- Er O【问题3设A就是n阶不可逆矩阵，A就是否可以经过有限次初等变换化为r ?O O第五步，初等变换法求逆阵的理论Er OO O定理1设A就是n阶可逆矩阵，则A经过有限次初等行变换化为 E,且(A E) (E A 1)。定理2设A就是n阶不可逆矩阵，则存在n阶可逆矩阵P与Q ,使彳导PAQ 6、

17、逆矩阵的性质1、 111.1(1)(A ) Ao (2) (kA) -A 。kA1。_1_ 111-1-1(3) (AB) 1B 1A 1,更进一步(A1A2An) An An 1(4)(AT) 1 (A1)T。11A O A 1 O O A O B 1(5)1 ,1O B O B 1 B O A 1 O【例题1】设可逆矩阵 A的i, j行对调所得的矩阵为 B。1(1)证明 : B 可逆。(2)求A B。Ob,求B【例题3】设可逆阵设可逆阵A的1,2两行对调得矩阵B ,讨论之间的关系。【例题4】设a11a21a31a12a22a32a13a23a33,Ba2a1a311a11a22a12a32

18、a12a23a13a33a130P11000 , P21,则(A) AP1P2(B)AP2P1(C)P1P2A(D)P2P1A B5】设A1 ,且 A21ABE,求 B。【例题2】设A,B分别为m,n阶可逆矩阵，|A| a,|B|(二 )矩阵的秩1、矩阵秩的定义设A 就是 m n 矩阵 , A 中任取 r 行与 r 列且元素按原有次序所成的r 阶行列式，称为A的r阶子式，若A中至少有一个r阶子式不等于零，而所有r 1阶子式(如果有)皆为零，称r为矩阵A的秩,记为r(A) r。2、矩阵秩的求法一将 A用初等行变换化为阶梯矩阵，阶梯矩阵的非零行数即为矩阵A的秩。【注解】设A为m n矩阵，则r(A)

19、 minm,n。(2) r(A) 0的充分必要条件为A O。(3) r(A) 1 的充分必要条件为A O。1, O0, O(4)r(A) 2的充分必要条件就是 A至少有两行不成比例。(5)(a1,a2, ,an)T ,则 r( )3、矩阵秩的性质(1) r(A) r(AT) r(AAT) r(ATA)。【例题1】设A就是m n矩阵，证明：若AT A 。，则A O。(2)r(A B) r(A) r(B)。b1【例题2】设,A TT,证明：r(A) 2。anbn(3) r(AB) min r(A), r(B) ,等价于r(AB)r(AB)r(A)r(B)(口诀:即矩阵的乘法不会使矩阵的秩升高)【例

20、题3】设A,B分别为m n与n m矩阵，且AB E ,求r(A),r(B)。(4)设 Am n, Bn s ,且 AB 0,则 r(A) r(B) n。【例题4】设A为可逆矩阵，证明其逆矩阵唯一。【例题5】设A2 A,证明：r(A) r(E A) n。(5)设 P,Q 为可逆矩阵,则 r(A) r(PA) r(AQ) r(PAQ)。n,r(A) n(6)r(A )1,r(A) n 1(n 2)。0, r(A) n 1A(7) r r(A) r(B)。B(8) r(A) 1 存在非零向量,使得 A T。第三讲 向量一、向量基本概念1、向量一n个实数a1,a2, , an所构成的一个数组称为向量淇

21、中(a1,a2, ,an)称为n维行a1,称为 n 维列向量,构成向量的所有元素皆为零的向量称为零向量。ann2、向量的内积： ( , ) T ai bi 。i1nT22注解 (1)() ( , ) T ;(2)( , )ai2|2;i1(3)() ( , ) ( , );(4)( ,k ) (k , ) k( , )。(5)当 ( , )0,即aibi0i1正交。【注解】方程组的向量形式齐次线性方程组可以表示为x1非齐线性方程组可以表示为x1a11a12其中 1,2,a m1a m23、线性相关与线性无关对齐次线性方程组x1 1 x2 2(1) x1 1x2 2xn n O只有零解,称向量组

22、1 , 2 , n(2) 若有不全为零的常数k1 , k2 ,方程组有非零解,称 1 , 2, n4、向量的线性表示对非齐线性方程组x1 1x2 2(1)存在一组常数k1,k2 ,kn ,使得,称向量与 正交 ,记为1x22xnnO ;1x22xnnb,a1 nb1n,b 。amnbnxn n O ,当且仅当x1 x2xn线性无关;,kn ,使得k1 1 k2 2线性相关。xn n b ,k1 1 k2 2kn n,注意零向量与任何向量0 时成立 , 即齐次线性方程组kn n O 成立 , 即齐次线性b 成立,即非齐线性方程组有解 , 称 可由 1 , 2 , n 线性表示(2) 若x1 1

23、x2 2 xn n b 不 能 成 立 , 即 非 齐 线 性 方 程 组 无 解 , 称 不 可 由1 , 2 , n 线性表示。5、向量组的秩与矩阵的秩的概念(1) 向 量 组 的 极 大 线 性 无 关 组 与 向 量 组 的 秩 设 1 , 2, n 为 一 个 向 量 组 , 若1 , 2 , n 中存在 r 个线性无关的子向量组,但任意 r 1 个子向量组(如果有)线性相关,称r 个线性无关的子向量组为向量组1, 2 , n 的一个极大线性无关组, r 称为向量组1, 2,n 的秩。注解(1)若一个向量组中含有零向量,则该向量组一定线性相关。(2)两个向量线性相关的充分必要条件就是

24、两个向量成比例。(3)向量组的极大线性无关组不一定唯一。6、向量组的等价一设A： 1, 2, 与8： 1, 2, n为两个向量组，若k11 1k1nk21 1k12 2km2 2k2nkm1 1kmn n则称向量组A : 1 , 2m 可由向量组B : 1, 2 , n 线性表示,若两个向量组可以相互线性表示,称两个向量组等价。二、向量的性质(一 )向量组的相关性与线性表示的性质1、若 1 , 2 , n 线性相关,则其中至少有一个向量可由其余向量线性表出。2、设1, 2, , n线性无关，而1, 2, , n,线性相关，则可由1, 2, , n线性表出，且表示方法唯一。3、若一个向量组线性无

25、关,则其中任意一个部分向量组也必然线性无关;4、若一个向量组的一个部分向量组线性相关,则此向量组一定线性相关;5、设1, 2, , n为n个n维向量，则1, 2, , n线性无关 | 1, 2, , n | 0。6、若一个向量组的个数多于维数。则此向量组一定线性相关。7、若1, 2,n为一个两两正交的非零向量组，则1,2, n线性无关。8、设1, 2,n为两两正交的非零向量组，则1,2, n线性无关，反之不对。【例题 1】 设 1 , 2, 3 线性无关, 2, 3, 4线性相关,证明: 4可由1, 2, 3线性表示。【例题 2】 设 1, 2, 3 线性无关,令112, 223, 331 ,

26、讨论1, 2, 3的相关性。【例题 4】设 1, 2 , 3, 4线性无关,令112, 223, 33 4 , 441 ,讨论1 , 2, 3 , 4 的相关性。(二 )向量组的秩的性质1、设A： 1, 2, , m,B： 1, 2, , n为两个向量组，若A组可由B线性表出，则A组的秩不超过 B 组的秩。2、等价的向量组由相等的秩。3、矩阵的秩、矩阵的行向量组的秩、矩阵的列向量组的秩三者相等。【注解】设1, 2, , n线性无关，1, 2, , 内线性无关的充分必条件就是b不可由向量组 1, 2, , n 线性表示，等价于( 1, 2, , n,b) r( 1, 2, , n) 1。(2)设

27、A： 1, 2, m,B： 1, 2, n,若向量组 A可由向量组B线性表示，而向量组B不可由向量组A线性表示，则r ( A) r ( B )。第四讲方程组、线性方程组的基本概念anX1a12X2a1nxn0,方程组a21 x1a22X2a2nXn0,(I，称(I )为门兀并次线性万程组。am1X1am2X2amnXn0.an”a12X2anXnbi,方程组a21X1a22X2a2nXnb2,二，(II )称(II )为门元非齐线性方程组，方程组(I )又am1X1am2X2amnXnbm.称为方程组(II )对应的齐次线性方程组或者导出方程组。二、线性方程组解的结构1、设X1,X2, ,Xs

28、为齐次线性方程组AX 。的解，则k1X1 k2X2ksXs为AX 。的解淇中k1,k2, ,ks为任意常数。特殊情形，X1 X2及kX1(k为任意常数)都就 是AX O的解。2、设X 0为齐次线性方程组 AX O的解，为非齐线性方程组 AX b的解，则X 0 为方 程组AX b的解。3、设1, 2为非齐线性方程组 AX b的解，则12为AX O的解。4、设1, 2, , 9AX b的一组解，则k1 1 k2 2 kt t为AX b的解的充分必要条件就是k1k2kt 1。三、线性方程组解的基本定理定理1 (1)齐次线性方程组 AX 。只有零解的充分必要条件就是 r(A) n ;(2)齐次线性方程

29、组 AX 。有非零解(或者无穷多个解)的充分必要条件就是r(A) n。定理2 (1)非齐线性方程组 AX b无解的充分必要条件就是 r(A) r(A)。(2) AX b有解的充分必要条件就是 r(A) rCA)。更进一步地，当r(A) r(A) n时，方程组AX b有唯一解；当r(A) r(A) r n时,方程组AX b有无穷多个解。四、线性方程组的通解(一)齐次线性方程组AXO的基础解系与通解【例题1】求方程组Xi X2 X3 X4 8X502X1 x2 7x5 0X2 X3 5X50Xi X3 X4 X50的通解。XiX22X3 X4X5【例题2】求方程组 2X12x22 X34x5Xix

30、2 x3 2x4 2x5 0【注解】齐次线性方程组基础解的的三大条件一个向量组为齐次线性方程组的基础解系的充分必要条件就是(1)该向量组为方程组的解。(2)该向量组线，f 无关。(3)该向量组的向量个数与方程组自由变 量个数相等。(二)非齐线性方程AX b的通解X1X2X313无解，求a。1 21【例题1】设方程组 2 3a 21 a2X1X2X3X4【例题2】a,b取何值时，方程组x2 2x3 2x4 1x2 (a 3)x3 2X43x1 2x2X3 ax4有解,并求出其解。b1【例题31(1)设A为n阶阵，且A的各行元素之与为0, R(A)n 1,则AX 0,求AX 0的通解。(2)设A为

31、n阶阵，且| A| 0,Aki 0,求AX 0的通解。(3)设 AXb为四元非齐方程组，R(A) 3, 1, 2, 3为其3个解向量，且1(1,9,9,8)T, 23(1,9,9,9)T,求 AX b 的通解。(4) 1, 2, 3设为4维列向量组，1, 2线性无关，3 3 12 2,且A ( 1, 2, 3),求AX 0的一个基础解系。设 A ( 1 , 2 , 3, 4), 2 , 3, 4 线性无关，且 1 3 23,1 2 24 ,求AX的通解。ai1b1ai2b2【例题3】设i (i 1,2, ,r,r n)为n维向量组，且1, 2, 线性无关，为ainbna11 x1a1n xna

32、21x1a2n xn0的非零解,问1, 2线性相关性。ar1x1arn xn方程组补充(一 )理论拓展定理 1 若 AB O ,则 B 的列向量组为方程组AX O 的解。【例题1】设AB O,证明：r(A) r(B) n。2】设A 为三阶非零矩阵, A 的第一行元素a,b,c不全为零，B1232 4 6 ,且 36kAB O ,求方程组AX O 的通解。定理2若AX O与BX 。同解，则r(A) r(B)。【例题 1】证明 ： r(A) r(ATA) 。【例题2】设A为n s矩阵，B就是m n矩阵，且r(B) n ,证明：r(B) r(BA)。(二 )方程组的公共解A定理 AX O 与 BX

33、O 的公共解即为X O 的解。B1】设A, B 都就是 n 阶矩阵 ,且 r(A) r(B) n ,证明： AX。与BX O有公共的非零解。2】设线性方程组(1)x1x2x2x40与方程组(2)0x1x2x3x2x3x4(1)求两个方程组的基础解系。(2)求两个方程组的公共解。第五讲 特征值与特征向量一、基本概念X ,使得AX X ,称1、矩阵的特征值、特征向量设A 为 n 阶矩阵 ,若存在与非零向量为矩阵A的特征值，称X为矩阵A的属于特征值的特征向量。1 】设A 为 n 阶矩阵 ,如何求A 的特征值？【问题2】设A为n阶矩阵，0为A的特征值，如何求矩阵A的属于0的特征向量?2、特征多项式、特

34、征方程一令 Aaiiai2aina21a22a2nanian2ann称 | E A|aiia2ia12a22aina2n为矩阵A的特征多项式,| E A| 0称为anian2ann矩阵A的特征方程。【注解】(i)设A为实矩阵，则A的特征值不一定就是实数。(2) i 2n aii a22ann t(A)。 i 2 n |A|。(4)r(A)n的充分必要条件就是i 0(i i n)。i 2 22 i 2，求A的特征值及每个特征值对应的线性无关的特征向量。2 2 i【例题2】设A0 i i0 0 i，求A的特征值及每个特征值对应的线性无关的特征向量。0 0 i【问题i】设r(A) n,则0就是A的特

35、征值，问A的非零特征值个数就是否与 A的秩相等?【问题2】问每个特征值的重数与其对应的线性无关的特征向量个数就是否一致？3、矩阵相似一设 A, B为两个n阶阵,若存在可逆阵P，使得P iAPB,则称A与B相似，记为 A B。【注解】(i) A A。 (2)若 A B ,则 B A。 (3)若 AB,BC恻AC。(4) A B | E A| | E B|,反之不对。AB r(A) r(B),反之不对。 _T_ T i _ i(6) A B A B ; A B (其中 A, B 可逆)。若 AB,则 tr(A) tr(B),| A| |B|。4、矩阵的对角化一若一个矩阵与对角矩阵相似，则称矩阵可以

36、对角化，设A就是n阶矩阵，所谓A可对角化，即存在可逆矩阵 P使彳导P 1AP，其中 为对角矩阵。二、特征值与特征向量的性质(一)一般矩阵特征值与特征向量的性质1、(重要性质)不同特征值对应的特征向量线性无关。2、设A为n阶矩阵，°就是矩阵A的特征值，Xo就是矩阵A的对应于 0的特征向量，则一.一 -111 、1 ,(1)若A可逆，则°就是矩阵A的特征值，X0就是矩阵A 的对应于0的特征向量。I A II A I(2)若A可逆,则为矩阵A的特征值，X0就是次1阵A的对应于j-1的特征向量。 0°设f (x) anxn an 1xn 1 ax a0为一元n次多项式，称

37、f(A) anAn an1An1aA a° E为关于矩阵A的矩阵多项式，则有f( °)为矩阵f(A)的特征值，X°就是矢I阵f(A)的对应于f( °)的特征向量。3、矩阵A可对角化的充分必要条件就是A有n个线性无关的特征向量。(二)实对称矩阵特征值特征向量的性质1、设A为实对称阵，则A的特征根都就是实数。2、设A为实对称阵，则A的不同特征根对应的特征向量正交。3、A可对角化A有n个线性无关的特征向量。4、设A为实对称阵，1, 2, n为其特征根，则存在正交阵Q,使得1QTAQ。n三、矩阵的对角化(一)非实对称矩阵(二)实对称矩阵典型问题(一)特征值、特征

38、向量的性质【例题1】设A为四阶矩阵，A B,且A的特征值为二,则| B 1 E |。2 3 4 5【例题2】设A为可逆矩阵，0为A的一个特征值，则(A )2 2E的一个特征值为 。【例题3】设1, 2为A的两个不同的特性根，X1,X2分别为1, 2所对应的特征向量，则X1 X2不就是特征向量。(二 )特征值、特征向量的求法 【思路分析】特征值的求法常见有三种方法公式法，即通过| E A| 0求A的特征值。(2)定义法(3)关联矩阵法【例题1】设矩阵A,B的每行元素之与分别为 a,b,其中A可逆。求A 1的每行元素之 求 AB 的每行元素之与。;(2)【例题2】设A为n阶矩阵，且A2 2A O,

39、求A的特征值。a1b13】设,且 ( , ) 3 ,令 Aanbn【例题4】A就是三阶矩阵，1, 2, 3线性无关，T ,求A 的特征值及重数。A 123 , A 231, A 312 ,求矩阵A 的特征值。(三 )矩阵对角化问题【思路分析】判断矩阵对角化常见思路有:(1)矩阵的特征值就是否为单值。(2)矩阵就是否存在n 个线性无关的特征向量。(3)矩阵就是否为实对称矩阵。ab【例题1】设A且ad bc 0,证明A可对角化。cd2】设A3117 51 ,证明A不可以对角化。6623】A1222 1 2，求A的特征根、特征向量，以及就是否可以对角化?221【例题4】设A为非零矩阵，且存在正整数k ,使得AkO ,证明A 不可以对角化。0015】设Ax 1 y 有三个线性无关的特征向量,求 x, y 满足的条件。10011a6】 A 1 a 1a1111 ,AX，有解但不唯一，求a的值；(2)求可逆阵P,2使得 P 1AP 为对角阵;(3)求正交阵Q ,使得QTAQ 为对角阵。(四 )求矩阵A【思路分析】特征值与特征向量部分求未知矩阵的思路为求A的特征值。(注意:实对称矩阵不同特征值对应的特征(2)求A的不同特征值对应的线性无关的特征向量向量正交)(3)令 P (11 , 2 , n ) ,由P APP 1。【例题1 】设A3 3, A i i i (i 1,2,3), 12,2